高三数学练习3

高三数学第二轮复习专题3不等式专题3 不等式江苏省震泽中学 王利平一、填空题例1 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2，2a ，其中a ∈R.定义A ×B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若集合A ×B 中的最大元素为2a ＋1，则a 的取值范围是________． 解析 A ×B ＝{a 2,2a ，a 2＋1,2a ＋1}．由题意，得2a ＋1＞a 2＋1，解得0＜a ＜2. 答案 (0,2)例2 ．设123log2,ln 2,5a b c -===则c b a ,,三者的大小关系解析 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log3log 1e >>,所以a<b, c=125-=5,而2252log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b.答案c a b <<例3 ．对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0”．给出如下一种解法：解 由ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c ＞0的解集为(－2,1)， 即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a＋x ＋b x ＋c ＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1，则关于x 的不等式kxax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为________．解析 不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0可化为k1x＋a ＋1x ＋b 1x ＋c＜0，所以有1x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1， 即x ∈(－3，－1)∪(1,2)，从而不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为(－3，－1)∪(1,2)． 答案 (－3，－1)∪(1,2) 例4 ．设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于解析 由题意知，所求的||AB 的最小值，即为区域1Ω中的点到直线3490x y --=的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线3490x y --=的距离最小，故||AB 的最小值为|31419|245⨯-⨯-⨯=。

课后作业基础巩固强化一、选择题＝{x |x －2x －1<1}，则M ∩N 等于( )A ．{x |1<x <32} B ．{x |12<x <1}C ．{x |－12<x <32} D ．{x |－12<x <32，且x ≠1}[答案] A[解析] 由|2x －1|<2得－2<2x －1<2，则－12<x <32；由x －2x －1<1得(x －2)－(x －1)x －1<0，即－1x －1<0，则x >1.所以M ∩N ＝{x |1<x <32}，选A.2．不等式|x －2|－|x －1|>0的解集为( ) A ．(－∞，32) B ．(－∞，－32) C ．(32，＋∞) D ．(－32，＋∞) [答案] A[解析] 原不等式等价于|x －2|>|x －1|，则(x －2)2>(x －1)2，解得x <32.3．设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |>2，x ∈R }．若A ⊆B ，则实数a 、b 必满足( )A ．|a ＋b |≤3B ．|a ＋b |≥3C ．|a －b |≤3D ．|a －b |≥3[答案] D[解析] 由题意可得集合A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，集合B ＝{x |x <b －2或x >b ＋2}，又因为A ⊆B ，所以有a ＋1≤b －2或b ＋2≤a －1，即a －b ≤－3或a －b ≥3.所以选D.4．(文)若不等式|ax ＋2|<4的解集为(－1,3)，则实数a 等于( ) A ．8 B ．2 C ．－4 D ．－2[答案] D[解析] 由－4<ax ＋2<4，得－6<ax <2. ∴(ax －2)(ax ＋6)<0，其解集为(－1,3)，∴a ＝－2. [点评] 可用方程的根与不等式解集的关系求解．(理)对于实数x 、y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为( )A ．5B ．4C ．8D ．7 [答案] A[解析] 由题易得，|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －2)－2|≤|x －1|＋|2(y －2)|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.二、填空题5．(2013·天津)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b 的最小值为________． [答案] 34[解析] 因为12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ≥a4|a |＋2b 4|a |·|a |b ＝a 4|a |＋1≥－14＋1＝34，当且仅当b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2，b ＝4时取等号，故12|a |＋|a |b 的最小值是34.6．(文)不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－∞，2)[解析] 由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2，所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.(理)(2013·昆明重点中学检测)已知不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2,6]恒成立，则实数a 的取值范围是________．[答案] [－1,2][解析] 设y ＝2x －1，x ∈[2,6]，则y ′＝－2(x －1)2<0，则y ＝2x －1在区间[2,6]上单调递减，则y min ＝26－1＝25，故不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2,6]恒成立等价于15|a 2－a |≤25成立，等价于⎩⎨⎧a 2－a －2≤0，a 2－a ＋2≥0.解得－1≤a ≤2，故a 的取值范围是[－1,2]．7．(2013·陕西)设a ，b ∈R ，|a －b |>2，则关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |>2的解集是________．[答案] (－∞，＋∞)[解析] ∵|x －a |＋|x －b |≥|a －b |>2， ∴|x －a |＋|x －b |>2恒成立，则解集为R .8．(2012·陕西)若存有实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．[答案] －2≤a ≤4[解析] |x －a |＋|x －1|≥|a －1|，则只需要|a －1|≤3，解得－2≤a ≤4.9．若a >0，b >0，则p ＝(ab )a ＋b 2，q ＝a b ·b a 的大小关系是________． [答案] p ≥q[解析] ∵a >0，b >0，∴p ＝(ab )a ＋b2>0，q ＝a b ·b a >0， p q ＝(ab )a ＋b 2a b b a＝a a －b 2·b b －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2.若a >b ，则ab >1，a －b 2>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2>1；若a <b ，则0<ab <1，a －b 2<0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2>1；若a ＝b ，则ab ＝1，a －b 2＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2≥1，即pq ≥1.∵q >0，∴p ≥q . [点评] 可使用特值法，令a ＝1，b ＝1，则p ＝1，q ＝1，有p＝q ；令a ＝2，b ＝4，有p ＝83＝512，q ＝24×42＝256，∴p >q ，故填p ≥q . 三、解答题10．(文)已知函数f (x )＝|x －7|－|x －3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)当x <5时，不等式|x －8|－|x －a |>2恒成立，求a 的取值范围． [解析] (1)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，(x ≤3)，10－2x ，(3<x <7)，－4(x ≥7)，图象如图所示：(2)∵x <5，∴|x －8|－|x －a |>2，即8－x －|x －a |>2， 即|x －a |<6－x ，对x <5恒成立． 即x －6<x －a <6－x 对x <5恒成立，∴⎩⎨⎧a <6，a >2x －6.对x <5恒成立．又∵x <5时，2x －6<4，∴4≤a <6. ∴a 的取值范围为[4,6)．(理)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －3|. (1)作出函数y ＝f (x )的图象；(2)若对任意x ∈R ，f (x )≥a 2－3a 恒成立，求实数a 的取值范围． [解析] (1)①当x ≤－1时，f (x )＝－x －1－x ＋3＝－2x ＋2； ②当－1<x <3时，f (x )＝x ＋1＋3－x ＝4； ③当x ≥3时，f (x )＝x ＋1＋x －3＝2x －2. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2，x ≤－1，4，－1<x <3，2x －2，x ≥3.∴y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知f (x )的最小值为4，由题意可知a 2－3a ≤4，即a 2－3a －4≤0，解得－1≤a ≤4.故实数a 的取值范围为[－1,4].水平拓展提升一、填空题11．(文)(2013·石家庄模拟)若不等式|3x －b |<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为________．[答案] (5,7)[解析] ∵|3x －b |<4，∴b －43<x <b ＋43. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －43<1，3<b ＋43≤4，解得5<b <7，∴b 的取值范围是(5,7)．(理)若a 、b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，当且仅当a x ＝b y 时上式取等号．利用以上结论，能够得到函数f (x )＝2x ＋91－2x(x ∈(0，12))的最小值为________． [答案] 25[解析] 依据给出的结论可知f (x )＝42x ＋91－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25等号在22x ＝31－2x，即x ＝15时成立．12．(文)(2013·山东师大附中三模)不等式|2x ＋1|＋|x －1|<2的解集为________．[答案] (－23，0)[解析] 当x ≤－12时，原不等式等价为－(2x ＋1)－(x －1)<2，即－3x <2，x >－23，此时－23<x ≤－12.当－12<x <1时，原不等式等价为(2x ＋1)－(x －1)<2，即x <0，此时－12<x <0.当x ≥1时，原不等式等价为(2x ＋1)＋(x －1)<2，即3x <2，x <23，此时不等式无解．综上，不等式的解集为－23<x <0.(理)不等式|x ＋log 3x |<|x |＋|log 3x |的解集为________． [答案] {x |0<x <1}[解析] 由对数函数定义得x >0，又由绝对值不等式的性质知，|x ＋log 3x |≤|x |＋|log 3x |，当且仅当x 与log 3x 同号时等号成立，∵x >0，∴log 3x >0，∴x >1，故原不等式的解集为{x |0<x <1}．二、解答题13．(文)(2013·福建理，21)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．[解析] (1)因为32∈A ，且12∉A ，所以|32－2|<a ，且|12－2|≥a ， 解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号．所以f (x )的最小值为3.(理)(2013·福建龙岩模拟)已知函数f (x )＝|x －3|，g (x )＝－|x ＋4|＋m .(1)已知常数a <2，解关于x 的不等式f (x )＋a －2>0；(2)若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求实数m 的取值范围．[解析] (1)由f (x )＋a －2>0得|x －3|>2－a ， ∴x －3>2－a 或x －3<a －2，∴x >5－a 或x <a ＋1. 故不等式的解集为(－∞，a ＋1)∪(5－a ，＋∞) (2)∵函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方， ∴f (x )>g (x )恒成立，即m <|x －3|＋|x ＋4|恒成立． ∵|x －3|＋|x ＋4|≥|(x －3)－(x －4)|＝7， ∴m 的取值范围为m <7.14．(2013·新课标Ⅱ理，24)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.[解析] (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得，a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1， 即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1. 15．(文)设不等式|2x －1|<1的解集是M ，a 、b ∈M . (1)试比较ab ＋1与a ＋b 的大小；(2)设max 表示数集A 中的最大数．h ＝max{2a ，a 2＋b 2ab ，2b }，求证：h ≥2.[解析] 由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x <1. 所以M ＝{x |0<x <1}．(1)由a 、b ∈M ，得0<a <1,0<b <1， 所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0. 故ab ＋1>a ＋b .(2)由h ＝max{2a ，a 2＋b 2ab ，2b}，得h ≥2a ，h ≥a 2＋b 2ab ，h ≥2b， 所以h 3≥2a ·a 2＋b 2ab ·2b＝4(a 2＋b 2)ab ≥8，故h ≥2. (理)已知a 、b 为正实数．(1)求证：a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ；(2)利用(1)的结论求函数y ＝(1－x )2x ＋x 21－x(0<x <1)的最小值． [解析] (1)证法一：∵a >0，b >0， ∴(a ＋b )(a 2b ＋b 2a )＝a 2＋b 2＋a 3b ＋b 3a≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2. ∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立． 证法二：∵a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab＝a 3－a 2b －(ab 2－b 3)ab ＝a 2(a －b )－b 2(a －b )ab＝(a －b )2(a ＋b )ab. 又∵a >0，b >0，∴(a －b )2(a ＋b )ab≥0， 当且仅当a ＝b 时等号成立．∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b .(2)解：∵0<x <1，∴1－x >0，由(1)的结论，函数y ＝(1－x )2x ＋x 21－x≥(1－x )＋x ＝1. 当且仅当1－x ＝x 即x ＝12时等号成立．∴函数y ＝(1－x )2x ＋x 21－x(0<x <1)的最小值为1.考纲要求1．理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )．(2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R )．2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c ，|x －c |＋|x －b |≥a .3．了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明．4．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法．补充说明1．证明不等式常用的方法(1)比较法：依据a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0来证明不等式的方法称作比较法．其基本步骤：作差→配方或因式分解→判断符号→得出结论．(2)综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理论证得出命题成立的方法．它是由因导果法．(3)分析法：从要证明结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明过的定理、性质等)，从而得出要证明的命题成立的方法，它是执果索因的方法．分析法与综合法常常结合起来运用，看由已知条件能产生什么结果，待证命题需要什么条件，两边凑一凑找出证明途径．常常是分析找思路，综合写过程．(4)反证法：证明不等式时，首先假设要证明的命题不成立，把它作为条件和其它条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理、性质等基本原理进行正确推理，逐步推证出一个与命题的条件或已证明过的定理、性质，或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设不正确，从而肯定原命题成立的方法称为反证法．(5)放缩法：证明不等式时，根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明目的，这种方法称为放缩法．2．柯西不等式(1)一般形式：设a1、a2、…、a n、b1、b2、…、b n为实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2.当且仅当b i＝0，或存在一个实数k，使得a i＝kb i(i＝1、2、…、n)时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式：①代数形式：设a、b、c、d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.上式等号成立⇔ad ＝bc .②向量形式：设α、β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|.当且仅当β是零向量或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．③三角形式：设x 1、x 2、y 1、y 2∈R ，则x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，其几何意义是三角形两边之和大于第三边．3．排序不等式设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1、c 2、…、c n 为b 1、b 2、…、b n 的任一排列，则有a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，且反序和等于顺序和⇔a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n .即反序和≤乱序和≤顺序和．4．贝努利不等式设x >－1，且x ≠0，n 为大于1的自然数，则(1＋x )n >1＋nx . 备选习题1．设a 、b 、c 为正数，且a ＋2b ＋3c ＝13，则3a ＋2b ＋c 的最大值为( )A.1693B.133C.1333D.13[答案] C[解析] (a ＋2b ＋3c )[(3)2＋12＋(13)2] ≥(3a ＋2b ＋c )2，∵a ＋2b ＋2c ＝13，∴(3a ＋2b ＋c )2≤1693， ∴3a ＋2b ＋c ≤1333， 当且仅当a 3＝2b 1＝3c 13取等号， 又∵a ＋2b ＋3c ＝13，∴a ＝9，b ＝32，c ＝13时，3a ＋2b ＋c 取最大值1333.2．(2013·陕西检测)若不等式|x ＋1|＋|x －m |<6的解集为∅，则实数m 的取值范围为________．[答案] [5，＋∞)∪(－∞，－7][解析] ∵不等式的解集为空集，|x ＋1|＋|x －m |≥|m ＋1|，∴只需|m ＋1|≥6，∴m 的取值范围为[5，＋∞)∪(－∞，－7]．3．(2013·云南玉溪一中月考)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|－m .(1)当m ＝5时，求f (x )>0的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥2的解集是R ，求m 的取值范围．[解析] (1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|>5，⎩⎨⎧ x ≥2，x ＋1＋x －2>5，或⎩⎨⎧ －1≤x <2，x ＋1－x ＋2>5，或⎩⎨⎧ x <－1，－x －1－x ＋2>5.解得原不等式的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．(2)不等式f (x )≥2即|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋2，∵x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，不等式|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋2的解集是R ，∴m ＋2≤3，m 的取值范围是(－∞，1]．4．(1)解关于x 的不等式x ＋|x －1|≤3；(2)若关于x 的不等式x ＋|x －1|≤a 有解，求实数a 的取值范围．[解析] 设f (x )＝x ＋|x －1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1(x ≥1)，1 (x <1). (1)当x ≥1时，2x －1≤3，∴1≤x ≤2，又x <1时，不等式显然成立，∴原不等式的解集为{x |x ≤2}．(2)由于x ≥1时，函数y ＝2x －1是增函数，其最小值为f (1)＝1； 当x <1时，f (x )＝1，∴f (x )的最小值为1.因为x ＋|x －1|≤a 有解，即f (x )≤a 有解，所以a ≥1.5．(2013·辽宁理，24)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．[解析] (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5； 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a .2a ，x ≥a .∵a >1，∴x ≤0时，h (x )＝－2a <－2，x ≥a 时，h (x )＝2a >2，而已知不等式|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}， ∴不等式|h (x )|≤2化为⎩⎨⎧ －2≤4x －2a ≤2，0<x <a ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －12≤x ≤a ＋12，0<x <a ，∵a >1，∴a －12>0，a ＋12<a ，∴由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又∵|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.[点评] 第(2)问是求解的难点，可借助图象帮助理解．作出h (x )的图象如图．∵a >1，|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，∴|h (x )|≤2，即|4x －2a |≤2.此不等式的解集为{x |1≤x ≤2}．。

课时规范训练[A级基础演练]1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝3b，则角A等于()A.π12 B.π6C.π4D．π3解析：选D.在△ABC中，利用正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B，∴sin A＝3 2.又A为锐角，∴A＝π3.2．(2022·高考天津卷)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝() A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝13，∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.3．在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝2，BC＝2，则∠C等于()A．30°B．60°C．120°D．30°或150°解析：选A.在△ABC中，ABsin C＝BCsin A，∴2sin C＝2sin 45°，∴sin C＝12，又AB＜BC，∴∠C＜∠A，故∠C＝30°.4．一艘海轮从A处动身，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观看灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里解析：选A.如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依据正弦定理得BCsin 30°＝ABsin 45°，解得BC＝102(海里)．5．(2022·高考山东卷)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝()A.3π4B．π3C.π4D．π6解析：选C.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2b2－2b2cos A，所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1，又0＜A＜π，所以A＝π4.6．(2022·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝2π3，a＝3c，则bc＝．解析：∵a＝3c，∴sin A＝3sin C，∵∠A＝2π3，∴sin A＝32，∴sin C＝12，又∠C必为锐角，∴∠C＝π6，∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴∠B＝π6，∴∠B＝∠C，∴b＝c，∴bc＝1.答案：17．在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为1534，则BC边的长为．解析：由S△ABC＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC＝5，因此BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC＝7.答案：78．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－bc－a＝sin Asin C＋sin B，则B＝() A.π6B．π4C.π3 D ．3π4解析：选C.依据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得c －b c －a＝sin Asin C ＋sin B ＝a c ＋b，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.9．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值． 解：(1)证明：∵三角形的三边a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b ＝2a ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝22.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值．解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2，化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B 2，故cos(A ＋B )＝－22，所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4. (2)由于S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. [B 级 力量突破]1．(2021·辽宁五校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.2π3 B ．π3 C.3π4D ．5π6解析：选A.由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b . 又由于b ＋c ＝2a ， 所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b＝－12.由于C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.2．(2021·北京东城一模)在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，S △ABC ＝33，则BC ＝( ) A ．5 B ．13或37 C.37D ．13解析：选D.由S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×3×4×sin ∠BAC ＝33，得sin ∠BAC ＝32，由于△ABC 为锐角三角形，所以∠BAC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故∠BAC ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝42＋32－2×4×3×cos π3＝13.所以BC ＝13，故选D.3．(2021·厦门模拟)在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，假如sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2解析：选D.由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ， 再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2， 即b 2＋c 2－a 2>0. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0， ∵0<A <π，∴0<A <π2.又a 为最大边，∴A ＝A ，A >B ，A >C ， 即3A >A ＋B ＋C ＝π，∴A >π3. 因此得角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.4．(2021·云南第一次检测)已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋asin A的值等于 ． 解析：依题意可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝62，所以b ＋a sin A ＝b ＋bsin B ＝16 2.答案：16 25．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过 分钟，海盗船即可到达商船．解析：如图，设开头时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20分钟后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中由已知得∠ABD ＝30°. ∠BAD ＝60°－30°＝30°，∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(分钟)． 答案：4036．(2021·成都外国语学校模拟)已知函数f (x )＝23sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且角A 满足f (A )＝3＋1.若a ＝3，BC 边上的中线长为3，求△ABC 的面积S .解：(1)由题意知，f (x )＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x＝3()1＋sin 2x ＋cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋cos 2x ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得 k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)由f (A )＝3＋1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，∴2A ＋π6＝π6或5π6，即A ＝0或π3. 又A 为△ABC 的内角，∴A ＝π3. 由A ＝π3，a ＝3.得|BC→|＝|AC →－AB →|＝a ＝3，① 又BC 边上的中线长为3，知|AB →＋AC →|＝6.②联立①②，解得AB →·AC→＝274，即|AB →|·|AC →|·cos π3＝274， ∴|AB →|·|AC →|＝272. ∴△ABC 的面积为S ＝12|AB →|·|AC →|·sin π3＝2738.。

石景山区2023年高三统一练习数学试卷答案及评分参考一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）A （2）C （3）B （4）D （5）A （6）B（7）A（8）D（9）B（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）12（12）(0,1)3 （13）3（只要是3正整数倍即可）（14）2(,2)-∞ （15）①②④ 三、解答题（共6小题，共85分） （16）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）因为ADB ADC ∠+∠=π，所以1cos cos 3ADC ADB ∠=-∠=-在ADC △中，因为(0,)ADC ∠∈π， 所以222sin 1cos ADC ADC ∠=-∠． 在ABD △中，由正弦定理得，sin sin AD ACC ADC=∠． 所以142sin 232sin 23AC CAD ADC⋅===∠．（Ⅱ）ABD △的面积为221sin 222DB DA ADB ⋅∠=，因为ADB ADC ∠+∠=π，所以22sin sin ADC ADB ∠=∠= 又因为3AD =，所以2BD =． 在ABD △中，由余弦定理得2222cos AB DA DB DA DB ADB =+-⋅⋅∠ 2213223292=+-⨯⨯⨯=．所以3AB =．（17）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）设事件A 为“从第1组所有鸡冠花中各随机选取1株，株高增量为(7,10]厘米”，根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为(7,10]厘米．所以()P A 估计为201402= （Ⅱ）设事件B 为“从第2组所有鸡冠花中各随机选取1株，株高增量为(7,10]厘米”，设事件C 为“从第3组所有鸡冠花中各随机选取1株，株高增量为(7,10]厘米”，根据题中数据，()P B 估计为162405=，()P C 估计为1234010= 根据题意，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，且 (0)()()()()P X P ABC P A P B P C ===， (1)()P X P ABC ABC ABC ==++()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++ (3)()P X P ABC ==()()()P A P B P C =(2)1(0)(1)(3)P X P X P X P X ==-=-=-=．所以，(0)P X =估计为21100；(1)P X =估计为1125； (3)P X =估计为350；(2)P X =估计为29100． 所以X 的分布列为 X 01 2 3P21100 112529100350所以EX 估计为012310025100505⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）132D D D ξξξ<<．（18）(本小题满分14分)解：（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是正方形，所以//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ,所以//AD 平面PBC又因为平面ADF 与PB 交于点E . AD ⊂平面ADFE ，平面PBC平面,ADFE EF =所以 //EF AD .（Ⅱ）选条件①②侧面PAD 为等腰直角三角形，且,2PAD π∠= 即2PA AD ==，PA AD ⊥ 平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，PA ⊂平面PAD ,则PA ⊥平面ABCD ，又ABCD 为正方形， 所以,,PA AB PA AD AB AD ⊥⊥⊥.以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 方向分别为x 轴,y 轴,z 轴正方向， 建立如图所示空间直角坐标系A xyz -， 则(0,0,0),(0,0,2),(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0)A P C B D 因为2AE E 为PB 的中点，则(1,0,1)E 从而：(2,2,2),(0,2,0),(1,0,1)PC AD AE −−→−−→−−→=-==，设平面ADFE 的法向量为：(,,)x y z =n ，则020AE x z AD y −−→−−→⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩n n ，令1x =，可得(1,0,1)=-n（方法2：因为PAB 为等腰三角形，则,,PB AE PB AD AE AD A ⊥⊥=PB ⊥平面ADFE ，则(2,0,2)PB −−→=-平面ADFE 的法向量）设平面PCD 的法向量为：(,,)a b c =n ，则2202220PD y z PC x y z −−→−−→⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=+-=⎩n n ， 令1y =，可得(0,1,1)=n 所以||1|cos ,|2||||PB PB PB −−→−−→−−→⋅<>==n n n 则两平面所成的锐二面角为3π z yFEPDABC选条件①③侧面PAD 为等腰直角三角形，且,2PAD π∠=即2,PA AD PA AD ==⊥ ,AD AB PA AB A ⊥=，可得AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，则AD PB ⊥.又因为,,PB FD ADFD D ⊥=则PB ⊥平面ADFE ,AE ⊂平面,ADFE 则PB AE ⊥因为PA AB =，所以PAB △为等腰三角形，所以点E 为PB 的中点 又因为2AE PAB △为等腰直角三角形， 下面同①② 选条件②③侧面PAD 为等腰直角三角形，且2PAD π∠=， 即2,PA AD PA AD ==⊥ 平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，PA ⊂平面PAD ,则PA ⊥平面,ABCD ABCD 为正方形， 所以,,PA AB PA AD AB AD ⊥⊥⊥. 又因为,,PB FD AD FD D ⊥=则PB ⊥平面ADFE ，AE ⊂平面,ADFE则PB AE ⊥因为PA AB =，所以PAB △为等腰三角形，所以点E 为PB 的中点. 下面同①②（19）(本小题满分15分)解：（Ⅰ）因为椭圆过点(03)，，故3b = 12c e a ==，222a b c =+，则2a =， 故椭圆的标准方程为：22143x y +=.（Ⅱ）当直线1l 斜率不存在 12:1,:1l x l y =-=分别代入椭圆方程得：332626(1,),(1,),((22M N S T ---所以：3135||1,||1,2222PM PN =-==+= 2626||1,||1,PS PT =-=+ 可得：||||3||||4PM PN PS PT =，当直线2l 斜率不存在时，同理可得，||||4||||3PM PN PS PT =当12,l l 斜率均存在且不为0时，设直线1l 斜率为k ，则直线2l 斜率为1k-设直线1l 的方程为：1(1)y k x -=+，1122(,),(,)M x y N x y 由221(1)143y k x x y -=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(34)(88)4880k x k k x k k +++++-= 212221220883448834k k x x k k k x x k ⎧⎪∆>⎪+⎪+=-⎨+⎪⎪+-⋅=⎪+⎩， 222111||(1)(1)11|PM x y k x =++-=++， 222222||(1)(1)11|PN x y k x =++-=++，同理可知：设直线2l 的方程为：11(1)y x k-=-+，3344(,),(,)S x y T x y342288883434k k x x k k --+=-=++， 234248834k k x x k --⋅=+， 2233321||(1)(1)1|1|PS x y k =++-++， 2244421||(1)(1)11|PT x y x k =++-++，则212212123434342(1)11|1|||||1|||||1|(1)11k x x x x x x PM PN k PS PT x x x x x x k ++++++==⋅++++++ 22222222537(43)34343444(,)434343534k k k k k k k k -++++=⋅==∈++-+ 综上所述：||||||||PM PN PS PT 的取值范围是34[,]43（20）(本小题满分15分)解：（Ⅰ）当1m =时，()e cos x f x x '=-,（ⅰ） (0)0f '=，又(0)0f =，所以切线l 方程为0y =． （ⅱ）()e 1sin x f x x =--解法一：()e cos x f x x '=-，因为π(0,)2x ∈，所以e 1x >，cos 1x ->-,所以e cos 0x x ->，所以()e cos 0x f x x '=-> 所以()f x 在π(0,)2单调递增，所以()(0)0f x f >=解法二：令()e 1x g x x =--，π(0,)2x ∈，则()e 10x g x '=->所以，函数()e 1x g x x =--在π(0,)2单调递增．所以()(0)0g x g >=，即e 10x x -->．令()sin h x x x =-，π(0,)2x ∈，则()1cos 0h x x '=->．所以，函数()sin h x x x =-在π(0,)2单调递增．所以()(0)0h x h >=，即sin 0x x ->． 所以()e 1sin 0x f x x =-->．（Ⅱ）()e 1sin x f x m x =--， ()e cos x f x m x '=-， 当1m ≤时，所以cos cos m x x --≥， ()e cos e cos x x f x m x x '=--≥，由（Ⅰ）知，()0f x '>， 所以()f x 在π[0,]2上单调递增．所以当1m ≤时，()e 1sin x f x m x =--没有极值点． 当1m >时，()e cos x f x m x '=-，因为e x y =与cos y m x =-在π[0,]2单调递增．所以()f x '在π[0,]2单调递增．所以(0)10f m '=-<，π2π()e 02f '=>．所以0π(0,)2x ∃∈使得0()0f x '=．所以当00x x <<时，()0f x '<，因此()f x 在区间0(0,)x 上单调递减． 当0π2x x <<时，()0f x '>，因此()f x 在区间0π(,)2x 上单调递增．故函数()f x 在π(0,)2上恰有一个极小值点，m 的取值范围是(1,+)∞.（21）(本小题满分15分)解：（Ⅰ）由条件①知，当2n ≥时，1n n a a -=-或14n n a a -=+. 因为20a <，由条件①知21a =-.所以τ数列的前四项为：1,1,1,1--；1,1,1,5-；1,1,3,3--；1,1,3,7-. （Ⅱ）若20a >，τ数列是等差数列.由条件①知，当2n ≥时，1n n a a -=-或14n n a a -=+. 因为20a >，所以25a =.假设τ数列中存在最小的正整数i （3i ≥），使得1i i a a -=-. 由条件①知，121,,,i a a a -单调递增，即均为正数，且125i a a -=≥.所以15i i a a -=--≤.由条件②知，则存在{1,2,,1}k i ∈-，使得14k i a a =+-≤.此时与121,,,i a a a -均为正数矛盾，所以不存在整数i （3i ≥），使得1i i a a -=-，即14n n a a -=+.所以τ数列为首项为1公差为4的等差数列. （Ⅲ）由2021m a =-及条件②，可得1-，5-，9-，…，2017-，2021-必为数列{}n a 中的项， 记该数列为{}n b ，有43(1506)n b n n =-+≤≤.不妨令j n b a =，由条件①，143j j a a n +=-=-或1447j j a a n +=+=-+， 均不为141n b n +=--；此时j 243a n +=-+或41n +或47n -或411n -+，均不为14 1.n b n +=-- 上述情况中，当143j a n +=-，241j a n +=+时，32141j j n a a n b +++=-=--=， 结合11a =，则有31.n n a b -=由5062021b =-，得350611517m =⨯-=即为所求．（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）。

广东省2023届高三综合能力测试（三）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ，B 是R 的子集，且()A B =∅R ，则下面选项中一定成立的是 （ ）A ．AB ⊆B ．A B B =C ．A B A =D ．A B =R2．若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且13i z =-，则12z z = （ ）A ．34i 55-- B ．34i 55-+ C ．43i 55-- D ．43i 55-+ 3．“李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具，后又作为计量粮食的工具．某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质．已知该四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为（ ） A．B ．32C．20+D．20+4．在ABC △中，2AB =，AC =，45A =︒，点M 满足3BM BC =，则AM 的长度为（ ）A．B．C．D．5．数学家也有一些“美丽的错误”，如法国数学家费马于1640提出了以下猜想：形如221()nn F n =+∈N 的数都是质数．1732年，瑞士数学家欧拉证明了5F 不是质数，请你利用所学知识，估算5F 是（ ）位数．(参考数据：lg 20.3010≈) A ．9B ．10C ．11D ．126．已知奇函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的图象关于直线3x π=对称，且在区间0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则ω的值是（ ）A ．23 B ．34C ．32D ．27．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，左焦点为F ，过F 作倾斜角为30︒的直线交椭圆E 于M 、N 两点，且MF FN λ=(其中1λ>)，则λ的值为（ ）A ．2B． C．D ．38．某地质勘探队为研究各地区的水是否存在某种矿物质，现从不同地区采集了100个样本．勘探队中的成员甲提议用如下方式进行检测，先将100个样本分为10组，每组再选取部分样本进行混合，对混合样本进行检测，如果不含该矿物质，则检测下一组，若含有该矿物质，则逐个检测；成员乙提议将100个样本分为5组或20组等等．假设每个样本含有该矿物质的概率0.01p =，且每个样本是否含有该矿物质相互独立．则下列选项中检测次数的期望值最小的是 （ ）(参考数据：50.990.951≈，100.990.904≈，200.990.818≈)A ．5个一组B ．10个一组C ．20个一组D ．逐个检验二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是 （ ） A ．若a b >，则lg lg a b > B ．若22a b >，则a b > C ．若a b >，c d >，则22ac bd >D ．若22ac bc >，则a b >10．如图，圆锥OP 的底面O 的半径2r =，母线l =，点A ，B 是O 上的两个动点，则（ ）A ．PAB △面积的最大值为2B ．PAB △周长的最大值为4+C ．当AB 的长度为2时，平面PAB 与底面所成角为定值D ．当AB 的长度为2时，AB 与母线l11．已知动圆Q 过点(0,1)，且与直线:1l y =-相切，记动圆Q 的圆心轨迹为Γ，过l 上一动点D 作曲线Γ的两条切线，切点分别为A 、B ，直线AB 与y 轴相交于点F ，下列说法正确的是（ ）A ．Γ的方程为24x y = B ．直线AB 过定点C ．AOB ∠为钝角(O 为坐标原点)D ．以AB 为直径的圆与直线1y =-相交12．已知函数21()e xf x ax a -=-+，1()ln g x x x=+，当[1,)x ∈+∞时，()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的可能取值为（ ）A ．12-B ．0C ．12D ．2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．某单位安排4名工作人员随机分到3个核酸采样点参加“核酸检测亮码”工作，且每个人只去一个采样点，每个采样点至少有一名工作人员，则安排方案的总数为 ． 14．写出一个同时满足下列条件①②的函数()f x = ．①()f x 的图象关于点(0,1)对称；②曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为41y x =-．15．若,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，sin (2cos )tan 2ααα=-，则tan α= ．16．如图，ABC △是面积为1的等腰直角三角形，记AB 的中点为1A ，以1CA 为直角边第一次构造等腰11Rt A B C △，记11A B 的中点为2A ，以2CA 为直角边第二次构造等腰22Rt A B C △，…，以此类推，当第n次构造的等腰Rt n n A B C △的直角边n CB 所构成的向量n CB 与CB同向时，构造停止，则构造出的所有等腰直角三角形的面积之和为 ．A12四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足221n n n a a S =-． （1）证明：数列2{}n S 是等差数列；（2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：10018T >．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为等腰直角三角形，且1122AC BC AA ===，点D ，E ，F 分别是线段1AA ，AC ，11B C 的中点． （1）求点1C 到平面DEF 的距离；（2）求平面DEF 与平面CDF 夹角的余弦值．1已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =．（1）若cos b C =sin 3c B =，求A ； （2）若4b =，求ABC △面积的最大值．神舟十四号，简称“神十四”，为中国载人航天工程发射的第十四艘飞船，已经于2022年6月5日上午10时44分07秒在酒泉卫星发射中心发射，3名航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲进驻核心舱并在轨驻留6个月．“神十四”的成功发射是我国载人航天上又一个重要的里程碑，实现了“神十四”与天宫一号的快速对接，创造了新的奇迹．为了宣传这一航天盛事，某高校组织了一场航天知识竞赛，共有1000名大学生参加，经统计发现他们的成绩(满分120)全部位于区间[50,110]内．现将成绩分成6组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)，[100,110]，得到如图所示的频率分布直方图，根据该直方图估计该1000名大学生成绩的平均分是77分．现规定前250名在10天后进行复赛．（1）求a ，b 的值(同一组数据用该组区间的中点值为代表)，并根据频率分布直方图估计进入复赛的分数线(结果保留整数)；（2）复赛共分为两个环节：A 和B ．经统计，通过初赛的学生在准备复赛的首日有23的学生准备项目A ，其余学生准备项目B ；在前一天准备项目A 的学生中，次日会有45的学生继续选择准备项目A ，其余选择准备项目B ；在前一天选择准备项目B 的学生中，次日会有23的学生继续选择准备项目B ，其余学生选择准备项目A ，用频率近似估计概率，记某学生在第n 天准备项目A 的概率为n P ，求10P ．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，左、右焦点分别为1F ，2F，且(0,M ，12MF F △是正三角形．（1）求C 的方程；（2）若直线l 与C 仅有一个公共点P ，且与C 的两条渐近线分别交于A ，B ，记AOP △的面积为1S ，BOP △的面积为2S (O 是坐标原点)，则1211S S +是否存在最小值?若存在，求出该最小值，若不存在，请说明理由．已知函数1()e sin x f x n x +=-+，,m n ∈R ． （1）若0n =，讨论()f x 的零点个数；（2）若函数()f x 有零点，证明：223e m n +>．。

一、单选题1. 的值是（ ）A．B．C．D．2. 已知i是虚数单位，复数，则z 的共轭复数为（ ）A．B．C．D．3. 如图,各棱长均为的正三棱柱，、分别为线段、上的动点,且平面,则这样的有A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条4. 坐标原点O 到直线l：的距离是（ ）A．B ．2C．D．5. 如图直线l 以及三个不同的点A ，，O ，其中，设，，直线l的一个方向向量的单位向量是，下列关于向量运算的方程甲：，乙：，其中是否可以作为A ，关于直线l 对称的充要条件的方程（组），下列说法正确的是（）A ．甲乙都可以B ．甲可以，乙不可以C ．甲不可以，乙可以D ．甲乙都不可以6. 核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA 的数量X 与扩增次数n 满足，其中为DNA 的初始数量，p 为扩增效率．已知某被测标本DNA 扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p 约为（）（参考数据：，）A ．22.2%B ．43.8%C ．56.02%D ．77.8%7. 已知某简谐振动的振动方程是，该方程的部分图象如图．经测量，振幅为．图中的最高点D 与最低点E ，F 为等腰三角形的顶点，则振动的频率是（）A ．0.125HzB ．0.25HzC ．0.4HzD ．0.5Hz8. 设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（ ）河南省安阳市2023届高三三模拟理科数学试题二、多选题A．B．C．D．9. 已知，则下列结论一定不正确的是（ ）A．B．C．D．10. 若，则（ ）A ．0B．C ．1D ．12911.，若，则（ ）A．B．C．D．12. 已知函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．13. 高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为A．B．C．D．14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴，短轴，动点满足，若面积的最大值为，面积的最小值为，则该椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．15. 直线过函数图象的对称中心，则的最小值为（ ）A ．9B ．4C ．8D ．1016. 下列函数中，既是偶函数又区间上单调递增的是A．B．C．D．17. 已知l ，m 为直线，为平面，下列结论正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则18. 已知圆C：的圆心坐标为，则（ ）A ．，B ．圆C 的半径为2C ．圆C 上的点到直线距离的最小值为D ．圆C 上的点到直线距离的最小值为19. （多选）甲罐中有个红球、个白球和个黑球，乙罐中有个红球、个白球和个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以事件、、表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出一个球，以事件表示由乙罐取出的球是红球，下列结论正确的是（ ）A ．事件与事件不相互独立B．、、是两两互斥的事件C．D．三、填空题20.如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点，过点，，的平面记为，则下列说法中正确的有（）A ．平面截直四棱柱所得截面的形状为四边形B ．平面截直四棱柱所得被面的面积为C ．平面将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47:25D ．点到平面的距离与点到平面的距离之比为1:221. 直三棱柱中，为棱上的动点，为中点，则（ ）A．B．三棱锥的体积为定值C ．四面体的外接球表面积为D ．点的轨迹长度为22. 在平面直角坐标系中，已知，，，光线从A 点发出经线段BC 反射与圆相交，则相交弦长度可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．423.已知数列的前项和为，，下列结论正确的是（ ）A．B ．为等差数列C．D．24.已知函数，则（ ）A ．在单调递减，则B ．若，则函数存在2个极值点C ．若，则有三个零点D ．若在恒成立，则25. 我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行，且都是矩形的六面体（如图），现从某城楼中抽象出一几何体ABCD －EFGH ，其中ABCD 是边长为4的正方形，EFGH 为矩形，上、下底面与左、右两侧面均垂直，，，，且平面ABCD 与平面EFGH 的距离为4，则异面直线BG 与CH 所成角的余弦值为______．26. 函数在的零点个数为________．四、解答题五、解答题27. 的展开式中的系数为______（用数字表示）.28. 在的展开式中，的系数为-10，则实数___________.29.已知函数，将的图象上所有的点向左平行移动个单位长度.所得图象关于y 轴对称，则___________.30. 2022年中央一号文件公布，提出全面推进乡镇村振兴中点工作，而实施乡村振兴战略关键在教育．某乡村建有农业科技图书馆供村民免费借阅，现有近5年的借阅数据如下表：年份20172018201920202021年份代码x 12345年借阅量y （万册）4.85.25.45.75.9根据上表所得y 关于x 的线性回归方程为：，则预计2022年借阅量大约为______万册（精确到小数点后两位）．31.抛物线的准线方程为_______.32.写出一个同时具有下列性质①②的函数___________.①；②.33. 化简：．34. （1）求值：；（2）已知，求的值.35. 已知函数.(1)若，判断在上的单调性，并说明理由；(2)当，探究在上的极值点个数.36.已知函数.(1)若的图象经过点，，且点恰好是的图象中距离点最近的最高点，试求的解析式；(2)若，且在上单调，在上恰有两个零点，求的取值范围.37.已知（1）求的值；（2）若是第三象限的角，化简三角式，并求值.38.在中，，，．(1)求A 的大小；(2)求外接圆的半径与内切圆的半径．39. 已知A､B两所大学联合开展大学生青年志愿者培训活动，并在培训结束后统一进行了一次考核，考核成绩在的为合格等级，成绩在的为优秀等级.为了解本次培训活动的效果，A､B两所大学从参加活动的学生中各随机抽取了10名学生的考核成绩，并作出茎叶图如下图所示.考核成绩考核等级合格优秀(1)分别计算A､B两所大学被抽取的学生考核成绩的平均值；(2)由茎叶图直接判断A､B两所大学参加活动的学生考核成绩的稳定性；（不需写过程）(3)现从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，求2人来自同一所大学的概率.40. 如图，在四棱锥中，平面，底面ABCD满足，且，三角形的面积为(1)画出平面PAB和平面PCD的交线，并说明理由，(2)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.41. 某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会为了了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中抽取了名学生的成绩作为样本，将所得数经过分析整理后画出了评论分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污染，请据此解答下列问题：(1)求频率分布直方图中的值；(2)规定大赛成绩在的学生为厨霸，在的学生为厨神，现从被称为厨霸、厨神的学生中随机抽取2人取参加校际之间举办的厨艺大赛，求所取2人中至少有1人是厨神的概率．42. 已知函数．六、解答题（1）画出和的图像；（2）若，求a 的取值范围．43. 如图为一块直四棱柱木料，其底面满足：，．(1)要经过平面内的一点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明）(2)若，，当点是矩形的中心时，求点到平面的距离．44. 九章算术商功“斜解立方，得两堑堵斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易之率也合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑．(1)在下左图中画出阳马和鳖臑不写过程，并用字母表示出来，求阳马和鳖臑的体积比；(2)若，，在右图中，求三棱锥的高．45. 如图，在四棱锥中，，，侧面底面，底面为矩形，为上的动点（与两点不重合）．(1)判断平面与平面是否互相垂直？如果垂直，请证明：如果不垂直，请说明理由；(2)若，试求二面角的余弦值的绝对值的取值范围．46. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是所在棱的中点．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求三棱锥的体积．47. 如图，在三棱锥中，是正三角形，是的重心，，，分别是，，的中点，点在上，且．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值．48. 如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，点D，E分别为母线PB，PC的中点.(1)求证：平面ABC；(2)若，，求圆锥PO的体积.49. 已知数列各项都是正数，，对任意都有．数列满足，．（1）求证：是等比数列，是等差数列；（2）设，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围．50. 如图，在长方体中，，，点在线段上.七、解答题(1)求证：；(2)当是的中点时，求直线与平面所成角的大小；(3)若平面与平面所成角的余弦值为，求线段的长.51. 防疫抗疫，人人有责．随着奥密克戎的全球肆虐，防疫形势越来越严峻，防疫物资需求量急增．下表是某口罩厂今年的月份x 与订单y （单位：万元）的几组对应数据：月份x 12345订单y(1)求y 关于x 的经验回归方程，并估计该厂6月份的订单金额；(2)已知甲从该口罩厂随机购买了4箱口罩，该口罩厂质检过程中发现该批口罩的合格率为，不合格产品需要更换．用X 表示甲需要更换口罩的箱数，求随机变量X 的分布列和数学期望．参考数据：；参考公式：回归直线的方程是，其中，52. 甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为(1)求甲获第一名且丙获第二名的概率：(2)设在该次比赛中，甲得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．53. 某地级市共有200000中小学生，其中有7%学生在2017年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为5:3:2，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000元、1500元、2000元．经济学家调查发现，当地人均可支配年收入较上一年每增加，一般困难的学生中有会脱贫，脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生中有转为一般困难，特别困难的学生中有转为很困难．现统计了该地级市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份取13时代表2013年，与（万元）近似满足关系式，其中为常数．（2013年至2019年该市中学生人数大致保持不变）其中，（Ⅰ）估计该市2018年人均可支配年收入；（Ⅱ）求该市2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少？附：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为八、解答题54. 某知识问答活动中，题库系统有60%的题目属于类型问题，40%的题目属于类型问题（假设题库中的题目总数非常大），现需要抽取3道题目作为比赛用题，有两种抽取方法：方法一是直接从题库中随机抽取3道题目，方法二是先在题库中按照分层抽样的方法抽取10道题目作为样本，再从这10个题目中任意抽取3道题目.（1）两种方法抽取的3道题目中，恰好有1道类型问题和2道型问题的概率是否相同？若相同，说明理由即可，若不同，分别计算出两种抽取方法的概率是多少.（2）已知抽取的3道题目恰好有1道类型问题和2道型问题，现以抢答题的形式由甲乙两人进行比赛，采取三局两胜制，甲擅长类型问题，乙擅长类型问题，根据以往的比赛数据表明，若出类型问题，甲胜过乙的概率为，若出类型问题，乙胜过甲的概率为，设甲胜过乙的题目数为，求的分布列和数学期望，并指出甲胜过乙的概率.55. 某足球俱乐部对“一线队引援”和“青训”投入分别规划如下：2018年，该俱乐部在“一线队引援”投入资金为16000万元，“青训”投入资金为1000万元.计划每年“一线队引援”投入比上一年减少一半，“青训”投入比上一年增加一倍.（1）请问哪一年该俱乐部“一线队引援”和“青训”投入总和最少?（2）从2018年起（包括2018年）该俱乐部从哪一年开始“一线队引援”和“青训”总投入之和不低于62000万元?（总投入是指各年投入之和）56. 当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近5年区块链企业总数量相关数据，如下表年份20172018201920202021编号x12345企业总数量y （单位：千个） 2.1563.7278.30524.27936.224(1)根据表中数据判断，与（其中…为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由），并根据你的判断结果求y 关于x 的回归方程；(2)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．参考数据：，，，（其中）．附：样本的最小二乘法估计公式为，．57. 在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，，的外接圆半径为．(1)求角A ；(2)求周长的最大值．58. 椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，为椭圆上任意一点，不在轴上，的面积的最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆相交于M ，N 两点，设点，求证：直线，的斜率之和为定值，并求出定值.59.已知函数的最小值正周期是．（1）求的值；（2）求函数的最大值，并且求使取得最大值的x的集合．60. 已知椭圆的左，右焦点分别为、，上下顶点分别为M、N，点的坐标为，在下列两个条件中任选一个：①离心率；②四边形的面积为4，解答下列各题.(1)求椭圆的方程；(2)设直线交椭圆于A、B两点，判断点与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.61. 已知函数定义域为R，对于任意R恒有.（1）若，求的值；（2）若时，，求函数，的解析式及值域；（3）若时，，求在区间，上的最大值与最小值.62. 如图，直三棱柱中，，，D，E分别是BC，的中点．（1）证明：平面ADE；（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值.。

一、选择题1．已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008a 和1009a 是方程2201720180x x --=的两根，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）A ．1008B ．1009C ．2016D ．20172．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则 A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形 3．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b4．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．1024B ．2048C ．1023D ．20475．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-6．设函数f (x )是定义在(0,+∞)上的单调函数，且对于任意正数x,y 有f (xy )=f (x )+f (y )，已知f (12)=−1，若一个各项均为正数的数列{a n }满足f (S n )=f (a n )+f (a n +1)−1(n ∈N ∗)，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，则数列{a n }中第18项a 18=（ ） A ．136B ．9C ．18D ．367．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2744n n +B ．2533n n+C ．2324n n+D ．2n n +8．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( )A ．256B ．25C ．253D ．59．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．210．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<11．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++12．已知0,0x y >>，且91x y +=，则11x y+的最小值是A ．10B ．12?C ．14D ．1613．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1abc<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --<D ．log log c b a a <14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，a=4b =，则B =（ ） A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒ C ．30B =︒D ．60B =︒15．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+（ ）A ．49B ．378C ．7914D ．14924二、填空题16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且对于任意1n >，*n N ∈，满足11n n S S +-+=2(1)n S +，则10S 的值为__________17．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n n N *=++∈，,求n a =.__________．19．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C ____．20．已知实数x y ，满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的最大值是____．21．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a =____. 22．设2ab +=，0b >，则当a =_____时，1||2||a a b+取得最小值. 23．点D 在ABC 的边AC 上，且3CD AD =，2BD =，3sin23ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为______.24．若已知数列的前四项是2112+、2124+、2136+、2148+，则数列前n 项和为______.25．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______. 三、解答题26．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos (tan tan 1)1A C A C -=．（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）若33a c +=，3b =,求的面积．27．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1．（1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．28．设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）ab+bc+ac ≤13； （Ⅱ）2221a b c b c a++≥.29．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，14cos a C a+=，1b =. （1）若90A ∠=︒，求ABC 的面积； （2）若ABC 3a ，c . 30．已知向量()1sin 2A =，m 与()3sin 3A A =，n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；（2）若BC=2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．D3．C4．C5．D6．C7．A8．A9．D10．B11．A12．D13．D14．C15．D二、填空题16．91【解析】【分析】由Sn+1+Sn﹣1＝2（Sn+1）可得Sn+1﹣Sn＝Sn﹣Sn﹣1+2可得an+1﹣an＝2利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】∵对于任意n＞1n∈N*满足Sn+17．5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域利用数形结合即可得到z的最大值【详解】作出实数xy满足对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z平移直线y＝﹣2x+z由图象可知当直线y＝﹣2x+18．【解析】分析：根据可以求出通项公式；判断与是否相等从而确定的表达式详解：根据递推公式可得由通项公式与求和公式的关系可得代入化简得经检验当时所以所以点睛：本题考查了利用递推公式求通项公式的方法关键是最19．【解析】在△中且故故答案为：点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数属于简单题对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）同时还要熟练掌握运用两种形式的条件另外在解与三角20．7【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域得到△ABC及其内部其中A（53）B（﹣13）C（20）然后利用直线平移法可得当x=5y=3时z=2x﹣y有最大值并且可以得到这个最大值详解：根据约束条件画21．【解析】【分析】设等比数列的公比为由数列为等比数列得出求出的值即可得出的值【详解】设等比数列的公比为由于数列为等比数列整理得即化简得解得因此故答案为：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时也考查了22．【解析】【分析】利用代入所求式子得再对分并结合基本不等式求最小值【详解】因为所以又因为所以因此当时的最小值是；当时的最小值是故的最小值为此时即故答案为：【点睛】本题考查基本不等式求最值考查转化与化归23．【解析】【分析】根据条件可得利用余弦定理即可得到的关系再利用基本不等式即可得解【详解】设三角形的边为由由余弦定理得所以①又所以化简得②①②相除化简得故当且仅当成立所以所以的最大值为故答案为：【点睛】24．【解析】【分析】观察得到再利用裂项相消法计算前项和得到答案【详解】观察知故数列的前项和故答案为：【点睛】本题考查了数列的通项公式裂项相消求和意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用25．【解析】【分析】根据等差数列的前项和转化为关于和的数量关系来求解【详解】等差数列的前项和为则有解得故答案为【点睛】本题考查了等差数列前项和的公式运用在解答此类题目时可以将其转换为关于和的数量关系来求三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】依题意知100810091008100920170,20180a a a a +=>=-<，数列的首项为正数，()()1201610081009100810092016201620160,0,022a a a a a a S +⨯+⨯∴>∴==，()12017201710092017201702a a S a+⨯==⨯<，∴使0n S >成立的正整数n 的最大值是2016，故选C.2．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.3．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C4．C解析：C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+，所以12nn n a a +-=，因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-，选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.5．D解析：D 【解析】 【分析】 把已知2214S S S 用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S ，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．6．C解析：C 【解析】∵f （S n ）=f （a n ）+f （a n +1）-1=f[12a n （a n +1）]∵函数f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a n }各项为正数∴S n =12a n （a n +1）①当n=1时，可得a 1=1；当n≥2时，S n-1=12a n-1（a n-1+1）②，①-②可得a n =12a n （a n +1）-12a n-1（a n-1+1）∴（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0∵a n ＞0，∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列，a 1=1，d=1；∴a n =1+（n-1）×1=n 即a n =n 所以a 18=18 故选C7．A解析：A 【解析】【分析】 【详解】 设公差为d 则解得，故选A.8．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。

课时规范训练[A 级 基础演练]1．已知α是其次象限角，sin α＝513，则cos α＝( ) A ．－1213 B ．－513 C.513D ．1213解析：选A.由于α为其次象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1213.2．已知sin(θ＋π)<0，cos (θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．sin θ<0，cos θ>0 B ．sin θ>0，cos θ<0 C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0解析：选B.∵sin (θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0. ∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0，cos θ<0. 3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( )A ．－25 B ．－15 C.15D ．25解析：选C.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，故cos α＝15. 4．(2021·成都外国语学校月考)已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A.45 B ．－45 C.35D ．－35解析：选B.tan(α－π)＝34⇒tan α＝34. 又由于α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45.5．已知f (α)＝sin （π－α）cos （2π－α）cos （－π－α）tan α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3的值为( )A.12 B ．－13 C ．－12D ．13 解析：选C.∵f (α)＝sin α·cos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3 ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝－cos π3＝－12.6．若tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α的值为( )A.53 B ．－134 C.135D ．134解析：选D.由于tan α＝2， 所以2sin 2α＋1sin 2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝3×22＋12×2＝134.故选D. 7．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝ ．解析：由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)， 故sin θcos θ＝310，∴sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310.答案：3108．若cos (π－α)＝－13，则cos （2π－α）·sin （π＋α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan （3π－α）的值为 ．解析：由cos (π－α)＝－13，得cos α＝13. 则cos （2π－α）·sin （π＋α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan （3π－α）＝cos α·（－sin α）cos α·（－tan α）＝cos α＝13. 答案：139．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α）的值．解：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.10．若f (cos x )＝cos 2x ，求f (sin 15°)的值．解：f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－32. [B 级 力量突破]1．若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( ) A ．第一象限 B ．其次象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.∵△ABC 是锐角三角形，则A ＋B >π2， ∴A >π2－B >0，B >π2－A >0， ∴sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，sin B >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝cos A ，∴cos B －sin A <0，sin B －cos A >0， ∴点P 在其次象限，选B.2．已知函数f (x )＝αsin (πx ＋α)＋b cos (πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 016)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．－3解析：选C.∵f (4)＝a sin (4π＋α)＋b cos (4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 016)＝a sin (2 016π＋α)＋b cos (2 016π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3， 即f (2022)＝3.3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝14，则sin 2x 的值为( )A.1516 B ．916 C.78D ．±1516解析：选C.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin π4cos x －cos π4sin x ＝22cos x －22sin x ＝14，∴cos x －sin x ＝1422＝24，两边平方得cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x ＝1－sin 2x ＝18，∴sin 2x ＝78.4．(2021·新疆阿勒泰一模)已知α为其次象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝ ．解析：原式＝cos α sin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin α·sin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α·1|sin α|，由于α是其次象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cos α|＋sin α·1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.答案：05．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根，求cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ的值． 解：由已知原方程的判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0， ∴a ≥4或a ≤0.又⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a sin θcos θ＝a ，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 则a 2－2a －1＝0，从而a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)， 因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2. ∴cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin 3θ＋cos 3θ ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.6．已知sin (3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α.(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)由已知得tan α＝sin αcos α＝2，∴sin 2α＋sin 2α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan α1＋tan 2α＝22＋2×21＋22＝85.。

课时规范训练[A 级 基础演练]1．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b解析：选C.∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .2．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析：选B.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． 3．(2022·高考山东卷)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.32πD ．2π解析：选B.法一：由题意得f (x )＝3sin x cos x －3sin 2x ＋3cos 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 .故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.法二：由题意得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6×2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.4．(2022·高考全国甲卷)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )解析：选B.法一：将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )得，∴x ＝π6＋k 2π.(k ∈Z )，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． 法二：∵y ＝2sin 2x 的对称轴为x ＝π4＋k 2π，向左平移π12个单位后为x ＝π4－π12＋k 2π＝π6＋k2π，故选B.5．(2021·长春模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋ф)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为 ． 解析：函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2向左平移π6个单位后得到函数为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，由于此时函数为奇函数，所以π3＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋k π(k ∈Z )．由于|φ|<π2，所以当k ＝0时，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，即当2x －π3＝－π3时，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3有最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32. 答案：－326．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝ ．解析：由已知条件可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，又由0≤x <2π得－π3≤x －π3<5π3，当x －π3＝π2时y 取得最大值，此时x ＝5π6.答案：5π67．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 ．解析：分析三角函数图象，依据最小值求k ，再求最大值．依据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.答案：88．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为 ．解析：利用正弦函数的对称性求周期． ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3. ∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.答案：π9．(2022·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)由于f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－38π，k π＋π8k ∈Z .10．已知函数y ＝f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x ＋a (x ∈R )，其中a 为常数． (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期；(2)假如y ＝f (x )的最小值为0，求a 的值，并求此时f (x )的最大值及图象的对称轴方程． 解：(1)y ＝f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1，所以函数的最小正周期T ＝π.(2)f (x )的最小值为0，所以－2＋a ＋1＝0，故a ＝1，所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2的最大值等于4.当2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π2＋π6(k ∈Z )时函数有最大值或最小值， 故函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． [B 级 力量突破]1．同时具有性质：“①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上是增函数”的一个函数是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3解析：选C.对于A ，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的最小正周期为4π，故排解A ；对于B ，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的最小正周期为4π，故排解B ；对于D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3时，2x ＋π3∈(0，π)，此时y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3单调递减，故排解D.选C.2．函数f (x )＝|sin x |＋2|cos x |的值域为( ) A ．[1， 5 ] B ．[1，2] C ．[2， 5 ]D ．[5，3]解析：选A.∵f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＋2|cos(x ＋π)|＝|－sin x |＋2|－cos x |＝|sin x |＋2|cos x |， ∴f (x )为偶函数，f (x )为周期函数，其中的一个周期为π，故只需考虑f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域即可．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ＋2cos x ＝5sin(x ＋α)，其中cos α＝15，sin α＝25，∴f (x )max＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝5，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时， f (x )＝sin x －2cos x ＝5sin(x ＋β)，其中cos β＝15， sin β＝－25，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝5，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，∴f (x )的值域为[1， 5 ]．3．(2021·江西南昌一模)如图，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )分别是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与两条直线l 1：y ＝m (A ≥m ≥0)，l 2：y ＝－m 的两个交点，记S (m )＝|x N －x M |，则S (m )的图象大致是( )解析：选C.如图所示，作曲线y ＝f (x )的对称轴x ＝x 1，x ＝x 2，点M 与点D 关于直线x ＝x 1对称，点N 与点C 关于直线x ＝x 2对称，所以x M ＋x D ＝2x 1，x C ＋x N ＝2x 2，所以x D ＝2x 1－x M ，x C ＝2x 2－x N ，又点M 与点C 、点D 与点N 都关于点B 对称，所以x M ＋x C ＝2x B ，x D ＋x N ＝2x B ，所以x M ＋2x 2－x N ＝2x B ，2x 1－x M ＋x N ＝2x B ， 得x M －x N ＝2(x B －x 2)＝－T2， x N －x M ＝2(x B －x 1)＝T2，所以|x M －x N |＝T2(常数)，其中，T 为f (x )的周期，选C.4．设函数f (x )＝|cos x |＋|sin x |，下列四个结论正确的是 ．①f (x )是奇函数；②f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称；③当x ∈[0，2π]时，f (x )∈[1，2]；④当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )单调递增．解析：对于①，f (－x )＝|cos(－x )|＋|sin(－x )|＝|cos x |＋|sin x |，∴f (－x )＝f (x )是偶函数，①不正确；对于②，留意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，因此函数f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，②正确；对于③④，留意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，因此函数f (x )是以π2为周期的函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝|sin x |＋|cos x |＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的值域是[1，2]，故当x ∈[0，2π]时，f (x )∈[1，2]，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2>1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上不是增函数，故③正确，④不正确．综上所述，其中正确的结论是②③.答案：②③5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2(ω>0)，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间．解：(1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －4×1－cos 2ωx 2＋2＝32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3(ω>0)，依据函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，可得函数f (x )的最小正周期为2×π2＝2π2ω，得ω＝1，故函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋m ）＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2m ＋π3的图象， 依据g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，可得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －π3＝0，所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )，由于m >0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6. 此时，g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z .结合x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12，可得g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，7π12.。