导学案015导数应用(一)

导数在函数中的应用一、总体要求【学习目标】1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。

3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

【重点难点】1、利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的极值；利用导数求函数的最值；2、利用导数证明函数的单调性；数在实际中的应用；3、导数与函数、不等式、方程等知识相融合的问题；二、考点梳理知识点一 函数的导数与单调性的关系函数y ＝)(x f 在某个区间内可导, (1)若)(x f '＞0，则()x f 在这个区间内_____________;(2)若)(x f '＜0，则()x f 在这个区间内_____________;(3)若0)(='x f ，则()x f 在这个区间内_____________;知识点 二 函数的极值与导数(1)函数的极小值与极小值点:若函数y ＝f (x )在点x ＝a 处的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值____，且f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧________，右侧________，则点a 叫做函数的极小值点，f (a )叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点:若函数y ＝f (x )在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值____，且f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧________，右侧________，则点b 叫做函数的极大值点，f (b )叫做函数的极大值，______和______统称为极值．3．函数的最值与导数：(1) 设y ＝)(x f 是定义在区间[a ,b ]上的连续函数，y ＝)(x f 在(a ,b )内有导数，则函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上 有最大值与最小值.(2) 求最值可分两步进行：① 求y ＝)(x f 在(a ,b )内的 值； ② 将y ＝)(x f 的各 值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3) 若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递增，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 ；若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递减，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 .三.考点应用 典例解析考点一 利用导数研究函数的单调性例1．(2012辽宁高考)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )．A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)归纳总结----求单调区间的一般步骤:容易忽视的问题:________________________________________________________ 例2.已知函数()R b a b ax x x f ∈++-=,)(23，若函数()x f 在区间[]2,0上单调递增。

专题15 导数的综合应用1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．2.会利用导数解决某些实际问题．1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答． 2．不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数X 围问题转化为研究新函数的值域问题．3．方程解的个数问题构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值和特殊点的函数值，根据函数性质结合草图推断方程解的个数．高频考点一 用导数解决与不等式有关的问题 例1、已知函数f (x )＝ax ＋bx 2＋1在点(－1，f (－1))处的切线方程为x ＋y ＋3＝0. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设g (x )＝ln x ，求证：g (x )≥f (x )在[1，＋∞)上恒成立； (3)若0<a <b ，求证：ln b －ln a b －a >2aa 2＋b 2.(1)解 将x ＝－1代入切线方程得y ＝－2，所以f (－1)＝b －a1＋1＝－2，化简得b －a ＝－4.①（x ＋1）f ′(－1)＝2a ＋2（b －a ）4＝－1.②联立①②，解得a ＝2，b ＝－2.所以f (x )＝2x －2x 2＋1.(3)证明 因为0<a <b ，所以b a>1，由(2)知ln b a >2·ba －2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋1，整理得ln b －ln a b －a >2aa 2＋b 2，所以当0<a <b 时，ln b －ln a b －a >2aa 2＋b2.【方法规律】证明不等式通常需要构造函数，利用函数的最值、单调性证明.(1)证明不等式f (x )<g (x )，可构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，利用导数求F (x )的值域，得到F (x )<0即可；(2)对于证明含有两个变量a ，b 的不等式时，一种方法是通过变形构造成不等式f (a )>f (b )，然后利用函数f (x )的单调性证明，另一种方法是通过换元构造成单变量不等式，如本例令x ＝ba然后再利用已知关系证明即可.【变式探究】 (2016·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x<x ；(3)设c >1，证明当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x >c x. (1)解 依题意，f (x )的定义域为(0，＋∞).x∴当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增. 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.(2)证明 由(1)知f (x )在x ＝1处取得最大值，且最大值f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x <x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，ln 1x <1x－1，因此1<x －1ln x<x .(3)证明 由题设c >1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x， 则g ′(x )＝c －1－c xln c .令g ′(x )＝0，解得x 0＝ln c －1ln cln c.当x <x 0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x >x 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减.由(2)知1<c －1ln c<c ，故0<x 0<1.又g (0)＝g (1)＝0，故当0<x <1时，g (x )>0. 所以当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x >c x. 高频考点二、不等式恒成立问题求参数的X 围 例2、已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，x ∈[1，e]. (1)若a ＝1，求f (x )的最大值；(2)若f (x )≤0恒成立，某某数a 的取值X 围. 解 (1)若a ＝1，则f (x )＝x ＋ln x ， f ′(x )＝1＋1x ＝x ＋1x .∵x ∈[1，e]，∴f ′(x )>0，∴f (x )在[1，e]上为增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝e ＋1.(2)法一 ∵f (x )≤0即ax ＋ln x ≤0对x ∈[1，e]恒成立， ∴a ≤－ln xx，x ∈[1，e].令g (x )＝－ln x x，x ∈[1，e]，则g ′(x )＝ln x －1x2， ∵x ∈[1，e]，∴g ′(x )≤0， ∴g (x )在[1，e]上递减， ∴g (x )min ＝g (e)＝－1e ，∴a ≤－1e.法二 要使x ∈[1，e]，f (x )≤0恒成立，只需x ∈[1，e]时，f (x )max ≤0，显然当a ≥0时，f (x )＝ax ＋ln x 在[1，e]上递增，∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1>0，不合题意； 当a <0时，f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x，令f ′(x )＝0，x ＝－1a，当x <－1a 时，f ′(x )>0；当x >－1a时，f ′(x )<0.①当－1a≤1时，即a ≤－1时，f (x )在[1，e]上为减函数，∴f (x )max ＝f (1)＝a <0，∴a ≤－1；②当－1a ≥e 时，即－1e ≤a <0时，f (x )在[1，e]上为增函数，∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≤0，a ≤－1e ，∴a ＝－1e ；③当1<－1a <e 时，即－1<a <－1e时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，－1a 上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a ，e 上递减，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，∵1<－1a<e ，∴0<ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a <1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a <0成立.由①②③可得a ≤－1e.【方法规律】由不等式恒(能)成立求参数的X 围常有两种方法：(1)讨论最值：先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值X 围；(2)分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值X 围.【变式探究】已知a 为实数，函数f (x )＝a ln x ＋x 2－4x .(1)是否存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取得极值？证明你的结论；(2)设g (x )＝(a －2)x ，若∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，使得f (x 0)≤g (x 0)成立，某某数a 的取值X 围. 解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋2x －4＝2x 2－4x ＋ax.假设存在实数a ，使f (x )在x ＝1处取得极值，则f ′(1)＝0，∴a ＝2，此时，f ′(x )＝2（x －1）2x，当x >0时，f ′(x )≥0恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴x ＝1不是f (x )的极值点.故不存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取得极值. (2)由f (x 0)≤g (x 0)，得(x 0－ln x 0)a ≥x 20－2x 0， 记F (x )＝x －ln x (x >0)， ∴F ′(x )＝x －1x(x >0)， ∴当0<x <1时，F ′(x )<0，F (x )单调递减； 当x >1时，F ′(x )>0，F (x )单调递增. ∴F (x )>F (1)＝1>0，∴a ≥x 20－2x 0x 0－ln x 0，记G (x )＝x 2－2x x －ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ， ∴G ′(x )＝（2x －2）（x －ln x ）－（x －2）（x －1）（x －ln x ）2＝（x －1）（x －2ln x ＋2）（x －ln x ）2. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ， ∴2－2ln x ＝2(1－ln x )≥0， ∴x －2ln x ＋2>0，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1时，G ′(x )<0，G (x )单调递减； x ∈(1，e)时，G ′(x )>0，G (x )单调递增，∴G (x )min ＝G (1)＝－1. ∴a ≥G (x )min ＝－1.故实数a 的取值X 围为[－1，＋∞). 高频考点三、利用导数解决函数零点问题例3、设函数f (x)＝x 22－k ln x ，k >0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点.(1)解 由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)，得x ＞0且f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx .由f ′(x )＝0，解得x ＝k (负值舍去).f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：x (0，k ) k(k ，＋∞) f ′(x )－＋ f (x)k （1－ln k ）2所以，f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞).f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k （1－ln k ）2.【方法技巧】函数零点问题通常可作以下适当转化来处理.函数y ＝f (x )的零点⇔方程f (x )＝0的根⇔若f (x )＝g (x )－h (x )，则f (x )的零点就是函数y ＝g (x )与y ＝h (x )图象交点的横坐标.【变式探究】设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值X 围.解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ， 所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c . (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4. 令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0， 解得x ＝－2或x ＝－23.当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：c所以，当c >0且c －27<0，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－3，x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，0，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点.高频考点四、利用导数解决生活中的优化问题例4、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3,4) 4 (4,6) f ′(x)＋ 0 － f (x )单调递增极大值42单调递减由上表可得，所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．【感悟提升】在某某际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数某某际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点．【变式探究】某品牌电动汽车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．答案 40解析 由y ′＝x 2－39x －40＝0， 得x ＝－1或x ＝40， 由于0<x <40时，y ′<0；x >40时，y ′>0.所以当x ＝40时，y 有最小值．1.【2016高考某某卷】（本小题满分16分）已知函数()(0,0,1,1)xxf x a b a b a b =+>>≠≠. 设12,2a b ==.（1）求方程()2f x=的根;（2）若对任意x R∈,不等式(2)f()6f x m x≥-恒成立，某某数m的最大值；（3）若01,1a b<<＞，函数()()2g x f x=-有且只有1个零点，求ab的值。

高中数学《利用导数判断函数单调性》导学案例1：（2015•陕西）设f （x ）=x ﹣sinx ，则f （x ）（ ）A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数 解：由于()0cos 1≥-='x x f ，故()x f 为增函数，又()()()()0sin sin =---+-=-+x x x x x f x f ，则()x f 为奇函数，且()00=f ，A 、C 、D 均错，选B 。

例2：已知函数f （x ）=，若a =f （ln3），b =f （ln4），c=f （ln5），则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a解：()x x x x ex e xe e x f -=-='12，故当()x f x ,1<为增函数，当()x f x ,1>为减函数，又，13ln 4ln 5ln >>>，故()()()5ln 4ln 3ln f f f >>，选A 。

1.下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ）A ．y=sin 2xB ．y=xe xC ．y=x 3﹣xD ．y=ln （1+x ）﹣x2.32()31f x x x =-+是减函数的区间为( )A ．(2,)+∞ Ｂ．(,2)-∞ Ｃ．(,0)-∞ Ｄ．(0,2)3.函数214y x x=+的单调增区间为（ ） A ． (0)+∞， B ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．(1)-∞-， D ．12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， 4.下列函数中，在区间(1)+∞，上为增函数的是（ ） A ． 21x y =-+ B ．1x y x =- C ．2(1)y x =-- D ．12log (1)y x =- 5.函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是 ．6.三次函数3()1y f x ax ==-在()-∞+∞，内是减函数，则（ ） A ． 1a = B ．2a = C ．0a ≤ D ．0a <7.函数2()(1)f x x x =-的单调递减区间是________．8.函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ）A ． π3π22⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．(π2π)，C ．3π5π22⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．(2π3π)， 9.若y ax =与b y x=-在()0+∞，上都是减函数，对函数3y ax bx =+的单调性描述正确的是 A ．在()-∞+∞，上是增函数 B ．在()0+∞，上是增函数 C ．在()-∞+∞，上是减函数 D ．在()0-∞，上是增函数，在()0+∞，上是减函数 10.函数()()()321483f x ax a x b x b =+-+-+的图象关于原点中心对称，则()f x （ ）A ．在343⎡⎤-⎣⎦上为增函数B ．在433⎡-⎣上为减函数C ．在)43⎡+∞⎣上为增函数，在(43⎤-∞-⎦，上为减函数D ． 在(3-∞-，上为增函数，在)3⎡+∞⎣上为减函数 函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数.例3：（2015•新课标II ）设函数f′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B ．（﹣1，0）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D ．（0，1）∪（1，+∞） 解：由于当x ＞0时，()2()()0f x xf x f x x x '⎡⎤'-=<⎢⎥⎣⎦，则()f x x 为减函数；又()01=-f ()x f 为奇函数，则()01=f ，当x ＞1时，()0<x f ，当0<x<1时，()0>x f ,根据奇函数的图像可得()0>x f 成立的x 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1），选A 。

导数及应用导学案【课前预习导读】 一、学习目标1.知识与技能１）了解导数概念的实际背景, 理解导数的几何意义．２）掌握函数y =c (c 为常数)、*()n y x n =∈N 的导数公式，会求多项式函数的导数。

３）会用导数求多项式函数的单调区间, 极值及闭区间上的最值，利用导数证明函数的的单调性，会利用导数求最值的方法解决一些实际问题． 2.过程与方法通过对几种题型的分析、讲解和进一步的练习，提高学生综合、灵活运用数形结合思想、分类讨论思想解决问题的能力。

3.情感态度价值观培养学生合情推理和独立思考等良好的思想品质，以及主动参与、勇于探索的精神。

二、重点难点函数单调性及极值、最值的讨论 三、学习方法：探究、讨论、归纳。

四、自主复习1、 已知0a >，函数312()f x ax x a=+，且'(1)12f ≤，则a = （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．设点P 是曲线3233+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则 角α的取值范围是 （ ）A ．),32[ππB ．]65,2(ππC ．),65[)2,0[πππ D ．),32[)2,0[πππ 3．已知函数f (x )=x 3+3ax 2+3(a +2)x +1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是 ．4．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数的导函数)，下面四个图象中()y f x =图象大致是（ ）【课堂自主导学】 一、问题探究例1 （1）曲线f (x )=x 3－3x ，过点A (0，16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程；变式：若把“A (0，16)”改为“B （2，2）”，其余不变，结果如何？例 2 函数32()f x x ax bx c =+++，在曲线()y f x =上的点))1(,1(f P 处的切线方程为y =3x +1．（1）若()2y f x x ==-在时有极值，求()f x 的表达式；（2）在（1）的条件下，若对于任意]1,3[-∈x 都有()f x m <成立, 求实数m 的取值范围； （3）若函数()y f x =在区间[－2，1]上单调递增，求b 的取值范围。

江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》导数在实际生活中的应用导学案苏教版选修1-1学习目标1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.课前预学：问题1:一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.只要利用导数求出函数y=f(x)的所有,再求出端点的函数值,进行比较,就可以得出函数的最大值和最小值.问题2:生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为问题.导数是求函数最大(小)值的有力工具,可以运用导数解决一些生活中的优化问题.问题3:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的,解方程f'(x)=0;(3)比较函数在区间端点和点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.问题4:解决生活中的优化问题应当注意的问题确定函数关系式中自变量的区间,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去.课堂探究：一．利润最大问题某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=错误！未找到引用源。

+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售量价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.三．成本最低问题：如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米.如果池四周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,无盖.(1)写出总造价y(元)与污水处理池的长x(米)的函数关系式,并指出其定义域;(2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

导数及其应用导学案§3.1.1 变化率问题1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义；2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.一、课前准备（预习教材P 78~ P 80，找出疑惑之处） 复习1：曲线221259x y +=与曲线221(9)259x yk k k+=<--的（ ）A ．长、短轴长相等B ．焦距相等C ．离心率相等D ．准线相同复习2：当α从0 到180 变化时，方程22cos 1x y α+=表示的曲线的形状怎样变化？二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2：高台跳水，求平均速度 新知：平均变化率：2121()()f x f x fx x x-∆=-∆试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，即x ∆= 或者2x = ，x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ∆，即y ∆= ；如果它们的比值yx∆∆，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率.反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值.※ 典型例题例1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+∆-+∆，则yx∆∆=例2 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001] 小结：※ 动手试试练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.（发现：y kx b =+在区间[m ，n]上的平均变化率有什么特点？三、总结提升 ※ 学习小结1.函数()f x 的平均变化率是2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率※ 知识拓展平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．02. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ）A ．0()f x x +∆B ．0()f x x +∆C ．0()f x x ∆D ．00()()f x x f x +∆- 3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ） A ．6t +∆ B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆4.已知212s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______ 5. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____1. 国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W 表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？2. 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积0.1()52tV t -=⨯（单位：3cm ），计算第一个10s 内V 的平均变化率.§3.1.2 导数的概念1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．一、课前准备预习教材P 78~ P80，找出疑惑之处）T(月)3912复习1：气球的体积V 与半径r 之间的关系是()r V =V 从0增加到1时，气球的平均膨胀率.复习2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 的关系为：2() 4.9 6.510h t t t =-++. 求在12t ≤≤这段时间里，运动员的平均速度.二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度t s ∆∆当t ∆趋近于0时的 得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可以为0(3)xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜(4)导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.※ 典型例题例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.例2 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)， (1)当t =2，Δt =0.01时，求t s∆∆. (2)当t =2，Δt =0.001时，求ts ∆∆. (3)求质点M 在t =2时的瞬时速度 小结：利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-； 第二步：求平均变化率0()f x x y x x+∆∆=∆∆； 第三步：取极限得导数00()lim x yf x x∆→∆'=∆.※ 动手试试练1. 在例1中,计算第3h 和第5h 时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.练2. 一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是2()s t t =(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在5t =时的瞬时速三、总结提升 ※ 学习小结这节课主要学习了物体运动的瞬时速度的概念，它是用平均速度的极限来定义的，主要记住公式:瞬时速度v =tt ∆→∆lim ※ 知识拓展导数存在⇒连续⇒有极限※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t s t∆→∆∆为（ ）Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度2. 2y x =在 x =1处的导数为（ ） A ．2x B ．2 C ．2x +∆ D ．13. 在0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆中，x ∆不可能（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0 4.如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为5. 若0()2f x '=-，则0001[]()2limk f x k f x k→--等于1. 高台跳水运动中，ts 时运动员相对于水面的高度是：2() 4.9 6.510h t t t =-++(单位: m),求运动员在1t s =时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.2. 一质量为3kg 的物体作直线运动,设运动距离s(单位：cm)与时间（单位：s ）的关系可用函数2()1s t t =+表示，并且物体的动能212U mv =. 求物体开始运动后第5s 时的动能.§3.1.3 导数的几何意义通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运用概念求导数.一、课前准备（预习教材P 78~ P 80，找出疑惑之处）复习1：曲线上向上11111(,),(,)P x y P x x y y +∆+∆的连线称为曲线的割线，斜率yk x∆==∆复习2：设函数()y f x =在0x 附近有定义当自变量在0x x =附近改变x ∆时，函数值也相应地改变y ∆= ，如果当x ∆ 时，平均变化率趋近于一个常数l ，则数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率.记作：当x ∆ 时， →l二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：导数的几何意义问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化趋是什么？新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线割线的斜率是：n k =当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆新知：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率.即k =000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆※ 典型例题例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况.小结：例2 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)※ 动手试试练1. 求双曲线1y x =在点1(,2)2处的切线的斜率,并写出切线方程.练2. 求2y x =在点1x =处的导数.三、总结提升 ※ 学习小结函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率.即k =000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆其切线方程为 ※ 知识拓展导数的物理意义：如果把函数()y f x =看做是物体的运动方程（也叫做位移公式，自变量x 表示时间），那么导数0()f x '表示运动物体在时刻o x 的速度，，即在o x 的瞬时速度.即000()limx t yv f x x∆→∆'==∆而运动物体的速度()v t 对时间t 的导数，即0()limt vv t t∆→∆'=∆称为物体运动时的瞬时加速度.※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知曲线22y x =上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ）A. 4B. 16C. 8D. 22. 曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ ） A ．41y x =-- B ．47y x =-- C ．41y x =- D ．47y x =+ 3. ()f x 在0x x =可导，则000()()limh f x h f x h→+-（ ）A ．与0x 、h 都有关B ．仅与0x 有关而与h 无关C ．仅与h 有关而与0x 无关D ．与0x 、h 都无关 4. 若函数()f x 在0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点00(,())x f x 的切线方程为 5. 已知函数()y f x =在0x x =处的导数为11，则 000()()limx f x x f x x∆→-∆-∆=1. 如图,试描述函数()f x 在x =5,4,2,0,1---附近的变化情况.2．已知函数()f x 的图象,试画出其导函数()f x '图象的大致形状.§3.2.1几个常用函数导数1.掌握四个公式，理解公式的证明过程；2.学会利用公式，求一些函数的导数；3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.一、课前准备（预习教材P 88~ P 89，找出疑惑之处）复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量y ∆=（2）求平均变化率yx∆=∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xy x ∆∆→∆0lim=二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：函数()y f x c ==的导数. 问题：如何求函数()y f x c ==的导数新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 .若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为即一直处于静止状态.试试： 求函数()y f x x ==的导数反思：1y'=表示函数y x=图象上每一点处的切线斜率为.若y x=表示路程关于时间的函数，则y'=，可以解释为探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数(0)y kx k=≠增（减）的快慢与什么有关？※典型例题例1 求函数1()y f xx==的导数变式：求函数2()y f x x==的导数小结：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限.例2 画出函数1yx=的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.变式1：求出曲线在点(1,2)处的切线方程.变式2：求过曲线上点(1,1)且与过这点的切线垂直的直线方程.小结：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的.※动手试试练1. 求曲线221y x=-的斜率等于4的切线方程. (理科用)练2.求函数()y f x==三、总结提升※学习小结1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：，，.2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.※知识拓展微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点.关于微积分的地位，恩格斯是这样评价的：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那正是在这里.”※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.()0f x=的导数是（）A．0 B．1 C．不存在D．不确定2.已知2()f x x=,则(3)f'=（）A．0 B．2x C．6 D．93. 在曲线2y x=上的切线的倾斜角为4π的点为（）A．(0,0)B．(2,4)C．11(,)416D．11(,)244. 过曲线1yx=上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是5. 物体的运动方程为3s t=，则物体在1t=时的速度为，在4t=时的速度为.1. 已知圆面积2S rπ=，根据导数定义求()S r'.2. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500克氡气，那么t 天后，氡气的剩余量为()5000.834t A t =⨯，问氡气的散发速度是多少？§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数.一、课前准备（预习教材P 90~ P 92，找出疑惑之处） 复习1：常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=；()ln (0)x x a a a a '=>；()xx ee '=；1()(0,ln log ax a x a '=>且1)a ≠；1(ln )x x'=.复习2：根据常见函数的导数公式计算下列导数 （1）6y x = （2）y （3）21y x =（4）y =二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：两个函数的和(或差)积商的导数新知：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''-'=试试：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数323y x x =-+的导数.※ 典型例题例1 假设某国家在20年期间的年均通贷膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价.假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?变式：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？例 2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加. 已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-. 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90%； （2）98%.小结：函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.※ 动手试试 练1. 求下列函数的导数：（1）2log y x =； （2）2x y e =；（3）522354y x x x =-+-； （4）3cos 4sin y x x =-.练2. 求下列函数的导数：（1）32log y x x =+；（2）n xy x e =；（3）31sin x y x-=三、总结提升※ 学习小结1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.※ 知识拓展1．复合函数的导数：设函数()u g x =在点x 处有导数()xu g x ''=，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数()uy f u ''=，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅=2．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数1y x x=+的导数是（ ）A ．211x -B ．11x -C ．211x +D ．11x+ 2. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（ ） A ．cos2cos x x - B ．cos2sin x x + C ．cos2cos x x + D ．2cos cos x x + 3. cos xy x=的导数是（ ） A ．2sin xx - B ．sin x -C ．2sin cos x x x x +-D ．2cos cos x x xx +-4.函数2()138f x x =-+，且0()4f x '=， 则0x = 5.曲线sin xy x=在点(,0)M π处的切线方程为1.求描述气球膨胀状态的函数()r V =.2. 已知函数ln y x x =. （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数在点1x =处的切线方程.理: §3.2.2 复合函数求导复合函数的分解，求复合函数的导数.一、课前准备（预习教材P 16~ P 17，找出疑惑之处） 复习1：求)4(23-=x x y 的导数复习2：求函数2(23)y x =+的导数二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：复合函数的求导法则 问题：求(sin 2)x '=?解答：由于(sin )cos x x '=，故(s i n 2)c o s2x x '=这个解答正确吗?新知：一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作：(())y f g x =复合函数的求导法则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.用公式表示为：x u x y y u '''=，其中u 为中间变量.即： y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.试试：(sin 2)x '=反思：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。

高三数学复习课导学案《导数及导数的应用》学科：数学 课题：导数及导数的应用 (一) 编号：1.会用导数求函数的单调区间以及已知单调区间求参数范围2记住极值、极值点的定义并会用导数求函数的极值、最值3.提高规范意识和注重细节意识，从而提高“稳做会，求全对”的得分意识4.不断提高运用数形结合、分类讨论以及转化等思想的能力1记住导数的几何意义，求导公式（8个基本函数求导公式，导数的四则运算，复合函数如何求导）2回顾用导数求函数单调区间以及已知单调区间求参数范围的方法步骤3 回顾极值、极值点的定义及用导数求极值、最值的方法步骤4结合一轮复习回顾导数部分常见题型及解题方法.)x (f .a x x )x ln(a )x (f x .的极值）求函数（的值）求（的一个极值点是函数已知21101362-++== 处取得极小值，则实数在函数 的单调递增区间为函数 ）轴交点的纵坐标是（　处的切线与在点山东文）曲线==-=-=--+=m x )m x (x )x (f .x ln x y .y ),(P x y .(152215(D)　9(C)　3 (B)9(A)1211120111223 的单调递增区间是函数x x x )x (f .32132323++-=）内单调递减，则，在（若函数204423+-=ax x )x (f . 的取值范围是 a考点一 函数的单调性与导数例1 （2011年天津高考19(2)）【求单调区间】已知函数 R x t x t tx x x f ∈-+-+=,1634)(223 其中t R ∈当0t ≠时，求()f x 的单调区间.变式训练：求f(x)的单调区间.例2 2011年青岛模拟考试（理21（2））【已知单调区间求参数范围】 ),0)(2)((6)(1'≠-+=t t x t x t x f 若[].)x (f 上的单调性，在讨论21),0)(2)((6)(2'>-+=t t x t x t x f 若 已知函数),x ('f )x ln()x (g ,x ax x )x (f -++=++-=31323223问： 是否存在实数 使得 在 上单调递增，若存在求实数 的取值范围；若不存在请说明理由.考点二 函数的极值、最值与导数例3的取值范围？ 个交点，求的图像有与函数若直线的极值求函数的值求的一个极值点是函数已知b )x (f b y )x (f a x x )x ln(a )x (f x 3(3)(2)(1)10132=-++==思考：若方程0101162=--++b x x )x ln(有三个不同实根，该如何求b 的取值范围？a )x (g ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21a )x (g )x (f )x (F .m x x )x (g ,x ln a x )x (f -=+-=-=令22（1）当 时，试求实数 的取值范围使得 的图像恒在 轴上方；（2）当 时，若函数 在 上恰有两个不同零点，求实数 的取值范围；（3）是否存在实数 的值，使函数 和函数 在定义域上具有相同的单调性？若存在求出 的值，若不存在请说明理由 .)(1,0+∞∈=x ,m a )x (F x 2=a )x (F [1,3]m a )x (f )x (g a的（ ）条件是则 ）内单调递增，，在（　设q p m q mx x x x f p ,5:012ln )(:.12-≥∞++++= (A) 充分不必要 (B)必要不充分 (C)充分必要 (D)既不充分也不必要2. （2011年湖南高考）设直线x=t 与函数f(x)= x 2,g(x)=lnx 的图像分别交于M,N 点，则当MN 达到最小时t 的值为（ ） （A ）1 （B ）21 （C ）25（D ）22 3. 已知4)2(2)(24-++-=x p px x f 在]3,-∞-（上为增函数，在)0,3[-上为减函数，则p=4 已知函数 ，常数 为实数（1）是否存在实数 使得 在区间 上单调递增恒成立，若存在求出 的取值范围，若不存在请说明理由； （2）求函数 的单调递增区间B 组(选)： 5)x (a )x ln(x )x (f 11+-+=a a )x (f [)+∞,1a x ax )x ('f )x (g +-=1121(2)(1)010212-+>=>+-=)a ln()a (g ),a (g )x (f )x (f b a )('f )a (bx ax x ln )x (f 试证明不等式的最大值为设函数的单调区间，并求的代数式表示试用含有且已知函数。

导数的实际应用
一、【学习目标】
利用导数解决实际问题。

二、【学习过程】
典型例题
例1．如图，现有一块边长为a 的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
例2．横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比。

要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应该是多少？
2a x
x
例3．一个海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是150km，在岸边距点B300km的点A处有一军需品仓库。

有一批军需品要尽快送达海岛，A与B 之间有一铁路，现用海陆联运方式运送，火车时速为50km，船时速为30km，试在岸边选一点C，先将军需品用火车送到点C，再用轮船从点C运到海岛。

问点C选在何处可使运输时间最短。

出的功率最大。

三、【课堂练习】
1．等腰三角形的周长为2p，它围绕底边旋转一周成一几何体，问三角形的各边长分别为多少时，几何体的体积最大？
2．做一个容积为216mL的圆柱形封闭容器，高与底面直径为何值时，所用材料最省？
3．一跳水运动员离开跳板之后，所达到的高度与时间的函数关系是2
=-+，求该运动员达到的最大高度。

()10 4.98
h t t t。

导数专题及其应用教案教案标题：导数专题及其应用教案教案目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 熟悉导数在实际问题中的应用。

教学重点：1. 导数的定义和计算方法；2. 导数在函数图像、极值和曲线的切线方程中的应用。

教学难点：1. 理解导数的概念和意义；2. 运用导数解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、计算工具；2. 学生准备：教材、笔记、计算器。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念，提问学生对导数的理解；2. 通过一个简单的例子，引导学生思考导数的意义。

二、导数的定义和计算方法（15分钟）1. 介绍导数的定义和符号表示；2. 讲解导数的计算方法，包括用极限定义导数和使用导数公式计算导数；3. 通过示例演示导数的计算过程。

三、导数在函数图像中的应用（15分钟）1. 讲解导数与函数图像的关系，包括导数与函数的增减性、极值和拐点；2. 指导学生根据导数的正负判断函数的增减性，并绘制函数图像；3. 引导学生通过导数的零点判断函数的极值和拐点，并绘制函数图像。

四、导数在曲线的切线方程中的应用（15分钟）1. 引入导数与曲线的切线方程的关系；2. 讲解切线方程的一般形式和求解步骤；3. 指导学生根据导数和给定点求解曲线的切线方程，并进行实际问题的应用练习。

五、导数在实际问题中的应用（15分钟）1. 介绍导数在实际问题中的应用领域，如物理、经济等；2. 提供一些实际问题，引导学生运用导数解决问题；3. 学生个别或小组完成导数应用问题的解答和讨论。

六、总结（5分钟）1. 简要回顾导数的概念和计算方法；2. 强调导数在实际问题中的应用；3. 鼓励学生继续深入学习导数的相关知识。

教学延伸：1. 提供更多的导数计算练习题，巩固学生的计算能力；2. 引导学生在实际生活中寻找更多导数的应用案例，并进行讨论和分享。

教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现；2. 学生完成课后作业，包括导数计算和应用题目；3. 学生进行小组或个人报告，展示导数在实际问题中的应用案例。

3.3.3导数的实际应用一、学习目标：能利用导数知识解决实际中的最优化问题二、课前展示：解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。

再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．三、新知探究例1 有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？例2 矩形横梁的强度同它的断面的高的平方与宽的积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？练习一1、 设两正数之和为常数c ，求该两数之积的最大值。

并由此证明不等式()0,2>≥+b a ab b a2、 用长度为l 的铁丝围成长方形，求围成的最大面积。

3、 把长度为l 的铁丝分成两段，各围成一个正方形，问怎样分法，才能使它们的面积之和最小。

4、等腰三角形的周长为p2，问这个等腰三角形围绕底边旋转一周所围成的几何体体积最大时，各边长分别是多少？5、做一个容积为216ml的圆柱形封闭容器，高与底面直径为何值时，所用材料最省？6、一跳水运动员，离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系是)(2+-10=，求该运动员达到的最大高度（距离单位：m，时间单位s）ttth89.47、n x x x ,...,,21是一组已知数据，令,)(...)()()(22221n x x x x x x x s -++-+-=当x 取何值是，是)(x s 取最小值？8、用边长为60cm 的正方形的铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去相同的小正方形，然后把四边翻转090再焊接而成，问水箱底边应取多少，才能使水箱的容积最大？9、将长为72cm 的铁丝截成12段，搭成一个正四棱柱的模型，以此为骨架做成一个容积最大的容器，问铁丝应怎样截法？。