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M O A B C N K O A B C N M B A CD 一、平面向量略难1. 已知平面向量α，β（α≠0，α≠β）满足|β|=1，且α与β–α的夹角为120°，则|α|的取值范围是 ．2. 设向量a ，b ，c 满足|a |=|b |=1，a ·b= –21， a –c 与b –c 的夹角为60︒，则|c |的最大值等于 （ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．13. 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a –c )•(b –c )=0，则|c |的最大值是 （ ）A ．1B ．2C ．2D ．224. 设a ，b ，c 是单位向量，且a ·b=0，则(a –c )·(b –c )的最小值为 （ ） A ．–2 B ．2–2 C ．–1 D ．1–25. 如图在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同两点M 、N ，若AB →=mAM → ，AC →=nAN → ，则mn 的最大值是 .6. 如图所示，在△ABC 中，AO 是BC 上的中线，K 为AO 上一点，且AO →=2AK →，过点K 的直线分别交直线AB 、AC于不同的两点M ，N ，若AB →=mAM → ，AC →=nAN → ，则m +n = .7.在△ABC 中，AC =2,BC =4,O 为△ABC 内的点,且OA →+2OB →+3OC →=0→，则OC →·(BA →+BC → )= .8.若非零向量，a b 满足+=a b b ，则 （ ）Ａ．2>2+a a b Ｂ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a b Ｄ．22<+b a b9、（天津文理15） 如图，在ABC ∆中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=︒==是边BC 上一点，2,DC BD =则AD BC =__________.10. 【2010•天津文数】 如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，3BC =BD ，1AD =，则AC AD ⋅=（ ）A.23B.32 C.33D.311.（2010浙江文）（17）在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、Q 、M 、N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点，在APMC 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为F ，设G 为满足向量OG OE OF =+的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率为 。
《平面向量》全章复习与巩固编稿：永钊审稿：王静伟【学习目标】1.平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；2.向量的线性运算（1）通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；（2）通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；（3）了解向量的线性运算性质及其几何意义.3.平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义；（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；（3）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4.平面向量的数量积（1）通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系；（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一：向量的有关概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法：a b c等.(1)字母表示法：如,,,(2)几何表示法：用一条有向线段表示向量.如AB，CD等.,x y，则(3)坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA的起点O为在坐标原点，终点A坐标为() (),x y称为OA的坐标，记为OA=(),x y.3.相等向量：=.长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向量a与b相等，记为a b4.零向量：长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的.5.单位向量：长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定：0与任一向量共线.注：共线向量又称为平行向量. 7.相反向量：长度相等且方向相反的向量. 要点二、向量的运算 1.运算定义 →cos a b a b =⋅2.运算律 加法：①a b b a +=+(交换律)； ②()()a b c a b c ++=++(结合律) 实数与向量的乘积：①()a b a b λλλ+=+； ②()a a a λμλμ+=+；③()()a a λμλμ= 两个向量的数量积：①a →·b →=b →·a →； ②(a λ→)·b →=a →·(b λ→)=λ(a →·b →)；③(a →+b →)·c →=a →·c →+b →·c →3.运算性质及重要结论(1)平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面两个不共线的向量，那么对于这个平面任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+，称1122e e λλ+为12,e e 的线性组合.①其中12,e e 叫做表示这一平面所有向量的基底；②平面任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e 的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.③当基底12,e e 是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x ，y)，则→--OA =(x ，y)；当向量起点不在原点时，向量→--AB 坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则→--AB =(x 2-x 1，y 2-y 1)(2)两个向量平行的充要条件 符号语言：)0(//→→→→→→≠=⇔b b a b a λ坐标语言为：设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==，则a →∥b →⇔(x 1，y 1)=λ(x 2，y 2)，或x 1y 2-x 2y 1=0. (3)两个向量垂直的充要条件 符号语言：⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a坐标语言：设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==，则⇔⊥→→b a 02121=+y y x x (4)两个向量数量积的重要性质： ①22||→→=a a 即 2||→→=a a (求线段的长度)；②⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a (垂直的判断)； ③cos a b a bθ⋅=⋅ (求角度).要点诠释： 1. 向量的线性运算(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；(2)向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应记住：连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提.2. 共线向量与三点共线问题向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.(1)用向量证明几何问题的一般思路：先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向 量的运算来证明. (2)向量在几何中的应用：①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件)0(//→→→→→→≠=⇔b b a b a λ⇔(x 1，y 1)=λ(x 2，y 2)②证明垂直问题，常用垂直的充要条件⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a ⇔02121=+y y x x③求夹角问题，利用cos a b a bθ⋅=⋅222221212121y x y x y y x x +++=④求线段的长度，可以利用2||→→=a a 或12(PP x =【典型例题】类型一：平面向量的概念 例1.给出下列命题： ①若|a |=|b |，则a =b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a =b ，b =c ，则a =c ；④a =b 的充要条件是|a |=|b |且a //b ； ⑤ 若a //b ，b //c ，则a //c ； 其中正确的序号是 .(2)设0a 为单位向量，(1)若a 为平面的某个向量，则0a a a =⋅；(2)若a 与0a 平行，则0a a a =⋅；(3)若a 与0a 平行且1a =，则0a a =.上述命题中，假命题个数是( )A.0B.1C.2D.3【思路点拨】利用平面向量的相关基本概念和基本知识进行判断。
平面向量重难点题型训练摘要：一、平面向量的基本概念二、平面向量的重难点题型三、平面向量的解题技巧四、总结与展望正文：一、平面向量的基本概念平面向量是平面内的有序线段，可以用来表示平面内的物理量，如速度、加速度、力等。
平面向量具有大小和方向两个属性，通常用有序实数对(a,b) 来表示，其中a 和b 分别表示向量的水平和垂直分量。
平面向量的基本运算包括加法、减法、数乘和向量积等。
二、平面向量的重难点题型1.向量加法与减法向量加法和减法是平面向量的基本运算之一，其难点在于处理不同方向的向量。
解决这类问题时，需要将向量分解为水平和垂直分量，然后进行相应的加减运算。
2.向量数乘向量数乘是平面向量的另一个基本运算，其难点在于理解数乘的物理意义和计算方法。
向量数乘的结果是一个向量，其大小等于原向量的大小与数乘因子的乘积，方向与原向量相同或相反。
3.向量积向量积是平面向量的高级运算，其难点在于理解向量积的物理意义和计算方法。
向量积的结果是一个向量，其大小等于原向量之积与夹角的余弦值的乘积，方向垂直于原向量所在的平面。
三、平面向量的解题技巧1.图形法图形法是解决平面向量问题的一种直观方法，通过画图可以直观地表示向量的大小和方向，以及向量之间的运算关系。
2.分解法分解法是解决平面向量问题的一种常用方法，通过将向量分解为水平和垂直分量，可以简化向量运算，尤其是处理不同方向的向量时。
3.数学建模法数学建模法是解决平面向量问题的一种高级方法，通过将实际问题抽象为数学模型，可以更好地理解向量的物理意义和计算方法。
四、总结与展望平面向量是物理学、工程学等领域中的重要概念，掌握平面向量的基本概念和解题技巧对于解决实际问题具有重要意义。
五、平面向量1．向量的概念①向量 既有大小又有方向的量。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。
由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。
(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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一,向量重要结论(1）、向量的数量积定义：||||cos a b a b θ⋅= 规定00a ⋅=, 22||a a a a ⋅== (2)、向量夹角公式:a 与b 的夹角为θ，则cos ||||a b a b θ⋅= （3）、向量共线的充要条件：b 与非零向量a 共线⇔存在惟一的R λ∈，使b a λ=。
（4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行⇔12210x y x y -= （5)、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥0a b ⇔⋅=⇔12120x x y y +=（6）、向量不等式：||||||a b a b +≥+，||||||a b a b ≥⋅(7）、向量的坐标运算：向量11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b ⋅=1212x x y y +（8）、向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影（9）、向量：既有大小又有方向的量。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.相等向量：长度相等且方向相同的向量。
(10）、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）(11）、单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1（12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量注:解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1) 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ，要会求出直线的斜率；（2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点； （3)给出0 =+，等于已知P 是MN 的中点;（4）给出()+=+λ，等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; (5）给出以下情形之一：①//；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使，等于已知C B A ,,三点共线。
【高中数学】数学《平面向量》复习知识点一、选择题1．在ABC V 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ） A ．13- B ．13C ．12-D ．12【答案】C 【解析】 【分析】由向量的加减法运算，求得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，进而得出()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，列式分别求出λ和μ，即可求得λμ+.【详解】解：已知D 、P 分别为BC 、AD 的中点， 由向量的加减法运算， 得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，2AB AD DB BD PD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2AC AD DC BD PD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，则1221μλλμ-=⎧⎨+=-⎩，则12λμ+=-. 故选：C.【点睛】本题考查平面向量的加减法运算以及向量的基本定理的应用.2．已知,a r b r 是平面向量，满足||4a =r ，||1b ≤r 且|3|2b a -≤r r ，则cos ,a b 〈〉rr 的最小值是（ ）A ．1116B ．78C ．158D ．31516【答案】B 【解析】 【分析】设OA a =u u u r r ，3OB b =u u u r r，利用几何意义知B 既在以O 为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，又在以A 为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，结合图象即可得到答案. 【详解】设OA a =u u u r r ，3OB b =u u u r r，由题意，知B 在以O 为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，由|3|2b a -≤r r，知B 在以A 为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，如图所示则B 只能在阴影部分区域，要cos ,a b 〈〉rr 最小，则,a b <>r r 应最大，此时()222222min4327cos ,cos 22438OA OB AB a b BOA OA OB +-+-〈〉=∠===⋅⨯⨯rr .故选：B. 【点睛】本题考查向量夹角的最值问题，本题采用数形结合的办法处理，更直观，是一道中档题.3．已知向量a r 与向量b r 满足||2a =r ，||2b =r ||||5a b a b +⋅-=r r r r ，则向量a r与向量b r的夹角为( )A ．4π或34π B ．6π或56πC ．3π或23πD ．2π 【答案】A 【解析】 【分析】设向量a r ，b r的夹角为θ，则2||1282a b θ+=+r r ，2||1282a b θ-=-r r ，即可求出2cos θ，从而得到向量的夹角；【详解】解：设向量a r ，b r的夹角为θ，222||||||2||||cos 4882cos a b a b a b θθ+=++=++r r r r r r 1282cos θ=+，222||||||2||||cos 4882cos 1282cos a b a b a b θθθ-=+-=+-=-r r r r r r，所以2222||||144128cos (45)80a b a b θ+⋅-=-==r r r r ，21cos 2θ∴=，因为[0,)θπ∈，故4πθ=或34π，故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算律，及夹角的计算，属于中档题.4．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λ＋μ的值为（ ）A ．65B ．85C ．2D ．83【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示,,CA CE DB u u u r u u u r u u u r ，利用(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，列出方程组求解即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)，(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB ∴=-=-=u u u r u u u r u u u rCA CE DB λμ=+u u u r u u u r u u u r Q∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得6525λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则85λμ+=.故选：B 【点睛】本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.5．已知a =r 2b =r ，且()(2)b a a b -⊥+r rr r ，则向量a r 在向量b r 方向上的投影为（ ） A ．-4 B ．-2C ．2D ．4【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直，数量积为0，求出a b r r g ，即求向量a r 在向量br方向上的投影a b b ⋅r r r . 【详解】()(2),()(2)0b a a b b a a b -⊥+∴-+=r r r r r r r r Q g ， 即2220b a a b -+=r r r r g .2,8a b a b ==∴=r r r r Q g ，所以a r 在b r方向上的投影为4a b b⋅=r r r .故选：D . 【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题.6．已知A ，B ，C 是抛物线24y x =上不同的三点，且//AB y 轴，90ACB ∠=︒，点C 在AB 边上的射影为D ，则CD =（ ） A ．4 B．C ．2D【答案】A 【解析】 【分析】画出图像，设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12y y >， 由90ACB ∠=︒可求221216y y -=，结合221244y y CD =-即可求解【详解】如图：设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12y y >， 由90ACB ∠=︒可得0CA CB ⋅=u u u r u u u r ，222212121212,,,44y y y y CA y y CB y y ⎛⎫⎛⎫--=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，()222221212004y y CA CB y y ⎛⎫-⋅=⇔--= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，即()()222122212016y y y y ---= 解得221216y y -=（0舍去），所以222212124444y y y y CD -=-==故选：A 【点睛】本题考查抛物线的几何性质与向量的综合应用，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题7．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．134-B ．54C ．5D ．154【答案】B 【解析】 【分析】据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF u u u r u u u r，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果. 【详解】设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD u u u r的方向为x 轴，CA u u u r 的方向为y 轴，建立直角坐标系，则1,12E⎛⎫-⎪⎝⎭，1,12F⎛⎫--⎪⎝⎭，(1,0)D，3,12DE⎛⎫=-⎪⎝⎭u u u r，3,12DF⎛⎫=--⎪⎝⎭u u u r，所以95144DE DF⋅=-=u u u r u u u r.故选：B.【点睛】本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.8．已知P为边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，则PCuuu r()PB PD+⋅u u u r u u u r的最小值为（）A．1-B．3-C．12-D．32-【答案】A【解析】【分析】建立坐标系，写出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可求解．【详解】建立如图所示坐标系，设(,)P x y，则(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)A B C D，所以(2,2),(2,)(,2)(22,22)PC x y PB PD x y x y x y =--+=--+--=--u u u r u u u r u u u r，故223131()(2)(22)(2)(22)222222PC PB PD x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅+=--+--=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r223322122x y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当32x y ==时，PC uuu r ()PB PD +⋅u u u r u u u r 的最小值为1-.故选：A ． 【点睛】本题考查利用坐标法求向量数量积的最值问题，涉及到向量的坐标运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.9．已知向量m =r (1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-r ，且m r ⊥n r，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（ ） A ．12B ．2C ．D ．﹣2【答案】B 【解析】 【分析】根据m r ⊥n r 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2θ22226sin cos cos sin cos θθθθθ+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案. 【详解】因为向量m =r (1，cosθ)，n =r(sinθ，﹣2)，所以sin 2cos m n θθ⋅=-u r r因为m r ⊥n r ，所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，所以sin 2θ+6cos 2θ22222626226141sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.10．已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r，则当,1[]2t ∈-时，a tb-r r 的最大值为（ ） ABC ．2D【答案】D 【解析】【分析】根据(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r，得到1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r ，再利用22()1a tb a tb t -=-=+r r r r 求解.【详解】因为(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r，所以1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r，所以22()1a tb a tb t -=-=+r r r r ，当[]2,1t ∈-时，max5a tb-=r r. 故选：D 【点睛】本题考查向量的模以及数量积的运算，还考查运算求解能力，属于中档题.11．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO uuu v ·BC uuu v的值是A ．－8B ．－1C ．1D ．8【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为AO AC CO AB BO =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，所以1()2AO AC BO AB CO =+++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，而BC AC AB BO CO =-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，所以1()2BC AC AB BO CO =-+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则1()()4AO BC AC AB CO BO AC AB BO CO ⋅=+++-+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1()()()()()()4AC AB AC AB AC AB BO CO CO BO AC AB =+-++-++-u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ()()CO BO BO CO ++-u u u v u u u v u u u v u u u v221(||4AC AB AC BO AC CO AB BO AB CO =-+⋅-⋅+⋅-⋅u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 22||)CO AC CO AB BO AC BO AB BO CO +⋅-⋅+⋅-⋅+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v2211(||)()42AC AB AC BO AB CO =-+⋅-⋅u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v 2211(||)[()]42AC AB AB BC BO AB CO =-++⋅-⋅u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)()42AC AB AB BC BC BO =-+⋅+⋅u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)42AC AB AO BC =-+⋅u u uv u u u v u u u v u u u v 所以221(||)82AO BC AC AB ⋅=-=u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D12．已知平面向量,,a b c r r r满足()()2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值为（ ）A ．2B ．2CD ．12【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，易知a r 与b r的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由()()21a c b c -⋅-=r r r r，可得221202x y x +-+=，所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果. 【详解】因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r，因为()()21a c b c -⋅-=r r r r ，所以221202x y x +-+=，又b c -=r r所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，又圆221202x y x +-+=的圆心坐标为12⎛ ⎝⎭，，所以点()20，与圆221202x y x +-+=上一动点距离的最小值为=. 故选：A. 【点睛】本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．13．设a r ，b r 不共线，3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，3CD a mb =+u u u r r r，若A ，C ，D 三点共线，则实数m 的值是（ ） A ．23B ．15C ．72D ．152【答案】D 【解析】 【分析】计算25AC a b =+u u u r r r，得到()253a b a mb λ+=+r r r r ，解得答案.【详解】∵3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，∴25AC AB BC a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r，∵A ，C ，D 三点共线，∴AC CD λ=u u u r u u u r，即()253a b a mb λ+=+r r r r ，∴235m λλ=⎧⎨=⎩，解得23152m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故选：D . 【点睛】本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.14．如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，3AE EO =u u u v u u u v ，则•EC ED u u u v u u u v的值是（ ）A．45-B．1516-C．14-D．58-【答案】B【解析】【分析】根据向量表示化简数量积，即得结果.【详解】()()()()•••EC ED EO OC EO OD EO OC EO OC=++=+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v2221151416EO OC⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭u u u v u u u v,选B.【点睛】本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.15．如图，已知1OA OB==u u u v u u u v，2OC=u u u v，4tan3AOB∠=-，45BOC∠=︒，OC mOA nOBu u u v u u u v u u u v=+，则mn等于（）A．57B．75C．37D．73【答案】A【解析】【分析】依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B、C的坐标，利用向量相等建立关于m、n 的方程，求解即可．【详解】以OA所在的直线为x轴，过O作与OA垂直的直线为y轴，建立直角坐标系如图所示：因为1OA OB ==u u u r u u u r ，且4tan 3AOB ∠=-，∴34cos sin 55AOB AOB ∠=-∠=，， ∴A （1，0），B （3455-，），又令θAOC ∠=，则θ=AOB BOC ∠-∠，∴413tan θ413--=-=7， 又如图点C 在∠AOB 内，∴cos θ2，sin θ72,又2OC u u u v =C （1755，）， ∵OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，（m ，n ∈R ），∴（1755，）=（m,0）+（3455n n -，）=(m 35n -，45n ） 即15= m 35n -，7455n =，解得n=74，m=54，∴57m n =， 故选A ．【点睛】 本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题．16．已知平面向量,,a b c r r r 满足||||2a b ==r r ，a b ⊥r r ，()()a c b c -⊥-r r r r ，则(a b c ⋅r r r +)的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,2]C ．[0,4]D ．[0,8] 【答案】D【解析】【分析】 以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r 分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，根据AC BC ⊥，得到点C 在圆22(1)(1)2x y -+-=，再结合直线与圆的位置关系，即可求解．【详解】 设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，则(2,0),(0,2)A B ，依题意，得AC BC ⊥，所以点C 在以AB 为直径的圆上运动，设点(,)C x y ，则22(1)(1)2x y -+-=，()22a b c x y +⋅=+r r r ，由圆心到直线22x y t +=的距离2222222t d +-=≤+，可得[0,8]t ∈.故选：D ．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力． 17．如图，向量a b -r r 等于A ．1224e e --u r u u rB ．1242e e --u r u u rC ．123e e -r u u rD ．123e e -+r u u r 【答案】D【解析】【分析】 【详解】 由向量减法的运算法则可得123a e b e -=-+r r r u u r ，18．已知,A B 是圆22:16O x y +=的两个动点，524,33AB OC OA OB ==-u u u v u u u v u u u v ，若M 分别是线段AB 的中点，则·OC OM =u u u v u u u u v （ ）A ．843+B ．843-C ．12D ．4【答案】C【解析】【分析】【详解】由题意1122OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ，则2252115113322632OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又圆的半径为4，4AB =uu u r ，则,OA OB u u u r u u u r 两向量的夹角为π3．则8OA OB ⋅=u u u v u u u v ，2216OA OB ==u u u v u u u v ，所以12OC OM ⋅=u u u r u u u u r ．故本题答案选C ．点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.19．已知向量(),1a x =-r ，(b =r ，若a b ⊥r r ，则a =r （ ） ABC ．2D ．4 【答案】C【解析】 由a b r r ⊥，(),1a x =-r ，(b r =，可得：x 0x ，==，即)1a =-r 所以2a ==r 故选C20．已知单位向量,a br r 满足3a b +=r r ，则a r 与b r 的夹角为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】由3a b +=r r 22236913a b a a b b +=+⋅+=r r r r r r ， 又因为单位向量,a b r r ，所以1632a b a b ⋅=⇒⋅=r r r r ， 所以向量,a b r r 的夹角为1cos ,2a b a b a b ⋅〈〉==⋅r r r r r r ，且,[0,]a b π〈〉∈r r ，所以,3a b π〈〉∈r r ，故选C.。
平面向量的线性运算与平面向量基本定理巩固练习1．若a +b =c ，a -b =d 且向量c 与d 垂直，则一定有（ ）A 、a =bB 、|a |=|b |C 、a ⊥bD 、|a |=|b |且a ⊥b 2．点O 在△ABC 内部且0 C O B O A O ，则△ABC 面积与四边形ABOC 面积之比是 （ ）A.0B. 23C. 45D. 34 3．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( )A ．AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r B ．BD u u u r ＝AD u u u r －AB u u u rC ．AO u u u r ＝12AB u u u r ＋12AD u u u r D ．AE u u u r ＝53AB u u u r ＋AD u u u r 4．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)5．设O 在△ABC 的内部，且有OA u u u r ＋2OB uuu r ＋3OC u u u r ＝0，则△ABC 面积和△AOC 的面积之比为( )A ．3 B.53 C ．2 D.326．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC uuu r ＝3CD uuu r ，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AOu u u r ＝x AB u u u r ＋(1－x )AC u u u r ，则x 的取值范围是( )A. 1(0,)2B. 1(0,)3C. 1(,0)2D.1(,0)37．A ，B ，O 是平面内不共线的三个定点，且OA u u u r ＝a ，OB uuu r ＝b ，点P 关于点A 的对称点为Q ，点Q 关于点B的对称点为R ，则PR u u u r 等于( )A ．a －bB ．2(b －a )C ．2(a －b )D ．b －a 8．已知向量OA u u u r ＝(1，－3)， OB uuu r ＝(2，－1)，OC u u u r ＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．9．如图，在△ABC 中，设AB u u u r ＝a ，AC u u u r ＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP u u u r 等于________．。
DSE金牌化学专题系列精典专题系列第15讲平面向量（二）一、导入：难解的结古罗马时代，一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结，并且预言，将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者。
长久以来，虽然许多人勇敢尝试，但是依然无人能解开这个结。
当时身为马其顿将军的亚历山大，也听说了关于这个结的预言，于是趁着驻兵这个城市之时，试着去打开这个结。
亚历山大连续尝试了好几个月，用尽了各种方法都无法打开这个结，真是又急又气。
有一天，他试着解开这个结又失败后，恨恨地说：“我再也不要看到这个结了。
”当他强迫自己转移注意力，不再去想这个结时，忽然脑筋一转，他抽出了身上的佩剑，一剑将结砍成了两半儿–结打开了。
大道理：勇敢地跳出思想的绳索，打开心结。
过后会发现，事情实际上没有看到的和想象中的那么困难。
积极一点，什么都会给你让路。
二、知识点回顾：1．平面向量的数量积(1)平面向量数量积的定义已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，把数量叫做a和b的数量积(或内积)，记作.即a·b＝，规定0·a＝0.(2)向量的投影①定义：设θ为a与b的夹角，则 (|b|cosθ)叫做向量a在方向上(b在方向上)的投影．②a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积．2．向量数量积的运算律(1)a·b＝ .(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝ .(3)(a＋b)·c＝ .3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝夹角cosθ＝cosθ＝三、专题训练：考点一平面向量的数量积运算及向量的模(1)在等边三角形ABC 中，D 为AB 的中点，AB ＝5.求AB ·BC ，|CD|.(2)若a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，求(a －2b)·(2a ＋3b)和|a ＋2b|.[自主解答] (1) AB ·BC ＝|AB ||BC |cos 〈AB ，BC 〉＝5×5cos120°＝－252. ∴CD ＝12(CA ＋CB )∴|CD |2＝14(CA ＋CB )2＝14(CA 2＋CB 2＋2CA ·CB )＝14(25＋25＋2×5×5cos60°) ＝754，∴|CD |＝532. (2)∵a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)∴a －2b ＝(3，－4)－(4,2)＝(－1，－6)， 2a ＋3b ＝(6，－8)＋(6,3)＝(12，－5)， ∴(a －2b)·(2a ＋3b)＝－12＋30＝18. 又∵a ＋2b ＝(3，－4)＋(4,2)＝(7，－2) ∴|a ＋2b|＝49＋4＝53.变式训练：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，求AB ·BC ；(2)如图，在平行四边形ABCD 中，AC＝(1,2)，BD ＝(－3,2)，则AD ·AC ＝ ()A ．1B ．3C ．5D ．6a ⊥b 的充要条件|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|x 1x 2＋y 1y 2|≤解：(1)∵在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4， ∴BC ＝3，且cos ∠ABC ＝35.又∵AB 与BC的夹角θ＝π－∠ABC ，∴cosθ＝－cos ∠ABC ＝－35，∴AB ·BC ＝|AB ||BC |cosθ＝5×3×(－35)＝－9.(2)令AB ＝a ，AD ＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝(1，2)－a ＋b ＝(－3，2)⇒a ＝(2,0)，b ＝(－1,2)，所以AD ·AC＝b·(1,2)＝3.考点二两向量的夹角问题已知|a|＝1，a·b ＝12，(a －b)·(a ＋b)＝12，求：(1)a 与b 的夹角的大小；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．[自主解答] (1)∵(a －b)·(a ＋b)＝12，∴|a|2－|b|2＝12，又∵|a|＝1，∴|b|＝|a|2－12＝22.设a 与b 的夹角为θ，则cosθ＝a·b |a||b|＝121×22＝22， 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝45°. 即a 与b 的夹角为45°. (2)∵(a －b)2＝a 2－2a·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝12，∴|a －b|＝22，(a ＋b)2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝52，∴|a ＋b|＝102，设a －b 与a ＋b 的夹角为α，则cosα＝(a －b )·(a ＋b )|a －b||a ＋b|＝1222×102＝55.思考：若a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．解：∵a 与a ＋λb 的夹角为锐角，∴a·(a ＋λb )＞0，即3λ＋5＞0，∴λ＞－53.当a 与a ＋λb 共线时， a ＋λb ＝ma ，即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ， 解得λ＝0，即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线且方向相同， ∴λ≠0，即λ＞－53且λ≠0.变式训练：已知向量4a －2b ＝(－2,23)，c ＝(1，3)，a·c ＝3，|b|＝4，求向量b 与c 的夹角α. 解：∵4a －2b ＝(－2,23)，c ＝(1，3)，∴(4a －2b)·c ＝－2＋6＝4， 即4a·c －2b·c ＝4. 又∵a·c ＝3， ∴2b·c ＝4a·c －4＝4×3－4＝8， ∴b·c ＝4，∴cosα＝b·c |b||c|＝44×2＝12. 又∵α∈[0，π]，∴α＝π3.考点三平面向量的垂直问题已知a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－ka ＋tb ，且x⊥y ，试求k ＋t 2t的最小值．[自主解答] ∵a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)，∴|a|＝(3)2＋(－1)2＝2， |b|＝(12)2＋(32)2＝1.又∵a·b ＝3×12＋(－1)×32＝0，∴a ⊥b.由x ⊥y 得[a ＋(t 2－3)b]·(－ka ＋tb)＝0， 即－ka 2＋(t 3－3t)b 2＋(t －kt 2＋3k)a·b ＝0， ∴－k|a|2＋(t 3－3t)|b|2＝0.将|a|＝2，|b|＝1代入上式， 得－4k ＋t 3－3t ＝0，解得k ＝t 3－3t4.∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74.故当t ＝－2时，k ＋t 2t 取得最小值－74.变式训练：在直角三角形ABC 中，若AB ＝(2,3)，AC＝(1，k)，求k 的值．解：∵AB ＝(2,3)，AC＝(1，k)，∴BC ＝AC －AB＝(－1，k －3)当∠A ＝90°时，AB ·AC ＝0，即2＋3k ＝0，∴k ＝－23；当∠B ＝90°时，AB ·BC＝0，即－2＋3(k －3)＝0，∴k ＝113；当∠C ＝90°时，AC ·BC ＝0，即－1＋k(k －3)＝0， ∴k ＝3±132∴k ＝－23或113或3±132.考点四平面向量数量积的应用已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．[自主解答] (1)∵m ∥n ，∴asinA ＝bsinB ，即a·a 2R ＝b·b2R ，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，∴a ＝b.∴△ABC 为等腰三角形．(2)由题意可知m·p ＝0，即a(b －2)＋b(a －2)＝0. ∴a ＋b ＝ab.由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b)2－3ab ，即(ab)2－3ab －4＝0， ∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)， ∴S ＝12absinC ＝12×4×sin π3＝ 3.变式训练：如图所示，若点D 是△ABC 内一点，并且满足AB2＋CD2＝AC2＋BD2，求证：AD ⊥BC.证明：设AB ＝c ，AC ＝b ， AD＝m ，则BD ＝AD －AB ＝m －c ，CD ＝AD －AC＝m －b.∵AB 2＋CD 2＝AC 2＋BD 2， ∴c 2＋(m －b)2＝b 2＋ (m －c)2，即c 2＋m 2－2m·b ＋b 2＝b 2＋m 2－2m·c ＋c 2，即2m·(c －b)＝0，即AD ·(AB －AC )＝0， ∴AD ·CB ＝0，∴AD ⊥BC.高考考题应证[考题印证] (2010·江苏高考)(14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB －t OC )·OC ＝0，求t 的值．[规范解答] (1)由题设知AB ＝(3,5)，AC＝(－1,1)，则AB ＋AC＝(2,6)，AB －AC ＝(4,4)．………………(3分)所以|AB ＋AC |＝210，|AB －AC|＝4 2.故所求两条对角线的长分别为42，210.………………(7分)(2)由题设知OC＝(－2，－1)，AB －t OC ＝(3＋2t,5＋t)．……………………(9分) 由(AB －OC )·OC ＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，…(11分) 从而5t ＝－11，所以t ＝－115.……………………………(14分)四、技法巧点：1．向量数量积性质的应用向量数量积的性质|a|＝a·a ，cosθ＝a·b|a||b|，a·b ＝0⇔a ⊥b ，因此，用平面向量数量积可以解决有关长度、角度、垂直的问题．2．证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法(1)要证AB ＝CD ，可转化证明AB 2＝CD 2或|AB |＝|CD|.(2)要证两线段AB ∥CD ，只要证存在一实数λ≠0，使等式AB＝λCD成立即可．(3)要证两线段AB ⊥CD ，只需证AC ·CD＝0.五、巩固练习：一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知向量m ，n 的夹角为π6，且|m |＝3，|n |＝2，在△ABC 中， AB ＝2m ＋2n ，C A ＝2m －6n ，D 为BC 边的中点，则|AD|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：∵D 为BC 边的中点，∴AD ＝12( AB ＋C A )＝12(4m －4n )＝2m －2n ，所以| AD |＝|12( AB＋C A)|＝|2m －2n |＝4m 2＋4n 2－2×2×2 m·n ＝2.答案：A2．已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，e ＝(1,0)，若a ≠b ，|a －b |＝R ，且a －b 与e 的夹角为π3，则x 1－x 2＝( )A ．RB ．±32RC ．±22R D.12R解析：∵a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，又a －b 与e 的夹角为π3，|a －b |＝R ，∵cos 〈a －b ，e 〉＝(a －b )·e |a －b |·|e |，即cos π3＝x 1－x 2R ，故x 1－x 2＝R2.答案：D3．已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6，则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( )A.23 B ．－23 C.56 D ．－56 解析：因为|a |＝2，|b |＝3，又a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2×3×cos 〈a ，b 〉＝－6，可得cos 〈a ，b 〉＝－1.即a ，b 为共线向量且反向，又|a |＝2，|b |＝3，所以有3(x 1，y 1)＝－2(x 2，y 2)⇒x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，所以x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23(x 2＋y 2)x 2＋y 2＝－23.答案：B 4．(2011·汕头模拟)如图所示，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是边BC 上的高，则AD ·AC的值等于( )A ．0B ．4C ．8D ．－4解析：BD ＝AB cos 30°＝23，所以BD ＝32BC .故AD ＝BD －BA ＝32BC－BA .又AC ＝BC －BA ，所以AD ·AC ＝(32BC －BA )·(BC －BA )＝32BC 2－(1＋32) BA·BC ＋BA 2，BC 2＝BA 2＝16，BC ·BA ＝4×4×cos 30°＝83，代入上式得AD ·AC ＝83－(1＋32)×83＋16＝4.答案：B5．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大、小值分别是( ) A ．42，0 B ．4,2 2 C ．16,0 D ．4,0解析：由于|2a －b |2＝4|a |2＋|b |2－4a ·b ＝8－4(3cos θ－sin θ)＝8－8cos(θ＋π6)，易知0≤8－8cos(θ＋π6)≤16，故|2a －b |的最大值和最小值分别为4和0. 答案：D6．已知向量a ，b 满足|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a·bx 在R 上单调递增，则a ，b 的夹角的取值范围是( )A ．[0，π3)B ．[0，π3]C ．(π3，π]D ．[π3，2π3]解析：易得f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a·b ，函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a·bx 在R 上单调递增时，方程x 2＋|a |x ＋a·b＝0的判别式Δ＝|a |2－4a·b ≤0，设a ，b 的夹角为θ，则|a |2－4|a |·|b |cos θ≤0，将|a |＝2|b |≠0代入得1－2cos θ≤0，即cos θ≥12，又0≤θ≤π，故0≤θ≤π3.答案：B二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分) 7．(2010·江西高考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a －b |＝________.解析：因为|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝12－2×1×2cos60°＋22＝3， 故|a －b |＝ 3. 答案： 38．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，－6)，|c |＝10，若(a ＋b )·c ＝5，则a 与c 的夹角为________． 解析：由a ＝(1,3)，b ＝(－2，－6)得b ＝－2a ，因此(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝5，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a·c |a ||c |＝－510×12＋32＝－12，因此θ＝120°. 答案：120° 9．(2011·北京西城模拟)如图所示，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则(AB ＋DC )·(AC ＋BD)＝________.解析：由于AB ＝AC ＋CB ，DC ＝DB ＋BC ，所以AB＋DC ＝AC ＋CB ＋DB ＋BC ＝AC －BD .(AB ＋DC )·(AC ＋BD )＝(AC －BD )·(AC ＋BD )＝AC 2－BD 2＝9－4＝5.答案：5三、解答题10．已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 和|c |＝25可得： ⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0x 2＋y 2＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－4， ∴c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0， 即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，∴a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝－1，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.11．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n . (1)求∠A 的大小； (2)当AB＝pm ，AC ＝qn (p ＞0，q ＞0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值．解：(1)∵m ⊥n ，∴3cos 2A －sin 2A ＝0.∴3cos 2A －1＋cos 2A ＝0，∴cos 2A ＝14.又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴A ＝π3.(2)由(1)可得m ＝(34，32)，n ＝(1，－32)．∴|AB |＝214p ，|AC |＝72q .∴S △ABC ＝12|AB |·|AC |·sin A ＝2132pq .又∵p ＋q ＝6，且p ＞0，q ＞0，∴p ·q ≤p ＋q2，∴p ·q ≤3，∴p ·q ≤9.∴△ABC 面积的最大值为2132×9＝18932.12．已知O 为坐标原点，向量OA ＝(sin α，1)，OB ＝(cos α，0)， OC ＝(－sin α，2)，点P 满足AB＝BP .(1)记函数f (α)＝PB ·CA ，α∈(－π8，π2)，讨论函数f (α)的单调性，并求其值域； (2)若O ，P ，C 三点共线，求|OA ＋OB|的值．解：(1)AB ＝(cos α－sin α，－1)，设OP ＝(x ，y )，则BP ＝(x －cos α，y )，由AB ＝BP得x ＝2cos α－sin α，y ＝－1，故OP ＝(2cos α－sin α，－1)， PB＝(sin α－cos α，1)， CA ＝(2sin α，－1)，f (α)＝(sin α－cos α，1)·(2sin α，－1)＝2sin 2α－2sin αcos α－1＝－(sin2α＋cos2α)＝－2sin(2α＋π4)，α∈(－π8，π2)，故函数f (α)的单调递增区间为(π8，π2)，单调递减区间为(－π8，π8)，因为sin(2α＋π4)∈(－22，1]，故函数f (α)的值域为[－2，1)．(2)由O ，P ，C 三点共线可得(－1)×(－sin α)＝2×(2cos α－sin α)，得tan α＝43，sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝2425. |OA ＋OB |＝(sin α＋cos α)2＋1＝2＋sin2α＝745.六、反思总结：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1．(2010·重庆高考)若向量a ＝(3，m)，b ＝(2，－1)，a·b ＝0，则实数m 的值为 ( )A ．－32 B.32C ．2D ．6解析：依题意得6－m ＝0，m ＝6.2．若非零向量a ，b 满足|a|＝|b|，(2a ＋b)·b ＝0，则a 与b 的夹角为 ( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°解析：(2a ＋b)·b ＝2a·b ＋b 2＝2|a|2cos 〈a ，b 〉＋|a|2＝0⇒cos 〈a ，b 〉＝－12，所以a ，b 的夹角为120°.3．(2010·湖南高考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB ·AC等于 ()A ．－16B ．－8C ．8D ．16解析：法一：因为cosA ＝ACAB，word 文档 可自由复制编辑 故AB ·AC ＝|AB ||AC |cosA ＝AC 2＝16. 法二：AB 在AC 上的投影为|AB |cosA ＝|AC |， 故AB ·AC ＝|AC ||AB |cosA ＝AC 2＝16.4．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________． 解析：由于 α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，故2α·β＝1，所以|2α＋β|＝4|α|2＋4α·β＋|β|2＝4＋2＋4＝10. 5．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA ·MD＝________.解析：由已知条件易求得该直角梯形ABCD 的两腰AD ＝1，BC ＝2，而MA ＝MB ＋BA ＝－12BC ＋BA ，MD ＝MC ＋CD ＝12BC ＋12BA ，所以MA ·MD ＝(－12BC ＋BA )·(12BC ＋12BA )＝－14BC 2＋(12－14)BC ·BA ＋12BA 2＝－14×(2)2＋14×2×2×cos45°＋12×22＝2.6．设角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，已知向量m ＝(sinA ＋sinC ，sinB －sinA)，n ＝(sinA －sinC ，sinB)，且m ⊥n.(1)求角C 的大小；(2)若向量s ＝(0，－1)，t ＝(cosA,2cos 2B 2)，试求|s ＋t|的取值范围． 解：(1)由题意得m·n ＝(sin 2A －sin 2C)＋(sin 2B －sinAsinB)＝0.即sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ，由正弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，再由余弦定理得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12， ∵0＜C ＜π，∴C ＝π3. (2)∵s ＋t ＝(cosA,2cos 2B 2－1)＝(cosA ，cosB)， ∴|s ＋t|2＝cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A ＋cos 2(2π3－A)＝1＋cos2A 2＋1＋cos (4π3－2A )2＝14cos2A －34sin2A ＋1＝－12sin(2A －π6)＋1， ∵0＜A ＜2π3，∴－π6＜2A －π6＜7π6， －12＜sin(2A －π6)≤1， 所以12≤|s ＋t|2＜54， 故22≤|s ＋t|＜52.。
