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2.1.1指数与指数幂的运算(二)学习目标 1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值.3.了解无理数指数幂的意义.知识点一分数指数幂思考根据n次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？①5a10＝5(a2)5＝a2＝105a(a>0)；②a8＝(a4)2＝a4＝82a(a>0)；③4a12＝4(a3)4＝a3＝124a(a>0).答案当a>0时，根式可以表示为分数指数幂的形式，其分数指数等于根式的被开方数的指数除以根指数.梳理一般地，分数指数幂定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：mna＝n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：mna-＝1mna(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 知识点二有理数指数幂的运算性质思考我们知道32×33＝32＋3.那么11113232646464+⨯=成立吗？答案成立.11326464⨯=64×364＝82×343＝8×4＝32,112364+＝5664＝6645＝6(25)6＝25＝32.梳理整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：(1)a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q).知识点三无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.类型一 根式与分数指数幂之间的相互转化 命题角度1 分数指数幂化根式例1 用根式的形式表示下列各式(x >0，y >0). (1)25x ；(2) 53x-.解 (1)25x ＝5x 2. (2)53x-＝13x 5.反思与感悟 实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便.而在求函数的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握. 跟踪训练1 用根式表示2132x y -(x >0，y >0).解 2132xy -＝23121y x⋅＝1x·3y 2. 命题角度2 根式化分数指数幂 关注微信公众号：免费下载站。
高中数学指数与指数幂的运算教案教学目标1.理解指数和幂的概念；2.掌握指数的基本运算法则；3.掌握指数幂的计算方法。
教学重难点1.掌握指数的基本运算法则；2.掌握指数幂的计算方法。
教学内容1. 指数的概念指数是数学中一个重要的概念，用于表示一个数的幂次。
指数通常写在一个数的右上角，如a n，其中a是底数，n是指数。
指数的计算可以用重复乘法的方法进行。
2. 指数的基本运算法则2.1. 指数相加、相减指数相加时，如果底数相同，则可以将指数相加，即 $a^m \\times a^n =a^{m+n}$。
指数相减时，如果底数相同，则可以将指数相减，即$\\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$。
2.2. 指数相乘、相除指数相乘时，如果底数相同，则可以将指数相乘，即(a m)n=a mn。
指数相除时，如果底数相同，则可以将指数相除，即 $\\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$。
2.3. 幂函数的运算幂函数是一种特殊的函数，它具有y=ax n的形式。
幂函数的运算可以用指数的基本运算法则进行，例如(x m)n=x mn和 $x^m \\times x^n = x^{m+n}$。
3. 指数幂的计算方法指数幂的计算方法包括以下几种。
3.1. 同底数幂的乘方运算当底数相同时，两个幂相乘可以将指数相加，即 $a^m \\times a^n =a^{m+n}$。
例如，$5^3 \\times 5^4 = 5^{3+4} = 5^7$。
3.2. 不同底数幂的乘方运算当底数不同时，两个幂相乘可以先将底数相乘，再将指数相加。
例如，$3^4 \\times 2^4 = (3 \\times 2)^4 = 6^4$。
3.3. 同底数幂的除法运算当底数相同时，两个幂相除可以将指数相减，即 $\\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$。
例如，$\\dfrac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4$。
指数与指数幂的运算教案教案标题：指数与指数幂的运算教案概述：本教案旨在帮助学生理解指数与指数幂的概念，并掌握指数与指数幂的运算规则。
通过多种互动教学方法，学生将能够在实际问题中应用指数与指数幂的知识，提高他们的数学思维和解决问题的能力。
教学目标：1. 理解指数和指数幂的概念。
2. 掌握指数与指数幂的运算规则。
3. 能够在实际问题中应用指数与指数幂的知识。
教学重点：1. 指数的定义和性质。
2. 指数幂的定义和性质。
3. 指数与指数幂的运算规则。
教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔或白板笔、教学课件、实物或图片示例。
2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、计算器。
教学过程：步骤一：引入（5分钟）教师通过提问和展示实物或图片示例引入指数与指数幂的概念，激发学生的兴趣和思考。
步骤二：概念讲解（15分钟）教师通过教学课件或黑板白板讲解指数的定义和性质，以及指数幂的定义和性质，并与学生一起解决一些简单的例题。
步骤三：运算规则讲解（15分钟）教师详细讲解指数与指数幂的运算规则，包括同底数相乘、相除、幂的乘方等规则，并通过例题演示运用这些规则进行运算。
步骤四：练习与巩固（20分钟）教师提供一些练习题，让学生在课堂上进行个人或小组练习，并及时给予指导和反馈。
教师还可以设计一些应用题，让学生运用指数与指数幂的知识解决实际问题。
步骤五：总结与拓展（10分钟）教师与学生一起总结本节课的重点内容，并提供一些相关拓展问题，鼓励学生进一步思考和探索。
步骤六：作业布置（5分钟）教师布置相关的作业，要求学生独立完成，并在下节课前交给教师检查。
教学延伸：1. 学生可以通过自主学习，进一步了解指数与指数幂的应用领域，如科学计数法、指数函数等。
2. 教师可以组织学生进行小组讨论或展示，分享他们在实际生活中发现的指数与指数幂的应用案例。
教学评估：1. 教师通过课堂练习和作业的批改，评估学生对指数与指数幂的理解和运用能力。
2. 教师观察学生在课堂上的表现，评估他们的参与度和学习态度。
2．1．1指数与指数幂的运算(第二课时)（胡文娟）一、教学目标 （一）核心素养通过指数运算符号的使用与运算法则的总结，培育学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养，为指数函数学习打下坚实基础． （二）学习目标1．理解有理数指数幂的含义及其运算性质． 2．运用有理数指数幂运算性质进行计算． （三）学习重点1．有理数指数幂的运算性质． 2．运用有理数指数幂的性质进行计算． （四）学习难点有理数指数幂的运算性质及其应用 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）求下列各式的值：①0232)2017(2)8(--⋅--；②21)62581(-详解：①原式014164121)8(3232=-⋅=-⋅-=； ②原式925)53()53(2214==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--．（2）计算下列各式．①=⋅2222 ，=⋅212122 ； ②=22)2( ，=221)2( ； ③=⨯2)32( ，=⨯21)32( ；观察上面的计算结果，你能得出什么结论？ 结论： ． 详解： ①16222242222===⋅+，222221212121==⋅+；②1622)2(42222===⨯，22)2(221221==⨯；③3632)32(222=⨯=⨯，632)32(212121=⨯=⨯．结论：整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也适用．2．预习自测（1）对于0>a ，Q ,∈s r ，以下运算中正确的是（ ） A ．rs s r a a a =⋅B ．s r s r a a +=)(C ．r r r b a ba-=)(D ．s r s r ab b a +=)(【知识点】有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】【解题过程】s r s r a a a +=⋅，A 选项错；rs s r a a =)(，B 选项错；由有理数指数幂的运算性质得D 选项不成立．【思路点拨】正确识记并掌握有理数指数幂的运算性质． 【答案】C ．（2）下列各式正确的是（ ） A ．y x y x 3223=B ．)0()(2<=-x x xC ．x x x =⋅52D ．35332x x x =⋅【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】32x y = A (0)x x =-< B 59x == D 错．【思路点拨】根据根式与分数指数幂的互化进行判断． 【答案】C ．（3）将33611xx x ⋅(0>x )化简，结果正确的是（ ）A ．xB ．611x C ．6xD ．1【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】【解题过程】103123611312361133611===⋅=⋅--x xxx xxx x【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化关系以及有理数指数幂的运算性质进行化简． 【答案】D ． （4）计算2231224-+⋅的结果是（ ）A ．16B ．32C ．64D ．128【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简求值． 【数学思想】 【解题过程】322224522322222312===⋅-++-+．【思路点拨】运用有理数指数幂的运算性质，同底数的幂相乘底数不变指数相加． 【答案】B ． (二)课堂设计 1．知识回顾正整数指数幂的运算性质：*0,,r s r sa a a a r s +=>∈N （） *0,,r s rs a a a r s =>∈N （）（） *0,0,r r r ab a b a b r =>>∈N （）（）2．问题探究探究一 有理数指数幂的含义及其运算性质★ ●活动① 有理数指数幂的含义前面我们学习了正数的正指数幂的意义，规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm 也规定了正数的负指数幂的意义：1*()0,,,1)m m nnaa a m n N n --==>∈>在规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数． 【设计意图】通过回顾已学知识归纳总结，加深学生对有理数指数幂的理解． ●活动② 有理数指数幂的运算性质回顾整数指数幂的运算性质，在规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否仍然适用呢？（学生讨论给出结论）答案是肯定的，整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r ，s ，均有下面的运算性质：0,,Q r s r sa a a a r s +=>∈（） 0,,Q r s rs a a a r s =>∈（）（） 0,0,Q r r r ab a b a b r =>>∈（）（）【设计意图】通过学生自己思考得出整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用的结论，为后面运用有理数指数幂的运算性质进行化简计算做铺垫． ●活动③ 有理数指数幂的化简求值阅读教材51页至52页，从书中的例子中，我们可以总结得出有理数指数幂的化简求值的一般步骤有：第一步找同底数幂，调换位置时注意做到不重不漏；第二步合并同类项，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，同底数的幂相除则底数不变指数相减；第三步同底数幂相加减，能合并的就合并，不能合并就按照升幂或降幂排列．【设计意图】强调学生在进行有理数指数幂的化简求值时要注意正确步骤，更容易得出正确结果．探究二 运用有理数指数幂运算性质进行计算★▲ ●活动① 巩固基础，检查反馈例1 如果a >0，b >0，m ，n 都是有理数，下列各式错误的是（ ） A ．mn n m a a =)（ B ．n m n m a a a --=C ．n n n b a ba-⋅=)( D ．n m n m a a a +=+【知识点】有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】【解题过程】D 选项不成立．【思路点拨】正确识记并掌握有理数指数幂的运算性质． 【答案】D ．同类训练 对任意实数a ，下列关系式不正确的是（ ）． A ．a a =2132)( B ．313221)(a a = C ．513153)(a a =-- D ．515331)(a a =【知识点】有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】【解题过程】A 选项中312132)(a a =．【思路点拨】正确识记并掌握有理数指数幂的运算性质． 【答案】A ．例2 若210x ＝25，则10x -等于（ ）A ．－51B ．51C ．501 D ．6251 【知识点】有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】【解题过程】221025(10)25105x x x =∴=∴=Q ，，或510-=x （舍去），5110110==∴-x x ． 【思路点拨】利用有理数指数幂的运算法则进行化简． 【答案】B ．同类训练 已知31=+aa ，则2121-+a a 等于（）A ．2B ．5C ．5-D ．5±【知识点】有理数指数幂的化简求值．【数学思想】【解题过程】52122121=++=+-aa a a ）（． 【思路点拨】利用有理数指数幂的运算法则进行化简． 【答案】B ．●活动② 强化提升、灵活应用例3 用分数指数幂的形式表示下列各式（a >0）： （1）a a ⋅3（2）322a a ⋅ （3）3a a【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】转化与化归思想． 【解题过程】（1）272133a a a a a =⋅=⋅（2）38322322a a a a a =⋅=⋅（3）3221313a a a a a =⋅=⋅）（ 【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系． 【答案】（1）27a ，（2）38a ，（3）32a ． 同类训练 用分数指数幂表示下列各式．（1）)0(4>a a a ； （2）)0()(542≥++⋅+n m n m n m ）（；（3）3x x )0(≥x ． 【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质及其化简求值． 【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）272144a a a aa =⋅=- （2）32542542)()()(）（）（n m n m n m n m n m +=+⋅+=+⋅+（3）2131213)(x x x x x =⋅=【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系．【答案】（1）27a ，（2）3）（n m +，（3）21x ． 例4 求值25.04245.0081)2()4(5.7])43[(+-+⨯--【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】原式5316151)3(2)4(21514144241=++-=+-+⨯-=）（【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化和有理数指数幂的运算性质进行化简求值． 【答案】5．同类训练 计算：5.02120)01.0()416(2)532(-⋅+--【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简． 【数学思想】【解题过程】111020.52222311251(2)2(6)(0.01)1()()5424100---+⋅-=+⋅-1211111145101010=+⋅-=+-=．【思路点拨】根据有理数指数幂的运算性质直接进行计算． 【答案】1．【设计意图】加强学生对有理数指数幂的运算性质的应用的掌握． ●活动③ 强化提升、灵活应用 例5 化简：)00()65)(41(561312112132>>-----y x y x y x yx ，．【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简． 【数学思想】转化与化归思想． 【解题过程】原式61313221326121311213224242455y yx y x yx y x ===---+--【思路点拨】熟练运用有理数指数幂的化简性质进行计算． 【答案】6124y ． 同类训练 化简：)00()(3131421413223>>⋅-b a ba b a ab b a ，【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简． 【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】原式b aab ba ba ab b a b a ===⋅⋅=---++-+-13123113116123313122132213123)()(【思路点拨】熟练运用有理数指数幂的化简性质进行计算．【答案】ba．例6 先化简，再求值1111111111()(244) 2.11x x x x x x x ---------+---=+-，其中【知识点】有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】转化与化归思想． 【解题过程】原式)1)(1()442(4)442()1)(1()1()1(11111111111112121-+---=---++--=---------------x x x x x x x x x x x xxx x x x x x x x x +-=+-=-+-=-+++-=---------1111)1)(1()1()1)(1(121111211121，当2=x 时，原式31-=． 【思路点拨】通过有理数指数幂的运算性质以及平方差公式和完全平方公式将原式化简，再求值即可．【答案】31-．同类训练 已知8=x ，求111113131313132--++++++-x xx x x x x x 的值．【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简． 【数学思想】【解题过程】∵8=x ，∴231=x ，原式101228121812418=--++++++-=．【思路点拨】根据有理数指数幂的运算性质直接带值进行计算． 【答案】10．【设计意图】加强学生对有理数指数幂的运算性质的应用的掌握． 3．课堂总结 知识梳理（1）一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1，且*N ∈n ．式子n a 叫做根式，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数．（2）分数指数幂是一个数的指数为分数,正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式． 重难点归纳（1）运用有理数幂运算性质进行化简，求值，要掌握解题技巧，注意同底数的幂的运算法则．（2）在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的．（3）对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则． （三）课后作业 基础型 自主突破1．=⋅2255）（）（（ ）． A ．5 B ．5 C ．25 D ．25 【知识点】有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】【解题过程】222222255555=⋅=⋅）（）（．【思路点拨】直接根据有理数指数幂的运算性质计算． 【答案】C ．2．⋅3a 6a -等于（ ）A ．－a －B ．－aC ．a －D ．a【知识点】根式的化简运算，根式与分数指数幂的互化． 【数学思想】分类讨论思想【解题过程】⋅3a 6a -＝－⋅31)(a －61)(a －＝－21)(a －＝－a －．【思路点拨】掌握根式的化简运算以及根式与分数指数幂之间的互化关系． 【答案】A ．3．以下各式的化简错误的是（ ） A ．11513152=-aa aB ．()643296b a b a ---=C ．y y x y x y x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--322132413141D ．ac cb a cb a 532515433121433121-=---【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简求值． 【数学思想】【解题过程】由有理数指数幂的运算性质可知，A ，B ，C 均正确． 【思路点拨】正确运用有理数指数幂的运算性质． 【答案】D ．4．已知2-x ＋2x ＝22且x ＞1，则2x －2-x 的值为（ ） A ．2或－2B ．－2C ．6D ．2【知识点】有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】【解题过程】2x －2-x ＝（x ＋1-x ）（x －1-x ）＝21)(－＋x x 21)(－－x x ＝⋅222－＋＋x x =222－＋－x x ⋅222＋222－＝2． 【思路点拨】运用有理数指数幂的运算性质． 【答案】D ．5．若210=m，310=n，则2310nm -＝___________．【知识点】幂的运算性质，有理数指数幂的化简． 【数学思想】【解题过程】2310n m -＝n m n m －＝10·101033-＝36231·2101·)10(33＝＝n m ．【思路点拨】运用幂的运算性质． 【答案】362． 6．计算下列各式 （1）4325)12525(÷- （2）)0(322>⋅a aa a【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质与化简求值． 【数学思想】【解题过程】（1）555555525)12525(66121233243-=-=⨯-=÷--）（．（2）6532212322a aa a aa a =⋅=⋅【思路点拨】运用根式的化简法则和有理数指数幂的运算性质． 【答案】（1）556-，（2）65a ． 能力型 师生共研7．已知23--+=b a x , 求46322--+-a x a x 的值． 【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简求值． 【数学思想】转化与化归思想【解题过程】4234632)(2----=+-a x a x a x ,因为23--+=b a x ，所以bb a x 1)(1423==---．【思路点拨】运用分数指数幂进行根式计算．【答案】b 1．8． 化简：=⋅÷--3353225a a a a____________．【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简．【数学思想】 【解题过程】673221313531653353225a aa a aaa a aaa=÷=⋅÷⋅=⋅÷-----．【思路点拨】根据根式的运算性质直接进行计算． 【答案】67a 探究型 多维突破 9．化简：)21)(21)(21)(21(214181161----++++【知识点】有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】转化与化归思想． 【解题过程】原式1612141818116121418116116121)21)(21)(21)(21(21)21)(21)(21)(21)(21(------------+++-=-++++-=11611612121161214141)21(2121)21)(21(21)21)(21)(21(----------=-+-=-++-=【思路点拨】分子分母同时乘以16121--．【答案】1161)21(21---．10．已知)00)((21>>+=b a a b b a x ，，求11222---x x x b ．【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简运算． 【数学思想】分类讨论思想． 【解题过程】因为)00)((21>>+=b a abb a x ，，所以222)(411)(411a b b a a b b a x -=-+=-，①当0>≥b a 时，)(2112abb a x -=- b a x x =-+12，b a x x x b x x x b -=-+-=---∴)1(121122222；②当b a <<0时，)(2112b a a b x -=-，a b x x =-+12，)1(121122222-+-=---x x x b x x x b aab b -=2 【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化和有理数指数幂的运算性质进行化简求值．【答案】当0>≥b a 时，b a x x x b -=---∴11222；当b a <<0时，11222---x x x b a ab b -=2． 自助餐1．化简()43325⎥⎦⎤⎢⎣⎡-的结果为（ ）A ．5B ．5C ．5-D ．-5【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】【解题过程】()55552143324332===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-）（．【思路点拨】根据根式与分数指数幂的互化以及有理数指数幂的运算性质直接进行计算． 【答案】B ．2．若522=+-x x ，则=+-x x 44（ ） A ．29B ．27C ．25D ．23【知识点】有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】【解题过程】2344,25244222=+∴=++=+---x x x x x x ）（．【思路点拨】根据有理数指数幂的运算性质直接进行计算． 【答案】D ．3．已知0>a ，则=a aa2121__________．【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】 【解题过程】a a a a a a a aa=⋅=⋅⋅=212121212121212121)()(．【思路点拨】当n 为偶数时，n n a ＝a ．．4．已知9,12==+xy y x ，且y x <，求21212121yx y x +-的值是_______________．【知识点】有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】【解题过程】9212)(02212121212121--=--=-<-∴<y x y x y x y x ，， 6-=，同理239212)(02212121212121=+=+=+>+y x y x y x ，，故3321212121-=+-yx y x ． 【思路点拨】运用有理数指数幂的运算性质． 【答案】33-． 5．已知0>x ．（1）化简⨯53xx ⨯35xx 35xx ； （2）若4=x ，求342x x ⋅的值．【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质及其化简求值． 【数学思想】 【解题过程】（1）⨯53xx ⨯35xx =⨯⨯=⨯⨯10151101301151101301===⋅⋅=-+---x xxx x．（2）4331493493412342)(xx xxxx x===⋅=⋅，当4=x 时，22644444343===【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化进行化简运算． 【答案】（1）1；（2）．6．计算下列各式（式中字母都是正数） （1）)3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷- （2）mn n m ⋅-88341)(【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）a b a b a b a b a b a 4)3(12)3()6)(2(65616567656131212132=-÷-=-÷-）（ （2）252521213288341)(---=⋅=⋅n m n m n m mn n m 【思路点拨】正确运用有理数指数幂的运算法则． 【答案】（1）4a ；（2）2525-n m ．。
2.1.1指数与指数幂的运算 第1课时《根式》一、 教学目标1、知识目标：理解n 次方根和n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算。
2、能力目标：通过对根式的学习，使学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力。
3、情感态度与价值观：通过对根式的化简，使学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想。
二、 教学重点：n 次方根的概念及其取值规律教学难点：n 次方根的概念及其运算根据的研究．三、 过程与方法：教学方法：启发探索式．（一）、预习自学1、指数幂的定义 ：a 的正整数指数幂=na （其中R a n N n ∈>∈,1,*）a 的零次幂=0a （其中a ） a 的负整数指数幂=-n a （其中a ）2、平方根与立方根的定义：（1）平方根：如果 ，那么 叫做 的平方根。
正数a的平方根有 个，它们 ，记作 ，0的平方根是 ，负数 。
（2）立方根：如果 ，那么 叫做 的立方根。
正数a 的立方根是一个 ，负数a 的立方根是一个 ，0的立方根是 ，实数a 的立方根记作 。
3、n 次方根的概念：一般的，如果 其中（ ） 当n 是奇数时 ， 记作当n 时偶数时 记作 负数 0的 ，记作 4、根式的概念：（1）定义：（2）性质 ⅰ） =n na )( ，ⅱ）当n 为奇数时=n n a ，n 为偶数时=n n a5、预习书P50例16、小试牛刀：化简下列各式：（1）38- （2）)(222b a b ab a <+-（3）66)2(+x （4）)1()31(2<--x xx （二）质疑、解疑1、式子n a 中a 的取值范围由什么决定?2、式子n a 的符号一定是正的吗？有什么规律？3、式子nn a )(中a 的取值范围是实数集R 吗？化简结果是什么？4、式子n n a 中a 的取值范围是实数集R 吗？化简结果一定是非负的吗？（三）实践1、根式有意义的条件：求347311aaa a ++-+-的值2、根式的化简与求值（1）计算 3048334160625.0--+π（2）如果,5-<m 化简251012)6(244++++--m m m m（3）设,33<<-x 求961222++-+-x x x x 的值（四）师生小结（五）验收：优化设计活页卷62页四、 课后反思2.1.1指数与指数幂的运算 第2课时《分数指数幂》一、教学目标1、 知识目标：能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化。
指数与指数幂的运算(一)课题：指数与指数幂的运算课型：新授课教学方法：讲授法与探究法教学媒体选择：多媒体教学教学目标：1.知识与技能：理解根式的概念及性质，掌握分数指数幂的运算，能够熟练的进行分数指数幂与根式的互化.2.过程与方法：通过探究和思考，培养学生推广和逼近的数学思想方法，提高学生的知识迁移能力和主动参与能力.3.情感态度和价值观：在教学过程中，让学生自主探索来加深对n次方根和分数指数幂的理解，而具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面.教学重点：根式的概念及n次方根的性质；分数指数幂的意义及运算性质；分数指数幂与根式的互化.教学难点：n次方根的性质；分数指数幂的意义及分数指数幂的运算.教学流程图：教学过程设计：一．新课引入：（一）本章知识结构介绍（二）问题引入1.问题:当生物体死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内含量P 与死亡年数t 之间的关系：（1）当生物死亡了5730年后，它体内的碳14含量P 的值为 （2）当生物死亡了5730×2年后，它体内的碳14含量P 的值为（3） 当生物死亡了6000年后，它体内的碳14含量P 的值为 （4）当生物死亡了10000年后，它体内的碳14含量P 的值为2.回顾整数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质：3.思考：这些运算性质对分数指数幂是否适用呢？12212⎛⎫ ⎪⎝⎭6000573012⎛⎫⎪⎝⎭10000573012⎛⎫ ⎪⎝⎭【师】这就是我们今天所要学习的内容《指数与指数幂的运算》【板书】2.1.1 指数与指数幂的运算二．根式的概念：【师】下面我们来看几个简单的例子.口述平方根，立方根的概念引导学生总结n次方根的概念..【板书】平方根，立方根，n次方根的符号，并举一些简单的方根运算，以便学生观察总结.【师】现在我们请同学来总结n次方根的概念..1.根式的概念【板书】概念即如果一个数的n次方等于a(n>1，且n∈N*)，那么这个数叫做a 的n次方根.【师】通过刚才所举的例子不难看出n的奇偶以及a的正负都会影响a的n次方根，下面我们来共同完成这样一个表格.【板书】表格n n是奇数n是偶数a的符号a<0 a>0 a<0 a>0 a的n次方无意义根【师】通过这个表格，我们知道负数没有偶次方根.那么0的n 次方根是什么？【学生】0的n 次方根是0.【师】现在我们来对 这个符号作一说明.例1.求下列各式的值【注】本题较为简单，由学生口答即可，此处过程省略. 三．n 次方根的性质【注】对于1提问学生a 的取值范围，让学生思考便能得出结论. 【注】对于2，少举几个例子让学生观察，并起来说他们的结论.44(3)(3);π-2(2)(10);-2(4)()().a b a b ->33(8);-（1）根指数被开方数根式1.n次方根的性质四．分数指数幂例：【师】这两个根式可以写成分数指数幂的形式，是因为根指数能整除被开方数的指数，那么请大家思考下面的问题.思考：根指数不能整除被开方数的指数时还能写成分数指数幂的形式吗?【师】如果成立那么它的意义是什么，我们有这样的规定.（一）分数指数幂的意义：1.我们规定正数的正分数指数幂的意义是：2.我们规定正数的负分数指数幂的意义是：3.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.（二）指数幂运算性质的推广：五．例题例2.求值例3.用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a>0）例4.计算下列各式（式中字母都是正数）【注】此处例2让学生上黑板做，例3待学生完成后老师在黑板板演,例4让学生黑板上做，然后纠正错误.六．课堂小结1.根式的定义；2.n次方根的性质；3.分数指数幂.七．课后作业P59习题2.1 A组1.2.4. 八．课后反思。
2.1.1（1）指数与指数幂的运算（根式）
教学目标 知识与技能目标：
理解根式的概念及性质，能进行根式的运算，提高根式的运算能力。
过程与方法目标：
通过由特殊到一般，由平方根、立方根，采用类比的方法过渡到n 次方根；
通过对“当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()
0(||a a a a a a n n ”的理解 ，培养学生分类讨论的意识。
情感、态度、价值观目标：
通过运算训练，培养学生严谨的思维，一丝不苟的学习习惯。
教学重点：对根式概念、性质的理解，运用根式的性质化简、运算。
教学难点：当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()
0(||a a a a a a n n 的得出及运用。
教学过程：
板书设计：
2.1指数函数
2.1.1指数与指数幂的运算（一）
定义例1 例3
性质例2
教学反思：（课后完善）。
第2课时 指数与指数幂的运算(2)导入新课思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数幂的运算之分数指数幂.思路 2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂. 推进新课 新知探究 提出问题(1)整数指数幂的运算性质是什么？ (2)观察以下式子,并总结出规律：a ＞0, ①510a=352)(a =a 2=a510;②8a =24)(a =a 4=a 28; ③412a =443)(a =a 3=a 412; ④210a=225)(a =a 5=a210.(3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗？435,357,57a ,n m x (x>0,m,n ∈N *,且n>1).(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？ (5)你能推广到一般的情形吗？活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示.讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：a n =a·a·a·…·a,a 0=1(a≠0);00无意义; a -n =n a1(a≠0);a m ·a n =a m+n ;(a m )n =a mn ;(a n )m =a mn ;(ab)n =a n b n . (2)①a 2是a 10的5次方根；②a 4是a 8的2次方根；③a 3是a 12的4次方根；④a 5是a 10的2次方根.实质上①510a =a510,②8a =a 28,③412a=a412,④210a=a210结果的a 的指数是2,4,3,5分别写成了510,28,412,510,形式上变了,本质没变. 根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）.(3)利用(2)的规律,435=543,357=735,57a =a 57,nmx =x nm .(4)53的四次方根是543,75的三次方根是735,a 7的五次方根是a 57,x m 的n 次方根是x nm . 结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.(5)如果a>0,那么a m的n 次方根可表示为na m=a nm ,即a nm =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1).综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书: 规定:正数的正分数指数幂的意义是a mn =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1).提出问题①负整数指数幂的意义是怎样规定的? ②你能得出负分数指数幂的意义吗?③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义? ④综合上述,如何规定分数指数幂的意义?⑤分数指数幂的意义中,为什么规定a ＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果?⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?活动：学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生合作交流,以具体的实例说明a ＞0的必要性,教师及时作出评价. 讨论结果：①负整数指数幂的意义是:a -n =n a1(a≠0),n ∈N *. ②既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义.规定:正数的负分数指数幂的意义是amn -=mn a1=nma 1(a>0,m,n ∈N *,n>1).③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义. ④教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a mn =n m a (a>0,m,n ∈N *,n>1),正数的负分数指数幂的意义是amn -=mn a1=nma 1(a>0,m,n ∈N *,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.⑤若没有a ＞0这个条件会怎样呢?如(-1)31=3-1=-1,(-1)62=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,如无a ＞0的条件,比如式子3a 2=|a|32,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数,而不是负数,负数只是出现在指数上.⑥规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. 有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质: （1）a r ·a s =a r+s (a>0,r,s ∈Q ), （2）(a r )s =a rs (a>0,r,s ∈Q ), （3）(a·b)r =a r b r (a>0,b>0,r ∈Q ).我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题,来看下面的例题. 应用示例思路1 例1求值:①832;②2521-③(21)-5;④(8116)43-.活动：教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式,根据题目要求,把底数写成幂的形式,8写成23,25写成52,21写成2-1,8116写成(32)4,利用有理数幂的运算性质可以解答,完成后,把自己的答案用投影仪展示出来. 解：①832=(23)32=2323⨯=22=4; ②2521-=(52)21-=5)21(2-⨯=5-1=51; ③(21)-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32; ④(8116)43-=(32))43(4-⨯=(32)-3=827.点评：本例主要考查幂值运算,要按规定来解.在进行幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算,而不是首先转化为熟悉的根式运算,如832=328=364=4. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式.a 3·a ;a 2·32a ;3a a (a>0).活动：学生观察、思考,根据解题的顺序,把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算,根式化为分数指数幂时,要由里往外依次进行,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的解题步骤,教师评价学生的解题情况,鼓励学生注意总结. 解：a 3·a =a 3·a 21=a 213+=a 27;a 2·32a =a 2·a 32=a232+=a 38;3a a =(a·a 31)21=(a 34)21=a 32.点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.例3计算下列各式（式中字母都是正数）: （1）(2a 32b 21)(-6a 21b 31)÷(-3a 61b 65); （2）(m 41n83-)8.活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的,整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序,再解答,把自己的答案用投影仪展示出来,相互交流,其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算,可以用单项式的乘除法运算顺序进行,要注意符号,第（2）小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算,熟悉后可以简化步骤.解：（1）原式=［2×(-6)÷(-3)］a 612132-+b653121-+=4ab 0=4a;（2）(m 41n83-)8=(m 41)8(n83-)8=m 841⨯n883⨯-=m 2n -3=32nm .点评：分数指数幂不表示相同因式的积,而是根式的另一种写法.有了分数指数幂,就可把根式转化成分数指数幂的形式,用分数指数幂的运算法则进行运算了. 本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用. 变式训练 求值:(1)33·33·63; (2)6463)12527(nm . 解：(1)33·33·63=3·321·331·361=36131211+++=32=9；(2)6463)12527(nm =(6463)12527(n m =(646333)53(n m =646643643643)()5()()3(n m =42259n m =42259-n m . 例4计算下列各式: （1）(125253-)÷425; （2）322aa a ∙(a ＞0）.活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,化为同底.利用分数指数幂计算,在第（1）小题中,只含有根式,且不是同次根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了,第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,最后写出解答. 解：（1）原式=(2531-12521)÷2541=(532-523)÷521=52132--52123-=561-5=65-5;（2）322a a a ∙=32212aa a ∙=a32212--=a 65=65a .思路2例1比较5,311,6123的大小.活动：学生努力思考,积极交流,教师引导学生解题的思路,由于根指数不同,应化成统一的根指数,才能进行比较,又因为根指数最大的是6,所以我们应化为六次根式,然后,只看被开方数的大小就可以了.解：因为5=635=6125,311=6121,而125＞123＞121,所以6125>6123>6121. 所以5>6123>311.点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法. 例2求下列各式的值:(1)432981⨯;(2)23×35.1×612.活动：学生观察以上几个式子的特征,既有分数指数幂又有根式,应把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,如果根式中根指数不同,也应化成分数指数幂,然后分析解答,对(1)应由里往外432981⨯=421344)3(3⨯,对(2)化为同底的分数指数幂,及时对学生活动进行评价.解：(1)432981⨯=［34×(334)21］41=(3324+)41=(3314)41=367=633;(2)63125.132⨯⨯=2×321×(23)31×(3×22)61=231311++·3613121++=2×3=6.例3计算下列各式的值: （1）［(a23-b 2)-1·(ab -3)21(b 21)7］31;（2）1112121-+-++--a a a aa;(3)14323)(---÷a b b a.活动：先由学生观察以上三个式子的特征,然后交流解题的方法,把根式用分数指数幂写出,利用指数的运算性质去计算,教师引导学生,强化解题步骤,对(1)先进行积的乘方,再进行同底数幂的乘法,最后再乘方,或先都乘方,再进行同底数幂的乘法,对（2）把分数指数化为根式,然后通分化简,对（3）把根式化为分数指数,进行积的乘方,再进行同底数幂的运算. 解：(1)原式=(a23-b 2)31-(ab -3)61·(b 21)37=a 21b32-a 61b21-b 67=a 6121+b 672132+--=a 32b 0=a 32;另解：原式=(a 23b -2a 21b 23-·b 27)31=(a2123+b27232+--)31=(a 2b 0)31=a 32;（2）原式=11111-+-++a aa aa =)1(1-+a a a =)1(11-+-a a a a=)111(1-+-a a a= )1(2--a a =)1(2a a a-;（3）原式=（a 21b 32）-3÷(b -4a -1)21=a23-b -2÷b -2a21-=a2123+-b -2+2=a -1=a1. 例4已知a ＞0,对于0≤r≤8,r ∈N *,式子(a )8-r ·)1(4ar能化为关于a 的整数指数幂的情形有几种？ 活动：学生审题,考虑与本节知识的联系,教师引导解题思路,把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,即先把根式转化为分数指数幂,再进行幂的乘方,化为关于a 的指数幂的情形,再讨论,及时评价学生的作法.解：(a )8-r·)1(4ar =a 28r -·a4r-=a448rr --=a4316r -.16-3r 能被4整除才行,因此r=0,4,8时上式为关于a 的整数指数幂. 点评：本题中确定整数的指数幂时,可由范围的从小到大依次验证,决定取舍.利用分数指数幂进行根式运算时,结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式. 例5已知f （x ）=e x －e -x ,g （x ）=e x +e -x . （1）求［f （x ）］2－［g （x ）］2的值； （2）设f （x ）f （y ）=4,g （x ）g （y ）=8,求)()(y x g y x g -+的值.活动：学生观察题目的特点,说出解题的办法,整体代入或利用公式,建立方程,求解未知,如果学生有难度,教师可以提示引导,对（1）为平方差,利用公式因式分解可将代数式化简,对(2)难以发现已知和未知的关系,可写出具体算式,予以探求. 解：(1)［f （x ）］2－［g （x ）］2=［f （x ）+g （x ）］·［f （x ）－g （x ）］ =（e x －e -x +e x +e -x ）（e x －e -x －e x －e -x ）=2e x （－2e -x ）=－4e 0=－4; 另解：(1)［f （x ）］2－［g （x ）］2=(e x -e -x )2-(e x +e -x )2 =e 2x -2e x e -x +e -2x-e 2x -2e x e -x -e -2x =-4e x -x=-4e 0=-4; (2)f （x ）·f （y ）=（e x －e -x ）（e y －e -y ）=e x +y+e -(x+y)－e x -y －e -(x-y)=g （x+y ）－g （x －y ）=4,同理可得g （x ）g （y ）=g （x+y ）+g （x －y ）=8, 得方程组⎩⎨⎧=++=+8,y)-g(x y)g(x 4,y)-g(x -y)g(x 解得g （x+y ）=6,g （x －y ）=2.所以)()(y x g y x g -+=26=3.点评：将已知条件变形为关于所求量g （x+y ）与g （x －y ）的方程组,从而使问题得以解决,这种处理问题的方法在数学上称之为方程法,方程法所体现的数学思想即方程思想,是数学中重要的数学思想. 知能训练课本P 54练习 1、2、3. ［补充练习］教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答,教师巡视,启发,对做得好的同学给予表扬鼓励.1.(1)下列运算中,正确的是( ) A.a 2·a 3=a 6 B.(-a 2)3=(-a 3)2 C.(a -1)0=0 D.(-a 2)3=-a 6(2)下列各式①42)4(n -,②412)4(+-n ③54a ,④45a （各式的n ∈N ,a ∈R ）中,有意义的是( )A.①②B.①③C.①②③④D.①③④ (3)24362346)()(a a ∙等于( )A.aB.a 2C.a 3D.a 4(4)把根式－232)(--b a 改写成分数指数幂的形式为( )A.-2(a-b)52-B.-2(a-b)25-C.-2(a52--b 52-) D.-2(a25--b 25-)(5)化简（a 32b 21）（-3a 21b 31）÷（31a 61b 65）的结果是( )A.6aB.-aC.-9aD.9a 2.计算：(1)0.02731-－（－71）-2+25643－3-1+（2－1）0=________.(2)设5x =4,5y =2,则52x -y =________.3.已知x+y=12,xy=9且x ＜y,求21212121yx y x +-的值.答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)83.解：21212121yx y x +-=))(())((2121212121212121y x y x y x y x -+--=yx yy x x -+-21212.因为x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27. 又因为x ＜y,所以x-y=-2×33=-63.所以原式36612--=33-. 拓展提升1.化简111113131313132---+++++-x xx x x x x x .活动：学生观察式子特点,考虑x 的指数之间的关系可以得到解题思路,应对原式进行因式分解,根据本题的特点,注意到: x-1=(x 31)3-13=(x 31-1)·(x 32+x 31+1); x+1=(x 31)3+13=(x 31+1)·(x 32-x 31+1); x-x 31=x 31［(x 31)2-1］=x 31(x 31-1)(x 31+1). 构建解题思路教师适时启发提示.解：111113131313132---+++++-x xx x x x x x =111)(11)(3131323131333131323331---+++++-x x x x x x x x x=)1()1)(1(1)1)(1(1)1)(1(31313131313132312132313231-+--++-++++++-x x x x x x x x x x x x x=x 31-1+x 32-x 31+1-x 32-x 31=-x 31. 点拨:解这类题目,要注意运用以下公式, (a 21-b 21)(a 21+b 21)=a-b, (a 21±b 21)2=a±2a 21b 21+b, (a 31±b 31)(a32 a 31b 31+b 32)=a±b.2.已知a 21+a21-=3,探究下列各式的值的求法.(1)a+a -1;(2)a 2+a -2;(3)21212323----aa a a .解：(1)将a 21+a21-=3,两边平方,得a+a -1+2=9,即a+a -1=7;(2)将a+a -1=7两边平方,得a 2+a -2+2=49,即a 2+a -2=47; (3)由于a 23-a23-=(a 21)3-(a21-)3,所以有21212323----aa a a =2121212112121))((-----++-aa a a a a a a =a+a -1+1=8.点拨:对“条件求值”问题,一定要弄清已知与未知的联系,然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值. 课堂小结 活动：教师,本节课同学们有哪些收获?请把你的学习收获记录在你的笔记本上,同学们之间相互交流.同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点:(1)分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a mn =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1),正数的负分数指数幂的意义是amn -=mn a1=nma 1(a>0,m,n ∈N *,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.(2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. (3)有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r 、s,均有下面的运算性质: ①a r ·a s =a r+s (a>0,r,s ∈Q ), ②(a r )s =a rs (a>0,r,s ∈Q ), ③(a·b)r =a r b r (a>0,b>0,r ∈Q ). (4)说明两点:①分数指数幂的意义是一种规定,我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性,其中没有推出关系.②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用.因而分数指数幂与根式可以互化,也可以利用(a n )nm =nm n a⨯=a m 来计算.作业课本P 59习题2.1A 组 2、4.设计感想本节课是分数指数幂的意义的引出及应用,分数指数是指数概念的又一次扩充,要让学生反复理解分数指数幂的意义,教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解,用观察、归纳和类比的方法完成,由于是硬性的规定,没有合理的解释,因此多安排一些练习,强化训练,巩固知识,要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务.(设计者：郝云静)。
