《线性代数》考研辅导1

第一章 行列式◆ 基础知识概要1.n 阶行列式的定义二阶行列式2112221122211211a a a a a a a a -=.三阶行列式.333231232221131211a a a a a a a a a 112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---.对角线法则：n 阶行列式的定义()1212111212122212,,,121...n nn tnj j nj j j j n n nna a a a a a D aa a a a a ⋅⋅⋅==-∑ ,它是取自不同行不同列的n 个数的乘积1212...n j j nj a a a 的代数和（共!n 项），其中各项的符号为()1t-，t 代表排列12,,,n j j j ⋅⋅⋅的逆序数，简记为()det ij a .n 阶行列式也可定义为()121212,,,1...nnt i i i n i i i D a a a ⋅⋅⋅=-∑，其中t 为行标12,,,n i i i ⋅⋅⋅排列的逆序数.例1.1 计算行列式（1）12n λλλ；（2）12nλλλ.练习：计算下列行列式（1）234134201300400； （2）111212220n nnna a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（上三角形行列式）；（3）11212212n n nna a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ （下三角形行列式）.2. 行列式的性质与计算 2.1行列式的性质（1）行列式与其转置行列式相等；（2）互换行列式的某两行(列)得到新行列式则新行列式应反号；特别地：若行列式中有两行(列)对应元素相等，则行列式等于零； （3）行列式中某一行(列)的所有元素的公因数可以提到行列式的外面； 即以数k 乘以行列式等于用数k 乘以行列式的某一行或某一列； 特别地：若行列式中有一行(列)的元素全为零，则行列式等于零； （4）行列式中如果有某两行(列)对应元素成比例，则行列式的值为零； 特别地：比例系数为1（5）若行列式的某一列（行）的元素是两数之和，例如，第i 列的元素都是两数之和：()()()1112111212222212i i n i i nn n ni ninn a a a a a a a a a a D a a a a a '⋅⋅⋅+⋅⋅⋅'⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，则D 等于如下两个行列式之和：1112111112112122222122221212i n i n i n i n n n ninnn n ninn a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a '⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.（6）把行列式的某一行(列)的各元素的k 倍加到另一行(列)的对应元素上，行列式的值不变.注：（1）交换行列式的第,i j 两行（或列），记作i i r r ↔（或i j c c ↔）； （2）第i 行（列）提出公因子k ，记作i r k ÷（或i c k ÷）；（3）以数k 乘第j 行（列）加到第i 行（列）上，记作i j r kr +（或i j c kc +）.范德蒙（Vandermonde ）行列式()3122222123111111231111nn i j nj i nn n n n nx x x x V x x x x x x x x x x ≤<≤----⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅∏注 右边是“大指标减小指标”.例1.2 计算行列式111311212524131122D ---=.（答：332）练习：计算行列式（1）3112513420111533D ---=---；（答：40）（2）3111131111311113D =；（答：48） (3) 1234234134124123D =；（答：160） （4）2324323631063a b c d aa b a b c a b c d D a a b a b c a b c d aa b a b c a b c d++++++=++++++++++++；（答：4a ）（5）222111a ab acD ab b bc acbcc +=++；（答：2221a b c +++） （6）1234000000a x a a a x xD x x x x +-=--；（答：431i i x x a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑） （7）222b c c aa b D ab c a b c +++=； （8）()()()()()()()()()()()()2222222222222222123123123123a a a a b b b b D cc c cd d d d ++++++=++++++.2.2行列式依行（列）展开余子式：ij M ，代数余子式：()1i jij ij A M +=-定理1.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即()112211,2,,ni i i i in in ik ik k D a A a A a A a A i n ==++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅∑，或()112211,2,,nj j j j nj nj kj kj k D a A a A a A a A j n ==++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅∑.注：此定理的主要作用是——降阶.推论 行列式的任一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式乘积之和等于零，即()112210ni j i j in jn ik jk k D a A a A a A a A i j ==++⋅⋅⋅+==≠∑，或()112210ni j i j ni nj ki kj k D a A a A a A a A i j ==++⋅⋅⋅+==≠∑.例1.3 用降阶的方法解例1.2.练习：用降阶的方法求解上面练习第（1）题.例1.4 设1121234134124206A --=-，求（1）12223242234A A A A -+-； （2）3132342A A A ++.解 （1）1222324212122122313241422340A A A A a A a A a A a A -+-=+++=. （2）因为ij A 的大小与元素ij a 无关，因此，313234112111214132341410322121401201120142642064206A A A -----++===-=---.练习：（1）设1234511122321462221143156，则（a ）313233A A A ++=？（b ）3435?A A +=（c ）5152535455?A A A A A ++++=（答：0，0，0）（2）设,ij ij M A 分别为行列式3010222202001201D =--中元素ij a 的余子式和代数余子式，试求（a ）31323334A A A A +++； （b ）41424344M M M M +++； （c ）14244432M M M -++.2.3拉普拉斯（Laplace ）展开定理定义 在一个n 阶行列式D 中，任意选定k 行（比如第12,,k i i i ⋅⋅⋅行）和k 列比如12,,k j j j ⋅⋅⋅列）（k n ≤）.位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的位置组成一个k 阶行列式，称为行列式D 的一个k 阶子式，记作1212k k i i i A j j j ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅⎝⎭，划去12,,k i i i ⋅⋅⋅行和12,,k j j j ⋅⋅⋅列后余下的元素按照原来的位置组成的n k -阶行列式，称为k 阶子式1212k k i i i A j j j ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭的余子式，记作1212k c k i i i A j j j ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅⎝⎭.在余子式前面加上符号()()()12121k k i i i j j j ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-后被称之为的代数余子式.记作()121212121s t k k c c k k i i i i i i A A j j j j j j +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭，这里1212,k k s i i i t j j j =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+.定理1.2 在n 阶行列式D 中，任意选定k 列121k j j j n ≤<<⋅⋅⋅<≤，则12121211212k k k c i i i nk k i i i i i i D A A j j j j j j ≤<<⋅⋅⋅<≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭∑. 类似地，任意选定k 行121k i i i n ≤<<⋅⋅⋅<≤，则12121211212k k k c j j j nk k i i i i i i D A A j j j j j j ≤<<⋅⋅⋅<≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭∑.证 （略）注 这是定理1.2的推广，它仍然是一种——降阶的思想.例1.4 在行列式1214012110130131D -=中取定1，2行，得到6个子式1,21211,201A ⎛⎫==- ⎪-⎝⎭， 1,21121,302A ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 1,21411,401A ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 1,22152,312A ⎛⎫== ⎪-⎝⎭， 1,22462,411A ⎛⎫== ⎪-⎝⎭， 1,21473,421A ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 对应的代数余子式分别是()()()12121,213181,231c A +++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ()()()12131,203131,311c A +++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ()()()12141,201111,413c A +++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ()()()12231,213112,301c A +++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ()()()12241,211132,403c A +++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ()()()12341,210113,401c A +++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 由Laplace 展开定理可知()()()()()1823115163717D =-⨯-+⨯+⨯-+⨯+⨯-+-⨯=-.例1.5 证明111111111111111111110000k k r k kk k r k kk r rrr rkr rra a a ab b a ac c b b a a b b c c b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅. 证 由Laplace 定理展开，选定第1,2,,k ⋅⋅⋅行，得12112121,2,1,2,,k c j j j nk k k k D A A j j j j j j ≤<<⋅⋅⋅<≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭∑1,2,1,2,,1,2,,1,2,,c k k A A k k ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭()()()1111111212111k rk k k kk r rra ab b a a b b ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅11111111k rk kk r rra ab b a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.注 例1.5的结论可以简记为A ABC B=⋅.练习：1.计算（1）123451234512121200000000a a a a ab b b b bc cd de e ； （2）1111111111110000k kk krk kk rr rrc c a a c c a a b b b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.2. 设A 为n 阶方阵，A a =，B 为m 阶方阵，B b =，则23O AB O为（ ）（A ）6ab -, （B ）23n mab -, （C ）()123mnn m ab -, （D ）()123m nn m ab +-.◆ 行列式的计算举例例1.6 计算n 阶行列式n x a a a a x a aD a a x a a a a x=解法1112,3,2,3,(1)(1)(1)000(1)000(1)000i i C C r r ni ni nx n a a a a x n a aa a x n a x a a x a D x n a a x a x a x n a a a x x a+-==+-+-+--==+--+-- []()1(1)n x n a x a -=+--.解法212,3,11111100010000100001i r r n i n nn n a a a a a a a a xaa axaa ax aa x a aa x a a x a D aa x a a a x a x a a a a x aaa xx a -=+++----===----①如果x a =，则1110000100000100001n n a a a a D +--==--②如果x a ≠，则12,3,11100000000(1)()0000C i x anax aC n nanx ai n n a a a a x a x a D x a x a x a --+-=+++--==+--- .综合①、②有：()()11n n D x n a x a -=+--⎡⎤⎣⎦.例1.7 计算行列式1221100001000000001n nn n xx x xa a a a x a ----∆=-+.解 按第一列展开，12321100001000001n n n n x x x x a a a a xa -----∆=-+110001000(1)01000001n n xa x x +--+---()121n n n n n x a x x a a ---=∆+=∆++221n n n x a x a --=∆++== 12121n n n n x a x a x a ---∆++++又111x a x a ∆=+=+，11n n n n x a x a -∴∆=+++ .例1.8 计算2n a ba bab Dcd c dcd=.解法1 依第一行展开12200(1)00000000n n a ba b ab a b D ab cdc dcdcdd c +=+-2112(1)2(1)2(1)(1)()n n n n adD bc D ad bc D -+---=--=-,222(1)2(2)112()()()()().n n n n n n D ad bc D ad bc D a b ad bc D ad bc ad bc cd----=-=-==-=-=-解法2 利用Laplace 展开定理，选定第1行和第2n 行展开，则1221212121,21,2,,c n j j nn n D A A j j j j ≤<≤⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑1,21,21,21,2c n n A A n n ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()1212211n n n a b D c d+++-=⋅-()()21n ad bc D -=-⋅=⋅⋅⋅ 1()n ab ad bc cd-=- ().n ad bc =-练习：计算n 阶行列式（1）122222222232222n D n=；（答：()22!n --）（2）01211111001001n n a a a D a -=，其中110n a a -⋅⋅⋅≠；（答：111011n n i i a a a a --=⎛⎫⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭∑）（3）2222212121212naa aa aDaaa a=；（答：()1nn a+）（4）()()()()111111111n nnn nnna a a na a a nDa a a n----⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅；（5）1231110000220000011 nn n Dn n⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--。

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第⼀章⾏列式简版2010.7线性代数考研辅导考试⼤纲规定数学⼀中现⾏代数的考试内容包括⾏列式、矩阵、向量、线性⽅程组、特征值和特征向量、⼆次型这6部分内容，2006年以前线性代数所占内容⽐例约为20%. 从2007年起，线性代数所占内容⽐例上升⾄约为22%. 历年考题的分数分布见下表.第⼀章⾏列式知识脉络图≠==-=≠=?=???-==∑∑∑=+=数）⽅程的根⾏列式表⽰的函数（代⼏何应⽤克莱姆法则及应⽤应⽤）利⽤范德蒙⾏列式（）归纳（）递推（）加边（）拆项（）消零展开（）三⾓化法（⽅法展开元素的规律性，性质，计算，代数余⼦式余⼦式展开式变倍加到另⼀⾏，其值不某⾏两⾏互换，⾏列式变号（数乘）提出公因⼦拆项（加法）⼀⾏为零或两⾏成⽐例性质逆序的定义归纳定义定义⾏列式7654321 ,0 ,)1()6()5()0()4()3(0A )2()1()1(A 1,21)(111212121n j kj ij ijj i ij ij T j j j nj j j j j j ni i i k i ki A A a M A M k k k A A a a a A A a n nn τ第⼀章⾏列式考试⼤纲（⾏列式部分）考试内容⾏列式的概念和基本性质⾏列式按⾏（列）展开定理考试要求1．了解⾏列式的概念，掌握⾏列式的性质。

2．会应⽤⾏列式的性质和⾏列式按⾏（列）展开定理计算⾏列式。

基本内容⼀、⾏列式定义 1．定义111212122212n n n n nna a a a a a a a an n nj j j j j j a a a 221211)()1(τ∑-=其中逆序数()121n j j j j τ= 后⾯的1j ⼩的数的个数 2j +后⾯⽐2j ⼩的数的个数+ 1n j -+后⾯⽐1n j -⼩的数的个数.2．三⾓形⾏列式11121222000n n nn a a a a a a11212212000n n nna aa a a a =1122nn a a a =1211000n n n nn nn a a a a a - 111212122100n n a a a aa a =()()12112111n n n n n a a a τ--=-()()1212111n n n n n a a a --=-⼆、⾏列式性质和展开定理1．会熟练运⽤⾏列式性质，进⾏⾏列式计算.2．展开定理1122i k i k in kn ik a A a A a A A δ+++= A A a A a A a jk nk nj k j k j δ=+++2211三、重要公式设A 是n 阶⽅阵，则1．TA A =2．11AA --=3．1*n A A-=4．nkA k A =5．AB A B =，其中B 也是n 阶⽅阵 6．设B 为m 阶⽅阵，则0A C A A B B C B == ()010mnA CA AB BC B==- 7．范德蒙⾏列式()1222212111112111n ijn j i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏四．有关结论 1．对于,n n n n A B ?? (1)00A A ?==?(2) A B A B ?==?2. A 为n 阶可逆矩阵()0A r A n A ≠?=?可逆A E A E→?→⾏变列变（A 与E 等价） 0AX ?=只有惟⼀零解AX b ?=有惟⼀解（克莱姆法则） A ?的⾏（列）向量组线性⽆关 A ?的n 个特征值0,1,2,,i i n λ≠= A 可写成若⼲个初等矩阵的乘积 ?)()(B r AB r = ?A A T 是正定矩阵A 是n R 中某两组基之间的过渡矩阵3. A 为n 阶不可逆矩阵0=A0AX ?=有⾮零解n A r <)(0是A 的特征值A A -=4.若A 为n 阶矩阵，)2,1(n i i =λ为A 的n 个特征值，则∏==ni i A 1λ5.若B A ~，则B A =⾏列式的基本计算⽅法：1. 应⽤⾏列式的性质化简⾏列式（例如化为三⾓形⾏列式就是⼀个常⽤⽅法）。

考研竞赛凯哥线代讲义【最新版】目录1.考研竞赛凯哥线代讲义概述2.线代讲义的主要内容3.线代讲义的适用对象和特点4.如何有效地利用线代讲义进行考研复习正文【考研竞赛凯哥线代讲义概述】考研竞赛凯哥线代讲义是一本针对考研数学线性代数部分的辅导教材。

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3.及时总结：在学习过程中，及时总结自己的不足之处，针对性地进行强化训练。

4.结合真题：将讲义中的知识点和解题方法应用到历年真题中，提高自己的应试能力。

线性代数第四章考研辅导资料一、填空选择题1.若非齐次线性方程组123121231,3,31kx x x x kx x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩ 有唯一解，则（）.A ．0k =或3k = B.0k ≠ C.3k ≠ D.0k ≠且3k ≠2.当λ取（ ）时,方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x +-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩λλλλλλ有无穷多解.A.1B.2C.3D.43.非齐次方程组Ax b =中未知量个数为n ,方程个数为m ,系数矩阵A 的秩为r , 则（ ）A.r m =时,方程组Ax b =有解;B.r n =时,方程组Ax b =有唯一解;C.m n =时,方程组Ax b =有唯一解;D.r n <时,Ax b =有无穷解.4.设A 为m n ⨯矩阵,齐次线性方程组0Ax =仅有零解的充分条件是（ ）A.A 的列向量线性无关;B.A 的列向量线性相关;C.A 的行向量线性无关;D.A 的行向量线性相关.5.已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解,12,αα是对应的齐次线性方程组0Ax =的基础解系,12,k k 为任意常数,则方程组Ax b =的通解是（ ） A.1211212()2k k ββααα-+++ B31211212()2k k ββααα++-+; C.1211212()2k k ββαββ-+++ D31211212()2k k ββαββ++-+6.设123,,ααα是四元非齐次线性方程组Ax b =的三个解向量,且()3R A =,()()T T 1121,2,3,4,0,1,2,3=+=ααα,则线性方程组Ax b =的通解为（ ） A.11213141k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.10213243k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.12233445k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.13243546k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7.设12,αα是非齐次线性方程组Ax b =的解，β是对应的齐次方程组0Ax =的解，则Ax b =必有一个解是（ ）A. 12αα+B. 12αα-C. 12βαα++D.121122βαα++ 8.设A 为n 阶实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组（Ⅰ）0Ax =和（Ⅱ）T 0A Ax =必有（ ）.A.（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解B ．（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解C ．（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解D ．（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解9.设A 为n 阶实矩阵，且A 中某元素的代数余子式0ij A ≠，则0Ax =的基础解系中所含向量个数为（ ）A.1B.iC.jD.n10.设有非齐次线性方程组Ax b =，下列说法正确的是（ ）A.导出组0Ax =只有零解时，Ax b =只有唯一解；B.导出组0Ax =有非零解时，Ax b =有无穷多解；C.若Ax b =有两个互异解，则Ax b =有无穷多解；D.以上都不对11.设n 阶矩阵A 的各行元素之和为零，且A 的秩为1n -，则线性方程组0Ax =的通解为_____.12.设齐次线性方程组为120n x x x +++=，则它的基础解系所含向量个数为 .13.若非齐次方程组123412341234 242 217411x x x x x x x x x x x x λ+-+=⎧⎪-++=⎨⎪+-+=⎩ 有解，则λ=14.若齐次方程组123123123 0 00x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有非零解的充分必要条件是λ=15.线性方程组123123123123332x x x x x ax x ax x +-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解，则a 满足条件16.设12,,,s γγγ为非齐次方程组Ax b =的一组解，且1122s s c c c γ+γ++γ亦为Ax b =的解，则12s c c c +++= 17.五元齐次线性方程组0Ax =的同解方程组为122300x x x +=⎧⎨=⎩，则A 的秩为二、解答题1.求非齐次线性方程组1234123412342 1422221x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩的通解2设方程组123123123(1)0(1)3(1)+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩k x x x x k x x x x k x k ， 问k 取何值时，此方程组（1）有唯一解； （2）无解； （3）有无穷多解？并在有无穷多解时求通解.。