材料力学——应力分析

9
目录
目的： 研究过一点的各个面上的
应力情况，找到过该点的最大 应力（正应力，切应力），以 及其平面方位。
10
三、如何描述一点的应力状态
单元体
单元体的性质：
dz
dy
dx
a、单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布； b、任意一对平行平面上的应力相等
11
3、单元体法
P
（1）单元体截取方法: 围绕该点 (a)
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin
2
d d
( x
y ) sin
2
2 xy cos 2
设α＝α0 时，上式值为零，即
( x y ) sin 20 2 xy cos 20 0
2(σx
σy 2
) si
n
2
α0
τx
yc
os
2
α0
2τα0
0
即α＝α0 时，切应力为零
31
目录
（2）主平面的位置
tg
2α 0
σ
2τ xy
x σ
y
α1 α 2 α1 900
} σ max
σ min
σx σy 2
(σ
x σ 2
y
2
)
τ
2 xy
以1代表max作用面的方位角， 2代表min作用面的方位角。
32
σ x σ y ,则 α1 450 (α1在 900 范围内取值)
若 σ x σ y ,则 α1 450
2
sin2 1 (1 cos 2 )
2
2sin cos sin2
并注意到 yx xy 化简得
1 2
(
x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin
2
1 2
(
x
y ) sin
2
xy
cos 2
30
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
3. 正应力极值和方向
确定正应力极值
1 2
( x
21
三向应力状态
z
z
zx zy
3
2
xz yz
x x
xy
yx
y y
1
单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力
称为主应力，分别用 1, 2 , 3 表示，并且 1 2 3
该单元体称为主应力单元。
22
目录
一般平面应力状态
σy
τyx
τ xy
x
σx
yx xy
y
23
一般单向应力状态或纯剪切应力状态
第七章
应力和应变分析 强度理论
1
目录
目 第七章 应力状态分析 录
应力状态的概念 用解析法分析二向应力状态 用图解法分析二向应力状态 三向应力状态 广义胡克定律 三向应力状态下的应变能密度 强度理论概述 四种常见的强度理论
2
目录
§7-1 应力状态的概述 一、什么是应力状态？ 二、为什么要研究应力状态? 三、如何描述一点的应力状态?
6
应力的点的概念与面的概念
应力
指明
哪一个面上？ 哪一点？
哪一点？ 哪个方向面？
应力状态: ——过同一点不同方向面上应力的集合，称
为这一点的应力状态；
7
二、为什么要研究应力状态？
两种材料的拉伸试验
铸铁拉伸
低碳钢拉伸
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
8
7—1 应力状态的概念
低碳钢
铸铁
脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？
t
yx(dAsin ) cos y (dAsin)sin 0
y
Ft 0
dA xy(dAcos ) cos x (dAcos )sin
yx(dAsin )sin y (dAsin ) cos 0
29
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
{ 利用三角函数公式
cos2 1 (1 cos 2 )
S平面
F
F
1
1
F
A
1
15
目录
S平面
n
F
1
F
1
90
同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式.
16
目录
l
SF
a
Fa T
M
Fl
S平面 y
1
T
4
z
x
2
3 Mz
1
τ
T Wp
σ
Mz Wz
3
τ
T Wp
17
目录
σ
M W
z z
y
1
4
z
2
x
3
S平面
18
y
1
FQy
1
4
4 Mz
x
z
2
Mx
3
3
19
应力状态的概念
y
x
x
y
yx
xy
x
单向应力状态
纯剪应力状态
24
一点的三应力状态 向 应 力 状 特例 态
平
面
应
单向应力状态
力
状 特例
态
纯剪应力状态
25
7-3 二向应力状态分析--解析法
26
7-2 二向应力状态分析--解析法
1.正负号规则
y yx
x a
xy
x
y
α x
a
n
a
xy
x
t yx y
正应力：拉为正；反之为负 切应力：使微元顺时针方向 转动为正；反之为负。
α角：由x 轴正向逆时针转
到斜截面外法线时为正；反 之为负。
27
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
2.斜截面上的应力
x a
y
yx xy
x
y
x αa
n
a
xy
dA
yx
t
y
Fn 0 Ft 0
28
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
列平衡方程
Fn 0
x αa
n
a
xy
Fra Baidu bibliotek
dA
dA xy(dAcos )sin x (dAcos ) cos yx
A 取出一个单元体。
例如 图 9-1a 所示矩形截面
悬臂梁内A点的应力状态
(c)
(b) a
σ
b
d σ
A
c
12
6 提取工字形截面梁上一点的应力状态
FP S平面
l/2
l/2
13
5
FQ
FP 2
S平面
5
4
4
3
3
Mz
FPl 4
2
2
1
1
x1
1
2
x2
3
3 3
2 2
2 2
4
x2
x1
5
14
示例一
3
一、什么是应力状态？ 应力的点
应力的面
（一）、应力的点的概念:
（实心截面）
T
Ip
4
My
Mz
Iz
FQ
FS
S
* z
bI z
横截面上的正应力分布
横截面上的切应力分布
结果表明：
同一面上不同点的应力各不相同，即应力的点的概念。
5
F
F
A
F
cos2
2
sin 2
过同一点不同方向面上的应力各不相同， 即应力的面的概念
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, 30。
试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
{ 若 σ x σ y
,则 α1
450 450
(τ x 0) (τ x 0)
33
x
y
2
x
y
2
cos2
xysin2
x
y
2
sin2
xycos2
max
min
x y
2
(x
y
2
)2
2 xy
tan
2α0＝－
σ
2τ xy x σ
y
34
7-2 二向应力状态分析--解析法
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
。 主平面：单元体中剪应力等于零的平面
主单元体：在单元体各侧面只有正应力
而无剪应力
3
2
主应力：主平面上的正应力。
主方向：主平面的法线方向。
1
约定：
20
1
2
3
应力状态的分类
3
2
1
1
2
3
单向应力状态：三个主应力中，只有一个主应力不等于零的情况。 二向应力状态：三个主应力中有两个主应力不等于零的情况。 三向应力状态：三个主应力皆不等于零的情况。