2015十三校联考 上海市十三校2015届高三第二次联考 数学文 Word版含答案

2015虹口二模Word版上海市虹口区2015届高三二模数学理试题 Word版含答案虹口区2015年数学学科（理科）高考练卷时间120分钟，满分150分。

2015年4月21日。

一、填空题（本大题满分56分）1.计算：$\frac{1+i}{1+i^2}$ = $\frac{1+i}{1-1}$ = $-i$2.已知函数$f(x)$ = $\begin{cases}2x。

(x\leq 1) \\ x。

(x>1)\end{cases}$，则$f(f(-3))$ = $f(2)$ = 43.函数$f(x)$ = $ln(\frac{1}{x}+1)$，则$f^{-1}(x)$ = $\frac{1}{1+e^{-x}}$4.已知正实数$x,y$满足$x+3y=1$，则$\frac{13x}{xy}$的最小值为$\frac{13}{9}$5.已知复数$z$ = $3sin\theta+icos\theta$，且$z$ = 5，且当$\theta$为钝角时，$tan\theta$ = $-\frac{4}{3}$6.在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，XXX同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么XXX同学的选科方案有20种。

7.设数列$\{a_n\}$前$n$项的和为$S_n$，若$a_1$ = 4，且$a_{n+1}$ = $3S_n$，则$S_n$ = $\frac{4(3^n-1)}{2}$8.在极坐标系中，过点$(2,\frac{\pi}{4})$且与圆$\rho$ = $2cos\theta$相切的直线的方程为$y=x\sqrt{2}$9.若二项式$(x-\frac{3}{2})^6$展开式中含$x^2$项的系数为20，则$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2x(1+a+a^2+。

2015年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学试卷(文史类)一、填空题(本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为_________.2.设全集R U =．若集合}4,3,2,1{=A ，}32|{≤≤=x x B ，则=B C A U ______.3.若复数z 满足i z z +=+13，其中i 为虚数单位，则=z ___________．4.设)(1x f -为12)(+=x x x f 的反函数，则=-)2(1f __________.5.若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为⎩⎨⎧==53y x ，则=-21c c ______． 6.若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a ．7.抛物线)0(22>=p px y 上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p _____． 8.方程2)23(log )59(log 1212+-=---x x 的解为________．9. 若x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数y x f 2+=的最大值为________.10.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为__________(结果用数值表示)．9.已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为x y 3±=，则2C 的渐近线方程为 ．10.设)(1x f -为22)(2x x f x +=-，]2,0[∈x 的反函数，则)()(1x f x f y -+=的最大值为_________．11.在62)12(x x +的二项展开式中，常数项等于________(结果用数值表示)．12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x .若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为______________．13.已知平面向量a 、b 、c 满足⊥，且}3,2,1{|}||,||,{|=，则||++的最大值是________.14.已知函数x x f sin )(=．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤≤≤≤≤m x x x ，且),2(12|)()(||)()(||)()(|*13221N m m x f x f x f x f x f x f m m ∈≥=-++-+-- ，则m 的最小值为________．二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．设1z ，C z ∈2，则“1z ,2z 均为实数”是“21z z -是实数”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是( ) A.2)32)(8(2<+++x x x B.)32(282++<+x x x C.823212+<++x x x D.218322>+++x x x 17．已知点A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为( ) A.233 B.235 C.211 D.213 18.设),(n n n y x P 是直线)(12*N n n n y x ∈+=-与圆222=+y x 在第一象限的交点，则极限=--∞→11lim n n n x y ( ) A.1- B.21-C.1D.2三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.(本题满分12分)如图，圆锥的顶点为P ，底面圆为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点.已知2=PO ，1=OA .求三棱锥AOC P -的体积，并求异面直线PA 和OE 所成角的大小.20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数xax x f 1)(2+=，其中a 为常数. (1)根据a 的不同取值，判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；(2)若)3,1(∈a ，判断函数)(x f 在]2,1[上的单调性，并说明理由.21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，O ，P ，Q 三地有直道相通，3=OP 千米，4=PQ 千米，5=OQ 千米.现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为)((t f 单位：千米).甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时，乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地；2t t =时，乙到达Q 地.(1)求1t 与)(1t f 的值； (2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当21t t t ≤≤时，求)(t f 的表达式，并判断)(t f 在],[21t t 12[,]t t 上的最大值是否超过3？说明理由.22.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D ，记AOC ∆的面积为S .(1)设),(11y x A ，),(22y x C .用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明||211221y x y x S -=； (2)设1l :kx y =，)33,33(C ，31=S ，求k 的值； (3)设1l 与2l 的斜率之积为m .求m 的值，使得无论1l 和2l 如何变动，面积S 保持不变.23.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分8分.已知数列}{n a 与}{n b 满足)(211n n n n b b a a -=-++，*N n ∈.(1)若53+=n b n ，且11=a ，求}{n a 的通项公式；(2)设}{n a 的第0n 项是最大项，即)(*0N n a a n n ∈≥.求证：}{n b 的第0n 项是最大项；(3)设031<=λa ，)(*N n b n n ∈=λ.求λ的取值范围，使得对任意m ，*N n ∈，0≠n a ，且)6,61(∈n m a a .这样看来，一般来说，生活中，若如果我们听到坏消息怎么样出现了，我们就不得不考虑它出现了的事实。

某某省某某市长郡中学等十三校联考2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A={x|x＞﹣2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∪B等于（）A．{x|x＞﹣2} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|x＞﹣3} D．{x|﹣3＜x＜3} 2．（5分）不等式1＜x＜成立是不等式（x﹣1）tanx＞0成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件3．（5分）为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容量1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在6．（5分）下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=sin2x B．f（x）=xe x C．f（x）=x3﹣x D．f（x）=﹣x+lnx7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．9 B．18+9C．18+3D．9+188．（5分）已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|=（）A．6 B．3 C．D．9．（5分）称d（）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则（）A．B．⊥（）C．⊥（）D．（）⊥（10．（5分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4a|（a＞0），若对∀x∈R，都有f（2x）﹣1≤f （x），则实数a的最大值为（）A．B．C．D．1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号的横线上．11．（5分）已知复数z=1+i（其中i是虚数单位），则z2+z=．12．（5分）若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为．13．（5分）函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值X围是．14．（5分）在区间和分别取一个数，记为a，b，则方程表示离心率大于的双曲线的概率为．15．（5分）在锐角△ABC中，AC=6，B=2A，则边BC的取值X围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）编号为A1，A2，…A16的16名蓝球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分15 35 21 28 25 36 18 34运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分17 26 25 33 22 12 31 38（1）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间人数（2）从得分在区间20．（13分）如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，B、F分别为其短轴的一个端点和左焦点，且|BF|=．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点为A1，A2，过定点N（2，0）的直线与椭圆C交于不同的两点D1，D2，直线A1D1，A2D2交于点K，证明点K在一条定直线上．21．（13分）设函数f（x）=﹣x+alnx（a∈R）（e=2.71828…是一个无理数）．（1）若函数f（x）在定义域上不单调，求a的取值X围；（2）设函数f（x）的两个极值点分别为x1和x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线斜率为k，若k≤•a﹣2恒成立，求a的取值集合．某某省某某市长郡中学等十三校联考2015届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A={x|x＞﹣2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∪B等于（）A．{x|x＞﹣2} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|x＞﹣3} D．{x|﹣3＜x＜3}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：直接由并集运算求解．解答：解：由集合A={x|x＞﹣2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∪B={x|x＞﹣2}∪{x|﹣3＜x＜3}={x|x＞﹣3}．故选：C．点评：本题考查了并集及其运算，是基础的会考题型．2．（5分）不等式1＜x＜成立是不等式（x﹣1）tanx＞0成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件考点：充要条件．专题：阅读型．分析：先根据x的X围，判定（x﹣1）tanx的符号，然后取x=4时，（x﹣1）tanx＞0，但4∉（1，），从而说明若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件．解答：解：∵1＜x＜∴（x﹣1）＞0，tanx＞0则（x﹣1）tanx＞0而当x=4时，（x﹣1）＞0，tanx＞0则（x﹣1）tanx＞0，但4∉（1，）∴不等式1＜x＜成立是不等式（x﹣1）tanx＞0成立的充分不必要条件故选A．点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的X围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3．（5分）为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容量1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．9 B．18+9C．18+3D．9+18考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰三角形，侧棱PB⊥底面ABC的三棱锥，结合图形，求出它的表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面是等腰三角形，侧棱PB⊥底面ABC的三棱锥，如图所示；且AC=6，PB=3；取AC的中点D，连接PD，BD，∴BD⊥AC，BD=3；∴S△ABC=AC•BD=×6×3=9，S△PAB=S△PBC=AB•PB=××3=，S△PAC=AC•PD=×6×=9，∴该几何体的表面积为S=S△ABC+S△PAD+S△PBC+S△PAC=9+++9=9+18．故选：D．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．8．（5分）已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|=（）A．6 B．3 C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线的焦点坐标和准线方程，设出P，Q的坐标，得到向量PF，FQ的坐标，由向量共线的坐标关系，以及抛物线的定义，即可求得．解答：解：抛物线C：x2=8y的焦点为F（0，2），准线为l：y=﹣2，设P（a，﹣2），B（m，），则=（﹣a，4），=（m，﹣2），∵，∴2m=﹣a，4=﹣4，∴m2=32，由抛物线的定义可得|QF|=+2=4+2=6．故选A．点评：本题考查抛物线的定义和性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．9．（5分）称d（）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则（）A．B．⊥（）C．⊥（）D．（）⊥（考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先作向量，从而，容易判断向量t的终点在直线OB上，并设，连接AC，则有．从而根据向量距离的定义，可说明AB⊥OB，从而得到．解答：解：如图，作，则，t∥，∴向量t的终点在直线OB上，设其终点为C，则：根据向量距离的定义，对任意t都有d（）=；∴AB⊥OB；∴．故选：C．点评：考查有向线段可表示向量，以及对向量距离的理解，向量减法的几何意义，共线向量基本定理．10．（5分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4a|（a＞0），若对∀x∈R，都有f（2x）﹣1≤f （x），则实数a的最大值为（）A．B．C．D．1考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得，|2x﹣a|+|x﹣4a|≤|x﹣a|+|2x﹣4a|+1恒成立，绝对值的“根”共有4个：，a，2a，4a，分类讨论求得实数a的最大值．解答：解：f（2x）﹣1≤f（x）恒成立，即|2x﹣a|﹣|2x﹣4a|﹣1≤|x﹣a|﹣|x﹣4a|恒成立，即|2x﹣a|+|x﹣4a|≤|x﹣a|+|2x﹣4a|+1恒成立．此不等式中，绝对值的“根”共有4个：，a，2a，4a，当x＜时，不等式即 a﹣2x+4a﹣x≤a﹣x+4a﹣2x+1，即0≤1．当≤x＜a时，不等式即 2x﹣a+4a﹣x≤a﹣x+4a﹣2x+1，即2x﹣≤a，故有2a﹣≤a，即a≤．当a≤x＜2a时，不等式即 2x﹣a+4a﹣x≤x﹣a+4a﹣2x+1，即x≤．当2a≤x＜4a时，不等式即 2x﹣a+4a﹣x≤x﹣a+2x﹣4a+1，即8a≤2x+1，故8a≤4a+1，可得a≤．当x≥4a时，不等式即 2x﹣a+x﹣4a≤a﹣x+2x﹣4a+1，即0≤1．综上可得，a≤，故a的最大值为，故选：B．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号的横线上．11．（5分）已知复数z=1+i（其中i是虚数单位），则z2+z=1+3i．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：把复数z=1+i直接代入z2+z，然后利用复数的平方和加法运算求解．解答：解：由z=1+i，得z2+z=（1+i）2+（1+i）=1+2i+i2+1+i=1+3i．故答案为：1+3i．点评：本题考查复数的基本概念，复数代数表达式及其几何意义，是基础题．12．（5分）若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为﹣．考点：直线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把直线的参数方程化为直角坐标方程，即可求出直线的斜率．解答：解：∵直线的参数方程为（t为参数），消去参数化为普通方程为 3x+2y ﹣7=0，故直线的斜率为﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法，求直线的斜率，属于基础题．13．（5分）函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值X围是（﹣∞，2﹣）∪．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线⇔方程f′（x）=在区间x∈（0，+∞）上有解，并且去掉直线2x﹣y=0与曲线f（x）相切的情况，解出即可．解答：解：，（x＞0）．∵函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，∴方程在区间x∈（0，+∞）上有解．即在区间x∈（0，+∞）上有解．∴a＜2．若直线2x﹣y=0与曲线f（x）=lnx+ax相切，设切点为（x0，2x0）．则，解得x0=e．此时．综上可知：实数a的取值X围是（﹣∞，2﹣）∪．故答案为：（﹣∞，2﹣）∪．点评：本题考查了导数的几何意义、切线的斜率、相互平行的直线之间的斜率关系、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于中档题．14．（5分）在区间和分别取一个数，记为a，b，则方程表示离心率大于的双曲线的概率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；概率与统计．分析：当方程表示离心率大于的双曲线，表示焦点在x轴上且离心率大于的双曲线时，计算出（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间和分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解即可．解答：解：∵方程表示离心率大于的双曲线，∴＞，∴b＞2a，它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示离心率大于的双曲线的概率为：P===，故答案为：．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率公式的运用，同时考查几何概型的概率的求法，属于中档题．15．（5分）在锐角△ABC中，AC=6，B=2A，则边BC的取值X围是．．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：根据三角形为锐角三角形，解不等式得＜A＜．再由正弦定理，得BC=，结合余弦函数的单调性加以计算，即可得到BC的取值X围．解答：解：∵锐角△ABC中，B=2A，∴，解之得＜A＜，∵AC=1，且=，∴BC==6•=，∵＜A＜，得＜cosA＜，∴2＜3，得BC=∈（2，3），故答案为：．点评：本题给出锐角三角形的一个角是另一角的二倍，求边BC的取值X围，着重考查了三角形内角和定理和利用正、余弦定理解三角形等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）编号为A1，A2，…A16的16名蓝球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分15 35 21 28 25 36 18 34运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分17 26 25 33 22 12 31 38（1）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间人数（2）从得分在区间人数 4 6 6（2）从得分在区间即（A3，A4）、（A3，A5）、（A3，A10）、（A3，A11）、（A3，A13）、（（A4，A5）、（A4，A10）、（A4，A11）、（A4，A13）、（A5，A10）、（A5，A11）、（A5，A13）、（A10，A11）、（A10，A13）、（ A11，A13）．而满足2人得分之和大于50分的有5个，故这2人得分之和大于50分的概率为=．点评：本题考查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，频率分布表的应用，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于中档题．17．（12分）如图，已知四棱锥的侧棱PA⊥底面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M在侧棱上．（1）求证：BC⊥平面BDP；（2）若侧棱PC与底面ABCD所成角的正切值为，点M为侧棱PC的中点，求异面直线BM与PA所成角的余弦值．考点：异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）证明BD⊥BC，PD⊥BC，即可证明BC⊥平面BDP；（2）取PD中点为N，并连结AN，MN，则∠PAN即异面直线BM与PA所成角，在△PAN中，利用余弦定理，即可求出异面直线BM与PA所成角的余弦值．解答：（1）证明：由已知可算得，∴BD2+BC2=16=DC2，故BD⊥BC，又PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，故PD⊥BC，又BD∩PD=D，所以BC⊥平面BDP；…6分（2）解：如图，取PD中点为N，并连结AN，MN，BM∥AN，则∠PAN即异面直线BM与PA所成角；又PA⊥底面ABCD，∴∠PCD即为PC与底面ABCD所成角，即，∴，即，又，，则在△PAN中，，即异面直线BM与PA所成角的余弦值为．…12分．点评：本题考查线面垂直，考查异面直线BM与PA所成角的余弦值，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）已知正项数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足（n≥2）．（Ⅰ）求证：{}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，不等式4T n＜a2﹣a恒成立，某某数a的取值X围．考点：等差数列与等比数列的综合；等差关系的确定．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（I）由已知可得，，结合等差数列的通项公式可求s n，进而可求a n（II）由==，利用裂项求和可求T n，求出T n的X围可求a的X围解答：解：（I）∵∴∴∴数列{}是首项为1，公差为1的等差数列∴=n∴∴=n+n﹣1=2n﹣1（n≥2）当n=1时，a1=1也适合∴a n=2n﹣1（II）∵==∴==∴T n∵4T n＜a2﹣a恒成立∴2≤a2﹣a，解得a≥2或a≤﹣1点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求数列的通项公式，及数列的裂项求和方法的应用及恒成立与最值求解的应用．19．（13分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12．将矩形纸片在右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，设EF=l，∠EFB=θ，那么的l长度取决于角θ的大小．（1）写出用θ表示l的函数关系式，并给出定义域；（2）求l的最小值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）由已知及对称性知，GF=BF=lcosθ，GE=BE=lsinθ，利用直角三角形的边角关系可得：，可得BF=≤16，可得，又显然，即可得出函数定义域．（2）由，，令f（x）=x﹣x3（），利用导数研究其单调性即可得出．解答：解：（1）由已知及对称性知，GF=BF=lcosθ，GE=BE=lsinθ，又∠GEA=∠GFB=2θ，∴AE=GEcos2θ=lsinθcos2θ，又由AE+BE=lsinθcos2θ+lsinθ=6得，，即所求函数关系式为，由得，，又显然，∴，即函数定义域为．（2）∵，，令f（x）=x﹣x3（），f′（x）=1﹣3x2=≥0，∴函数f（x）在单调递增，∴当时，，∴l的最小值为．点评：本题考查了矩形的对折问题、直角三角形的边角关系、倍角公式、三角函数的单调性、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（13分）如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，B、F分别为其短轴的一个端点和左焦点，且|BF|=．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点为A1，A2，过定点N（2，0）的直线与椭圆C交于不同的两点D1，D2，直线A1D1，A2D2交于点K，证明点K在一条定直线上．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由已知，=，e=，结合a2=b2+c2，可得椭圆C的方程；（2）通过联立直线D1D2与椭圆方程、利用韦达定理，得，，设直线A1D1、A2D2，并联立两直线方程，消去y得，计算即得结论．解答：解：（1）由已知，=，e=，且a2=b2+c2，∴，b=1，因此椭圆C的方程；（2）由题意，设直线D1D2：y=k（x﹣2），D1（x1，y1），D2（x2，y2），联立，得：（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，由韦达定理，得，①设直线A1D1：，A2D2：，联立两直线方程，消去y得：②又，，并不妨设D1，D2在x轴上方，则，，代入②中，并整理得：=，将①代入上式，并化简得，解得x=1，因此直线A1D1，A2D2交于点K在定直线x=1上．点评：本题主要考查椭圆的定义和简单性质，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．21．（13分）设函数f（x）=﹣x+alnx（a∈R）（e=2.71828…是一个无理数）．（1）若函数f（x）在定义域上不单调，求a的取值X围；（2）设函数f（x）的两个极值点分别为x1和x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线斜率为k，若k≤•a﹣2恒成立，求a的取值集合．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出导数，令g（x）=x2﹣ax+1，其判别式△=a2﹣4．讨论①当﹣2≤a≤2时，②当a＜﹣2时，③当a＞2时，由导数符号确定函数的单调性，即可得到a的X围；（2）运用韦达定理可得a=x1+x2=x2+＞2，作差f（x1）﹣f（x2），再由条件，结合恒成立思想，运用函数的单调性，构造函数F（x）=﹣x+•lnx（x＞1），通过求导，判断单调性可得x2≥e，即可得到a的X围．解答：解：（1）∵f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣﹣1+=﹣，令g（x）=x2﹣ax+1，其判别式△=a2﹣4．①当﹣2≤a≤2时，△≤0，f′（x）≤0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．②当a＜﹣2时，△＞0，g（x）=0的两根都小于零，故在（0，+∞）上，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．③当a＞2时，△＞0，设g（x）=0的两个根x1，x2都大于零，令x1=，x2=，x1x2=1，当0＜x＜x1时，f′（x）＜0，当x1＜x＜x2时，f′（x）＞0，当x＞x2时，f′（x）＜0，故f（x）分别在（0，x1），（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，综上所述，a的取值X围是（2，+∞）．（2）依题意及（1）知，a=x1+x2=x2+＞2，∵f（x1）﹣f（x2）=﹣x1+alnx1﹣（﹣x2+alnx2）=+（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），∴k==﹣﹣1+a•=﹣2+a•．若k≤•a﹣2，则﹣2+a•≤•a﹣2，∴≤，不妨设x1＜x2，则x1﹣x2≤（lnx1﹣lnx2）．又x1=，∴﹣x2≤（﹣2lnx2），∴﹣x2+lnx2≤0（x2＞1）①恒成立．记F（x）=﹣x+•l nx（x＞1），F′（x）=﹣﹣1+•，记x1′=，x2′═，由（1）③知F（x）在（1，x2′）上单调递增，在（x2′，+∞）上单调递减，且易知0＜x1′＜1＜x2′＜e．又F（1）=0，F（e）=0，所以，当x∈（1，e）时，F（x）＞0；当x∈[e，+∞）时，F（x）≤0．故由①式可得，x2≥e，代入方程g（x2）=x22﹣ax2+1=0，得a=x2+≥e+（∵a=x2+在x2∈[e，+∞）上递增）．又a＞2，所以a的取值集合是{a|a≥e+}．点评：本题考查导数的运用：求单调区间、极值，主要考查极值的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，同时考查函数的单调性的运用和基本不等式的运用，考查运算能力，属于难题．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）上海卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 函数f x=1−3sin2x的最小正周期为．2. 设全集U=R．若集合A=1,2,3,4，B=x2≤x≤3，则A∩∁U B=．3. 若复数z满足3z+z=1+i，其中i为虚数单位，则z=．4. 设f−1x为f x=x2x+1的反函数，则f−12=．5. 若线性方程组的增广矩阵为23c101c2解为x=3,y=5,则c1−c2=．6. 若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为163，则a=．7. 抛物线y2=2px p>0上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=．8. 方程log29x−1−5=log23x−1−2+2的解为．9. 若x，y满足x−y≥0,x+y≤2,y≥0,则目标函数f=x+2y的最大值为．10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．11. 在2x+1x 6的二项展开式中，常数项等于（结果用数值表示）．12. 已知双曲线C1，C2的顶点重合，C1的方程为x24−y2=1．若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为．13. 已知平面向量a，b，c满足a⊥b，且a,b,c=1,2,3，则a+b+c的最大值是．14. 已知函数f x=sin x．若存在x1，x2，⋯，x m满足0≤x1<x2<⋯<x m≤6π．且f x1−f x2+f x2−f x3+⋯+f x m−1−f x m=12（m≥2，m∈N∗），则m的最小值为．二、选择题（共4小题；共20分）15. 设z1,z2∈C，则“ z1，z2均为实数”是“ z1−z2是实数”的 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件16. 下列不等式中，与不等式x+8x2+2x+3<2解集相同的是 A. x+8x2+2x+3<2B. x+8<2x2+2x+3C. 1x+2x+3<2x+8D. x2+2x+3x+8>1217. 已知点A的坐标为43,1，将OA绕坐标原点O逆时针旋转π3至OB，则点B的纵坐标为 .A. 332B. 532C. 112D. 13218. 设P n x n,y n是直线2x−y=nn+1n∈N∗与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限lim n→∞y n−1x n−1= A. −1B. −12C. 1D. 2三、解答题（共5小题；共65分）19. 如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P−AOC的体积，并求异面直线PA与OE 所成角的余弦值．20. 已知函数f x=ax2+1x，其中a为常数．（1）根据a的不同取值，判断函数f x的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈1,3，判断函数f x在1,2上的单调性，并说明理由．21. 如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米．现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f t（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时．乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时，乙到达P地；t=t2时，乙到达Q地．（1）求t1与f t1的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤t2时，求f t的表达式，并判断f t在t1,t2上的最大值是否超过3 ?说明理由．22. 己知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A，B和C，D．记△AOC的面积为S．（1）设A x1,y1，C x2,y2．用A，C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S= 12x1y2−x2y1；（2）设l1:y=kx，C33,33，S=13，求k的值．（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1与l2如何变动，面积S保持不变．23. 已知数列a n与b n满足a n+1−a n=2b n+1−b n，n∈N∗．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求a n的通项公式；（2）设a n的第n0项是最大项，即a n≥a n（n∈N∗），求证：b n的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ<0，b n=λn（n∈N∗），求λ的取值范围，使得对任意m,n∈N∗，a n≠0，且a ma n ∈16,6．答案第一部分1. π2. 1,43. 14+12i4. −235. 166. 47. 28. 29. 310. 12011. 24012. x24−y24=113. 3+【解析】当c与向量a+b方向相同时，a+b+c有最大值．当c=1时，a+b+c的最大值为1+22+32=1+13．当c=2时，a+b+c的最大值为2+2+32=2+10．当c=3时，a+b+c的最大值为3+2+22=3+5．平方后比较它们的大小知，a+b+c的最大值为3+5．14. 8【解析】首先由正弦函数的性质知f x i−f x i+1≤2，i=1,2,⋯,m−1，所以12≤2m−1，得到m≥7．若m=7，意味着等号同时取到，故x i+1−x i≥π，i=1,2,⋯,6，从而有x7−x1≥6π，而此时只能有x1=0，故f x2−f x1≤1<2，矛盾，所以m>7．当x1=0，x8=π，x2=π2,x3=3π2,x4=5π2,⋯,x7=11π2时，满足要求，故m的最小值为8，第二部分15. A16. B 17. D 【解析】设B x,y，OA的倾斜角为α，且OA=7，所以sinα=17，cosα=437，所以OB的倾斜角为α+π3，所以sin α+π3=y7，解得y=132．18. A 【解析】当n→+∞时，直线2x−y=nn+1→2x−y=1与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近点1,1，而y n−1x n−1是P n x n,y n与点1,1之间的斜率，其值无限接近于圆x2+y2=2在点1,1处切线的斜率，可求斜率为−1，所以limn→∞y n−1x n−1=−1．第三部分19. V P−AOC=13×12×2=13．因为AC∥OE，所以∠PAC为异面直线PA与OE所成的角或其补角．由PO=2，OA=OC=1，得PA=PC=5，AC=2．在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC=1010，故异面直线PA与OE所成角的余弦值为1010．20. （1）f x的定义域为x x≠0,x∈R，关于原点对称．f−x=a−x2+1−x =ax2−1x，当a=0时，f−x=−f x，故f x为奇函数，当a≠0时，由f1=a+1，f−1=a−1，知f−1≠f1，且f−1≠−f1，f x既不是奇函数也不是偶函数．（2）设1≤x1<x2≤2，则f x2−f x1=ax22+1x2−ax12−1x1=x2−x1 a x1+x2−1x1x2，由1≤x1<x2≤2，得x2−x1>0，2<x1+x2<4，1<x1x2<4，−1<−1x1x2<−14，又1<a<3，所以2<a x1+x2<12，得a x2+x1−1x1x2>0，从而f x2−f x1>0，即f x2>f x1，故当a∈1,3时，f x在1,2上单调递增．21. （1）t1=38．记乙到P时甲所在地为R，则OR=158千米．在△OPR中，PR2=OP2+OR2−2OP⋅OR cos∠O，所以f t1=PR=3841（千米）．（2）t2=78．如图建立平面直角坐标系，设经过t小时，甲，乙所在位置分别为M，N．当t∈38,78时，M3t,4t，N3,8t−3，f t=3t−32+−4t+32=25t2−42t+18，f t在38,78上的最大值是f38=3418，不超过3．22. （1）直线l1:y1x−x1y=0，点C到l1的距离d=1212x1+y1因为OA= x1212，所以S=12 OA ⋅d=12x1y2−x2y1．（2）由y=kx,x2+2y2=1.得x12=11+2k2．由（1）得S=12x1y2−x2y1=13x1−3⋅kx1=3 k−1 61+2k2由题意，得3 k−61+2k2=13，解得k=−15或−1．（3）设l1:y=kx，则l2:y=mkx，设A x1,y1，C x2,y2．由y=kx,x2+2y2=1,得x12=11+2k2,同理x22=11+2mk 2=k2k2+2m2.由（1），得S=1x1y2−x2y1=1x1⋅mx2−x2⋅kx1=12⋅k2−mk⋅x1x2=k2−m21+2k2⋅ k2+2m2整理得8S2−1k4+4S2+16S2m2+2m k2+8S2−1m2=0.由题意知，S与k无关，则8S2−1=0,4S2+16S2m2+2m=0,得S2=1 ,m=−1 .所以m=−12．23. （1）由b n+1−b n=3，得a n+1−a n=6，所以a n是首项为1，公差为6的等差数列，故a n的通项公式为a n=6n−5，n∈N∗．（2）由a n+1−a n=2b n+1−b n，得a n+1−2b n+1=a n−2b n，所以a n−2b n为常数列，a n−2b n=a1−2b1，即a n=2b n+a1−2b1，因为a n≥a n，n∈N∗，所以2b n0+a1−2b1≥2b n+a1−2b1，即b n≥b n，故b n的第n0项是最大项．（3）因为b n=λn，所以a n+1−a n=2λn+1−λn，当n≥2时，a n=a n−a n−1+a n−1−a n−2+⋯+a2−a1+a1=2λn−λn−1+2λn−1−λn−2+⋯+2λ2−λ+3λ=2λ2+λ.当n=1时，a1=3λ，符合上式，所以a n=2λn+λ．因为a1=3λ<0，且对任意n∈N∗，a1a n ∈16,6，故a n<0，特别地，a2=2λn+λ<0，于是λ∈ −12,0．此时对任意n∈N∗，a n≠0．当−12<λ<0时，a2n=2λ2n+λ>λ，a2n−1=−2λ2n−1+λ<λ，由指数函数的单调性知，a n的最大值为a2=2λ2+λ<0，最小值为a1=3λ．由题意a ma n 的最大值及最小值分别为a1a2=32λ+1及a2a1=2λ+13．由2λ+13>16及32λ+1<6，解得−14<λ<0．综上所述，λ的取值范围为 −14,0．。