江苏省宿迁市剑桥国际学校高三上学期12月月考试题 数学

侧视图正视图 俯视图2021年高三上学期第三次（12月）月考数学（理）试题 含答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2已知是虚数单位，若，则的共轭复数的虚部为（ ） A ．B ．C ．D ．3.给出下列两个命题，命题“”是“”的充分不必要条件；命题q ：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 （ ） A. B.C.D.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ） A ． B ． C ． D ．6将甲、乙等名学生分配到三个不同学校实习，每个学校至少一人，且甲、乙在同一学校的分配方案共有（）A．种 B．种 C．种 D．种7．已知变量满足：的最大值为（）A． B． C．2 D．48已知直线与圆交于两点，且（其中为坐标原点），则实数的值为（）A．B．C．或D．或9.的图象如图所示，为得到的图象，可以将的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度10. 设数列的前n项和为.且，则=（）A．B． C．D．11.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点,为原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12．定义在上的单调递减函数，若的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题~第24题为选考题，考生依据要求作答。

二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则展开式的各项系数和=_________.14．如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机取一点,则它落到阴影部分的概率为_________.15.已知M是△ABC内的一点（不含边界），且,若△MBC，△MAB，△MCA的面积分别为，记，则的最小值为_________.16已知函数，把函数的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n 项的和_________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. (本小题满分12分) 已知 ，， 记函数（1）求函数取最大值时的取值集合；（2）设的角所对的边分别为，若a ＝2c sin A,c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．18.(本小题满分12分)以下茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员训练的成绩（环数），射击次数为4次． （1）试比较甲、乙两名运动员射击水平的稳定性；（2）每次都从甲、乙两组数据中随机各选取一个进行比对分析，共选取了4次（有放回选取）．设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为，求的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF 平面ABCD ，EF//AB ，,AD=2,AB= AF=2EF=l ，点P在棱DF 上．（1）若P 为DF 的中点，求证：BF//平面ACP（2）若二面角D-AP-C 的余弦值为，求PF 的长度．20 (本小题满分12分)已知椭圆：的离心率为，右顶点是抛物线的焦点．直线：与椭圆相交于，两点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如果，点关于直线的对称点在轴上，求的值．21. (本小题满分12分) 设函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程； （Ⅱ）试讨论函数极值点的个数； （Ⅲ）求证：对任意的，不等式恒成立．考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22、（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲. 如图，⊙的半径为 6，线段与⊙相交于点、，，，与⊙相交于点. （1） 求长；（2）当 ⊥时，求证：.AEODC B23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB|.24、（本小题满分10分）选修4－5:不等式选讲. 已知，的最小值为. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）解关于的不等式.第三次模拟考试 数学（理）参考答案1～12 ABCC BCDC DBAA 13. 14. 15.36 16.4517【解析】（1）由题意，得)62sin(22cos 2sin 3)(π-=-=•=x x x x f ,当取最大值时，即，此时， 所以的取值集合为．（2）由a ＝2c sin A 及正弦定理得，sin A ＝2cos C sin A. ∵sin A ≠0，∴cos C ＝，∴C ＝π3.∵△ABC 面积为332，∴12ab sin π3＝332，即ab ＝6.①∵c ＝7，∴由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②由②变形得(a ＋b )2＝3ab ＋7.③将①代入③得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5. 18【解析】（1）25])810()89()87()86[(41)(2222=-+-+-+-=甲x D29])810()810()87()85[(41)(2222=-+-+-+-=乙x D∵ ∴ 甲运动员的射击水平平稳（2）当乙选取5环时，一定满足要求，此时的概率为当乙选取7环时，甲只能从9环、10环中选取，此时的概率为 ∴ 甲的成绩大于乙的成绩的概率为依题意，的取值分别是0，1，2，3,4，且～ ∴(运算式子形式表示也可) 因此，的分布列如下：OBAC DE FPzyxPFEDCAB∴19．解析：（Ⅰ）证明：连接BD，交AC于点O，连接OP．因为P是DF中点，O为矩形ABCD 对角线的交点，所以OP为三角形BDF中位线，所以BF // OP，因为BF平面ACP，OP平面ACP，所以BF // 平面ACP．(II)因为∠BAF=90º，所以AF⊥AB，因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB，所以AF⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．所以，，，．因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为．设P点坐标为，在平面APC中，，，所以平面APC的法向量为，所以121212||cos,||||(n nn nn n⋅<>===⋅-解得，或（舍）．此时．20.解：（Ⅰ）抛物线，所以焦点坐标为，即，所以．又因为，所以．所以，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）设，，因为，，所以，，所以， 所以．由，得（判别式）， 得，，即． 设， 则中点坐标为，因为，关于直线对称， 所以的中点在直线上， 所以，解得，即．由于，关于直线对称，所以，所在直线与直线垂直， 所以 ，解得． 21解：（1）当时，，则，曲线在原点处的切线方程为（２）()1,122122'->+++=++=x x ax x x a x x f ，令 当时，，所以０，则０，所以在上为增函数， 所以无极值点；当时，，所以０，则０，所以在上为增函数， 所以无极值点； 当时，，令０，则，当时，，，此时有２个极值点； 当时，，，此时有１个极值点；综上：当时，无极值点；当时，有２个极值点；当时，有１个极值点； 8（３）对于函数，令函数()332()ln(1)h x x f x x x x =-=-++ 则，，所以函数在上单调递增，又时，恒有 即恒成立.取，则有恒成立，即不等式恒成立.22、解：（1）∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，∴∠OCA =∠ODB ． ∵∠BOD =∠A ，∴△OBD ∽△AOC ． ∴， ∵OC =OD =6，AC =4，∴，∴BD=9．（2）证明：∵OC =OE ，CE ⊥OD ．∴∠COD =∠BOD =∠A ． ∴∠AOD =180º–∠A –∠ODC=180º–∠COD –∠OCD=∠ADO ． ∴AD =AO23解 ：(1)设P(x ，y)，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2. 由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(5分)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2 3.(10分) 24【解析】（Ⅰ），① 而 ② ③当且仅当时， ①式等号成立；当且仅当时，②式等号成立； 则当且仅当时，③式等号成立，即取得最小值. (Ⅱ)由（Ⅰ）知，则，即，， 解得原不等式的解集为.22246 56E6 囦 39744 9B40 魀327604 6BD4 比21076 5254 剔37427 9233 鈳t32962 80C2 胂330478117 脗ob8v'。

2021年高三（上）12月综合练习数学试卷一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）设集合A={5，log2（a+3）}，B={a，b（a，b∈R）}，若A∩B=1，则A∪B={﹣1，1，5} ．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：利用两个集合的交集的定义求得a 的值和 b 的值，进而得到集合A、B，依据并集的定义求得A∪B．解答：解：由题意可得 log2（a+3）=1，∴a=﹣1，∴b=1．∴集合A={5，1}，B={﹣1，1}，∴A∪B={﹣1，1，5}，故答案为{﹣1，1，5}．点评：本题考查集合的表示方法、两个集合的交集、并集的定义和求法，求出a，b的值是解题的关键．2．（3分）（xx•静安区一模）（文）若实数x满足对任意正数a＞0，均有x2＜1+a，则x的取值范围是[﹣1，1]．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；转化思想．分析：实数x满足对任意正数a＞0，均有x2＜1+a⇔f（a）=a+1﹣x2，a＞0，则由一次函数要在a＞0上恒成立，从而可得f（0）＞0．解答：解：实数x满足对任意正数a＞0，均有x2＜1+a令f（a）=a+1﹣x2，a＞0则由一次函数的性质可得f（0）=1﹣x2≥0 ﹣1≤x≤1故答案为：[﹣1，1]点评：解决本题的灵魂在于“转化”，先将不等式转化为函数问题，转化为关于a的一次函数问题，最终得以解决．很多问题在实施化难为易中得以解决．构造函数也是本题的一个解题的技巧．3．（3分）已知函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2），若∀a、b∈（m，+∞），都有[f（a）﹣f（b）]（a﹣b）＞0，则实数m最小值是2．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由∀a、b∈（m，+∞），都有[f（a）﹣f（b）]（a﹣b）＞0，知f（x）在（m，+∞）上单调递增，则（m，+∞）为函数f（x）增区间的子集，根据复合函数单调性的判断方法求出f（x）的增区间，由集合包含关系可得m的范围，注意函数定义域；解答：解：由x2﹣x﹣2＞0解得x＜﹣1或x＞2，所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），y=x2﹣x﹣2=在（﹣∞，）上递减，在（，+∞）上递增，又x＜﹣1或x＞2，所以y=x2﹣x﹣2的减区间为（﹣∞，﹣1），增区间为（2，+∞），而y=lgu递增，所以f（x）的减区间为（﹣∞，﹣1），增区间为（2，+∞），由∀a、b∈（m，+∞），都有[f（a）﹣f（b）]（a﹣b）＞0，知f（x）在（m，+∞）上单调递增，所以（m，+∞）⊆（2，+∞），故m≥2，所以实数m的最小值为2，故答案为：2．点评：本题考查函数单调性定义及复合函数单调性的判断，复合函数单调性的判断方法为“同增异减”．4．（3分）已知不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，则m的取值范围是[﹣，]考点：充要条件．专题：计算题．分析：先求出不等式|x﹣m|＜1的解集，再由不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是＜x ＜来确定m的取值范围．解答：解：∵|x﹣m|＜1，∴﹣1＜x﹣m＜1，∴m﹣1＜x＜m+1，∵m﹣1＜x＜m+1成立的充分不必要条件是＜x＜，∴，解得﹣．故m的取值范围是[﹣]．故答案：[﹣]．点评：本题考查充分不必要条件的应用，解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用．5．（3分）设函数f（x）在定义域R内恒有f（﹣x）+f（x）=0，当x≤0时，，则f（1）=．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件判断出函数是奇函数，由f（0）=0求出a的值，再由奇函数的定义得f（1）=﹣f（﹣1），代入所给的解析式求值．解答：解：由f（﹣x）+f（x）=0，得f（x）=﹣f（x），∴函数f（x）在定义域R内是奇函数，即f（0）=0，∵当x≤0时，，∴=0，解得a=，∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣（）=，故答案为：．点评：本题考查了函数奇偶性的应用，即根据奇函数的性质求值，再利用奇偶性对应的关系式，将所求的函数值的自变量的范围转化到已知范围内求解，考查了转化思想．6．（3分）若直线（a2+2a）x﹣y+1=0的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是（﹣2，0）．考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：由题意可得直线的斜率a2+2a＜0，解之即可．解答：解：由题意可得直线的斜率a2+2a＜0，即a（a+2）＜0，解得：﹣2＜a＜0，故实数a的取值范围是（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）点评：本题考查直线的倾斜角和斜率，涉及一元二次不等式的解法，属基础题．7．（3分）（xx•浙江二模）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．考点：等比数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比赛数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．解答：解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．8．（3分）函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式为y=﹣4sin．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：综合题．分析：观察函数的图象可得，函数的最小值﹣4，且在一周期内先出现最小值，所以A=﹣4 由图可得周期T=16，代入周期公式T=可求ω在把函数图象上的最值点代入结合已知φ的范围可得φ的值解答：解：由函数的图象可得最大值为4，且在一周期内先出现最小值，所以A=﹣4观察图象可得函数的周期T=16，ω=又函数的图象过（2，﹣4）代入可得sin（φ）=1∴φ+|φ|＜，∴φ=函数的表达式y=﹣4sin（）点评：本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，其步骤一般是：由函数的最值求解A，（但要判断是先出现最大值或是最小值，从而判断A的正负号）由周期求解ω=2πT，由函数图象上的点（一般用最值点）代入求解φ；9．（3分）过点P（1，1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为x+y﹣2=0．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直即可．解答：解：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直即可．又已知点P（1，1），则k OP=1，故所求直线的斜率为﹣1．又所求直线过点P（1，1），故由点斜式得，所求直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．（3分）函数f（x）=ax2+bx+c，其中a＜0，对∀x∈R，恒有f（x）=f（4﹣x），若f（1﹣3x2）＜f（1+x﹣x2），则x的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由∀x∈R，恒有f（x）=f（4﹣x），知f（x）的图象关于x=2对称，又由a＜0得f（x）的单调区间，根据1﹣3x2及1+x﹣x2的取值范围及函数单调性可得其大小关系，解出即可．解答：解：由∀x∈R，恒有f（x）=f（4﹣x），知f（x）的图象关于x=2对称，又a＜0，所以f（x）在（﹣∞，2]上递增，在[2，+∞）上递减，而1﹣3x2≤1＜2，1+x﹣x2=﹣＜2，故由f（1﹣3x2）＜f（1+x﹣x2），得1﹣3x2＜1+x﹣x2，即2x2+x＞0，解得x＜﹣或x＞0，故答案为：（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．点评：本题考查二次函数的单调性及其应用，属中档题．11．（3分）（xx•安徽模拟）已知{a n}是等比数列，a2=2，，则S n=a1+a2+…+a n（n∈N*）的取值范围是[4，8）．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：首先根据条件求出q=，a1=4，然后由前n项和公式求出S n==8﹣8×（）n﹣1=8﹣（）n+2＜8，进而由a1，求出结果．解答：解：∵{a n}是等比数列，a2=2，，∴a5=a2q3=2×q3=∴q=∴a1=4，∴S n==8﹣8×（）n﹣1=8﹣（）n+2＜8 又∵a1=4∴4≤S n＜8 故答案为[4，8）点评：本题考查了等比数列的前n项和公式，求出数列的公比和首项是解题的关键，同时做题过程中要细心．属于基础题．12．（3分）已知函数f（x）=x3+2x，对任意的t∈[﹣3，3]，f（tx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围是（﹣1，）．考点：函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：确定f（x）为单调递增的奇函数，再利用对任意的t∈[﹣3，3]，f（tx﹣2）+f（x）＜0恒成立，建立不等式，即可求x的取值范围．解答：解：∵f（x）=x3+2x，∴f（﹣x）=﹣x3﹣2x，∴函数是奇函数；∵f（tx﹣2）+f（x）＜0，∴f（tx﹣2）＜f（﹣x）求导函数可得f′（x）=x2+2＞0，∴函数是R上的增函数∴tx﹣2＜﹣x∴tx﹣2+x＜0∵对任意的t∈[﹣3，3]，f（tx﹣2）+f（x）＜0恒成立，∴∴﹣1＜x＜故答案为：（﹣1，）．点评：本题考查恒成立问题，考查学生的计算能力，确定f（x）为单调递增的奇函数是关键．13．（3分）在平面直角坐标系中，设直线l：kx﹣y+=0与圆C：x2+y2=4相交于A、B两点，，若点M在圆C上，则实数k=±1．考点：直线与圆相交的性质；相等向量与相反向量．专题：直线与圆．分析：把直线与圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出x A+x B，然后利用直线方程求得y A+y B的表达式，进而可求得M的坐标，利用点M在圆C上，即可求实数k的值．解答：解：由直线kx﹣y+=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，联立两方程得：（1+k2）x2+2kx﹣2=0∴x A+x B=﹣，y A+y B=kx A++kx B+=∵，∴M（﹣，）代入圆x2+y2=4可得∴k=±1故答案为：±1点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质，平面向量的基本性质，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（3分）（普通班做）设函数f（x）=lnx+x2+ax．若f（x）在其定义域内为增函数，则a的取值范围为[﹣2，+∞）．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：函数的性质及应用．分析：f（x）在其定义域内为增函数可转化成只需在（0，+∞）内有2x2+ax+1≥0恒成立，建立不等关系，解之即可．解答：解：f（x）的定义域为（0，+∞）．方程2x2+ax+1=0的判别式△=a2﹣8，①当△≤0，即﹣2 ≤a≤2 时，2x2+ax+1≥0，f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，此时f （x）为增函数．②当△＞0，即a＜﹣2 或a＞2 时，要使f（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，只需在（0，+∞）内有2x2+ax+1≥0即可，设h（x）=2x2+ax+1，由得a＞0，所以a＞2 ．由①②可知，若f（x）在其定义域内为增函数，a的取值范围是[﹣2 ，+∞）．故答案为：[﹣2，+∞）．点评：本题以函数为载体，主要考查了利用导数研究函数的单调性和不等式的证明，属于中档题．二、解答题（共6小题，满分0分）15．对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数．若f（x）=lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（1，1+）．考点：函数的值域．专题：计算题；压轴题；新定义．分析：由于f（x）在定义域{x|x＞0} 内为单调增函数，利用导数求得g（x）的极大值为：g （e）=1+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，因此当1＜k＜1+ 时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，满足条件，从而求得k 的取值范围．解答：解：∵f（x）=lnx+x，定义域为{x|x＞0}，f（x）在定义域为单调增函数，因此有：f（a）=ka，f（b）=kb，即：lna+a=ka，lnb+b=kb，即a，b为方程lnx+x=kx 的两个不同根．∴k=1+，令1+=g（x），令g'（x）==0，可得极大值点x=e，故g（x）的极大值为：g（e）=1+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，因此当1＜k＜1+ 时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，方程k=1+ 有两个解．故所求的k的取值范围为（1，1+），故答案为（1，1+）．点评：本题主要考查利用导数求函数的值的方法，体现了转化的数学思想，属于基础题．16．（xx•盐城二模）设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且．（1）求证：；（2）若cos（A﹣C）+cosB=1，求角B的大小．考点：解三角形．专题：解三角形．分析：（1）由条件可得cosB=，再利用基本不等式证得成立．（2）由cos（A﹣C）+cosB=1，可得sinAsinC=．再由可得sin2B=sinA•sinC=，求得sinB=，可得B的值．解答：解：（1）∵由条件可得cosB==≥=，故成立．（2）∵cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sinAsinC=1，∴sinAsinC=．再由可得sin2B=sinA•sinC=，∴sinB=，故B=．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，基本不等式，根据三角函数的值求角，属于中档题．17．（xx•丰台区一模）已知m∈R，，，．（Ⅰ）当m=﹣1时，求使不等式成立的x的取值范围；（Ⅱ）求使不等式成立的x的取值范围．考点：平面向量数量积坐标表示的应用．专题：综合题．分析：（1）将m=﹣1代入向量，，然后用向量的数量积运算表示出•整理成•=x2+x﹣1，然后解绝对值不等式|x2+x﹣1|＜1，即可得到答案．（2）根据向量数量积的坐标运算先表示出＞0，然后对m的不同取值进行分类讨论，即可得到x的范围．解答：解：（Ⅰ）当m=﹣1时，，.=x2+x﹣1．∵，∴解得﹣2＜x＜﹣1或0＜x＜1．∴当m=﹣1时，使不等式成立的x的取值范围是{x|﹣2＜x＜﹣1或0＜x＜1}．（Ⅱ）∵，∵，所以x≠﹣m∴当m＜0时，x∈（m，0）∪（1，+∞）；当m=0时，x∈（1，+∞）；当0＜m＜1时，x∈（0，m）∪（1，+∞）；当m=1时，x∈（0，1）∪（1，+∞）；当m＞1时，x∈（0，1）∪（m，+∞）．点评：本题主要考查向量的数量积运算、绝对值不等式的解法和分式不等式的解法．求解分式不等式时一般求其等价的整式不等式，切记莫忘分母不等于0这个先决条件．18．已知﹛a n﹜是以a为首项，q为公比的等比数列，S n为它的前n项和．（Ⅰ）当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；（Ⅱ）当S m，S n，S l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a m+k ，a n+k，a l+k也成等差数列．考点：等差关系的确定；等差数列的性质．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）根据题意，写出等比数列﹛a n﹜的前n项和是解决本题的关键，利用S1，S3，S4成等差数列寻找关于q的方程，通过解方程求出字母q的值；（Ⅱ）根据S m，S n，S1成等差数列，利用等比数列的求和公式得出关于q的方程式是解决本题的关键，注意分类讨论思想和整体思想的运用．解答：解：（Ⅰ）由已知得出a n=a1q n﹣1，S3=a1+a2+a3=a1（1+q+q2），S4=a1+a2+a3+a4=a1（1+q+q2+q3），根据S1，S3，S4成等差数列得出2S3=S1+S4，代入整理并化简，约去q和a1，得q2﹣q﹣1=0，解得q=；（Ⅱ）当q=1时，该数列为常数列，若S m，S n，S l成等差数列，则也有a m+k，a n+k，a1+k成等差数列；若q≠1，由S m，S n，S1成等差数列，则有2S n=S1+S m，即有，整理化简得2q n﹣1=q m﹣1+q l﹣1，两边同乘以a1，得2a1q n﹣1=a1q m﹣1+a1q l﹣1，即2a n=a m+a l，两边同乘以q k即可得到2a n+k=a m+k+a l+k，即a m+k ，a n+k，a l+k成等差数列．点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查学生判断等差数列的方法，考查学生的方程思想和分类讨论思想，转化与化归思想，考查学生的运算能力．19．已知圆心为O，半径为1，弧度数为π的圆弧上有两点P，C，其中=（如图）．（1）若P为圆弧的中点，E在线段OA上运动，求的最小值；（2）若E，F分别为线段OA，OC的中点，当P在圆弧上运动时，求的最大值．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：（1）由题意可得C为的中点，设OE=x（0≤x≤1），计算=，利用二次函数的性质求得它的最小值．（2）以O为原点，BA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出E、F的坐标，设P（x，y），则x2+y2=1（y≥0），计算，可得当x+y取得最小值时，取得最大值，计算求得结果．解答：解：（1）由题意= 可得C为的中点，设OE=x（0≤x≤1），则=，所以当时，的最小值为．（2）以O为原点，BA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则，，设P（x，y），则x2+y2=1（y≥0），∴，故当x=﹣1 且y=0时，x+y取得最小值为﹣1，所以，的最大值是1﹣（﹣）=．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，数量的坐标形式的运算，二次函数的性质应用，属于中档题．20．（xx•崇明县二模）已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足，n∈N*．数列{b n}满足，n∈N*，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式a n和数列{b n}的前n项和T n；（2）若对任意的n∈N*，不等式恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．考点：数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由，n∈N*．分别令n=1和2，可分别求出数列的首项和公差，代入可得数列{a n}的通项公式，由，n∈N*，可由裂项相消法得到数列{b n}的前n项和T n；（2）由（1）中T n的表达式，然后分n为奇数和n为偶数两种情况，分别求出实数λ的取值范围，综合分类讨论结果，可得答案．精品文档实用文档 （3）由（1）中T n 的表达式，结合等比数列的性质，可构造关于m ，n 的方程，根据1＜m ＜n 及m ，n 均为整数，可得答案．解答： 解：（1）在a n 2=S 2n ﹣1中，令n=1，n=2，得，即 （2分）解得a 1=1，d=2，（3分）∴a n =2n ﹣1．∵==（ ﹣ ），∴Tn=（1﹣+﹣+…+﹣ ）=．（5分）（2）①当n 为偶数时，要使不等式λT n ＜n+8•（﹣1）n 恒成立，即需不等式λ＜=2n++17恒成立．（6分）∵2n+≥8，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ＜25．（7分）②当n 为奇数时，要使不等式λT n ＜n+8•（﹣1）n 恒成立，即需不等式λ＜=2n ﹣﹣15恒成立．（8分）∵2n ﹣是随n 的增大而增大，∴n=1时，2n ﹣取得最小值﹣6．∴此时λ需满足λ＜﹣21．（9分）综合①、②可得λ的取值范围是λ＜﹣21．（10分）（3）T 1=，Tm=，Tn=，若T 1，T m ，T n 成等比数列，则（）2= （），即 =．（11分）由=，可得 =＞0，即﹣2m 2+4m+1＞0，（12分）∴1﹣＜m ＜1+．（13分）又m ∈N ，且m ＞1，所以m=2，此时n=12．因此，当且仅当m=2，n=12时，数列 {T n }中的T 1，T m ，T n 成等比数列．（14分） 点评： 本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和、对数的运算、直线方程与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力28507 6F5B 潛[21001 5209 刉a[35736 8B98 讘v34312 8608 蘈32610 7F62 罢 30655 77BF 瞿-29762 7442 瑂32164 7DA4 綤。

宿迁市剑桥国际学校2014-2015学年上学期期中考试高三数学试卷（满分160分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．命题“”的否定是 ▲ ．2．已知全集}7,5,3,1{},5,4,2{},7,6,5,4,3,2,1{===B A U ，则 ▲ ．3．已知的终边在第一象限，则“”是“”的 ▲ 条件．4．已知向量ab ，且ab ，则实数 ▲ ．5．在等差数列中,若,则 ▲ .6．已知函数，若函数的零点所在的区间为，则 ▲ ．7．曲线在点处的切线方程为 ▲ ．8．已知向量a ，b 的夹角为，且a ， 2ab ，则b ▲ ．9．函数，，在R 上的部分图像如图所示，则 ▲ ．10．设，且．则的值为 ▲ ．11．已知△为等腰直角三角形，，点为边的三等分点，则 ▲ ．12．已知函数2221 0 () 0,ax x x f x x bx c x ⎧--≥⎪=⎨++<⎪⎩，，，是偶函数，直线与函数的图像自左向右依次交于四个不同点．若，则实数的值为 ▲ ．13．已知，C 是线段AB 上异于A ，B 的一点，均为等边三角形，则的外接圆的半径的最小值是 ▲ ．14．已知等比数列的首项为，公比为，其前项和为，若对恒成立，则的最小值为 ▲ ．二、解答题(本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．)15．（本小题满分14分）已知集合{}|,|[(1)][(4)]0A x y B x x a x a ⎧⎪===-+-+<⎨⎪⎩． （1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围．16．（本小题满分14分）已知函数2()sin(2)cos(2)2cos 63f x x x x ππ=+-++． （1）求的值；（2）求函数的单调区间；（3）函数的图像可由的图像如何变换得来，请详细说明．17．(本小题满分14分)如图，在平面四边形中，，，．（1）求的值；（2）若，，求的长．(请自行在答题纸上作图)18．(本小题满分16分)如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰 梯形部件ABCD ，设梯形部件ABCD 的面积为平方米．(1)按下列要求写出函数关系式：①设 (米)，将表示成的函数关系式；②设，将表示成的函数关系式．(2)求梯形部件ABCD 面积的最大值．(请自行在答题纸上作图)19．(本小题满分16分)已知各项均为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列， 从第5项起依次成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．20．(本小题满分16分) 已知函数d cx bx x x f +++=2331)(，设曲线在与x 轴交点处的切线为，为的导函数，满足．（1）求；（2）设，m ＞0，求函数在[0，m ]上的最大值；（3）设，若对于一切，不等式）22()1(+<-+x h t x h 恒成立，求实数t 的取值范围．高三数学参考答案一、填空题1．． 2．{2，4}． 3．既不充分也不必要条件． 4．－4．5．． 6．1． 7．． 8．． 9．．10．． 11．． 12．． 13．． 14．．二、解答题15．解：(]()1,0,1,4A B a a =-=++……………………………………………4分（1），……………………………………………………………9分（2）．……………………………………………………………14分16．解：（1）()2sin(2)16f x x π=++，；………………………5分（2）增区间为[,]()36k k k Z ππππ-+∈， 减区间为2[,]()63k k k Z ππππ++∈……………………………10分 （3）变换步骤：（答案不唯一）12−−−−−−−−−→所有点的横坐标缩短到原来的π−−−−−−−−−→所有点向左平移个单位长度122−−−−−−−−−−→所有点的纵坐标伸长到原来的倍 ……………………………14分17． 解：（1）在中，则余弦定理， 得ADAC CD AD AC CAD ⋅-+=∠2cos 222． 由题设知，77272417cos =-+=∠CAD ．………………………………………4分 （2）设，则，因为，， 所以 721)772(1cos 1sin 22=-=∠-=∠CAD CAD ，………………………6分 14213)147(1cos 1sin 22=--=∠-=∠BAD BAD ．………………………8分 于是CAD BAD CAD BAD CAD BAD ∠∠-∠∠=∠-∠=sin cos cos sin )sin(sin α 23721)147(77214213=⋅--⋅=．………………………………11分在中，由正弦定理，，故3621237sin sin =⋅=∠⋅=CBA AC BC α．……14分 18．解：如图所示，以直径所在的直线为轴，线段中垂线为轴，建立平面直角坐标系，过点C 作于E ，(1)①∵，∴，∴11()(2222y AB CD CE x =+⋅=+(1)x x =+<< …………………4分②∵，∴cos ,sin OE CE θθ==， ∴11()(22cos )sin (1cos )sin 22y AB CD CE θθθθ=+⋅=+=+， ………8分 (说明：若函数的定义域漏写或错误，则一个扣1分)(2)(方法1)∴y ==令，则32322'4622(231)2(1)(21)t x x x x x x =--+=-+-=-+-，………10分令，， (舍)． ………………12分∴当时，，∴函数在(0，)上单调递增，当时，，∴函数在(，1)上单调递减，………………14分所以当时，有最大值，………………………16分答：梯形部件面积的最大值为平方米．(方法2) ∴'[(sin sin cos )]'(sin )'(sin cos )'y θθθθθθ=+=+⋅ 22cos cos sin θθθ=+-，……………………10分令，得，即， (舍)， ……………………12分∴当时，，∴函数在上单调递增，当时，，∴函数在上单调递减 ，………………14分所以当时，………………………………………………16分答：梯形部件ABCD 面积的最大值为平方米．19．解：(1) 设数列前6项的公差为，则， (为整数)又，，成等比数列，所以，即，得…………………………………………………4 分当时，，………………………………………………………6 分所以，，数列从第5 项起构成的等比数列的公比为2，所以，当时，．故……………………………8分(2)由(1)知，数列为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…当时等式成立，即3216(3)(2)(1)---=-=-⨯-⨯-；当时等式成立，即1010(1)01-++==-⨯⨯；……………………………10分当时等式不成立；………………………………………………………12分 当m ≥5 时，535122(21)72m m m m m a a a --++++=-=⨯，若1212m m m m m m a a a a a a ++++++=，则，所以……14分，，从而方程无解所以1212m m m m m m a a a a a a ++++++≠ ．故所求或．………………16分20．（1），∵，∴函数的图象关于直线x =1对称,b = -1，……………2分∵曲线在与x 轴交点处的切线为，∴切点为（3，0），∴，解得c =1，d =-3，则331)(23-+-=x x x x f …………………5分 （2）∵22)1(12)(-=+-='x bx x x f ，∴⎩⎨⎧<-≥-=-=11|1|)(22x x x x x x x x x g …………………7分 当0＜m ≤时，2)(m ax )(m m m g x g -==当＜m ≤时，41)21(max )(==g x g ， 当m ＞时，m m m g x g -==2)(m ax )(， 综上⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+>-+≤<≤<-=)221()22121(41)210(max )(22m m m m m m m x g ……………………………………………10分 （3），||ln 2)1(t x t x h -=-+，|12|ln 2)22(+=+x x h ,当时，|2x +1|=2x +1，所以不等式等价于恒成立，解得，且x ≠t ，……………………………………13分由，得，，所以，又x ≠t ，∵，∴所求的实数t 的的取值范围是．…………………16分。

宿迁市剑桥国际学校2014-2015学年度第一学期12月月考高三年级生物试卷试卷说明：本次考试共100分钟。

本试卷由两部分组成，其中第I卷为选择题，第II卷为非选择题。

第I卷（选择题，75分）友情提醒：本部分试卷有单项选择题和多项选择题，其中1－30小题为单项选择题，每小题2分，31－35小题为多项选择题，每小题为3分共75分。

1．右图表示某种鱼迁入一生态系统后，种群数量增长率随时间变化的曲线，下列叙述正确的是A．在t1～t2时间内，种群数量呈“J”型增长B．若在t2时种群的数量为N，则在t1时种群的数量为N/2C．捕获该鱼的最佳时期为t2时D．在t1～t2时，该鱼的种群数量呈下降趋势2．下列几种生态系统中，自动调节能力最强的是A．冻原B．温带落叶林C．沙漠D．热带雨林3．在生态系统中能量逐级流动的传递效率大约为A．20－30％B．10－20％C．5－10％D．30－35％4．不．属于质粒被选为基因运载体的理由是A．能复制B．有多个限制酶切点C．具有标记基因D．它是环状DNA5．科学家依据基因工程的原理最新研制的某种疫苗是用病原微生物中编码抗原的基因制成的，这个基因编码的产物能诱导机体产生免疫反应。

该疫苗A．引起人体特异性免疫的原因是DNA分子上具有抗原B．引起免疫反应后相应淋巴细胞增多，细胞周期将变长C．能与浆细胞产生的相应抗体发生特异性结合D．包括抗原基因、启动子、终止子和标记基因等6．如下图所示，若用两种识别切割序列完全不同的限制酶E和F从基因组DNA上切下目的基因，并将之取代质粒pZHZ1(3.7 kb,1 kb＝1 000对碱基)上相应的E—F区域(0.2 kb)，那么所形成的重组质粒pZHZ2A．既能被E也能被F切开B．能被E但不能被F切开C．既不能被E也不能被F切开D．能被F但不能被E切开7．下图显示：人体细胞内含有抑制癌症发生的p53(P＋)基因有两个部位能被E酶识别；癌症患者的p53基因突变后为p－。

2021年高三（上）12月月考数学试卷（理科）含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）若复数）是纯虚数，则实数a的值为﹣1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：将化为再判断即可．解答：解：∵==是纯虚数，∴a+1=0且1﹣a≠0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，将复数的分母实数化是关键，属于基础题．2．（5分）（xx•松江区一模）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为4．考点：并集及其运算．专题：计算题．分根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得，即可得答案．析：解答：解：∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，4，16} ∴∴a=4，故答案为：4．点评：本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题．3．（5分）经过点（2，﹣1），且与直线2x﹣3y﹣1=0垂直的直线方程是3x+2y﹣4=0．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由题意易得直线2x﹣3y﹣1=0的斜率为，进而可得所求直线的斜率，又该直线过定点，由点斜式可得方程，化为一般式即可．解答：解：根据题意，易得直线2x﹣3y﹣1=0的斜率为，根据互相垂直的直线的斜率的关系，可得l的斜率为，又由直线经过点（2，﹣1），则所求的直线方程为y+1=﹣（x﹣2），即3x+2y﹣4=0，故答案为：3x+2y﹣4=0．点评：本题为直线方程的求解，由垂直关系找出直线的斜率是解决问题的关键，注意最后要化为直线方程的一般式，属基础题．4．（5分）平面直接坐标系xoy中，角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=﹣x 上，则sinα=±．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：因为知道了角α的终边，可以在角的终边上任取一点，求出该点到原点的距离，直接运用三角函数的定义求解．解答：解：在直线y=﹣x上任意取一点（a，﹣a），且a≠0 则，r==2|a|，再由sinα===±，故答案为±．点评：本题考查了任意角的三角函数定义，解答此题的关键是熟记定义，是基础题．5．（5分）某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题．分析：由于学校有两个食堂，不妨令他们分别为食堂A、食堂B，则甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，代入相互独立事件的概率乘法公式，即可求出他们同在食堂A用餐的概率，同理，可求出他们同在食堂B用餐的概率，然后结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．解答：解：甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，则他们同时选中A食堂的概率为：=；他们同时选中B食堂的概率也为：=；故们在同一个食堂用餐的概率P=+=故答案为：点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．6．（5分）右图是一个算法流程图，则执行该算法后输出的s=81．考点：循环结构．专题：计算题．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．解答：解：当i=1时，不满足退出循环的条件，S=3，i=2；当i=2时，不满足退出循环的条件，S=9，i=3；当i=3时，不满足退出循环的条件，S=27，i=4；当i=4时，不满足退出循环的条件，S=81，i=5；当i=5时，满足退出循环的条件，故答案为：81点本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环评：的结果，找规律，属于基础题．7．（5分）（xx•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=．考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值．解答：解：∵C为三角形的内角，cosC=，∴sinC==，又a=1，b=2，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：c2=1+4﹣1=4，解得：c=2，又sinC=，c=2，b=2，∴由正弦定理=得：sinB===．故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键．8．（5分）设向量，，，的夹角为120°，则实数k=3．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由向量夹角公式可得，cos120°==＜0可知，k＞0，解方程即可求解k解答：解：由向量夹角公式可得，cos120°===﹣∴k＞0整理可得，k2=9∴k=3故答案为：3点评：本题主要考查了向量夹角公式的坐标表示，解题中不要漏掉对k的范围的判断，本题容易漏掉判断k而产生两解k=±39．（5分）（xx•东城区一模）过点的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为2x﹣4y+3=0．考直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．点：专题：计算题．分析：研究知点在圆内，过它的直线与圆交于两点A，B，当∠ACB最小时，直线l与CM 垂直，故先求直线CM的斜率，再根据充要条件求出直线l的斜率，由点斜式写出其方程．解答：解：验证知点在圆内，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，由圆的方程，圆心C（1，0）∵k CM==﹣2，∴k l=∴l：y﹣1=（x﹣），整理得2x﹣4y+3=0 故应填2x﹣4y+3=0点评：本题考点是直线与圆的位置关系，考查到了线线垂直时斜率之积为﹣1，以及用点斜式写出直线的方程．10．（5分）已知函数f（x）=，若f（3﹣2a2）＞f（a），则实数a的取值范围是a＜﹣或a＞1．考点：函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：当x≥0时，是减函数，所以y=log2（）也是减函数．此时的最大值是f（0）=log2（）=log21=0．当x＜0时，y=（）2x﹣1是减函数．此时的最小值（）0﹣1=0．所以函数在R上是减函数．因为f（3﹣2a2）＞f（a），所以3﹣2a2＜a，2a2+a﹣3＞0，解得a＞1或a＜﹣．解答：解：当x≥0时，是减函数，所以y=log2（）也是减函数．此时的最大值是f（0）=log2（）=log21=0．当x＜0时，y=（）2x﹣1是减函数．此时的最小值（）0﹣1=0．所以函数在R上是减函数．因为f（3﹣2a2）＞f（a），所以3﹣2a2＜a，2a2+a﹣3＞0，解得a＞1或a＜﹣．故答案为：a＞1或a＜﹣．点评：本题考查函数解析式的求解和常用方法，解题时要认真审题，注意分段函数的性质和应用．11．（5分）设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…，根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n（x）=．考点：归纳推理．专题：归纳法．分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是x，分母是关于x的一次式，其常数项为2n，一次项的系数比常数项小1，据此即可得出答案．解答：解：观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…，可知：分子都是x，分母是关于x的一次式，其常数项为2n，一次项的系数比常数项小1，故f n（x）=．故答案为点评：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键．12．（5分）（xx•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：解法一：可先直线A2B2的方程为，直线B1F的方程为，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．根据题设条件求出直线B1T方程，直线直线B1T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．解答：解法一：由题意，可得直线A2B2的方程为，直线B1F的方程为两直线联立得T（），由于此点在椭圆上，故有，整理得3a2﹣10ac﹣c2=0即e2+10e﹣3=0，解得故答案为解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．延长TO交圆O于N易知直线A1B1斜率为1，TM=MO=ON=1，，设T（x′，y′），则，y′=x′+1，由割线定理：TB2×TA1=TM×TN，（负值舍去）易知：B1（0，﹣1）直线B1T方程：令y′=0，即F横坐标即原椭圆的离心率e=．故答案：．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．13．（5分）已知函数f（x）=，若关于的方程满足f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根，且α，β分别是三个根中最小根和最大根，则的值为．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．分析：同一坐标系内作出函数y=f（x）的图象和直线y=m，因为两图象有且仅有三个公共点，所以m=1．再解方程f（x）=1，得最小根β=，最大根α=，将它们代入再化简，即可得到要求值式子的值．解答：解：函数f（x）=的图象如下图所示：可得函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣）和（，π）；单调增区间为（﹣，）和（π，+∞），f（x）的极大值为f（）=1，极小值为f（﹣）=﹣和f（π）=0将直线y=m进行平移，可得当m=1时，两图象有且仅有三个不同的公共点，相应地方程f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根．令f（x）=1，得x1=，x2=，x3=，所以β=，α=，∴β•sin（+α）=•sin=•（﹣）=故答案为：点评：本题以分段函数为例，求方程的最大根和最小根，并且用这个根来求值，着重考查了函数与方程的关系，以及三角函数求值等知识，属于中档题．14．（5分）（2011•盐城二模）已知f（x）=cosx，g（x）=sinx，记S n=2﹣，T m=S1+S2+…+S m，若T m＜11，则m的最大值为5．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：先将数列通项化简，再求和，利用T m＜11，即可求得m的最大值．解答：解：由题意，a n=2﹣=∴S n==∴T m=S1+S2+…+S m=2m+1﹣＜11 ∴m的最大值为5．故答案为：5点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明步骤．15．（14分）（xx•湖北模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．考点：余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）通过求出，利用二倍角以及三角形的内角和化简，即可求出它的值；（Ⅱ）利用，结合余弦定理，求出a，c的关系，通过基本不等式求出a，c，然后求出三角形的面积最大值．解答：（本小题满分13分）解：（I）因为，所以．…（1分）又==+=．…（6分）（II）由已知得，…（7分）又因为，所以．…（8分）又因为，所以ac≤6，当且仅当时，ac取得最大值．…（11分）此时．所以△ABC的面积的最大值为．…（13分）点评：本题考查二倍角公式，余弦定理，基本不等式的应用，考查计算能力．16．（14分）已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（1）求⊙C的方程；（2）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值．考点：关于点、直线对称的圆的方程；平面向量数量积的运算．专题：综合题．分析：（1）设圆心的坐标，利用对称的特征，建立方程组，从而求出圆心坐标，又⊙C过点P（1，1），可得半径，故可写出⊙C方程．（2）设Q的坐标，用坐标表示两个向量的数量积，化简后再进行三角代换，可得其最小值．解答：解：（1）设圆心C（a，b），则，解得a=0，b=0则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标（1，1）代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2；（2）设Q（x，y），则x2+y2=2，=（x﹣1，y﹣1）•（x+2，y+2）=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，令x=cosθ，y=sinθ，∴=cosθ+sinθ﹣2=2sin（θ+ ）﹣2，∴θ+=2kπ﹣时，sin（θ+）的最小值为﹣1，所以的最小值为﹣2﹣2=﹣4．点评：本题考查圆的对称性，考查圆的标准方程，考查两个向量的数量积公式的应用，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．17．（14分）如图，xx年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．考点：平面向量数量积坐标表示的应用．专题：平面向量及应用．分析：（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO 中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（﹣cosα，﹣sinα），由（Ⅰ）知S（3，﹣），利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN=∈[，1]，结合余弦函数的性质可求答案．解答：解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA==3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…（6分）（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（﹣cosα，﹣sinα），由（Ⅰ）知S（3，﹣）．…（8分）故=（cosα﹣3，sinα+），=（﹣cosα﹣3，﹣sinα+），∴•=（cosα﹣3）（﹣cosα﹣3）+（sinα﹣）（﹣sinα﹣）=11（10分）||•||=×=×==由α∈[0，2π）知||•||∈[11，13]…（12分）所以cos∠MSN=∈[，1]，∴∠MSN＜60°恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面点评：本题考查的是解三角形的应用，解题的关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义及正弦、余弦定理．18．（16分）如图，椭圆C：+=1的右顶点是A，上下两个顶点分别为B，D，四边形DAMB 是矩形（O为坐标原点），点E，P分别是线段OA，MA的中点．（1）求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．（2）过点B的直线l1，l2与椭圆C分别交于R，S（不同于B点），且它们的斜率k1，k2满足k1•k2=﹣求证：直线SR过定点，并求出此定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）确定直线DE与BP的直线方程，可得交点坐标，满足椭圆方程，可得结论；（2）设出直线方程，求得R，S的坐标，利用R，S关于原点O对称，即可得到结论．解答：证明：（1）由题意，A（4，0），B（0，2），D（0，﹣2），E（2，0），P（4，1），则直线DE的方程为y=x﹣2，直线BP的方程为联立方程，可得直线DE与BP的交点坐标为（）∵椭圆C：+=1，∴（）满足方程，∴直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．（2）直线BR的方程为y=k1x+2解方程组，可得或∴R的坐标为（，）∵k1•k2=﹣，∴直线BS的斜率k2=﹣，∴直线BS的方程为y=﹣x+2 解方程组得或∴S的坐标为（，）∴R，S关于原点O对称∴R，O，S三点共线∴直线SR过定点，定点的坐标为O（0，0）．点评：本题考查直线的交点，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（16分）（xx•昌平区二模）设数列{a n}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n），（其中k、b、p是常数）．（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S n是数列{a n}的前n项和，a2﹣a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*，都有S n≠0，且．若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：综合题；压轴题；等差数列与等比数列．分析：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是等差数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（3）确定数列{a n}的通项，利用{a n}是“封闭数列”，得a1是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列{a n}的首项a1的所有取值．解答：解：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），①用n+1去代n得，3（a1+a n+1）﹣4=2（a1+a2…+a n+a n+1），②②﹣①得，3（a n+1﹣a n）=2a n+1，a n+1=3a n，（2分）在①中令n=1得，a1=1，则a n≠0，∴，∴数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，∴a1+a2+a3+…+a n=．（4分）（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），③用n+1去代n得，（n+1）（a1+a n+1）=2（a1+a2…+a n+a n+1），④④﹣③得，（n﹣1）a n+1﹣na n+a1=0，⑤（6分）用n+1去代n得，na n+2﹣（n+1）a n+1+a1=0，⑥⑥﹣⑤得，na n+2﹣2na n+1+na n=0，即a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，（8分）∴数列{a n}是等差数列．∵a3=3，a9=15，∴公差，∴a n=2n﹣3．（10分）（3）由（2）知数列{a n}是等差数列，∵a2﹣a1=2，∴a n=a1+2（n﹣1）．又{a n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N*，必存在p∈N*使a1+2（n﹣1）+a1+2（m ﹣1）=a1+2（p﹣1），得a1=2（p﹣m﹣n+1），故a1是偶数，（12分）又由已知，，故．一方面，当时，S n=n（n+a1﹣1）＞0，对任意n∈N*，都有．另一方面，当a1=2时，S n=n（n+1），，则，取n=2，则，不合题意．（14分）当a1=4时，S n=n（n+3），，则，当a1≥6时，S n=n（n+a1﹣1）＞n（n+3），，，又，∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10．（16分）点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列、等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．20．（16分）已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：证明题；新定义．分析：（I）根据对数函数的定义求得函数的定义域，再根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间；（II）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB 的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）．…（1分）解答：由已知得，．…（2分）（1）当a＞0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（3分）（2）当a＜0时，①当时，即a＜﹣1时，令f'（x）＞0，解得或x＞1；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；…（4分）②当时，即a=﹣1时，显然，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；…（5分）③当时，即﹣1＜a＜0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（6分）综上所述，（1）当a＞0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（2）当a＜﹣1时，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；（3）当a=﹣1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（4）当﹣1＜a＜0时，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（7分）（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，则，．==…（8分）曲线在点M（x0，y0）处的切线斜率k=f'（x0）==，…（9分）依题意得：=．化简可得：=，即==．…（11分）设（t＞1），上式化为：，即．…（12分）令，=．因为t＞1，显然g'（t）＞0，所以g（t）在（1，+∞）上递增，显然有g（t）＞2恒成立．所以在（1，+∞）内不存在t，使得成立．综上所述，假设不成立．所以，函数f（x）不存在“中值相依切线”．…（14分）点此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化简评：求值，掌握反证法进行命题证明的方法，是一道综合题，属难题．27369 6AE9 櫩29240 7238 爸•332196 7DC4 緄x940318 9D7E 鵾F25668 6444 摄038532 9684 隄_37108 90F4 郴T。

宿迁市剑桥国际学校2015届高三上学期12月月考试题数学（考试时间：150分 试卷满分160分）一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置．．．．．．．上．.．1、已知集合{}(1)0P x x x =-≥，Q ={})1ln(|-=x y x ，则P Q = ▲ .2、若复数21(1)z a a i =-++(a R ∈)是纯虚数，则z = ▲ .3、垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是 ▲ .4、在等比数列｛n a ｝中,若7944,1a a a ⋅==,则12a 的值是 ▲ .5、在用二分法．．．求方程3210x x --=的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)， 则下一步可断定该根所在的区间为 ▲ .6. 正三棱锥S ABC -中，2BC =，SB =D E 、分别是棱SA SB 、上的点，Q 为边AB 的中点，SQ CDE ⊥平面，则三角形CDE 的面积为______▲_______．7.已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若62,256382-==S a a a a ，则1a 的值是 ▲ . 8. 设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时，2x y z +-的最大值为9.由命题“02,2≤++∈∃m x x R x ”是假命题，求得实数m 的取值范围是),(+∞a ，则实数a 的值是 ▲ .10.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+++≥≥0,12,0k y x x y x （k 为常数），若目标函数y x z +=2的最大值是311，则实数k 的值是 ▲ . 11.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=]3,1(,2329]1,0[,3)(x x x x f x ，当]1,0[∈t 时，]1,0[))((∈t f f ，则实数t 的取值范围是 ▲ .12、过定点P (1,2)的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422a b +的最小值为 ▲ .13．如图，A ，B 是半径为1的圆O 上两点，且∠AOB ＝π3．若点C 是圆O 上任意一点， 则→OA ▪→BC 的取值范围为 ▲ ．14、已知{}n a 是首项为a,公差为1的等差数列,1nn na b a +=.若对任意的*n N ∈,都有8n b b ≥成立,则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

江苏省宿迁市剑桥国际学校高三数学午练（7）（苏教版）1．已知集合M={1,2,3}，集合N ＝{x ∣x =-a ，a ∈M}，则集合MN =___ ．2．若i i i a a a ，其中52)13(2+=-+-是虚数单位，则实数a 的取值范围是 ． 3．若命题“R x ∈∃，01)1(2<+-+x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围是 ． 4．某地区在连续7天中，新增某种流感的数据分别是4,2,1,0,0,0,0，则这组数据的方差=2s ． 5．函数xy -=1)21(的值域是 ．6．已知函数)8(12cos 22cos 2sin tan 21)(2πf x x x x x f 则-+=的值为 ． 7．在平行四边形中，ABCD 已知︒=∠==60DAB 1,AD 2,AB ，点AB M 为的中点，点P 在CD BC 与上运动（包括端点），则DM AP ∙的取值范围是 ． 8．已知 ,8173cos 72cos 7cos ,4152cos 5cos ,213cos===ππππππ，根据这些结果，猜想出的一般结论是 ．9．曲线12++=x xe y x在点（0,1）处的切线方程为 ．10．若c b a ,,>0，且c b a bc ac ab a ++=+++2,42则的最小值为 ．11．已知97)sin(,972cos 2)20(=+-=∈∈βαβππβπα），，（，，． （Ⅰ）求βcos 的值； （Ⅱ）求αsin 的值．16．（本小题满分14分）2011届高三阶段性检测数学试题一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分，不需要写出解答过程，请把答案写在答题卡相应位置上。

1．已知集合M={1,2,3}，集合N ＝{x ∣x =-a ，a ∈M}，则集合M N =___ ． 2．若i i i a a a ，其中52)13(2+=-+-是虚数单位，则实数a 的值范围是 ． 3．若命题“R x ∈∃，01)1(2<+-+x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围是 ．1． {}0 2． 2． 3． 13a -≤≤ 4． 2 5．（0，＋∞） 6．2 7． 100 8． [12-，1] 9 π2ππ1coscos cos2121212n n n n n =+++ 12． 2101 13． 2≥k 14． ①②③4．某地区在连续7天中，新增某种流感的数据分别是4,2,1,0,0,0,0，则这组数据的方差=2s ． 5．函数xy -=1)21(的值域是 ．6．已知函数)8(12cos 22cos 2sin tan 21)(2πf x x x x x f 则-+=的值为 ． 7．右图是一个算法的流程图最后输出的=n ．8．在平行四边形中，ABCD 已知︒=∠==60DAB 1,AD 2,AB ，点AB M 为的中点，点P在CD BC 与上运动（包括端点），则DM AP ∙的取值范围是 ． 9．已知 ,8173cos 72cos 7cos ,4152cos 5cos ,213cos===ππππππ，根据这些结果，猜想出的一般结论是 ．10．曲线12++=x xe y x 在点（0,1）处的切线方程为 ．11．若c b a ,,>0，且c b a bc ac ab a ++=+++2,42则的最小值为 ． 12．已知数列{n a }满足2sin )2cos 1(,2,122221ππn a n a a a n n ++===+，则该数列的前20项的和为 ．13．设，，xx f R x )21()(=∈若不等式k x f x f ≤+)2()(对于任意的R x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是 ． 14．给出定义：若2121+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即m x =}{.在此基础上给出下列关于函数}{)(x x x f -=的四个命题：①函数)(x f y =的定义域是R ，值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0；②函数)(x f y =的图像关于直线)(2Z k kx ∈=对称； ③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1；④函数)(x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数． 则其中真命题是 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知97)sin(,972cos 2)20(=+-=∈∈βαβππβπα），，（，，． （Ⅰ）求βcos 的值； （Ⅱ）求αsin 的值． 16．（本小题满分14分）设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤6060y x 表示的区域为A ，不等式组⎩⎨⎧≥-≤≤060y x x 表示的区域为B ，在区域A 中任意取一点),(y x P ．（Ⅰ）求点P 落在区域B 中概率；（Ⅱ）若y x ,分别表示甲、乙两人各掷一次正方体骰子向上的面所得的点数，求点P 落在区域B 中的概率．17．（本小题满分14分）设ABC ∆的三个内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且满足0)2(=∙+∙+CB CA c BA BC c a ．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若32=b ，试求CB AB ∙的最小值．18．（本小题满分16分）经市场调查，某超市的一种小商品在过去的20天内的日销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且日销售量近似满足t t g 280)(-=（件），价格近似满足102120)(--=t t f （元）．（Ⅰ）试写出该种商品的日销售额y 与时间)200(≤≤t t 的函数表达式； （Ⅱ）求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值． 19．（本小题满分16分） 已知数列{}n a 中，211=a ，点()()*+∈-N n a a n n n 12，在直线x y =上． （Ⅰ）计算432,,a a a 的值；（Ⅱ）令11--=+n n n a a b ，求证：数列{}n b 是等比数列；（Ⅲ）设n n T S 、分别为数列{}{}n n b a 、的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n T S n n λ为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分16分） 设函数xxa ax f 2)(+=（其中常数a >0，且a ≠1）． （Ⅰ）当10=a 时，解关于x 的方程m x f =)(（其中常数22>m ）；（Ⅱ）若函数)(x f 在]2,(-∞上的最小值是一个与a 无关的常数，求实数a 的取值范围．2011届高三阶段性测试数学试题参考答案一、填空题：1． {}0 2． 2． 3． 13a -≤≤ 4． 2 5．（0，＋∞） 6．2 7． 100 8． [12-，1] 9 π2ππ1coscos cos2121212n n n n n =+++ 12． 2101 13． 2≥k 14． ①②③二、解答题： 15．(本小题满分14分)解：(Ⅰ) ∵cos 22cos 12ββ+=…………………………2分 =912)97(1=-+ …………………………4分 又∵(,)2πβπ∈∴cos β=31-…………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知：sin β=322)31(1cos 122=--=-β…………………………8分由(0,)2πα∈、(,)2πβπ∈得（βα+）∈（23,2ππ）cos （βα+）=-924)97(1)(sin 122-=--=+-βα………………………10分sin α=sin(βα+-β)=sin(βα+)cos β-cos(βα+)sin β…………13分 =97×-()31-)924(-×322 =31…………………………14分16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设区域A 中任意一点P (,)x y B ∈为事件M ． 1分因为区域A 的面积为136S =，区域B 在区域A 的面积为218S =， ····· 5分故点P 落在区域B 中的概率181()362P M ==． ·············· 7分 （Ⅱ）设点P (,)x y 在集合B 为事件N ， ················ 8分甲、乙两人各掷一次骰子所得的点P (,)x y 的个数为36个，其中在区域B 中的点P (,)x y 有21个． ······························ 12分 故点P 落在区域B 中的概率217()3612P N ==．·············· 14分 17．解：（Ⅰ）因为(2)0a c BC BA cCA CB +⋅+⋅=，所以(2)cos cos 0a c ac B cab C ++=，…2分即(2)cos cos 0a c B b C ++=，则(2sin sin )cos sin cos 0A C B B C ++= ………4分 所以2sin cos sin()0A B C B ++=，即1cos 2B =-，所以23B π=………………8分（Ⅱ）因为22222cos3b ac ac π=+-，所以22123a c ac ac =++≥，即4ac ≤ 当且仅当a c =时取等号，此时ac 最大值为4…………12分所以AB CB ⋅=21cos 232ac ac π=-≥-，即AB CB ⋅的最小值为2-……………14分18.（本小题满分16分）18．解：（Ⅰ）1()()(802)(20|10|)(40)(40|10|)2y g t f t t t t t =⋅=-⋅--=--- …… 4分＝(30)(40),(010),(40)(50),(1020).t t t t t t +-<⎧⎨--⎩≤≤≤ …………………… 8分（Ⅱ）当0≤t ＜10时，y=1200102++-t t=1225)5(2+--ty 的取值范围是[1200，1225]，在t ＝5时，y 取得最大值为1225； …………………… 10分 同理 当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600，1200]，在t ＝20时，y 取得最小值为600． …………………… 14分 （答）总之，第5天，日销售额y 取得最大为1225元；第20天，日销售额y 取得最小为600元． …………………… 16分19. （本小题满分16分）解：（Ⅰ）由题意，.43,12,21,221211==-==-+a a a a n a a n n ……… 2分 同理,1635,81143==a a ……………………………………… 3分 （Ⅱ）因为,21n a a n n =-+所以,211211111121--=--++=--=++++++n n n n n n a n a n a a a b ………… 5分21,211)2(1111111==--=---=--=++++++nn n n n n n n n b b b a n n a a a a b ………… 7分又431121-=--=a a b ，所以数列{}n b 是以43-为首项，21为公比的等比数列. 9分（Ⅲ）由（2）得，.23)21(3211)211(43,)21(3)21(43111-⨯=--⨯-=⨯-=⨯-=++-n n n n n n T b 又,)21(32,)21(31111nn n n n n a n b n a ⨯+-=⨯+-=--=++所以所以.23323211)211(21322)1(2n n n n n n n n S -+-=--⨯⨯+-+=…………… 13分由题意，记.,}{.1为常数只要为等差数列要使数列n n n nn n c c c nT S c -+=+λ .211)233(23]23)21(3[)23323(12nn n n n n T S c nn n n n n -⨯-+-=-⨯+-+-=+=+λλλ,1211)233(2411--⨯-+-=--n n c n n λ则).1211211()233(2111----⨯-+=---n n c c n n n n λ…………………… 15分 故当.}{,21,21为等差数列即数列为常数时nT S c c n n n n λλ+=-=-………… 16分 20． （本小题满分16分）20． 解 （Ⅰ）f (x )＝210,0,103,0.10xxxx x ⎧+⎪⎪⎨⎪<⎪⎩≥① 当x ＜0时，f (x )＝310x ＞3．因为m ＞22．则当22＜m ≤3时，方程f (x )＝m 无解； 当m ＞3，由10x＝3m ，得x ＝lg 3m． …………………… 1分② 当x ≥0时，10x ≥1．由f (x )＝m 得10x＋210x ＝m ，∴(10x )2－m 10x＋2＝0． 因为m ＞22，判别式∆＝m 2－8＞0，解得10x＝m ±m 2－82． …………………… 3分因为m ＞22，所以m ＋m 2－82＞2＞1．所以由10x＝m ＋m 2－82，解得x ＝lgm ＋m 2－82．令m －m 2－82＝1，得m ＝3． …………………… 4分所以当m ＞3时，m －m 2－82＝4m ＋m 2－8＜43＋32－8＝1，当22＜m ≤3时，m －m 2－82＝4m ＋m 2－8＞43＋32－8＝1，解得x ＝lg m －m 2－82．……………5分综上，当m ＞3时，方程f (x )＝m 有两解x ＝lg 3m和x ＝lgm ＋m 2－82；当22＜m ≤3时，方程f (x )＝m 有两解x ＝lgm ±m 2－82．…………………… 6分(2) （Ⅰ）若0＜a ＜1，当x ＜0时，0＜f (x )＝3a x ＜3；当0≤x ≤2时，f (x )＝a x＋2ax ．… 7分令t ＝a x ，则t ∈[a 2，1]，g (t )＝t ＋2t在[a 2，1]上单调递减，所以当t ＝1，即x ＝0时f (x )取得最小值为3．当t ＝a 2时，f (x )取得最大值为222a a +．此时f (x )在(－∞，2]上的值域是(0，222a a +]，没有最小值．…………………………… 9分（Ⅱ）若a ＞1，当x ＜0时，f (x )＝3a x ＞3；当0≤x ≤2时f (x )＝a x＋2ax ．令t ＝a x ，g (t )＝t ＋2t，则t ∈[1，a 2]．① 若a 2≤2，g (t )＝t ＋2t在[1，a 2]上单调递减，所以当t ＝a 2即x ＝2时f (x )取最小值a 2＋2a2，最小值与a 有关；…………………………… 11分② a 2≥2，g (t )＝t ＋2t在[1，2]上单调递减，在[2，a 2]上单调递增，…………13分所以当t ＝2即x ＝log a 2时f (x )取最小值22，最小值与a 无关．……………… 15分 综上所述，当a ≥42时，f (x )在(－∞，2]上的最小值与a 无关．……………………… 16分。

F E 2021年高三上学期12月月考试题 数学 含答案第I 卷(必做题 共160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上．1．已知复数，则z 的实部为＿＿▲＿＿．2．如图是一次青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，则的大小关系是______▲_______(填，，)3．命题是 ▲ 命题（选填“真”或“假”）．4．若长方体相邻三个侧面的面积分别是，，，则该长方体的体积是 ▲ ．5．已知圆：，若直线与圆相切，且切点在第四象限，则＿▲＿＿＿．6．已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切 线斜率为 ▲ ．7．函数的图像可由函数的图像至少向右平移___▲______个单位长度得到．8．已知直线平面且，，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题是_____▲_____________．9．已知点满足则点构成的图形的面积为＿＿▲＿＿．10．以抛物线的焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是 ___▲___．11．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为 ▲ ．12．对任意，函数满足，设 ，数列的前15项的和为，则＿▲＿＿＿＿．13．若实数，满足，则当取得最大值时，的值为 ▲ ．14．已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则___▲___.二、解答题：(本大题6小题，共90分)15．(本题满分14分)在锐角中,角、、所对的边长分别为、、向量,且.(1)求角的大小;(2)若面积为,,求的值.16．(本题满分14分)在四棱锥中，底面是正方形，为的中点． (1)求证：∥平面；(2)若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．17．(本题满分14分)如图所示，把一些长度均为4米（PA＋PB＝4米）的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐蓬，根据人们的生活体验知道：人在帐蓬里“舒适感”k与三角形的底边长和底边上的高度有关，设AB为，AB边上的高PH为y，则，若k越大，则“舒适感”越好。