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数字图像中边缘检测方法的研究1引言图像处理，包括图像增强、噪声滤除和边缘检测等部分；图像信息量巨大，而边缘信息是图像的一种紧描述，是图像最基本的特征，所包含的也是图像中用于识别的有用信息。
所谓边缘是指其周围像素灰度有阶跃变化或屋顶变化的那些像素的集合，为人们描述或识别目标以及解释图像提供了一个有价值的和重要的特征参数，其算法的优劣直接影响着所研制系统的性能。
理想的边缘检测应当正确解决边缘的有无、真假、和定向定位，长期以来，人们已付出许多努力，设法利用边界来寻找区域，进而实现物体的识别和景物分析，由于目标边缘、图像纹理甚至噪声都可能成为有意义的边缘，因此很难找到一种普适性的边缘检测算法，现有诸多边缘检测的方法各有其特点，同时也都存在着各自的局限性和不足之处，因此图像的边缘检测这个领域还有待于进一步的改进和发展。
而根据具体应用的要求，设计新的边缘检测方法或对现有的方法进行改进，以得到满意的边缘检测结果依然是研究的主流方向。
2边缘检测的分类及方法研究早在1965年就有人提出边缘检测算子，主要分为经典算子、最优算子、多尺度方法及自适应平滑滤波方法，近年来又提出了将模糊数学、神经元和数学形态学应用于边缘检测的思想。
2.1 经典算子传统的边缘检测算法通过梯度算子来实现，在求边缘的梯度时，需要对每个象素位置计算。
在实际中常用小区域模板卷积来近似计算，模板是N*N的权值方阵，经典的梯度算子模板：Sobel模板、Kirsch模板、Prewitt模板、Roberts模板、Laplacian模板等，表2.1给出了经典算子运算速度的比较。
表2.1 经典算子运算速度比较可以看出，Krisch算子的运算量比较大。
其次在边缘检测中边缘定位能力和噪声抑制能力方面，有的算子边缘定位能力强，有的抗噪声能力比较好：Roberts 算子利用局部差分算子寻找边缘，边缘定位精度较高，但容易丢失一部分边缘，同时由于没经过图像平滑计算，不能抑制噪声。
图像边缘检测方法的研究毕业论文目录第一章绪论 (1)1.1课题研究的目的和意义 (1)1.2图像边缘检测的发展与现状 (2)1.3本文的研究容 (5)1.4本文的结构安排 (5)第二章图像放大的基本方法 (6)2.1 边缘检测的容 (6)2.2基于微分算子的边缘检测方法 (6)2.2.1基于一阶微分的边缘检测算子 (6)2.2.2基于二阶微分的边缘检测算子 (9)2.3 Canny边缘检测算法 (11)2.4经典边缘检测方法的检测结果 (14)第三章小波变换理论基础 (19)3.1小波变换概述 (19)3.1.1连续小波变换 (19)3.1.2离散小波变换 (20)3.1.3二进小波变换 (21)3.2 多分辨率分析 (21)3.3快速小波变换算法( Mallat 算法 ) (22)第四章基于小波变换的边缘检测算子 (26)4.1基于边缘检测的小波基函数选取准则 (26)4.2 B 样条小波的定义与性质 (27)4.3 基于小波变换的图像边缘检测原理 (27)4.3.1局部模极大值边缘检测的原理 (28)4.3.2 基于二维图像小波分解细节的边缘检测 (30)4.4阈值T的选择 (32)4.5基于小波变换的边缘检测算法的检测结果 (33)结论 (35)致谢 (36)参考文献 (37)附录 (38)第一章绪论1.1课题研究的目的和意义边缘是图像的最基本特征，它包含了用于识别的有用信息，为人们描述或识别目标以及解释图像提供了一个重要的特征参数。
物体的边缘是以图像局部特性的不连续性为形式出现的。
从本质上说，边缘常常意味着一个区域的终结和另一个区域的开始，它普遍存在于目标与背景、目标与目标、区域与区域、基元与基元之间，是图像分割所依赖的重要特征，也是纹理特征的重要信息源和形状特征的基础。
有了图像边缘，我们就可以确定物体的几何尺寸并进一步对其测量，确定物体在空间中的几何位置，确定物体的形状特征并对物体进行识别。
青岛大学专业课程设计院系: 自动化学院专业: 电子信息工程班级: 08级电子信息工程3班学生姓名: 刘法指导教师: 王汉萍庄晓东日期: 2011年12月23日题目：图像边缘检测方法的研究与实现一、边缘检测以及相关概念1．1边缘，边缘检测的介绍边缘(edge)是指图像局部强度变化最显著的部分．边缘主要存在于目标与目标、目标与背景、区域与区域(包括不同色彩)之间，是图像分割、纹理特征和形状特征等图像分析的重要基础．图像分析和理解的第一步常常是边缘检测(edge detection)．边缘检测是指使用数学方法提取图像像元中具有亮度值（灰度）空间方向梯度大的边、线特征的过程。
在讨论边缘算子之前，首先给出一些术语的定义：边缘点：图像中具有坐标]i且处在强度显著变化的位置上的点．,[j边缘段：对应于边缘点坐标]i及其方位 ，边缘的方位可能是梯度角．,[j边缘检测器：从图像中抽取边缘(边缘点和边缘段)集合的算法．轮廓：边缘列表，或是一条表示边缘列表的拟合曲线．边缘连接：从无序边缘表形成有序边缘表的过程．习惯上边缘的表示采用顺时针方向序．边缘跟踪：一个用来确定轮廊的图像（指滤波后的图像）搜索过程．边缘点的坐标可以是边缘位置像素点的行、列整数标号，也可以在子像素分辨率水平上表示．边缘坐标可以在原始图像坐标系上表示，但大多数情况下是在边缘检测滤波器的输出图像的坐标系上表示，因为滤波过程可能导致图像坐标平移或缩放．边缘段可以用像素点尺寸大小的小线段定义，或用具有方位属性的一个点定义．请注意，在实际中，边缘点和边缘段都被称为边缘．边缘连接和边缘跟踪之间的区别在于：边缘连接是把边缘检测器产生的无序边缘集作为输入，输出一个有序边缘集；边缘跟踪则是将一幅图像作为输入，输出一个有序边缘集．另外，边缘检测使用局部信息来决定边缘，而边缘跟踪使用整个图像信息来决定一个像素点是不是边缘．1．2 边缘检测算子边缘检测是图像特征提取的重要技术之一, 边缘常常意味着一个区域的终结和另一个区域的开始. 图像的边缘包含了物体形状的重要信息,它不仅在分析图像时大幅度地减少了要处理的信息量,而且还保护了目标的边界结构. 因此,边缘检测可以看做是处理许多复杂问题的关键.边缘检测的实质是采用某种算法来提取出图像中对对象与背景间的交界线。
青岛大学专业课程设计院系: 自动化学院专业: 电子信息工程班级: 08级电子信息工程3班学生姓名: 刘法指导教师: 王汉萍庄晓东日期: 2011年12月23日题目：图像边缘检测方法的研究与实现一、边缘检测以及相关概念1．1边缘，边缘检测的介绍边缘(edge)是指图像局部强度变化最显著的部分．边缘主要存在于目标与目标、目标与背景、区域与区域(包括不同色彩)之间，是图像分割、纹理特征和形状特征等图像分析的重要基础．图像分析和理解的第一步常常是边缘检测(edge detection)．边缘检测是指使用数学方法提取图像像元中具有亮度值（灰度）空间方向梯度大的边、线特征的过程。
在讨论边缘算子之前，首先给出一些术语的定义：边缘点：图像中具有坐标],[ji且处在强度显著变化的位置上的点．边缘段：对应于边缘点坐标]i及其方位 ，边缘的方位可能是梯度角．,[j边缘检测器：从图像中抽取边缘(边缘点和边缘段)集合的算法．轮廓：边缘列表，或是一条表示边缘列表的拟合曲线．边缘连接：从无序边缘表形成有序边缘表的过程．习惯上边缘的表示采用顺时针方向序．边缘跟踪：一个用来确定轮廊的图像（指滤波后的图像）搜索过程．边缘点的坐标可以是边缘位置像素点的行、列整数标号，也可以在子像素分辨率水平上表示．边缘坐标可以在原始图像坐标系上表示，但大多数情况下是在边缘检测滤波器的输出图像的坐标系上表示，因为滤波过程可能导致图像坐标平移或缩放．边缘段可以用像素点尺寸大小的小线段定义，或用具有方位属性的一个点定义．请注意，在实际中，边缘点和边缘段都被称为边缘．边缘连接和边缘跟踪之间的区别在于：边缘连接是把边缘检测器产生的无序边缘集作为输入，输出一个有序边缘集；边缘跟踪则是将一幅图像作为输入，输出一个有序边缘集．另外，边缘检测使用局部信息来决定边缘，而边缘跟踪使用整个图像信息来决定一个像素点是不是边缘．1．2 边缘检测算子边缘检测是图像特征提取的重要技术之一, 边缘常常意味着一个区域的终结和另一个区域的开始. 图像的边缘包含了物体形状的重要信息,它不仅在分析图像时大幅度地减少了要处理的信息量,而且还保护了目标的边界结构. 因此,边缘检测可以看做是处理许多复杂问题的关键.边缘检测的实质是采用某种算法来提取出图像中对对象与背景间的交界线。
图像处理中的边缘检测算法研究在图像处理领域中，边缘检测算法是非常重要的技术。
通过边缘检测，我们可以识别图像中的对象轮廓，从而进行目标识别、跟踪、分类等应用。
本文将就边缘检测算法进行研究与探讨。
一、边缘检测算法概述边缘检测的目的是在图像中寻找图像的边缘，通常采用响应特定滤波器来实现。
边缘检测算法可以分为两类：基于梯度的算法和基于模型的算法。
其中，基于梯度的算法是最常用的方法，主要基于图像灰度值的变化来寻找边缘。
二、经典的边缘检测算法1. Sobel算子Sobel算子是一种基于梯度的算法，其运算核有两个，分别对应水平和竖直方向，计算公式如下：Gy = [[1,2,1] Gx = [[1,0,-1][2,0,-2][1,0,-1]]其中，Gx和Gy分别是x和y方向上的梯度，G为图像灰度值，*表示卷积运算。
通过将算子对图像进行卷积操作，我们可以得到每个像素点的梯度值，从而找到图像的边缘。
2. Canny算子Canny算子是一种基于梯度的算法，其主要思想是将图像中的边缘提取出来，并对其进行连接，形成完整的边缘。
Canny算法的主要步骤包括高斯滤波、计算梯度值和方向、非极大值抑制、双阈值检测和边缘连接等。
3. Laplacian算子Laplacian算子是一种基于二阶微分的算法，其运算核如下：L = [[0,-1,0][-1,4,-1][0,-1,0]]其中，L是Laplacian算子，与图像卷积后可得到二阶导数，反映了图像中梯度的变化程度。
通过Laplacian算子，我们可以快速、有效地检测图像中的边缘。
三、改进的边缘检测算法1. 基于分形理论的边缘检测算法分形理论是一种用于描述自然界中各种不规则、复杂的现象的数学理论。
基于分形理论的边缘检测算法可以很好地处理图像中的不规则、复杂边缘。
2. 基于小波变换的边缘检测算法小波变换可以将复杂的信号分解成若干个简单的分量，并可恢复原始信号。
基于小波变换的边缘检测算法可以更加准确地描述图像中的边缘。
毕业设计论文图像边缘检测算法探究及实现目录引言 (1)第1章绪论 (2)1.1课题的研究背景及意义 (2)1.2课题的发展现状 (3)1.3论文的主要工作和背景 (5)1.4论文的总体结构 (5)第2章经典边缘检测算法的实现 (7)2.1图像平滑处理 (7)2.1.1平滑方法 (7)2.1.23×3均值滤波 (8)2.1.3产生噪声 (9)2.2边缘检测 (10)2.2.1边缘检测概述 (10)2.2.2梯度 (11)2.3梯度边缘检测算子 (12)2.3.1Roberts算子 (13)2.3.2Prewitt算子 (13)2.3.3Sobel算子 (14)2.4拉普拉斯算子 (14)2.5LoG算子 (15)2.6几种经典边缘检测方法的实现与结果 (16)第3章图像描述 (20)3.1模拟图像的描述 (20)3.2数字图像的描述 (20)3.3数字图像的颜色表示方法 (21)第4章彩色图像边缘检测 (23)4.1彩色边缘检测的定义 (23)4.2基于Sobel算子的彩色图像边缘检测 (24)4.2.1彩色边缘检测 (24)4.2.2彩色模型 (25)4.3RGB与YUV (27)结论 (29)致谢 (30)参考文献 (1)毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。
尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。
对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。
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基于图像处理技术的边缘检测算法研究与实现随着计算机视觉技术的快速发展，图像处理已经成为了一个重要的领域。
其中，边缘检测是图像处理中最重要的基础技术之一，它可以帮助我们在处理图像时快速准确地分离出图像中的物体和背景，为后续的图像分析和处理提供了重要的依据。
图像边缘是指图像中不同区域之间强度或颜色变化比较明显的部分，它是图像中最重要的特征之一。
在图像处理中，必须首先进行边缘检测，然后才能进行目标识别、分割等更高级的图像处理。
近年来，随着计算机硬件和软件的不断更新和发展，图像处理技术已经发展到了一个新的高度。
图像处理技术的快速发展，也带动了边缘检测算法的不断更新和发展。
目前，边缘检测算法分为多种，例如基于灰度变化、方向梯度、二阶导数等方法，每种方法都有其适用场合。
本文将以Canny算法为例，对基于图像处理技术的边缘检测算法进行研究与实现。
一、Canny算法概述Canny算法是一种基于灰度变化的边缘检测算法，被广泛应用于图像处理领域。
Canny算法以边缘位置最大值的概率为判定方法，通过多轮计算，将图像中的边缘检测出来。
Canny算法的主要步骤包括四个部分：高斯滤波、计算图像梯度、非极大值抑制和双阈值处理。
二、Canny算法的实现1、高斯滤波Canny算法的第一步是高斯滤波。
高斯滤波是一种线性平滑滤波器，可以去噪声的同时保留图像的主要特征。
高斯滤波器是一个由多个值组成的核，该核函数越接近于高斯分布，滤波器去噪的效果越好。
2、计算图像梯度图像梯度可以用于刻画边缘的方向和变化强度。
在Canny算法中，使用的是Sobel算子，它是一种常见的边缘检测算子，既能检测垂直边缘，又能检测水平边缘。
3、非极大值抑制非极大值抑制是用来消除图像中的所有非极大值点，只保留与边缘方向相同的极大值点。
这样可以保证边缘线更加的细腻。
4、双阈值处理双阈值处理是Canny算法的最后一步，主要用于边缘的提取。
具体地，将图像中所有像素点的梯度计算出来，并将其按照大小排序。
图像边缘检测技术的实现及应用CRC编码原理、实现及性能研究RoboCup3D中通信模型的设计及其在仿真球队中的应用 ?图像边缘检测技术的实现及应用07月 30, 2008 - Posted by 若谷Edge is the most basic feature of images, so edge detection is an important content of image processing. In the past decades, the rapid development of the theory of wavelet has brought new theory and method for image processing. As wavelet transform has good local quality and multi-scale identity, it can satisfy the need of edge detection in multi-scales. Detecting edge using wavelet transform is recognized an efficient way.This thesis first introduces several current widely used edge detection algorithm such as Sobel, Roberts, Laplacian. The core idea of these algorithms is that the edge points correspond to the local maximal points of original image’s gray-level gradient. We perform all experiments based on these widely used edge detection algorithm under the Visual C++ environment, However, when there are noises in images, these algorithms are very sensitive to noises, and may detect noise points as marginal points, and the real edge may not be detected because of the noises’ interference. The general idea of edge detection using wavelet transform is: choose a kind of suitable wavelet function, use the function to transform images in multi-scale, detect the wavelet transform module local maximum and gain the image edge. We perform the experiments based on wavelet transform under the MATLAB environment, the results indicate that these methods are effective. Moreover, we analysis the advantages and shortcomings of these methods.human face detection is the base of human face recognition. At the last chapter the experiment results are used to confirm the different methods which are employed to test the edge detection results of the human face image. It discusses the possible factors, which makes the different results. Finally, it introduced the application of the edge detection in human face detection and recognition.KEY WORDS： edge detection，wavelet transform，human face recognition，human face detection目录摘要 IIABSTRACT III第一章绪论 41.1边缘与边缘检测 41.2边缘检测的研究背景及意义 11.3课题发展现状 31.4论文结构 5第二章经典的边缘检测方法及实现 72.1基于梯度的边缘检测方法 72.1.1Roberts算子 82.1.2Prewitt算子 82.1.3Sobel算子 82.1.4Kirsch算子 92.2拉普拉斯边缘检测算子 102.3高斯拉普拉斯边缘检测算子 112.4经典边缘检测算子的设计及实验结果分析比较 132.4.1经典的边缘检测算子的实现步骤 132.4.2经典算子的Visual C++实现及结果比较 15第三章小波变换的边缘检测方法及实现 173.1引言 173.2小波的来源 183.3小波变换简介 203.3.1小波变换定义 203.3.2连续的小波变换 203.3.3离散小波变换 203.3.4二维小波变换 213.4小波变换边缘检测的设计和实现 213.4.1小波变换边缘检测的优点 213.4.2小波变换模局部极大值边缘检测的原理和步骤 223.4.3小波边缘检测的实验结果比较 25第四章边缘检测在人脸识别中的应用 264.1生物识别技术 264.2人脸识别技术研究的背景及意义 264.3 人脸检测的程序实现界面 274.4 不同算法实现人脸检测及其结果分析 29第五章结论与展望 34参考文献 35致谢 37附录 38摘要边缘是图像最基本的特征，因而边缘检测是图像处理中的重要内容。
图像边缘检测方法的研究与实现刘法200832800066青岛大学专业课程设计院系: 自动化学院专业: 电子信息工程班级: 08级电子信息工程3班学生姓名: 刘法指导教师: 王汉萍庄晓东日期: 2011年12月23日题目：图像边缘检测方法的研究与实现一、边缘检测以及相关概念1．1边缘，边缘检测的介绍边缘(edge)是指图像局部强度变化最显著的部分．边缘主要存在于目标与目标、目标与背景、区域与区域(包括不同色彩)之间，是图像分割、纹理特征和形状特征等图像分析的重要基础．图像分析和理解的第一步常常是边缘检测(edge detection)．边缘检测是指使用数学方法提取图像像元中具有亮度值（灰度）空间方向梯度大的边、线特征的过程。
在讨论边缘算子之前，首先给出一些术语的定义：边缘点：图像中具有坐标],[ji且处在强度显著变化的位置上的点．边缘段：对应于边缘点坐标]i及其方位 ，边缘的方位可能是梯度角．,[j边缘检测器：从图像中抽取边缘(边缘点和边缘段)集合的算法．轮廓：边缘列表，或是一条表示边缘列表的拟合曲线．边缘连接：从无序边缘表形成有序边缘表的过程．习惯上边缘的表示采用顺时针方向序．边缘跟踪：一个用来确定轮廊的图像（指滤波后的图像）搜索过程．边缘点的坐标可以是边缘位置像素点的行、列整数标号，也可以在子像素分辨率水平上表示．边缘坐标可以在原始图像坐标系上表示，但大多数情况下是在边缘检测滤波器的输出图像的坐标系上表示，因为滤波过程可能导致图像坐标平移或缩放．边缘段可以用像素点尺寸大小的小线段定义，或用具有方位属性的一个点定义．请注意，在实际中，边缘点和边缘段都被称为边缘．边缘连接和边缘跟踪之间的区别在于：边缘连接是把边缘检测器产生的无序边缘集作为输入，输出一个有序边缘集；边缘跟踪则是将一幅图像作为输入，输出一个有序边缘集．另外，边缘检测使用局部信息来决定边缘，而边缘跟踪使用整个图像信息来决定一个像素点是不是边缘．1．2 边缘检测算子边缘检测是图像特征提取的重要技术之一, 边缘常常意味着一个区域的终结和另一个区域的开始. 图像的边缘包含了物体形状的重要信息,它不仅在分析图像时大幅度地减少了要处理的信息量,而且还保护了目标的边界结构. 因此,边缘检测可以看做是处理许多复杂问题的关键.边缘检测的实质是采用某种算法来提取出图像中对对象与背景间的交界线。
图像灰度的变化情况可以用图像灰度分布的梯度来反映，因此可以用局部图像微分技术来获取边缘检测算子。
经典的边缘检测方法是对原始图像中的像素的某个邻域来构造边缘检测算子。
以下是对几种经典的边缘检测算子进行理论分析，并对各自的性能特点做出比较和评价。
边缘检测的原理是：由于微分算子具有突出灰度变化的作用，对图像进行微分运算，在图像边缘处其灰度变化较大，故该处微分计算值教高，可将这些微分值作为相应点的边缘强度，通过阈值判别来提取边缘点，即如果微分值大于阈值，则为边缘点。
Roberts,Sobel,Prewwit是基于一阶导数的边缘检测算子，图像的边缘检测是通过2*2或者3*3模板作为核与该图像中的每个像素点做卷积和运算，然后选取合适的阈值以提取边缘。
Laplace边缘检测算子是基于二阶导数的边缘检测算子，该算子对噪声敏感。
Laplace算子的改进方式是先对图像进行平滑处理，然后再应用二阶导数的边缘检测算子，其代表是拉普拉斯高斯（LOG）算子。
前边介绍的边缘检测算法是基于微分方法的，其依据是图像的边缘对应一阶导数的极大值点和二阶导数过零点。
Canny算子是另外一类边缘检测算子，它不是通过微分算子检测边缘，而是在满足一定约束条件下推导出的边缘检测最优化算子。
1．3 边缘检测算法对于边缘的检测常常借助于空域微分算子进行,通过将其模板与图像卷积完成。
两个具有不同灰度值的相邻区域之间总存在灰度边缘。
灰度边缘是灰度值不连续(或突变) 的结果,这种不连续常可利用求一阶和二阶导数方便地检测到。
已有的局部技术边缘检测方法,主要有一次微分(Sobel 算子、Robert s 算子等) 、二次微分(拉普拉斯算子等)。
这些边缘检测器对边缘灰度值过渡比较尖锐且噪声较小等不太复杂的图像,大多数提取算法均可以取得较好的效果。
但对于边缘复杂、采光不均匀的图像来说,则效果不太理想。
主要表现为边缘模糊、边缘非单像素宽、弱边缘丢失和整体边缘的不连续等方面。
用算子检测图像边缘的方法是用小区域模板对图像进行处理,即采用卷积核作为掩模模板在图像中依次移动,完成图像中每个像素点同模板的卷积运算,最终输出的边缘幅度结果可以检测出图像的边缘。
卷积运算是一种邻域运算。
图像处理认为:某一点像素的结果不但和本像素灰度有关,而且和其邻域点值有关。
运用模板在图像上依此对每一个像素进行卷积, 即模板上每一个点的值与其在图像上当前位置对应的像素点值相乘后再相加,得出的值就是该点处理后的新值。
边缘检测算法有如下四个步骤：滤波：边缘检测算法主要是基于图像强度的一阶和二阶导数，但导数的计算对噪声很敏感，因此必须使用滤波器来改善与噪声有关的边缘检测器的性能。
需要指出，大多数滤波器在降低噪声的同时也导致了边缘强度的损失，因此，增强边缘和降低噪声之间需要折衷。
增强：增强边缘的基础是确定图像各点邻域强度的变化值。
增强算法可以将邻域（或局部）强度值有显著变化的点突显出来。
边缘增强一般是通过计算梯度幅值来完成的。
检测：在图像中有许多点的梯度幅值比较大，而这些点在特定的应用领域中并不都是边缘，所以应该用某种方法来确定哪些点是边缘点。
最简单的边缘检测判据是梯度幅值阈值判据。
定位：如果某一应用场合要求确定边缘位置，则边缘的位置可在子像素分辨率上来估计，边缘的方位也可以被估计出来。
二、经典边缘检测算子的理论分析和比较2．1 Roberts算子Roberts算子是一种斜向偏差分的梯度计算方法, 梯度的大小代表边缘的强度, 梯度的方向与边缘走向垂直。
该算子定位精度高, 但容易丢失部分边缘。
因为没进行平滑处理, 不具有抑制噪声的能力。
用该算子处理边缘陡峭度高且噪声小的图像效果较佳。
Roberts 交叉算子为梯度幅值计算提供了一种简单的近似方法：]1,[],1[]1,1[],[],[+-++++-=j i f j i f j i f j i f j i G (1．1)用卷积模板，上式变成：yx G G j i G +=],[(1．2)其中x G 和y G 由下面的模板计算：G x =-101G y =-0110(1．3) 同前面的22⨯梯度算子一样，差分值将在内插点[/,/]i j ++1212处计算．Roberts 算子是该点连续梯度的近似值，而不是所预期的点[,]i j 处的近似值。
2．2 Sobel 算子、Prewitt 算子Sobel 算子和P rew it t 算子都是一阶的微分算子,都是先对图像进行平滑处理, 虽然两者都是加权平均滤波, 但是前者邻域的像素对当前像素产生的影响不是等价的, 距离不同的像素具有不同的权值, 对算子结果产生的影响也不同。
这两种算子对噪声都有一定的抑制作用, 但不能完全排除检测结果中出现虚假边缘的情况。
这两者对灰度渐变低噪声的图像有较好的检测效果, 但是对于混合多复杂噪声的图像处理效果就不理想了。
正如前面所讲，采用33⨯邻域可以避免在像素之间内插点上计算梯度．考虑一下上图中所示的点[,]i j 周围点的排列。
Sobel 算子也是一种梯度幅值，M s s x y=+22(1．4) 其中的偏导数用下式计算：)()()()(456210670432a ca a a ca a s a ca a a ca a s y x ++-++=++-++= (1．5)其中常数2=c和其他的梯度算子一样，s x 和s y 可用卷积模板来实现：101202101---=x s 121000121---=y s图1．1请注意这一算子把重点放在接近于模板中心的像素点。
Sobel 算子是边缘检测器中最常用的算子之一。
45637210],[a a a a j i a a a a 图1．2 用于说明Sobel 算子和Prewitt 算子的邻域像素点标记Prewitt 算子与Sobel 算子的方程完全一样，只是常量c=1。
所以101101101---=x s 11100111---=y s (1．6)请注意，与Sobel 算子不同，这一算子没有把重点放在接近模板中心的像素点。
2．3拉普拉斯算子平滑过的阶跃边缘二阶导数是一个在边缘点处过零的函数。
拉普拉斯算子是二阶导数的二维等效式。
函数),(y x f 的拉普拉斯算子公式为∇=+22222f f x fy ∂∂∂∂ (1．7)使用差分方程对x 和y 方向上的二阶偏导数近似如下：],[])1,[2]2,[(],[]1,[]),[]1,[(22j i f j i f j i f xj i f x j i f xj i f j i f x G xf x++-+=-+=-+==∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ (1．8)这一近似式是以点]1,[+j i 为中心的。
用1-j 替换j ，得到=22xf∂∂]1,[]),[2]1,[(-+-+j i f j i f j i f (1．9) 它是以点[,]i j 为中心的二阶偏导数的理想近似式，类似地，=22yf∂∂],1[]),[2],1[(j i f j i f j i f -+-+ (1．10)把这两个式子合并为一个算子，就成为下面能用来近似拉普拉斯算子的模板：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-≈∇010******* （1．11)当拉普拉斯算子输出出现过零点时就表明有边缘存在，其中忽略无意义的过零点(均匀零区)。
原则上，过零点的位置精度可以通过线性内插方法精确到子像素分辨率，不过由于噪声，结果可能不会很精确。
2．4 LoG 算法正如上面所提到的，利用图像强度二阶导数的零交叉点来求边缘点的算法对噪声十分敏感，所以，希望在边缘增强前滤除噪声。
为此，Marr 和Hildreth[146]将高斯滤波和拉普拉斯边缘检测结合在一起，形成LoG （Laplacian of Gaussian, LoG ）算法，也称之为拉普拉斯高斯算法。
LoG 边缘检测器的基本特征是：1． 平滑滤波器是高斯滤波器；2． 增强步骤采用二阶导数(二维拉普拉斯函数)；3． 边缘检测判据是二阶导数零交叉点并对应一阶导数的较大峰值； 4． 使用线性内插方法在子像素分辨率水平上估计边缘的位置。
LoG 算子的输出h x y (,)是通过卷积运算得到的：h x y g x y f x y (,)[(,)(,)]=∇*2 (1．12) 根据卷积求导法有h x y g x y f x y (,)[(,)](,)=∇*2 (1．13) 其中：∇=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪-+2222422222g x y x y e x y (,)σσσ (1．14)称之为墨西哥草帽算子．2．5 Canny 边缘检测器检测阶跃边缘的基本思想是在图像中找出具有局部最大梯度幅值的像素点。
