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污染物扩散模型研究及应用探讨近年来，随着城市化进程加速和工业化发展的速度不断提升，环境污染问题已经成为了全球性的难题。
环境污染已经成为我们生态环境和人类健康的重要威胁，但是如何在环境污染事件发生时快速、准确地推断污染源和实施有效的控制措施，这成为了每一个环境保护人士需要探讨的重要问题。
在此背景下，污染物扩散模型研究及应用的探讨，成为了各界关注和研究的热点。
一、污染物扩散模型污染物扩散模型是将大气环境污染物源和周围环境的相关因素相结合，通过数理模型和计算方法，在一定的时间和空间范围内建立污染物扩散的数学模型，为环境监测和污染物控制提供科学依据。
模型对于分析模拟和预测环境质量的变化具有重要的意义，而污染物扩散模型正是更为广义的空气污染模型。
在建立模型时，主要考虑到污染源与环境介质，它包括在评价源等级时所需的污染源清单，描述环境特性的基础数据，以及精确的泄漏源排放信息。
在实际应用过程中，基于不同的问题和应用场合，污染物扩散模型被分为了多种类型。
一般而言，常见的空气质量模型包括气象条件数值图模型、统计模型、 Gaussian 模型、 LINE source 模型和蒙特卡罗模型。
具体实施时，可根据不同情况针对性地采用不同类型的模型，并结合实际数据和环境因素来进行实际的计算和推断工作。
二、应用探讨污染物扩散模型在现代环境保护工作中发挥着不可或缺的作用。
在应用方面，污染物扩散模型主要应用于以下三个方面：1. 环境质量评价：在环境质量评价时，我们需要了解当前空气质量的变化趋势、排放规模、排放量等。
通过对环境介质的数学建模和对环境质量的数据分析，我们可以清晰地了解环境质量的变化趋势，同时也可以推断出潜在的污染源。
2. 环境影响评价：污染物扩散模型还可进行环境影响评价，即针对一项新建或改扩建项目，分析各种环境因素对环境影响的程度，进行发展规划和预防措施设计，为保护环境和改善空气质量提供科学依据。
3. 应急管理：在某些紧急情况下，如重大生态环境事故或天气变化突然引起污染过程不稳定的情况下，通过污染物扩散模型，可以做到快速预测污染物扩散的范围和路径，减少事故造成的损失和环境污染。
数学建模在环境污染预测中的应用随着工业、城市化和人口增加，环境污染问题越来越严重。
为了有效预测环境污染，减少其对人类和自然造成的影响，人们开始使用数学建模技术。
数学建模是一种通过数学方法描述、分析和解决实际问题的技术，是应用数学和计算机科学的重要手段。
本文将探讨数学建模在环境污染预测中的应用。
一、污染物扩散模型污染物扩散模型是环境污染预测中常用的一种数学模型。
它可以预测污染物在空气、水、土壤等不同介质中的扩散和传播方式，为环境保护决策提供科学依据。
通常，污染物扩散模型包括两个部分：污染物质量守恒方程和动量守恒方程。
其中，污染物质量守恒方程描述了污染物在介质中的扩散和传播过程，动量守恒方程描述了介质的流动情况。
例如，在空气污染预测中，我们可以使用高斯模型、拉格朗日模型或欧拉模型。
高斯模型基于气溶胶在大气中的扩散和气团分布，可以预测污染物在特定区域内的浓度分布。
拉格朗日模型则基于污染物颗粒的轨迹，可以预测其传播路线和浓度变化。
欧拉模型则将大气划分成许多小单元，通过模拟这些单元中的气体流动来预测污染物的传播。
二、时间序列分析时间序列分析是一种用于污染预测和趋势分析的方法。
它通过对过去的观测数据进行分析，预测未来的污染情况和变化趋势。
时间序列分析的主要方法包括平滑、趋势分解、ARIMA模型和波动范围分析。
其中，平滑和趋势分解可以用于识别和分离趋势分量和周期分量，以更好地预测未来趋势和波动。
ARIMA模型则可以用于分析和预测时间序列的局部趋势和周期性，是一种非常灵活和广泛应用的方法。
波动范围分析则可以用于识别和分析时间序列中的周期性波动和异常事件。
例如，我们可以使用时间序列分析来预测某城市未来一段时间内的PM2.5浓度变化趋势。
经过分析，我们可以发现该城市PM2.5浓度存在明显的周期性波动，同时也受到各种因素的影响（如工业排放、交通流量等）。
通过建立合适的ARIMA模型，我们可以预测该城市未来PM2.5浓度的变化趋势，从而指导环境保护措施的实施。
污染物扩散模型的构建与模拟分析随着现代工业化及城市化的不断发展，环境污染问题越来越突出，这对人类的健康、生态环境及生物多样性等方面都带来了极大的威胁。
而污染物的扩散是导致环境污染的主要原因之一。
因此，对污染物的扩散模型的构建与模拟分析具有重要的理论和实际意义。
一、污染物扩散模型的基本概念污染物扩散模型是指对污染物在大气、水体、土壤等介质中扩散传播过程进行数学建模的过程。
其核心思想是通过数学公式描述污染物扩散、转化与传递规律，对污染物的特征、分布、浓度、影响等进行评估和预测，为环境保护和污染控制提供支持。
在污染物扩散模型中，其中一个关键要素是扩散系数，它主要考虑污染物的扩散现象。
扩散系数大小与被扩散的分子量、临界温度、扩散介质温度、压力等成正比例关系。
此外，影响扩散的还有风速、风向、湍流强度等气象因素。
因此，在具体构建模型时需要考虑多方面因素的影响。
二、污染物扩散模型的分类理论上，污染物扩散模型可以分为两大类，即基于经典物理学的扩散模型和基于统计物理学的扩散模型。
前者主要是基于物质的微观规律进行建模，如分子运动、质量传递、动能转移等；后者则是基于大量粒子的统计规律，如统计热力学、热力学平衡等。
在实际应用中，也可以根据具体的扩散介质、污染物种类、浓度范围等多种因素，将扩散模型进行进一步分类。
例如，大气扩散模型可以分为高斯模型、拉格朗日模型、欧拉模型等；水体扩散模型可以分为点源模型、面源模型、非定常模型、在线模型等。
在具体的应用中，需要根据污染物的种类、具体的观测数据、模拟环境等情况，选择适合的模型类型。
三、模型参数估计及优化在进行污染物扩散模型构建时，需要确定相关的模型参数。
而在实际操作过程中，往往难以对所有模型参数进行测量和确定。
此时，需要通过已有的或者历史数据，进行参数估计或反演，以得到合理的参数值。
传统的参数估计方法包括拟合法、极大似然法、贝叶斯反演等。
其中，拟合法最为常见，即根据已有的观测数据，通过试探性调整参数值，将模型预测值与实际观测值拟合。
赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
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如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的报名参赛队号（12位数字全国统一编号）：参赛学校（完整的学校全称，不含院系名）：温州医科大学参赛队员(打印并签名) ：1. 章成俊2. 杨超3. 谢锦指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页送全国评阅统一编号（由赛区组委会填写）：全国评阅随机编号（由全国组委会填写）：对垃圾处理厂污染的动态监控及居民补偿摘要城市垃圾处理问题是一个世界性难题。
目前垃圾焚烧正逐步成为中国垃圾处理的主要手段之一。
本论文构根据题目设置的垃圾处理厂规模，建立了环境动态监控体系，并根据潜在污染风险对周围居民进行了合理经济补偿的设计。
对于问题（1），为了实现对垃圾焚烧厂烟气排放及相关环境影响状况的动态监控，本论文在高斯烟羽模型的基础上进行改进，引入温度、降雨对污染物扩散的影响，建立了新的污染物扩散模型。
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\ 摘要本文是在大气扩散理论的基础上，综合考虑各种影响核辐射粉尘扩散的因素，包括风速，风向得出的。
模型中也做了适当的简化。
本文的另一个基础是通过经纬度计算出以福岛核电站为原点的平面坐标系，从而方便了高斯烟羽模型的运用。
通过对高斯烟羽模型的积分和化简，计算出稳定时中国各大城市的核辐射量，从而解决了问题一。
充分证明了中国不会受到日本核辐射的影响。
通过比较各大城市的浓度得到受影响最大的城市。
重新回到高斯烟羽模型的浓度为时间函数的形式，计算函数的极值点，得到受影响最严重的时间。
另外，我们多角度的分析了模型的拓展及改进方向，并对模型进行了初步的评价。
一、问题的提出二、问题的分析问题一福岛放射性粉尘中主要的有害物质是碘131和铯137.碘131和铯137的放射性浓度是我们的研究对象。
这些物质随大气扩散。
为了计算出放射性物质的浓度，我们必须知道大气扩散的数学模型。
大气作为流体，我们采用流体力学的观点研究它。
由于大气的扩散还与气象条件，如风速，风向，大气稳定度等相关，数学模型中必须有这方面的参数。
这需要结合一些环境系统工程的相关知识和经验公式。
放射性物质有衰变的性质，在模型中必须考虑衰变的影响。
对于源排放点，由于修复受损核电站的进度被考虑进来，源排放点的排放量是一个关于时间的函数，随着时间越来越小，并最终减为0. 具体来说，我们了解到核泄漏的原因是核反应堆(第二层防护由于温度过高而被熔融，使得衰变产物泄漏。
而由于冷却设备失效，于是注水冷凝，水受热汽化使得压力过高，核电站释放了水蒸气以防止爆炸，而放射性粉尘大多数是这些水蒸气带出的。
)所以，一旦释放水蒸气停止，核辐射粉尘的源排放点将基本停止排放。
在模型中，我们分为可以把考虑的因素分为几组。
第一组是研究的观测点。
我们用离散的观点，近似的研究可能会受核辐射影响的省市的人口最密集的城市的浓度。
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 摘要本文是在大气扩散理论的基础上，综合考虑各种影响核辐射粉尘扩散的因素，包括风速，风向得出的。
模型中也做了适当的简化。
本文的另一个基础是通过经纬度计算出以福岛核电站为原点的平面坐标系，从而方便了高斯烟羽模型的运用。
通过对高斯烟羽模型的积分和化简，计算出稳定时中国各大城市的核辐射量，从而解决了问题一。
充分证明了中国不会受到日本核辐射的影响。
通过比较各大城市的浓度得到受影响最大的城市。
重新回到高斯烟羽模型的浓度为时间函数的形式，计算函数的极值点，得到受影响最严重的时间。
另外，我们多角度的分析了模型的拓展及改进方向，并对模型进行了初步的评价。
一、问题的提出二、问题的分析问题一福岛放射性粉尘中主要的有害物质是碘131和铯137.碘131和铯137的放射性浓度是我们的研究对象。
这些物质随大气扩散。
为了计算出放射性物质的浓度，我们必须知道大气扩散的数学模型。
大气作为流体，我们采用流体力学的观点研究它。
由于大气的扩散还与气象条件，如风速，风向，大气稳定度等相关，数学模型中必须有这方面的参数。
这需要结合一些环境系统工程的相关知识和经验公式。
放射性物质有衰变的性质，在模型中必须考虑衰变的影响。
对于源排放点，由于修复受损核电站的进度被考虑进来，源排放点的排放量是一个关于时间的函数，随着时间越来越小，并最终减为0. 具体来说，我们了解到核泄漏的原因是核反应堆(第二层防护由于温度过高而被熔融，使得衰变产物泄漏。
而由于冷却设备失效，于是注水冷凝，水受热汽化使得压力过高，核电站释放了水蒸气以防止爆炸，而放射性粉尘大多数是这些水蒸气带出的。
)所以，一旦释放水蒸气停止，核辐射粉尘的源排放点将基本停止排放。
在模型中，我们分为可以把考虑的因素分为几组。
第一组是研究的观测点。
我们用离散的观点，近似的研究可能会受核辐射影响的省市的人口最密集的城市的浓度。
数学模型在污染物扩散预测中的应用随着工业化进程的不断发展，环境污染成为一个不容忽视的问题，污染源的排放不仅对人类健康造成危害，还会对生态系统带来影响。
为了更好地管理和控制环境污染，科学家们开始研究污染物扩散的规律，并将数学模型应用于环境科学领域。
数学模型是一种描述自然现象和人类活动的方法，它可以对复杂的问题进行分析和预测。
污染物扩散预测是数学模型在环境科学领域中的一个重要应用。
在这个过程中，科学家们需要考虑许多因素，例如大气稳定度、气流速度和方向、地形等。
通过建立数学模型，他们可以预测污染物的扩散情况，并根据预测结果采取必要的控制措施。
数学模型在污染物扩散预测中的应用通常分为两种方法：物理模型和统计模型。
物理模型是基于自然规律的模型，它通过建立污染物传递方程，并结合气象、地理等因素，预测污染物在空间中的扩散情况。
统计模型则基于历史数据和统计规律，通过分析过去的数据和模式，预测未来可能发生的情况。
这两种方法具有各自的优缺点，应根据具体情况进行选择。
其中，常见的物理模型包括高尔通模型、龙格库塔模型和欧拉模型等。
高尔通模型是基于质量守恒定律和动量守恒定律建立的，它能够考虑到污染物在平流和扩散过程中的影响。
龙格库塔模型和欧拉模型是数值模拟模型，它们能够模拟污染物在空气中运动的细节，但需要更多的计算资源。
由于物理模型可以考虑到环境影响因素的影响，因此它们通常能够提供更准确的预测结果。
统计模型则包括时间序列模型、回归模型和分类模型等。
时间序列模型是通过分析历史数据，将过去的趋势和周期性特征转化为预测模型，来进行未来的预测。
回归模型是将因变量与自变量之间的关系转化为数学函数，来预测未来可能的变化情况。
分类模型是基于已知的数据集合和公式，将未知数据集合分为多个类别。
除了选择合适的模型外，还需要考虑数据的收集和准确性。
数据的收集需要考虑时间和地点，通常需要使用传感器和检测仪器，用于检测大气中的污染物浓度等信息。
收集的数据需要进行处理和验证，以确保其准确性和正确性。
数学模型预测新兴传染病扩散趋势分析新兴传染病的扩散对人类社会的健康和安全构成了巨大的挑战。
在过去的几十年里，我们目睹了SARS、流感等传染病的爆发以及其对全球公共卫生的冲击。
如何准确预测新兴传染病的扩散趋势成为了一个迫切需要解决的问题。
数学建模成为了预测新兴传染病扩散趋势的重要工具之一。
数学模型是一种通过数学公式和方法来描述和预测一定规律的工具。
在预测新兴传染病扩散趋势中，数学模型可以帮助我们理解病毒传播的机理以及各种因素对传播速度和范围的影响。
常用的数学模型包括传染病传播模型、动态网络模型和复杂系统模型等。
传染病传播模型是最常用的数学模型之一。
其中最著名的是SIR模型，即将传染病患者分为易感者（Susceptible）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）三类。
SIR模型基于一定的假设和公式，可以预测传染病传播的速度和范围。
通过调整模型中的参数，我们可以得到不同情景下传染病的扩散趋势，进而制定相应的防控措施。
动态网络模型是一种描述社交网络或交通网络等复杂系统中传染病传播的数学模型。
这种模型可以考虑网络拓扑结构、节点的影响力以及传染病的传播方式等因素，更加贴近真实情况。
通过对网络模型进行仿真和预测，我们可以发现传染病的传播路径和节点，从而有针对性地采取措施来控制传播。
此外，复杂系统模型是近年来新兴的数学模型之一。
这种模型可以将传染病传播与环境因素、人口流动、经济发展等各种因素综合考虑，更加全面地分析和预测传染病的扩散趋势。
复杂系统模型能够帮助我们了解传染病传播与人类社会发展之间的相互作用，为制定防控策略提供更多的参考依据。
在数学模型中，数据的质量和准确性非常关键。
传染病的扩散趋势预测需要大量的实时和准确的数据，包括病例的报告、人口统计数据、人群流动数据等。
同时，模型本身也需要根据具体的传染病特征和背景进行合理的参数设定和假设，以提高模型的准确性和可靠性。
然而，数学模型只是预测新兴传染病扩散趋势的工具之一，还需要结合其他学科和方法来进行综合分析和预测。
第七节 扩散问题的偏微分方程模型物质的扩散问题，在石油开采、环境污染、疾病流行、化学反应、新闻传播、煤矿瓦斯爆炸、农田墒情、水利工程、生态问题、房屋基建、神经传导、药物在人体内分布以及超导、液晶、燃烧等诸多自然科学与工程技术领域，十分普遍地存在着. 显然，对这些问题的研究是十分必要的，其中的数学含量极大. 事实上，凡与反应扩散有关的现象，大都能由线性或非线性抛物型偏微分方程作为数学模型来定量或定性地加以解决.ＭＣＭ的试题来自实际，是“真问题⊕数学建模⊕计算机处理”的“三合一”准科研性质的一种竞赛，对上述这种有普遍意义和数学含量高，必须用计算机处理才能得到数值解的扩散问题，当然成为试题的重要来源，例如，ＡＭＣＭ-90Ａ，就是这类试题；ＡＭＣＭ-90Ａ要研究治疗帕金森症的多巴胺（dopamine ）在人脑中的分布，此药液注射后在脑子里经历的是扩散衰减过程，可以由线性抛物型方程这一数学模型来刻划. ＡＭＣＭ-90Ａ要研究单层住宅混凝土地板中的温度变化，也属扩散（热传导）问题，其数学模型与ＡＭＣＭ-90Ａ一样，也是线性抛物型方程.本文交代扩散问题建模的思路以及如何推导出相应的抛物型方程，如何利用积分变换求解、如何确定方程与解的表达式中的参数等关键数学过程，且以ＡＭＣＭ-90Ａ题为例，显示一个较细致的分析、建模、求解过程.§1 抛物型方程的导出设(,,,)u x y z t 是t 时刻点(,,)x y z 处一种物质的浓度. 任取一个闭曲面S ，它所围的区域是Ω，由于扩散，从t 到t t +∆时刻这段时间内，通过S 流入Ω的质量为2221(cos cos cos )dSd t ttSu u uM a b c t x y zαβγ+∆∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰. 由高斯公式得2222221222()d d d d t ttu u u M a b c x y z t x y z +∆Ω∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰. （1） 其中，222,,a b c 分别是沿,,x y z 方向的扩散系数. 由于衰减（例如吸收、代谢等），Ω内的质量减少为22d d d d t ttM k u x y z t +∆Ω=⎰⎰⎰⎰，（2） 其中2k 是衰减系数.由物质不灭定律，在Ω内由于扩散与衰减的合作用，积存于Ω内的质量为12M M -.换一种角度看，Ω内由于深度之变化引起的质量增加为3[(,,,)(,,,)]d d d d d d d . (3)t ttM u x y z t t u x y z t x y zux y z t t Ω+∆Ω=+∆-∂=∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰显然312M M M =-，即2222222222d d d d ()d d d d .t ttt ttux y z t t u u u a b c k u x y z t x y z+∆Ω+∆Ω∂∂∂∂∂=++-∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由,,t t ∆Ω之任意性得2222222222u u u u a b c k u t x y z∂∂∂∂=++-∂∂∂∂ （4） 方程（４）是常系数线性抛物型方程，它就是有衰减的扩散过程的数学模型，对于具体问题，尚需与相应的定解条件（初始条件与边界条件等）匹配才能求得确定情况下的解.§2 Ｄirac 函数物理学家Dirac 为了物理模型之需要，硬是引入了一个当时颇遭微词的，使得数学与物理学传统密切关系出现裂痕的“怪”函数：0,0,() ()1.,0,x x x dx x δδ+∞-∞≠⎧==⎨∞=⎩⎰ （5）它的背景是清晰的，以一条无穷长的杆子为例，沿杆建立了一维坐标系，点的坐标为x ，杆的线密度是()x ρ，在(,]x -∞段，杆子质量为()m x ，则有d ()(), ()d ().d x m x x x x m x xρρ-∞==⎰. （6）设此无穷长的杆子总质量为１，质量集中在0x x =点，则应有001,,()0,,x x m x x x >⎧=⎨<⎩ 或写成 0()()m x H x x =-， 其中()H x 为1,0,()0,0,x H x x >⎧=⎨<⎩ 如果沿用（6）中的算法，则在质量集中分布的这种情形有00,,(),0.x x x x ρ≠⎧=⎨∞=⎩且0()d ()xx x H x x ρ-∞=-⎰，于是得()d 1.x x ρ+∞-∞=⎰. （7）但是，从传统数学观点看，若一个函数除某点处处为零，则不论哪种意义下的积分，都必定为零，（7）式岂能成立！但是，δ函数对于物理学而言是如此之有用，以致物理学家正当地拒绝放弃它. 尽管当时数学家们大都嘲笑这种函数，但Ｐ.Ａ.Ｍ.Ｄirac 及其追随者们在物理领域却收获颇丰，Dirac 于1933年获诺贝尔物理奖. 当然Dirac 也意识到()x δ不是一个通常的函数，至于找一种什么办法来阐明()x δ这一符号的合法性，那就是数学家的任务了. 1940年，法国数学家许瓦兹（L.Schwartz ）严格证明了应用()x δ的正确性，把δ函数置于坚实的数学基础上；1950年，L. Schwartz 获数学界最高奖Fields 奖.δ函数的重要性质有：1）0()d 1x x x δ+∞-∞-=⎰. （8） 2）00()()d ()x x f x x f x δ+∞-∞-=⎰. （9）其中()(,)f x C ∈-∞+∞，即0()x x δ-摘出了()f x 在0x x =的值.3）00()()dH x x x x dxδ-=-. （10）4）()x δ的导数是存在的，不过要到积分号下去理解：00()()(),x x f x dx f x δ+∞-∞''-=-⎰ （11） ()()00()()(1)().n n n x x f x dx f x δ+∞-∞-=-⎰（12）事实上，由于0()x x δ-在,+∞-∞处为零，则形式地用分部积分公式000()()()()d ()()d ,x x f x x x f x xx x f x x δδδ+∞+∞-∞-∞+∞-∞'---'=-⎰⎰其中，()(,)n f x C ∈-∞+∞，于是有（11）与（12）公式.5）对于()(,)x C ϕ∈-∞+∞，有000()()()()x x x x x x ϕδϕδ-=-. （13）6）1()() (0)||bx x b b δδ=≠. （14） 7）000000(,,)()()()x x y y z z x x y y z z δδδδ---=---. （15）8）付立叶变换00[()].i x y y e λδ--=F （16） [()] 1.x δ=F （17）11221122[()()][()][()].C x x C x x C x x C x x δδδδ-+-=-+-F F F （18） 9）拉普拉斯变换00[(),[() 1.x x x e x δδδ--==F F （19） 11221122[()]()][()[()].C x x C x x C x x C x x δδδδ-+-=-+-F F F （20）从上面的定义与性质看出，Delta 函数()x δ与一般可微函数还是有重大区别的，我们说它是“广义函数. ”§3 Cauchy 问题的解设扩散源在点000(,,)x y z 处，则此扩散问题满足Cauchy 问题2222222222000, (21)(,,,0)()()(). (22)u u u u a b c k u tx y z u x y z M x x y y z z δδδ⎧∂∂∂∂=++-⎪∂∂∂∂⎨⎪=---⎩对（21）（22）进行付立叶变换，且令123ˆ(,,), (,)[(,,,)]ut u x y z t λλλλλ==F ， 由于222222123222ˆˆˆ[], [], [],u u u uu u x y zλλλ∂∂∂=-=-=-∂∂∂F F F 102030000()[(,,,0)][()][()][()] ,i x y z u x y z M x x y y z z Me λλλδδδ-++=---=F F F F 故得常微分方程Cauchy 问题1020302222222123()ˆ()0,ˆ(0,).i x y z du a b c k udtu Meλλλλλλλ-++⎧++++=⎪⎨⎪=⎩ 得唯一解2222222123102030()()ˆ(,)a b c k t i x y z ut Me λλλλλλλ-+++-++=. （23）对（23）求逆变换1-F，由于212214[]a xa e λ---=F ，211021240[]()i x e aa ex x λλ----=-F ， 故得12222000222ˆ(,,,)[]()()()exp 444u x y z t ux x y y z z k t a t b t c t -=⎧⎫---=----⎨⎬⎩⎭F2222000222()()().444x x y y z z k t a t b t c t ⎧⎫---=----⎨⎬⎩⎭（24） 如果认为经过了相当长时间后，扩散已经终止，物质分布处于平衡状态，则方程（4）中的0ut∂=∂，于是有线性椭圆型方程的边值问题 22222222220, (,,)(,,)(,,).D u u u a b c k u x y z D xy z u x y z x y z ϕ∂⎧∂∂∂++-=∈⎪∂∂∂⎨⎪=⎩也可以用付立叶变换求解. 当然，根据实际情况，还可以考虑第二边条件(,,)Dux y z n ∂∂=ψ∂或第三边条件[](,,)D uu x y z nαβρ∂∂+=∂等，其中D ∂是区域D 的边界，n 是外法线方向，,αβ是实常数.§4 参数估计在Cauchy 问题（21）（22）的解（23）中，有四个未知的参数,,,a b c k ，它们分别是扩散与衰减过程中的扩散系数与衰减系数的算术平方根. 至于点源的质量与位置000,(,,)M x y z 是已知的.设观测取样为：11112222(,,,), (,,,),,(,,,),n n n n x y z m x y z m x y z m 取样时刻为1t =（不然设00, t t t τ=是取样时间，则（21）变成2200t xx yy U t a U t b U =++ 2200zz t c U t k U -，对τ而言，取样时间为１,而方程形状与（21）一致），把在(,,)i i i x y z 点观测到的物质密度i m 与公式（24）都取对数，令1t =，则2222000222()()()ln (,,,1)ln []444x x y y z z u x y z abc k a b c ---=--+++. （25） 令222000222()()()111,,,,,,444x x y y z z X Y Z a b c αβγ---====-=-=-2ln abc k ε=--，则（25）写成 ln (,,,1)W u x y z X Y Z αβγε==+++， （26）而我们已观测得(,,,)1,2,,i i i i X Y Z W i n = 的数据，用三元回归分析方法求出,,,αβγε的估计值如下：ˆˆˆˆ()W X Y Z εαβγ=-++， （27） 其中11111111, , , ,n n n nk i i i k k k k W W X X Y Y Z Z n n n n ========∑∑∑∑ˆˆˆ,,αβγ满足方程组 111213102122232031323330ˆˆˆ,,ˆˆˆ,,ˆˆˆ,.l l l l l l l l l l l l αβγαβγαβγ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩ 其中10201130122211223311112131123211()(), ()(),()(),(), (), (),()(), ()(),()(), n nk k k k k k nk k k nn nk k k k k k nnk k k k k k nk k k l W X W W l Y Y W W l Z Z W W l X X l Y Y l Z Z l X X Y Y l X X Z Z l Y Y Z Z l ==========--=--=--=-=-=-=--=--=--∑∑∑∑∑∑∑∑∑1231133223, , .l l l l l ===由ˆˆˆ,,αβγ可求得222,,a b c 的估计值，即222111ˆˆˆ, , ˆa b cαβγ=-=-=-. 又由于 2ln k abc ε=+-， （28） 由（27）式可得ˆε，再把ˆˆˆ,,a b c 代入（28）得 2ˆˆˆˆˆln kabc ε=+-. （29）至此得到参数2222,,,a b c k 的估计值2222ˆˆˆˆ,,,a b c k ，把它们代入（24）分别替代2222,,,a b c k ，则得不含未知参数的解(,,,)u x y z t 的近似表达式.§5 竞赛试题分析AMCM-90A 不可用本文的思路与方法加以解决；该试题由东华盛顿大学数学系Ｙves Nievergelt 提供，要求研究药物在脑中的分布，题文称：“研究脑功能失调的人员欲测试新的药物的效果，例如治疗帕金森症往脑部注射多巴胺（Dopamine ）的效果，为了精确估计药物影响到的脑部区域，它们必须估计注射后药物在脑内空间分布区域的大小和形状.“研究数据包括50个圆柱体组织样本的每个样本药物含量的测定值（如图6-1），每个圆柱体长0.76mm ，直径0.66mm ，这些互相平行的圆柱体样本的中心位于网格距为1m m ×0.76×m m ×1mm 的格点上，所以圆柱体互相间在底面上接触，侧面互不接触. 注射是在最高计数的那个圆柱体的中心附近进行的. 自然在圆柱体之间以及由圆柱体样本的覆盖的区域外也有药物.“试估计受到药物影响的区域中药物的分布. ”“一个单位表示一个闪烁微粒的计数，或多巴胺的4.753×10-18克分子量，例如表6-1指出位于后排当中那个圆柱体的含药量是28353个单位. ”后方垂直截面164442 1320 414 188 480 7022 14411 5158 352 2091 23027 28353 13138 681 789 21260 20921 11731 727 213 130337651715453前方垂直截面163 324 432 243166 712 1055 6098 1048 232 2137 15531 19742 4785 330 444 11431 14960 3182 301 29420611036 258188图6-1数学模型只是实际问题的近似，要建立数学模型，一般首先要对所研究的实际问题进行必要和允许的简化与假设，而且，不同的简化与假设，又可能导致不同的数学模型，例如[2]是抛物型方程模型，而[3]则是椭圆方程模型.假设：（1）注射前大脑中的多巴胺含量可以忽略不计.（2）大脑中多巴胺注射液经历着扩散与衰减的过程，且沿,,x y z 三个方向的扩散系数分别是常数，衰减使质量之减少与深度成正比.（3）注射点在后排中央那个圆柱中心，即注射点的坐标000(,,)x y z 已知，注射量有医疗记录可查，是已知的.（4）注射瞬间完成，可视为点源delta 函数. （5）取样也是瞬间完成，取样时间已知为1t =.（6）样本区域与整个大脑相比可以忽略，样本组织远离脑之边界，不受大脑边界面的影响.在以上假设之下，显然可以用本文前面讲过的思路来建模，于是得AMCM-90A 的数学模型为Cauchy 问题（21）（22），解的表达式为（24），且用三元回归分析来估出参数,,,a b c k ，于是可以求得任意位置任意时刻药物的深度.如果所给数据认为是在平衡状态测得的，药物注射进脑后，从高深度处向低深度处扩散，与扩散同时，一部分药物进入脑细胞被吸收固定，扩散系数与吸收系数都是常数，但过一段时间，所有药物都被脑细胞所固定，达到了平衡态. 在这种假设下，[3]给出了下述的分析、建模、求解过程.设(,,,)v x y z t 是t 时刻在(,,)x y z 点处游离的药物浓度，(,,,)w x y z t 是t 时刻(,,)x y z 点处吸收固定的药物浓度，(,,)u x y z 是达到平衡态时(,,)x y z 点处吸收固定的药物浓度. 又设游离药物在各方向上有相同的扩散系数k ，吸收系数为h ，于是有vk v hv t∂=∆-∂. （30） 又whv t∂=∂，即吸收速度与游离的浓度成正比，代入（30）得 ()v k w w t h t t∂∂∂=∆-∂∂∂. （31） 对（31）关于t 从０到+∞积分得t t t k vw wh+∞+∞+∞====∆-. （32）由于最后无游离药物，故(,,,)0v x y z +∞=，又开始时(0)t =无被吸收的药物，故(,,,0)0, (,,,0)0w x y z w x y z =∆=；平衡状态在t =+∞时达到，这时(,,)u x y z =(,,,)w x y z +∞，于是由（32）得(,,,0)ku u v x y z h-∆+=， （33） 其中(,,,0)v x y z 是开始时的浓度分布，近似于注射点的点源脉冲函数. 把此注射点取为坐标原点(0,0,0)，则(,,,0)(,,),v x y z L x y z L δ=是注射量，于是2k h σ⎛⎫= ⎪⎝⎭记2(,,)u u L x y z σδ-∆+=， （34）作付立叶变换得22222222ˆˆ(),ˆ,1()s u u L Lus σξησξη+++==+++ 再作反变换得u σ-=-， （35）其中C 是可计算常数.如果考虑各向不同性，设,,x y z 方向上扩散系数分别为222,,a b c ，注射点在000(,,)x y z ，则 222222000222()()()u u u a b c u L x x y y z z x y z δδδ⎛⎫∂∂∂-+++=--- ⎪∂∂∂⎝⎭， 于是解为(,,)u x y z =exp 1⎧⎪⎨⎪⎩ ，（36）（36）中的D 可计算常数.用前面类似的方法可以进行参数估计.在建模过程中，点源函数的使用显然与实况有差别；尤其是认为扩散系数与吸收系数都是常数，对于人脑这种有复杂结构的区域，这种假设与实际不会完全符合；夜间与白天（睡与醒）对这些系数有无影响？脑中各点这些系数是否有变？除时间位置应考虑外，可能还与药液浓度有关. 如此看来，脑内药液分布的数学模型很可能不是常系数线性偏微分方程，而是函数系数的线性微分方程甚至是非线性偏微分方程. 这时，其解不再能用封闭公式来表达，求解过程会变得极为复杂，所以也可以考虑是否试用其他数学模型来解，例如在平衡态的假设下，用回归分析方法建立药液的模拟分布(,,)u f x y z =.对一个实际问题，其数学模型未必唯一，各模型间孰优孰劣，没有一般的判别法，须经实践来检验.参 考 文 献[1]叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材，湖南教育出版社，1993.[2]Christopher, R. Malone, Gian Pauletto, James, I. Zoellick, Distribution of Dopamine in the Brain, The Journal of Under graduate Mathematics, and its Applications, vol. 12(1991), Special Issue: The 1991 Mathematical Contest in Modeling, pp. 211-223.[3]孙晓东，荆秦，梁俊，脑中药物分布的数学模型，数学的实践与认识，1991年No. 4，63-69. [4]中国科学院数理统计组，常用数理统计方法，科学出版社，19784.。
城市污染物扩散模型构建与优化一、引言城市污染物扩散模型是城市环境保护的重要工具。
城市污染物排放不仅影响周围环境，还会对城市居民的身体健康造成不良影响。
研究城市污染物扩散模型有助于制定有效的环保措施，保护城市环境和居民健康。
本文将介绍城市污染物扩散模型的构建和优化方法。
二、城市污染物扩散模型构建1.模型概述城市污染物扩散模型是基于城市环境的特点和污染物的传输规律建立的数学模型。
通过模拟空气污染物的扩散和传输过程，得出污染物的浓度分布情况。
2.模型参数城市污染物扩散模型的参数包括：源排放量、风速、风向、大气稳定度、地形和建筑物等。
这些参数会影响空气污染物的扩散和传输。
3.模型框架城市污染物扩散模型通常采用计算流体力学方法进行求解。
具体来说，将城市分为小区域，计算每个小区域的空气污染物浓度，并通过求解自由边界问题得到整个城市的污染物浓度分布情况。
在此基础上，可以进行空气污染预测和环保规划等工作。
三、城市污染物扩散模型优化1.模型改进城市污染物扩散模型存在的问题包括：模型精度低、计算速度慢、计算成本高等。
为此，可以通过更新模型算法，优化计算方法，提升模型精度，降低计算成本。
2.模型验证城市污染物扩散模型的验证是保证模型准确性的重要手段。
通过比较模型预测结果和实际测量结果，验证模型的可靠性。
如果模型预测结果与实际结果吻合，说明模型具有较高的准确性，否则需要对模型进行修正。
3.模型应用城市污染物扩散模型的应用主要包括以下方面：（1）环保规划：根据模型预测结果，制定环保措施和政策。
（2）应急预案：在紧急情况下，通过模型快速判断污染物扩散范围，制定应急救援方案。
（3）污染源治理：通过模型研究排放源的位置、排放量等，制定治理策略，减少污染物排放。
四、结论城市污染物扩散模型的构建和优化对城市环境保护具有重要意义。
通过模型确定污染物的传输规律和扩散范围，可以为环保措施的制定提供科学依据。
通过优化模型算法和提高模型准确性，可以更好地应用城市污染物扩散模型。
