《数学分析3》课程教学大纲
课程代码：090132108
课程英文名称：Calculus 3
课程总学时：72 讲课：72 实验：0 上机：0
适用专业：信息与计算科学
大纲编写（修订）时间：2017.11
一、大纲使用说明
（一）课程的地位及教学目标
本课程是信息与计算科学专业的一门重要专业基础课，通过本课程的学习，可以使学生获得本课程的基本内容和基本的思想方法，培养学生的抽象思维能力、分析问题和解决问题的能力，是进一步学习概率论、数值分析、常微分方程等后继课程的基础。
通过本课程的学习，学生将达到以下要求：
1．获得证明一些问题的能力。如二元函数在某点处极限不存在的证明，隐函数（组）存在性的证明，含参变量无穷积分一致收敛性的证明等等。
2．掌握计算一些问题的方法。如多元函数偏导数、全微分、方向导数、极值、梯度、散度、旋度的计算，二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的计算等等。
3．学习辨析一些问题的思维。如一元函数与多元函数极限的联系与区别；一元函数与多元函数极值的联系与区别；二重积分、三重积分与定积分联系与区别等等。
（二）知识、能力及技能方面的基本要求
基本知识：多元函数微积分中的基本概念，包括多元函数的极限、连续、偏导数、全微分、方向导数，二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分，梯度、散度、旋度等等；多元函数微积分中的基本定理，包括隐函数存在定理、格林公式、奥高公式、斯托克斯公式、曲线积分和路径无关的条件等等；多元函数微积分中的典型的分析方法，包括二元函数在某点处极限不存在的证明，隐函数（组）存在性的证明，含参变量无穷积分一致收敛的判别等等；多元函数微积分中的计算方法，包括多元函数偏导数、全微分、方向导数、极值的计算，二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的计算。
基本能力：培养学生逻辑推理能力和抽象思维能力；用数学分析的语言叙述表达自己思想的能力；使学生掌握解决数学中的其它问题以及其它实际问题的能力。
基本技能：使学生获得数学分析的基本运算和证明技能。
（三）实施说明
1．本大纲主要依据信息与计算科学专业2017-2020版教学计划、信息与计算科学专业专业建设和特色发展规划和沈阳理工大学编写本科教学大纲的有关规定及全国通用《数学分析教学大纲》并根据我校实际情况进行编写的。
2．课程学时总体分配表中的章节序号在授课过程中可酌情调整顺序，课时分配仅供参考，打“*”号的章节可删去或选学。
3．教学方法：建议本课程采用课堂讲授与讨论相结合的方法，通过习题课和讨论等方式强化重点，通过分散难点，使学生循序渐进的掌握难点。在教学重要注意由易到难，循序渐进。先概念和计算，后理论与方法；先培养初步的分析论证能力和单项解题能力，后强化综合论证能力和解题能力。
4．教学手段：建议采用多媒体等现代化手段开展教学。
（四）对先修课的要求
数学分析2.
（五）对习题课、实验环节的要求
1．每章安排一次习题课，总学时在10学时左右。
2．习题课的教学内容要配合主讲课程的教学进度，由老师和同学们在课堂上通过讲、练结合的方式进行。主讲教师通过批改学生的作业，将作业情况反馈给学生，要补充有一定难度和综合度的练习题，以拓宽同学们的思路。
（六）课程考核方式
1.考核方式：考试
2.考核目标：在考核学生基本知识、基本原理和方法的基础上，重点考核学生用数学分析知识解决数学中的其它问题以及其它实际问题的能力。
3.成绩构成：本课程的总成绩主要由三部分组成：平时成绩（包括作业情况、出勤情况等）占10%，期中成绩占20%，期末考试成绩占70%。
（七）参考书目
《数学分析讲义》（上、下册）第四版，刘玉琏编，高等教育出版社，2008。
《数学分析》（上、下册）第三版，复旦大学数学系编，高等教育出版社，2007。
《高等数学》第四版，同济大学数学教研室编，高等教育出版社，2001。
《数学分析习题集题解》，吉米多维奇编，山东科学技术出版社，1979
《数学分析习作课讲义》，薛总慈主编，北京师范大学出版社，1991。
二、中文摘要
《数学分析3》是高等学校数学专业的一门必修的专业基础课程。通过学习本课程，使学生掌握多元函数微积分学的基本知识和基础理论，熟悉和掌握抽象的、严格的数学方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系，提高抽象思维、逻辑推理及运算能力。
三、课程学时分配表
四、教学内容及基本要求
第1部分多元函数微分学
总学时(单位：学时):22 讲课:22 实验:0 上机:0
第1.1部分多元函数（讲课4学时）
具体内容:
1) 了解n维空间及多元函数的概念；
2) 了解R2的点列极限概念；
3) 了解R2的连续性。
重点:
R2的连续性。
难点:
R2的连续性的理解。
习题:
多元函数有关概念（如开集、聚点、区域）的证明题。
第1.2部分二元函数的极限与连续（讲课4学时）
具体内容:
1) 理解二元函数极限与连续的概念；
2) 理解累次极限和二重极限的区别；
3) 了解二元连续函数在有界闭区域上的性质。
重点:
二元函数的极限与连续的概念和性质。
难点:
二元函数极限与一元函数极限的区别；累次极限和二重极限的区别。
习题:
二元函数极限的证明和计算；与二元函数连续有关的证明等。
第1.3部分多元函数微分法（讲课8学时）
具体内容:
1) 理解多元函数偏导数、全微分和方向导数的概念；
2) 理解二元函数在某点连续、偏导数存在、可微之间的关系；
3) 理解二元函数可微的几何意义；
4) 掌握多元函数的偏导数、全微分、方向导数的计算方法；
5) 掌握链式法则，会求复合函数的偏导数。
重点:
多元函数偏导数、全微分和方向导数的概念；二元函数在某点连续、偏导数存在、可微之
间的关系；多元函数的偏导数、全微分、方向导数的计算；复合函数的偏导数的计算。
难点:
二元函数在某点连续、偏导数存在、可微之间的关系。
习题:
多元函数偏导数的计算；多元函数全微分的计算；多元函数方向导数的计算；求多元复合函数的偏导数及高阶偏导数等。
第1.4部分二元函数的泰勒公式（讲课4学时）
具体内容:
1) 掌握多元函数高阶偏导数的计算；
2) 了解二元函数的泰勒公式；
3) 掌握二元函数极值的计算。
重点:
二元函数的极值的计算。
难点:
多元抽象复合函数高阶偏导数的计算。
习题:
多元复合函数的高阶偏导数的计算；二元函数的极值计算。
第1.5部分习题课（讲课2学时）
具体内容:
多元函数微分学知识总结和习题处理。
第2部分隐函数
总学时(单位：学时):10 讲课:10 实验:0 上机:0
第2.1部分隐函数的存在性（讲课2学时）
具体内容:
1) 理解隐函数（组）存在定理；
2) 掌握一个方程确定的隐函数的（偏）导数的计算；
3) 掌握方程组确定的隐函数的（偏）导数的计算。
重点:
一个方程确定的隐函数的（偏）导数的计算；方程组确定的隐函数的（偏）导数的计算。难点:
隐函数（组）的存在定理；方程组所确定的隐函数组的偏导数的计算。
习题:
隐函数（组）存在性证明；一个方程确定的隐函数（偏）导数的计算；方程组所确定的隐函数组的偏导数的计算。
第2.2部分函数行列式（讲课2学时）
具体内容:
1) 了解函数行列式的定义及性质；
2) 熟记极坐标变换、柱面坐标变换、球面坐标变换的函数行列式。
重点:
函数行列式的定义及性质。
习题:
与函数行列式有关的证明题。
第2.3部分条件极值（讲课2学时）
具体内容:
熟练掌握拉格朗日乘数法，会用其求条件极值。
重点:
用拉格朗日乘数法求条件极值。
习题:
应用拉格朗日乘数法求条件极值。
第2.4部分隐函数存在定理在几何方面的应用（讲课2学时）
具体内容:
1) 了解空间曲线的切线与法平面定义；
2) 了解空间曲面的切平面与法线定义；
3) 会求各种形式下空间曲线的切线与法平面；
3) 会求各种形式下曲面的切平面与法线。
重点:
各种形式下空间曲线的切线与法平面的计算；各种形式下曲面的切平面与法线的计算。习题:
空间曲线的切线与法平面的计算；曲面的切平面与法线的计算。
第2.5部分习题课（讲课2学时）
具体内容:
隐函数知识总结和习题处理。
第3部分含参变量的积分
总学时(单位：学时):8 讲课:8 实验:0 上机:0
第3.1部分隐函数的存在性（讲课6学时）
具体内容:
1) 理解含参变量有限积分的概念；
2) 理解含参变量有限积分的分析性质；
3) 理解含参变量无穷积分及其一致收敛的概念；
4) 掌握一致收敛的M判别法、狄利克雷和阿贝尔判别法；
5) 理解含参变量无穷积分的分析性质；
6) 了解伽马函数与贝塔函数的定义和性质。
重点:
含参变量有限积分的分析性质；含参变量无穷积分的一致收敛的判别。
难点:
含参变量有限积分及含参变量无穷积分的分析性质及其应用。
习题:
与含参变量有限积分的分析性质有关的计算和证明；证明含参变量无穷积分的一致收敛；与含参变量无穷积分的分析性质有关的计算和证明。
第3.2部分习题课（讲课2学时）
具体内容:
含参变量积分知识总结和习题处理。
第4部分重积分
总学时(单位：学时):12 讲课:12 实验:0 上机:0
第4.1部分二重积分（讲课6学时）
具体内容:
1) 理解二重积分的概念和性质；
2) 熟练掌握二重积分的计算和换元法；
3) 掌握利用二重积分求曲面面积的方法。
重点:
二重积分的计算。
难点:
二重积分的换元法。
习题:
利用直角坐标计算二重积分；利用换元法计算二重积分；利用二重积分求曲面面积。
第4.2部分三重积分（讲课4学时）
具体内容:
1) 理解三重积分的概念；
2) 熟练掌握三重积分的计算；
3) 了解三重积分的应用。
重点:
三重积分的计算。
难点:
三重积分的计算。
习题:
利用直角坐标计算三重积分；利用柱坐标、球坐标计算三重积分。
第4.3部分习题课（讲课2学时）
具体内容:
重积分知识总结和习题处理。
第5部分曲线积分与曲面积分
总学时(单位：学时):20 讲课:20 实验:0 上机:0
第5.1部分曲线积分（讲课6学时）
具体内容:
1) 理解第一、二型曲线积分的概念和性质；
2) 熟练掌握第一、二型曲线积分的计算；
3) 了解第一、二型曲线积分的联系；
4) 掌握格林公式；
5) 理解平面曲线积分和路径无关的条件。
重点:
第一、二型曲线积分的计算；格林公式。
难点:
利用格林公式求第二型曲线积分。
习题:
第一型曲线积分的计算；第二型曲线积分的计算；两类曲线积分之间的联系；利用格林公式求第二型曲线积分；与平面曲线积分和路径无关的条件有关的证明和计算。
第5.2部分曲面积分（讲课8学时）
具体内容:
1) 理解第一、二型曲面积分的概念和性质；
2) 熟练掌握第一、二型曲面积分的计算；
3) 了解第一、二型曲面积分的联系；
4) 掌握奥高公式；
5) 掌握斯托克斯公式；
6) 了解空间曲线积分和路径无关的条件。
重点:
第一、二型曲面积分的计算；奥高公式；斯托克斯公式。
难点:
第二型曲面积分概念的理解；利用奥高公式计算第二型曲面积分；利用斯托克斯公式计算第二型曲线积分。
习题:
第一型曲面积分的计算；第二型曲面积分的计算；两类曲面积分之间的联系；利用奥高公式求第二型曲面积分；利用斯托克斯公式求第二型曲线积分。
第5.3部分场论初步（讲课4学时）
具体内容:
了解梯度、散度、旋度的定义和性质。
重点:
梯度、散度、旋度的计算。
难点:
梯度、散度、旋度定义的理解。
习题:
梯度、散度、旋度的计算。
第5.4部分习题课（讲课2学时）
具体内容:
曲线积分和曲面积分知识总结和习题处理。