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协方差和相关系数对二维随机变量),(Y X ，我们除了讨论X 与Y 的期望和方差之外，还需讨论X 与Y 之间相互关系的数字特征，本节主要讨论这方面的数字特征。
§ 协方差和相关系数 协方差的定义与性质定义 设(,)X Y 是二维随机变量.若{[()][()]}E X E X Y E Y --存在,则称它为随机变量X 与Y 的协方差,记为Cov(,)X Y ,即Cov(,){[()][()]}X Y E X E X Y E Y =--.常用下面的式子计算协方差Cov(,){[()][()]}X Y E X E X Y E Y =--()()()E XY E X E Y =-.注：（1）X 与Y 的协方差),(Y X Cov 实质上是二维随机变量X 与Y 的函数)]([()]([(Y E Y X E X -⋅-的期望，它是一个常数。
（2）当),(Y X 为二维离散型随机变量时，其分布律为}{),2,1,,2,1(,, =====j i y Y x X P P j i ij ，则ij i i ji P Y E y X E x Y X Cov )]()][([),(11--=∑∑∞=∞=；（3）当),(Y X 为二维连续型随机变量时，),(y x f 为),(Y X 的联合概率密度函数，则dxdy y x f Y E y X E x Y X Cov ),())(())((),(--=⎰⎰+∞∞-+∞∞-。
（4）利用期望的性质可得到协方差有下列计算公式：)()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=证明：)()()( )()()()()()()( )]()()()([ )]())(([(),(Y E X E XY E Y E X E Y E X E Y E X E XY E Y E X E Y XE Y X E XY E Y E Y X E X E Y X Cov -=+--=+--=--=此公式是计算协方差的重要公式，特别地取Y X =时，有)()]())(([(),(X D X E X X E X E X X Cov =--=，易见，方差是协方差的特例，协方差是方差的推广。
§4.3 协方差与相关系数还需要讨论X 与Y 之间相互关系的数字特征.本节我们讨论关于这方面的问题.1. 协方差及其性质定义4.3.1 对于二维随机变量(,)X Y ，称()()EX E X Y E Y --为,X Y 的协方差.记作cov (,)X Y 。
即cov (,)()()X Y E X EX Y EY =--.cov 2(,)()()()X X E X EX X EX E X EX DX =--=-=.当(,)X Y 为离散型时，有cov 11(,)()()ij ij i j X Y xEX y EY p ∞∞===--∑∑.当(,)X Y 为连续型时，有cov (,)()()(,)X Y x EX y EY p x y dxdy ∞∞-∞∞=--⎰⎰.计算协方差时，还常用公式cov (,)()()X Y EXY EX EY =-协方差等于乘积的期望减去期望的乘积例4. 3.1 已知二维随机变量(,)X Y 的联合分布如表 4.3.1所示.试求cov (,).X Y .表4.3.1解 先求边缘分布，并记入表4.3.1中，.然后求数学期望与协方差.11523,222EX =⨯+⨯= 1111(4)(1)140,4444EY =-⨯+-⨯+⨯+⨯= 又 []12(4)243(1)310,4EXY =⨯-+⨯+⨯-+⨯=故 cov (,)()()0.X Y EXY EX EY =-=例4．3.2 已知二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布N （ρσσμμ,,,,222121）. 求cov (,).X Y解 由例3.2.3知，221122(,),(,),XN Y N μσμσ故1,EX μ= 2.EY μ=于是，协方差为cov (,)X Y 12()()()()E X EX Y EY E X Y μμ=--=--=()()()()dxdyey x y y x x ⎰⎰∞∞-∞∞-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------22221212112)1(2121221121σμσσμμρσμρμμρσπσ.引入变换u x =-11σμ，v y =-22σμ.于是 cov (,)X Y2222222122(1)u uv v v v uvedudv ρρρρ⎡⎤--++-∞∞⎣⎦--∞-∞⎰⎰=()()[]dudv uvev v u ⎰⎰∞∞-∞∞--+----2221)1(2122112ρρρρπσσ()2222(1)2u v v vedv uedu ρρ--∞∞---∞-∞⎧⎫⎪⎬⎪⎭，()222(1)2u v v vedv du ρρ--∞∞---∞-∞⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎰⎰上式大括号中的积分恰好是服从正态分布2(,1)N v ρρ-的随机变量的数学期望，cov (,)X Y =dv ev v ⎰∞∞--222122πσρσ =12ρσσ. ,X Y ρρ=协方差的性质（1）cov(,)cov(,),X Y Y X =（2） cov 1122((),())a X b a Y b ++=12a a cov (,)X Y ， （3）cov 12(,)X X Y +=cov 1(,)X Y +cov 2(,)X Y . （4） ()2cov(,),D X Y DX DY X Y ±=+±并且当X 与Y 相互独立时，cov (,)0.X Y = 2． 相关系数及其性质定义4.3.2 对于二维随机变量(,)X Y ，如果0,0,DX DY ≠≠.则称,X Y ρ=为随机变量X 与Y 的相关系数.相关系数的性质 （1）1.XY ρ≤（2）1XY ρ=的充要条件是{} 1.P Y aX b =+=其中,a b 为常数，且0.a ≠一般地，当|XY ρ|的值越来越大而接近于1时,表明X 与Y 的线性关系程度越密切. 反之，当|XY ρ|的值越来越小而接近于0时,表明X 与Y 的线性关系程度很微弱.特别地当XY ρ=0时, 称X 与Y 不相关.若X 与Y 相互独立，则cov(,)0,X Y =于是0,XY ρ=即X 与Y 不相关。
