题型 带电粒子在交变电场和磁场中的运动(精.选)

带电粒子在交变电场或磁场中运动规律带电粒子在交变电场或磁场中运动的情况较复杂，运动情况不仅取决于场的变化规律，还与粒子进入场的的时候的时刻有关，一定要从粒子的受力情况着手，分析出粒子在不同时间间隔内的运动情况，若交变电压的变化周期远大于粒子穿越电场的时间，那么粒子在穿越电场的过程中，可看做匀强电场。

注意：空间存在的电场或磁场是随时间周期性变化的，一般呈现“矩形波”的特点。

交替变化的电场及磁场会使带电粒子顺次经过不同特点的电场，磁场或叠加的场，从而表现出多过程现象，其特点较为隐蔽。

（1） 仔细确定各场的变化特点及相应时间，其变化周期一般与粒子在磁场中的运动周期关联。

（2） 把粒子的运动过程用直观的草图进行分析。

如图甲所示，相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀 强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，在边界上固定两长为L 的平行金属极板MN 和PQ ，两极板中心各有一小孔1S 、2S ，两极板间电压的变化规律如图乙所示，正反向电压的大小均为0U ，周期为0T 。

在0t =时刻将一个质量为m 、电量为q -（0q >）的粒子由1S 静止释放，粒子在电场力的作用下向右运动，在02T t =时刻通过2S 垂直于边界进入右侧磁场区。

（不计粒子重力，不考虑极板外的电场） （1）求粒子到达2S 时德 速度大小v 和极板距离d 。

（2）为使粒子不与极板相撞，求磁感应强度的大小应满足的条件。

（3）若已保证了粒子未与极板相撞，为使粒子在03t T =时刻再次到达2S ，且速度恰好为零，求该过程中粒子在磁场内运动的时间和磁感强度的大小如图甲所示，一对平行放置的金属板M、N的中心各有一小孔P、Q，PQ的连线垂直于金属板，两板间距为d。

（1）如果在板M、N之间加上垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间变化如图乙所示。

T=0时刻，质量为m、电量为－q的粒子沿PQ方向以速度0υ射入磁场，正好垂直于N板从Q孔射出磁场。

已知粒子在磁场中做匀速圆周运动的时间恰为一个周期，且与磁感应强度变化的周期相同，求0υ的大小。

高中物理带电粒子在磁场中的运动解题技巧及经典题型及练习题(含答案)含解析一、带电粒子在磁场中的运动专项训练1．正、负电子从静止开始分别经过同一回旋加速器加速后，从回旋加速器D 型盒的边缘引出后注入到正负电子对撞机中．正、负电子对撞机置于真空中．在对撞机中正、负电子对撞后湮灭成为两个同频率的光子．回旋加速器D 型盒中的匀强磁场的磁感应强度为0B ，回旋加速器的半径为R ，加速电压为U ；D 型盒缝隙间的距离很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计．电子的质量为m 、电量为e ，重力不计．真空中的光速为c ，普朗克常量为h ．（1）求正、负电子进入对撞机时分别具有的能量E 及正、负电子对撞湮灭后产生的光子频率v（2）求从开始经回旋加速器加速到获得最大能量的过程中，D 型盒间的电场对电子做功的平均功率P（3）图甲为正负电子对撞机的最后部分的简化示意图．位于水平面的粗实线所示的圆环真空管道是正、负电子做圆周运动的“容器”，正、负电子沿管道向相反的方向运动，在管道内控制它们转变的是一系列圆形电磁铁．即图中的A 1、A 2、A 4……A n 共有n 个，均匀分布在整个圆环上．每个电磁铁内的磁场都是匀强磁场，并且磁感应强度都相同，方向竖直向下．磁场区域的直径为d ．改变电磁铁内电流大小，就可以改变磁场的磁感应强度，从而改变电子偏转的角度．经过精确调整，首先实现电子在环形管道中沿图甲中粗虚线所示的轨道运动，这时电子经过每个电磁铁时射入点和射出点都在电磁铁的同一直径的两端，如图乙所示．这就为进一步实现正、负电子的对撞做好了准备．求电磁铁内匀强磁场的磁感应强度B 大小【答案】(1) 222202e B R mc v mh h =+，22202e B R E m = ；(2) 20e B U mπ ；(3)02sin B R n dπ【解析】 【详解】解：(1)正、负电子在回旋加速器中磁场里则有：200mv evB R= 解得正、负电子离开回旋加速器时的速度为：00eB Rv m=正、负电子进入对撞机时分别具有的能量：222200122e B R E mv m==正、负电子对撞湮灭时动量守恒，能量守恒，则有：222E mc hv +=正、负电子对撞湮灭后产生的光子频率：222202e B R mc v mh h=+(2) 从开始经回旋加速器加速到获得最大能量的过程，设在电场中加速n 次，则有：2012neU mv =解得：2202eB R n mU=正、负电子在磁场中运动的周期为：02mT eB π=正、负电子在磁场中运动的时间为：2022B R nt T Uπ==D 型盒间的电场对电子做功的平均功率：20e B UW E P t t mπ===(3)设电子在匀强磁场中做圆周运动的半径为r ，由几何关系可得sin2dr nπ=解得：2sind r nπ=根据洛伦磁力提供向心力可得：200mv ev B r=电磁铁内匀强磁场的磁感应强度B 大小：02sinB R n B dπ=2．如图所示，坐标原点O 左侧2m 处有一粒子源，粒子源中，有带正电的粒子(比荷为qm=1.0×1010C/kg)由静止进人电压U= 800V 的加速电场，经加速后沿x 轴正方向运动，O 点右侧有以O 1点为圆心、r=0.20m 为半径的圆形区域，内部存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B=1.0×10－3T 的匀强磁场(图中未画出)圆的左端跟y 轴相切于直角坐标系原点O ，右端与一个足够大的荧光屏MN 相切于x 轴上的A 点，粒子重力不计。

带电粒子在交变电场中的运动一、选择题1.在两金属板(平行）分别加上如图2—7—1中的电压，使原来静止在金属板中央的电子有可能做振动的电压图象应是（设两板距离足够大）图2—7—12.有一个电子原来静止于平行板电容器的中间，设两板的距离足够大，今在t =0开始在两板间加一个交变电压，使得该电子在开始一段时间内的运动的v —t 图线如图2—7—2(甲)所示，则该交变电压可能是图2—7—2(乙)中的哪些图2—7—2（乙）3.一个匀强电场的电场强度随时间变化的图象如图2—7—3所示，在这个匀强电场中有一个带电粒子，在t =0时刻由静止释放，若带电粒子只受电场力的作用，则电场力的作用和带电粒子的运动情况是图2—7—2(甲)图2—7—3A.带电粒子将向一个方向运动B.0~3 s内，电场力的冲量等于0，电场力的功亦等于0C.3 s末带电粒子回到原出发点D.2 s~4 s内电场力的冲量不等于0，而电场力的功等于04.一束电子射线以很大恒定速度v0射入平行板电容器两极板间，入射位置与两极板等距离，v0的方向与极板平面平行.今以交变电压U=U m sinωt加在这个平行板电容器上，则射入的电子将在两极板间的某一区域内出现.图2—7—4中的各图以阴影区表示这一区域，其中肯定不对的是图2—7—45.图2—7—5中A、B是一对中间开有小孔的平行金属板，两小孔的连线与金属板面相垂直，两极板的距离为l，两极板间加上低频交变电流.A板电势为零，B板电势U=U0c osωt，现有一电子在t=0时穿过A板上的小孔射入电场，设初速度和重力的影响均可忽略不计，则电子在两极板间可能图2—7—5A.以AB间的某一点为平衡位置来回振动B.时而向B板运动，时而向A板运动，但最后穿出B板C.如果ω小于某个值ω0，l小于某个值l0，电子一直向B板运动，最后穿出B板D.一直向B板运动，最后穿出B板，而不论ω、l为任何值二、填空题6.如图2—7—6（甲）所示，在两块相距d=50 cm的平行金属板A、B间接上U=100 V的矩形交变电压，（乙）在t=0时刻，A板电压刚好为正，此时正好有质量m=10-17kg，电量q=10-16C的带正电微粒从A板由静止开始向B板运动，不计微粒重力，在t=0.04 s时，微粒离A板的水平距离是______s.图2—7—67.如图2—7—7所示，水平放置的平行金属板下板小孔处有一静止的带电微粒，质量m，电量-q，两板间距6 mm，所加变化电场如图所示，若微粒所受电场力大小是其重力的2倍，要使它能到达上极板，则交变电场周期T至少为_______.图2—7—7三、计算题8.如图2—7—9（甲）为平行板电容器，板长l=0.1 m，板距d=0.02 m.板间电压如图（乙）示，电子以v=1×107m/s的速度，从两板中央与两板平行的方向射入两板间的匀强电场，为使电子从板边缘平行于板的方向射出，电子应从什么时刻打入板间？并求此交变电压的周期.(电子质量m=9.1×10-31 kg,电量e=1.6×10-19 C)图2—7—910.如图2—7—10甲所示，A、B为两块距离很近的平行金属板，板中央均有小孔.一电子以初动能E kO=120 eV,从A板上的小孔O不断地垂直于板射入A、B之间，在B板的右侧，偏转板M、N组成一匀强电场，板长L=2×10-2 m，板间距离d=4×10-3 m；偏转板加电压为U2=20 V，现在A、B间加一个如图乙所示的变化电压U1，在t=2 s时间内，A板电势高于B板，则在U1随时间变化的第一周期内.图2—7—10(1)在哪段时间内，电子可从B板上小孔O′射出？(2)在哪段时间内，电子能从偏转电场右侧飞出？（由于A、B两板距离很近，可以认为电子穿过A、B所用时间很短，忽略不计）11.示波器是一种多功能电学仪器，可以在荧光屏上显示出被检测的电压波形.它的工作原理等效成下列情况：（如图2—7—11所示）真空室中电极K发出电子（初速不计），经过电压为U1的加速电场后，由小孔S沿水平金属板，A、B间的中心线射入板中.板长L，相距为d，在两板间加上如图乙所示的正弦交变电压，前半个周期内B板的电势高于A板的电势，电场全部集中在两板之间，且分布均匀.在每个电子通过极板的极短时间内，电场视作恒定的.在两极板右侧且与极板右端相距D处有一个与两板中心线垂直的荧光屏，中心线正好与屏上坐标原点相交.当第一个电子到达坐标原点O时，使屏以速度v沿-x方向运动，每经过一定的时间后，在一个极短时间内它又跳回到初始位置，然后重新做同样的匀速运动.(已知电子的质量为m，带电量为e，不计电子重力)求：图2—7—11（1）电子进入AB板时的初速度；（2）要使所有的电子都能打在荧光屏上，图乙中电压的最大值U0需满足什么条件？（3）要使荧光屏上始终显示一个完整的波形，荧光屏必须每隔多长时间回到初始位置？计算这个波形的最大峰值和长度.在如图2—7—11丙所示的x-y坐标系中画出这个波形.参考答案一、1.BC 2.AB 3.BCD4.ACD 不同时刻入射的电子在不同瞬时电压下，沿不同抛物线做类平抛运动，其轨迹符合方程y =d mv eU202 x 2(U 为变化电压），x 轴正向为初速v 0方向，y 轴的正方向垂直于初速v 0向上或向下.电压低时从板间射出，电压高时打在板上，电子在板间出现的区域边界应为开口沿纵坐标方向的抛物线.5.AC二、6.0.4 m 7. 6.0×10-2 s三、8.由于金属筒对电场的屏蔽作用，使离子进入筒后做匀速直线运动，只有当离子到达两筒的缝隙处才能被加速.这样离子在筒内运动时间为t =fT 212= (T 、f 分别为交变电压周期、频率)①，设离子到第1个筒左端速度为v 1，到第n 个筒左端速度v n ，第n 个筒长为L n ，则L n =v n ·t ②从速度v 1加速v n 经过了（n -1）次加速，由功能关系有：21mv n 2=21mv 12+(n -1)·qU ③ 联立得L n =m n qU v f )1(22121-+ E k n =221n mv =21mv 12+(n -1)qU 令n =N,则得打到靶上离子的最大动能21mv N 2=21mv 12+(N -1)qU 9.电子水平方向匀速直线运动，竖直方向做变加速运动.要使电子从板边平行于板方向飞出，则要求电子在离开板时竖直方向分速度为0，并且电子在竖直方向应做单向直线运动向极板靠近.此时电子水平方向（x 方向）、竖直方向（y ）方向的速度图线分别如图所示 .电子须从t =n2T (n =0,1，2,…)时刻射入板间，且穿越电场时间t =kT (k =1,2…)①,而电子水平位移l =vt ② 竖直位移21d =2120)2(T m d eU ·2k ③三式联立得，T =leU mvd 022=2.5×10-9 s,k =4,故f =1/T =4×108 Hz,且k =4. 10.（1）0~2 s 电子能从O ′射出，动能必须足够大，由功能关系得U 1e ＜E k0 得U 1＜120 V所以当t ＜0.6或t ＞1.4时，粒子可由B 板小孔O ′射出.（2）电子进入偏转极板时的水平速度为v ,通过偏转电极时，侧向偏移是y ,y =dmv eL U 2222 能从偏转电场右侧飞出的条件是y ＜2d 得21mv 2＞2222dl eU 代入数字的21mv 2＞250 eV,即AB 间必须有130 V 的加速电压，所以当2.65 s ＜t ＜3.35 s 时，电子能从偏转电场右侧飞出，如图所示.11.（1）电子在加速电场中运动，据动能定理，有eU 1=21mv 12,v 1=meU 12 (2)因为每个电子在板A 、B 间运动时，电场均匀、恒定，故电子在板A 、B 间做类平抛运动，在两板之外做匀速直线运动打在屏上.在板A 、B 间沿水平方向运动时，有 L =v 1t ,竖直方向，有 y ′=21at 2,且a =mdeU ， 联立解得 y ′=2122mdv eUL .只要偏转电压最大时的电子能飞出极板打在屏上，则所有电子都能打在屏上，所以 y m ′=21202mdv L eU ＜2d ,U 0＜2122L U d . (3)要保持一个完整波形，需每隔周期T 回到初始位置，设某个电子运动轨迹如图所示，有tan θ=L y mdv eUL v v ''==⊥211,又知 y ′=2122mdv eUL ，联立得 L ′=2L . 由相似三角形的性质，得y yL D L'=+2/2,则 y =14)2(dU LUD L -,峰值为 y m =14)2(dU LU D L +.波形长度为 x 1=vT .波形如图所示.。

带电粒子在交变电磁场中的运动分析及求解作者：曾明
来源：《中学生理科应试》2016年第10期
带电粒子在电场、磁场以及复合场中的运动问题是高中物理教学的重点和难点，也是高考的热点.而带电粒子在交变电、磁场中的运动问题更是难上加难.要解决好这类问题，必须要求学生明确下面三点.
1.交变场的问题主要体现在电场力、洛仑兹力的变化上，因而最终总是体现在带电粒子运动的多过程性、周期性和对称性上.
2.研究带电粒子在交变场中的运动时，必须进行严格的受力分析、运动过程分析、画出运动过程示意图，紧密结合牛顿运动定律，理清运动的性质特点，找出各过程的联系所在.
3.在交变电场中，若交变电压的周期远大于粒子穿越电场的时间，则可视为粒子穿越时间内的电场为匀强电场.
4.合理选择物理方法，是解答这类问题的关键.。

带电粒子在交变电、磁场中的运动解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的根本思路[多维探究](一)交变磁场[典例1] (2014·高考)如图8-3-7甲所示，间距为d 、垂直于纸面的两平行板P 、Q 间存在匀强磁场。

取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。

t ＝0时刻，一质量为m 、带电量为＋q 的粒子(不计重力)，以初速度v 0由Q 板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区。

当B 0和T B 取某些特定值时，可使t ＝0时刻入射的粒子经Δt 时间恰能垂直打在P 板上(不考虑粒子反弹)。

上述m 、q 、d 、v 0为量。

图8-3-7(1)假设Δt ＝12T B ，求B 0；(2)假设Δt ＝32T B ，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；(3)假设B 0＝4mv 0qd，为使粒子仍能垂直打在P 板上，求T B 。

[思路点拨](1)假设Δt＝12T B 时，试画出粒子在PQ 板间运动的轨迹，并确定半径。

提示：如图甲，半径R 1＝d(2)假设Δt ＝32T B 时，试画出粒子在PQ 板间运动的轨迹，并确定半径。

提示：如图乙，半径R 2＝d3乙(3)假设B 0＝4mv 0qd，那么半径为多大？试画出粒子在一个周期的运动轨迹，并说明在哪些位置可能击中B 板。

提示：如图丙，由R ＝mv 0qB 0得R ＝14d 在A 、B 两点可能击中B 板[解析] (1)设粒子做圆周运动的半径为R 1，由牛顿第二定律得qv 0B 0＝mv 02R 1①据题意由几何关系得R 1＝d ②联立①②式得B 0＝mv 0qd③(2)设粒子做圆周运动的半径为R 2，加速度大小为a ，由圆周运动公式得a ＝v 02R 2④ 据题意由几何关系得 3R 2＝d ⑤ 联立④⑤式得 a ＝3v 02d⑥甲丙(3)设粒子做圆周运动的半径为R ，周期为T ，由圆周运动公式得T ＝2πRv 0⑦由牛顿第二定律得qv 0B 0＝mv 02R⑧由题意知B 0＝4mv 0qd，代入⑧式得d ＝4R ⑨粒子运动轨迹如下图，O 1、O 2为圆心，O 1O 2连线与水平方向的夹角为θ，在每个T B ，只有A 、B 两个位置粒子才有可能垂直击中P 板，且均要求0＜θ＜π2，由题意可知 π2＋θ2πT ＝T B2⑩设经历完整T B 的个数为n (n ＝0,1,2,3…)假设在A 点击中P 板，据题意由几何关系得R ＋2(R ＋R sin θ)n ＝d ⑪当n ＝0时，无解⑫ 当n ＝1时，联立⑨⑪式得 θ＝π6(或sin θ＝12)⑬联立⑦⑨⑩⑬式得T B ＝πd 3v 0⑭ 当n ≥2时，不满足0＜θ＜π2的要求⑮假设在B 点击中P 板，据题意由几何关系得R ＋2R sin θ＋2(R ＋R sin θ)n ＝d ⑯当n ＝0时，无解⑰ 当n ＝1时，联立⑨⑯式得 θ＝arcsin 14(或sin θ＝14)⑱联立⑦⑨⑩⑱式得T B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋arcsin 14d2v 0⑲当n ≥2时，不满足0＜θ＜π2的要求⑳[答案]见解析 [方法规律]分析周期性变化磁场中的运动时，重点是明确在一个周期的运动，化变为恒是思维根本，其技巧是画出轨迹示意图，结合带电粒子在电磁场和重力场组合与叠加场中的运动知识列方程解答。

小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅导 /wxxlhjy QQ:157171090 1 高考物理高频考点2013模拟新题精选训练 专题33 带电粒子在交变电场
和磁场中的运动
1．（18分）（2013江西省景德镇二模）从阴极K 发射的电子经电势差U 0=4500V 的阳极加速后，沿平行于板面的方向从中央射入两块长L 1=10cm ，间距d =4cm 的平行金属板AB 之后，在离金属板边缘L 2=75cm 处放置一个直径D =20cm 的带有记录纸的圆筒（如图所示），整个装置放在真空内，电子发射的初速度不计。

已知电子质量m =0.9×10-30 kg,电子电量e=1.6×10-19
C,不考虑相对论效应。

（1）若在两金属板上加上U 1=1000V 的直流电压（ϕA >ϕB ），为使电子沿入射方向做匀速直线运动，应加怎样的磁场？
（2）若在两金属板上加上U 2=1000cos2πt （V ）的交流电压，并使圆筒绕中心轴按图示方向以ω=4πrad/s 的角速度匀速转动，确定电子在记录纸上的偏转位移随时间变化的关系式并定性画出1s 钟内所记录的图形。

（电子穿过AB 的时间很短，可认为这段时间内板间电压不变）
解析：（1）由eU 0=202
1mv 得电子入射速度 31190010
94500106.122--⨯⨯⨯⨯==m eU v m/s 7104⨯=m/s . 加直流电压时，板间场强411105.2⨯==d
U E V/m (2分) 电子做直线运动时，由条件eE 1= ev 0B ， 得应加磁场的磁感应强度40
11025.6-⨯==v E B T ， (2分) 方向垂直纸面向里。

…………………. (2分)。

带点例子在周期性的电场，磁场中的运动带电粒子在交变电场或磁场中运动的情况较复杂，运动情况不仅取决于场的变化规律，还与粒子进入场的的时候的时刻有关，一定要从粒子的受力情况着手，分析出粒子在不同时间间隔内的运动情况，若交变电压的变化周期远大于粒子穿越电场的时间，那么粒子在穿越电场的过程中，可看做匀强电场。

注意：空间存在的电场或磁场是随时间周期性变化的，一般呈现“矩形波”的特点。

交替变化的电场及磁场会使带电粒子顺次经过不同特点的电场，磁场或叠加的场，从而表现出多过程现象，其特点较为隐蔽。

（1） 仔细确定各场的变化特点及相应时间，其变化周期一般与粒子在磁场中的运动周期关联。

（2） 把粒子的运动过程用直观的草图进行分析。

如图甲所示，相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀 强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，在边界上固定两长为L 的平行金属极板MN 和PQ ，两极板中心各有一小孔1S 、2S ，两极板间电压的变化规律如图乙所示，正反向电压的大小均为0U ，周期为0T 。

在0t =时刻将一个质量为m 、电量为q -（0q >）的粒子由1S 静止释放，粒子在电场力的作用下向右运动，在02T t =时刻通过2S 垂直于边界进入右侧磁场区。

（不计粒子重力，不考虑极板外的电场）（1）求粒子到达2S 时德 速度大小v 和极板距离d 。

（2）为使粒子不与极板相撞，求磁感应强度的大小应满足的条件。

（3）若已保证了粒子未与极板相撞，为使粒子在03t T =时刻再次到达2S ，且速度恰好为零，求该过程中粒子在磁场内运动的时间和磁感强度的大小如图甲所示，一对平行放置的金属板M 、N 的中心各有一小孔P 、Q ，PQ 的连线垂直于金属板，两板间距为d 。

（1）如果在板M 、N 之间加上垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间变化如图乙所示。

T=0时刻，质量为m 、电量为－q 的粒子沿PQ 方向以速度0υ射入磁场，正好垂直于N 板从Q 孔射出磁场。

题型17 带电粒子在交变电场和磁场中的运动1．如图1所示，在xOy 平面内存在着垂直于几何平面的磁场和平行于y 轴的电场，磁场和电场随时间的变化规律如图2甲、乙所示．以垂直于xOy 平面向里磁场的磁感应强度为正，以沿y 轴正方向电场的电场强度为正．t ＝0时，带负电粒子从原点O 以初速度v 0沿y 轴正方向运动，t ＝5t 0时，粒子回到O 点，v 0、t 0、B 0已知，粒子的比荷q m ＝πB 0t 0，不计粒子重力．(1)求粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期； (2)求电场强度E 0的值；(3)保持磁场仍如图2甲所示，将图乙所示的电场换成图丙所示的电场．t ＝0时刻，前述带负电粒子仍由O 点以初速度v 0沿y 轴正方向运动，求粒子在t ＝9t 0时的位置坐标．图2答案 (1)2t 0 (2)B 0v 0π (3)(2v 0t 0π，－v 0t 0)2．如图3甲所示，在两块水平金属极板间加有电压U 构成偏转电场，一束比荷为qm ＝106 C /kg带正电的粒子流(重力不计)，以速度v 0＝104 m/s 沿水平方向从金属极板正中间射入两板．粒子经电场偏转后进入一具有理想边界的半圆形变化磁场区域，O 为圆心，区域直径AB 长度为L ＝1 m ，AB 与水平方向成45°角．区域内有按如图乙所示规律做周期性变化的磁场，已知B0＝0.5 T，磁场方向以垂直于纸面向外为正．粒子经偏转电场后，恰好从下极板边缘O 点与水平方向成45°斜向下射入磁场．求：甲乙图3(1)两金属极板间的电压U是多大？(2)若T0＝0.5 s，求t＝0 s时刻射入磁场的带电粒子在磁场中运动的时间t和离开磁场的位置．(3)要使所有带电粒子通过O点后的运动过程中不再从AB两点间越过，求出磁场的变化周期T0应满足的条件．答案(1)100 V(2)2π×10－6 s射出点在OB间离O点225m(3)T0<π3×10－5 s3．如图4甲所示，宽度为d的竖直狭长区域内(边界为L1、L2)，存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为E0，E>0表示电场方向竖直向上．t＝0时，一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该区域，沿直线运动到Q点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的N2点．Q 为线段N1N2的中点，重力加速度为g.上述d、E0、m、v、g为已知量．图4(1)求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小；(2)求电场变化的周期T；(3)改变宽度d ，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求T 的最小值．答案 (1)mg E 0 2E 0v (2)d 2v ＋πvg (3)(2π＋1)v 2g4．如图5甲所示，竖直面的左侧空间中存在竖直向上的匀强电场(上、下及左侧无边界限制)．一个质量为m 、电荷量为q 、可视为质点的带正电小球，以水平初速度v 0沿PQ 向右做直线运动．若小球刚经过D 点时(t ＝0)，在电场所在空间叠加如图乙所示随时间周期性变化、垂直纸面向里的磁场，使得小球能沿PQ 连线左下方60°角再次通过D 点．已知D 、Q 间的距离为(3＋1)L ，重力加速度为g ，t 0小于小球在磁场中做圆周运动的周期，忽略磁场变化造成的影响．求：图5(1)电场强度E 的大小； (2)t 0与t 1的比值；(3)小球过D 点后将做周期性运动．则当小球运动的周期最大时，求出此时的磁感应强度B 0的大小，并在图甲中画出此情形下小球运动一个周期的轨迹．答案 (1)mg /q (2)43π9 (3)m v 0/qL题型17带电粒子在交变电场和磁场中的运动1．如图1所示，在xOy平面内存在着垂直于几何平面的磁场和平行于y轴的电场，磁场和电场随时间的变化规律如图2甲、乙所示．以垂直于xOy平面向里磁场的磁感应强度为正，以沿y轴正方向电场的电场强度为正．t＝0时，带负电粒子从原点O以初速度v0沿y轴正方向运动，t＝5t0时，粒子回到O点，v0、t0、B0已知，粒子的比荷qm＝πB0t0，不计粒子重力．图1(1)求粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期；(2)求电场强度E0的值；(3)保持磁场仍如图2甲所示，将图乙所示的电场换成图丙所示的电场．t＝0时刻，前述带负电粒子仍由O点以初速度v0沿y轴正方向运动，求粒子在t＝9t0时的位置坐标．图2答案 (1)2t 0 (2)B 0v 0π (3)(2v 0t 0π，－v 0t 0)解析 (1)粒子在磁场中运动时，q v 0B 0＝m v 20r 1T ＝2πr 1v 0q m ＝πB 0t 0 得T ＝2t 0.(2)粒子在t ＝5t 0时回到原点，轨迹如图所示，由牛顿第二定律q v 0B 0＝m v 20r 1由几何关系得：r 2＝2r 1 得v 2＝2v 0由运动学公式：v 2＝v 0＋at 0 由牛顿第二定律：E 0q ＝ma得E 0＝B 0v 0π.(3)t 0时刻粒子回到x 轴，t 0～2t 0时间内，粒子位移x 1＝2(v 0·t 02＋12a (t 02)2)2t 0时刻，粒子速度为v 03t 0时刻，粒子以速度v 0到达y 轴，3t 0～4t 0时刻，粒子运动的位移x 2＝2⎣⎡⎦⎤v 0·t 02－12a (t 02)2 5t 0时刻粒子运动到点(2r 1，x 2－x 1)根据粒子的周期性运动规律可知，t ＝9t 0时刻的位置坐标为[]2r 1，2(x 2－x 1)，代入数值为(2v 0t 0π，－v 0t 0)． 2．如图3甲所示，在两块水平金属极板间加有电压U 构成偏转电场，一束比荷为qm ＝106 C /kg带正电的粒子流(重力不计)，以速度v 0＝104 m/s 沿水平方向从金属极板正中间射入两板．粒子经电场偏转后进入一具有理想边界的半圆形变化磁场区域，O 为圆心，区域直径AB 长度为L ＝1 m ，AB 与水平方向成45°角．区域内有按如图乙所示规律做周期性变化的磁场，已知B 0＝0.5 T ，磁场方向以垂直于纸面向外为正．粒子经偏转电场后，恰好从下极板边缘O 点与水平方向成45°斜向下射入磁场．求：甲 乙图3(1)两金属极板间的电压U 是多大？(2)若T 0＝0.5 s ，求t ＝0 s 时刻射入磁场的带电粒子在磁场中运动的时间t 和离开磁场的位置． (3)要使所有带电粒子通过O 点后的运动过程中不再从AB 两点间越过，求出磁场的变化周期T 0应满足的条件．答案 (1)100 V (2)2π×10－6 s 射出点在OB 间离O 点225 m (3)T 0<π3×10－5 s 解析 (1)粒子在电场中做类平抛运动，从O 点射出时速度v ＝2v 0q U 2＝12m (2v 0)2－12m v 20 代入数据得U ＝100 V .(2)T ＝2πmBq Bq v ＝m v 2RT 2＝πm Bq ＝2π×10－6 s<T 02R ＝m v Bq ＝250 m<L 4粒子在磁场中经过半周从OB 中穿出，粒子在磁场中运动时间t ＝T2＝2π×10－6 s ，射出点在OB 间离O 点225m.(3)粒子运动周期T ＝2πmBq ＝4π×10－6 s ，粒子在t ＝0、t ＝T 02…时刻射入时，粒子最可能从AB 间射出．如图，由几何关系可得临界时 θ＝5π6要不从AB 边界射出，应满足T 02<θ2πT得T 0<π3×10－5 s.3．如图4甲所示，宽度为d 的竖直狭长区域内(边界为L 1、L 2)，存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为E 0，E >0表示电场方向竖直向上．t ＝0时，一带正电、质量为m 的微粒从左边界上的N 1点以水平速度v 射入该区域，沿直线运动到Q 点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的N 2点．Q 为线段N 1N 2的中点，重力加速度为g .上述d 、E 0、m 、v 、g 为已知量．图4(1)求微粒所带电荷量q 和磁感应强度B 的大小； (2)求电场变化的周期T ；(3)改变宽度d ，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求T 的最小值．答案 (1)mg E 0 2E 0v (2)d 2v ＋πvg (3)(2π＋1)v 2g解析 (1)根据题意，微粒做圆周运动，洛伦兹力完全提供向心力，重力与电场力平衡，则mg ＝qE 0①因为微粒水平向右做直线运动， 所以竖直方向合力为0.则mg ＋qE 0＝q v B ②联立①②解得：q ＝mgE 0③B ＝2E 0v .④(2)设微粒从N 1运动到Q 的时间为t 1，做圆周运动的周期为t 2， 则d2＝v t 1⑤ q v B ＝m v 2R ⑥2πR ＝v t 2⑦联立③④⑤⑥⑦解得t 1＝d2v ，t 2＝πv g ⑧电场变化的周期T ＝t 1＋t 2＝d 2v ＋πvg.⑨(3)若微粒能完成题述的运动过程，要求d ≥2R ⑩联立③④⑥得R ＝v 22g设N 1Q 段直线运动的最短时间t 1min ，由⑤⑩得，t 1min ＝v2g因t 2不变，T 的最小值T min ＝t 1min ＋t 2＝(2π＋1)v2g. 4．如图5甲所示，竖直面的左侧空间中存在竖直向上的匀强电场(上、下及左侧无边界限制)．一个质量为m 、电荷量为q 、可视为质点的带正电小球，以水平初速度v 0沿PQ 向右做直线运动．若小球刚经过D 点时(t ＝0)，在电场所在空间叠加如图乙所示随时间周期性变化、垂直纸面向里的磁场，使得小球能沿PQ 连线左下方60°角再次通过D 点．已知D 、Q 间的距离为(3＋1)L ，重力加速度为g ，t 0小于小球在磁场中做圆周运动的周期，忽略磁场变化造成的影响．求：图5(1)电场强度E 的大小； (2)t 0与t 1的比值；(3)小球过D 点后将做周期性运动．则当小球运动的周期最大时，求出此时的磁感应强度B 0的大小，并在图甲中画出此情形下小球运动一个周期的轨迹．答案 (1)mg /q (2)43π9 (3)m v 0/qL 轨迹见解析解析 (1)小球在电场中做匀速直线运动，根据二力平衡，有mg ＝qE得E ＝mg q.(2)小球能再次通过D 点，其运动轨迹如图所示，设圆弧半径为r . x ＝v 0t 1①由几何关系得x ＝rtan 30°②设小球做圆周运动的周期为T ，则T ＝2πr v 0③t 0＝23T ④由①②③④式得t 0t 1＝439π.(3)当小球运动的周期最大时，其运动轨迹应与MN 相切，如图所示． 由几何关系，有R ＋R tan 30°＝(3＋1)L ⑤由牛顿第二定律，有q v 0B 0＝m v 20R⑥由⑤⑥式得B 0＝m v 0qL小球运动一个周期的轨迹如图所示．。