2019版步步高高中物理必修一第一章运动的描述微型专题1

8 匀变速直线运动规律的应用[学习目标] 1.会推导匀变速直线运动的速度与位移的关系式，并会用此公式进行分析和相关计算.2.能推导初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式．速度与位移的关系式 1．公式：v t 2－v 02＝2ax . 2．推导：速度公式v t ＝v 0＋at . 位移公式x ＝v 0t ＋12at 2.由以上两式可得：v t 2－v 02＝2ax .1．判断下列说法的正误．(1)公式v t 2－v 02＝2ax 适用于所有的直线运动．(×)(2)确定公式v t 2－v 02＝2ax 中的四个物理量的数值时，选取的参考系应该是统一的．(√) (3)因为v t 2－v 02＝2ax ，v t 2＝v 02＋2ax ，所以物体的末速度v t 一定大于初速度v 0.(×) (4)在公式v t 2－v 02＝2ax 中，a 为矢量，与规定的正方向相反时a 取负值．(√)2．汽车以10m/s 的速度行驶，刹车的加速度大小为3 m/s 2，则它向前滑行12.5m 后的瞬时速度为________m/s. 答案 5一、关系式v t 2－v 02＝2ax 的理解和应用如图1所示，一质点做匀加速直线运动，已知质点的初速度为v 0，加速度为a ，质点通过位移x 时的末速度为v t ，试推导：v t 2－v 02＝2ax .图1答案 v t ＝v 0＋at ① x ＝v 0t ＋12at 2②由①得t ＝v t －v 0a ③将③代入②x ＝v 0v t －v 0a ＋12a (v t －v 0a )2＝v t 2－v 022a整理得：v t 2－v 02＝2ax1．适用范围：速度与位移的关系v t 2－v 02＝2ax 仅适用于匀变速直线运动．2．公式的矢量性：v t 2－v 02＝2ax 是矢量式，v 0、v t 、a 、x 都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，取v 0方向为正方向：(1)若加速运动，a 取正值，减速运动，a 取负值．(2)x ＞0，位移的方向与初速度方向相同，x ＜0则为减速到0，又反向运动到计时起点另一侧的位移．(3)v t ＞0，速度的方向与初速度方向相同，v t ＜0则为减速到0，又反向运动的速度． 注意：应用此公式时，注意符号关系，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性． 3．两种特殊形式(1)当v 0＝0时，v t 2＝2ax .(初速度为零的匀加速直线运动) (2)当v t ＝0时，－v 02＝2ax .(末速度为零的匀减速直线运动)例1 长100m 的列车通过长1000m 的隧道时做匀加速直线运动，列车刚进隧道时的速度是10m/s ，完全出隧道时的速度是12 m/s ，求： (1)列车过隧道时的加速度是多大？ (2)通过隧道所用的时间是多少？ 答案 (1)0.02m/s 2 (2)100s解析 (1)x ＝1000m ＋100m ＝1100m ，v 1＝10m/s ， v 2＝12m/s ，由v 2－v 02＝2ax 得， 加速度a ＝v 22－v 122x ＝0.02m/s 2.(2)由v t ＝v 0＋at 得所用时间为t ＝v 2－v 1a ＝12－100.02s ＝100s.解答匀变速直线运动问题时巧选公式的基本方法1．如果题目中无位移x ，也不让求x ，一般选用速度公式v t ＝v 0＋at ； 2．如果题目中无末速度v t ，也不让求v t ，一般选用位移公式x ＝v 0t ＋12at 2；3．如果题目中无运动时间t ，也不让求t ，一般选用导出公式v t 2－v 02＝2ax .针对训练 两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，它们运动的最大位移之比为( )A ．1∶2B ．1∶4C ．4∶1D ．2∶1 答案 B解析 小车的末速度为0，由v t 2－v 02＝2ax 得x 1x 2＝v 012v 022＝14，选项B 正确． 例2 物体从斜面顶端由静止开始下滑，到达斜面底端时速度为4m/s ，则物体经过斜面中点时的速度为( )A ．2m/sB ．22m/sC.2m/sD.22m/s 答案 B解析 从顶端到底端v 2＝2ax 从顶端到中点22x v ＝2a ·x2得：2x v ＝v 22＝22m/s ，选项B 正确．中间位置的速度与初、末速度的关系：在匀变速直线运动中，某段位移x 的初、末速度分别是v 0和v t ，加速度为a ，中间位置的速度为2x v ，则2x v ＝v 02＋v t 22.(请同学们自己推导) 二、匀变速直线运动的规律总结 1．两个基本公式 v t ＝v 0＋at x ＝v 0t ＋12at 2上两个公式中包括五个物理量，原则上已知其中三个物理量可以求解另外两个物理量，由这两个基本公式可以解决所有的匀变速直线运动问题．解题时要注意公式的矢量性，先根据规定好的正方向确定好所有矢量的正负值． 2．几个导出公式及特点(1)v t 2－v 02＝2ax ，此式不涉及时间，若题目中已知量和未知量都不涉及时间，利用此式往往比较简单．(2)x ＝v t 普遍适用于各种运动，而v ＝v 0＋v t2＝2t v 只适用于匀变速直线运动，两者相结合可以轻松地求出中间时刻的瞬时速度或者初、末速度．(3)x 2－x 1＝aT 2适用于匀变速直线运动，进一步的推论有x m －x n ＝(m －n )aT 2(其中T 为连续相等的时间间隔，x m 为第m 个时间间隔内的位移，x n 为第n 个时间间隔内的位移)． 例3 一辆汽车从静止开始做匀加速直线运动，已知途中先后经过相距27m 的A 、B 两点所用时间为2s ，汽车经过B 点时的速度为15m/s.求： (1)汽车经过A 点时的速度大小和加速度大小； (2)汽车从出发点到A 点经过的距离；(3)汽车经过B 点后再经过2s 到达C 点，则BC 间距离为多少？ 答案 (1)12m/s 1.5 m/s 2 (2)48m (3)33m解析 (1)设汽车初始运动方向为正方向，过A 点时速度为v A ， 则AB 段平均速度为v AB ＝v A ＋v B2故由x ＝v t ＝vAB t ＝v A ＋v B2t ，解得v A ＝12m/s. 对AB 段：a ＝v B －v At AB＝1.5m/s 2.(2)对OA 段(v 0＝0)：由v A 2－v 02＝2ax OA 得x OA ＝v A 2－v 022a＝48m.(3)汽车经过BC 段的时间等于经过AB 段的时间， 根据公式x 2－x 1＝aT 2对于AC 段有：x BC －x AB ＝aT 2，得x BC ＝x AB ＋aT 2＝27m ＋1.5×22m ＝33m. 三、初速度为零的匀加速直线运动的比例式例4 飞机、火车、汽车等交通工具由静止到稳定运动的过程都可以看做从零开始的匀加速直线运动．若一辆汽车从静止开始做匀加速直线运动，则求汽车： (1)1s 末、2s 末、3s 末瞬时速度之比； (2)1s 内、2s 内、3s 内的位移之比； (3)第1s 内、第2s 内、第3s 内的位移之比；(4)经过连续相等的位移，如经过第一个x 、第二个x 、第三个x 所用时间之比． 答案 (1)1∶2∶3 (2)1∶4∶9 (3)1∶3∶5 (4)1∶(2－1)∶(3－2)解析 (1)由v ＝at 知：v 1∶v 2∶v 3＝1∶2∶3(2)由x ＝12at 2得：x 1∶x 2∶x 3＝1∶22∶32＝1∶4∶9(3)第1s 内位移x Ⅰ＝12a ×12第2s 内位移x Ⅱ＝12a ×22－12a ×12＝12a ×3第3s 内位移为x Ⅲ＝12a ×32－12a ×22＝12a ×5故x Ⅰ∶x Ⅱ∶x Ⅲ＝1∶3∶5(4)由x ＝12at Ⅰ2，得第一个x 所用时间t Ⅰ＝2xa .前2x 所用时间t 2＝2×2xa故第二个x 所用时间为t Ⅱ＝t 2－t Ⅰ＝(2－1)2x a同理第三个x 所用时间t Ⅲ＝(3－2)2x a所以有t Ⅰ∶t Ⅱ∶t Ⅲ＝1∶(2－1)∶(3－2)．1．初速度为0的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T )，则： (1)T 末、2T 末、3T 末、…、nT 末的瞬时速度之比为： v 1∶v 2∶v 3∶…∶v n ＝1∶2∶3∶…∶n .(2)T 内、2T 内、3T 内、…、nT 内的位移之比为： x 1∶x 2∶x 3∶…∶x n ＝12∶22∶32∶…∶n 2.(3)第一个T 内、第二个T 内、第三个T 内、…、第n 个T 内的位移之比为： x 1′∶x 2′∶x 3′∶…∶x n ′＝1∶3∶5∶…∶(2n －1)． 2．按位移等分(设相等的位移为x )的比例式(1)前x 末、前2x 末、前3x 末、…、前nx 末的瞬时速度之比v 1∶v 2∶v 3∶…∶v n ＝1∶2∶3∶…∶n .(2)通过前x 、前2x 、前3x 、…、前nx 的位移所用时间之比t 1∶t 2∶t 3∶…∶t n ＝1∶2∶3∶…∶n .(3)通过连续相同的位移所用时间之比为：t 1′∶t 2′∶t 3′∶…∶t n ′＝1∶(2－1)∶(3－2)∶…∶(n －n －1)．例5 一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4s 末的速度为4m/s.求：(1)第6s 末的速度； (2)前6s 内的位移； (3)第6s 内的位移．答案 (1)6m/s (2)18m (3)5.5m解析 (1)由v 4＝at 4得a ＝v 4t 4＝4m/s 4s ＝1m/s 2.所以第1s 内的位移x 1＝12a ×12m ＝0.5m由于第4s 末与第6s 末的速度之比v 4∶v 6＝4∶6＝2∶3 故第6s 末的速度v 6＝32v 4＝6m/s(2)第1s 内与前6s 内的位移之比x 1∶x 6＝12∶62 故前6s 内小球的位移x 6＝36x 1＝18m (3)第1s 内与第6s 内的位移之比 x Ⅰ∶x Ⅵ＝1∶(2×6－1)＝1∶11 故第6s 内的位移x Ⅵ＝11x Ⅰ＝5.5m.求出第1s 末的速度和第1s 内的位移，然后灵活应用初速度为零的比例式求解会比较简捷．1．(初速度为零的比例式)一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1s 内与第2s 内的位移之比为x 1∶x 2，在走完第1 m 时与走完第2 m 时的速度之比为v 1∶v 2.以下说法正确的是( )A ．x 1∶x 2＝1∶3，v 1∶v 2＝1∶2B ．x 1∶x 2＝1∶3，v 1∶v 2＝1∶ 2C ．x 1∶x 2＝1∶4，v 1∶v 2＝1∶2D ．x 1∶x 2＝1∶4，v 1∶v 2＝1∶ 2 答案 B解析 由初速度为零的匀变速直线运动的比例关系知x 1∶x 2＝1∶3，由x ＝12at 2知，走完1m与走完2m 所用时间之比为t 1∶t 2＝1∶2，又v ＝at ，可得v 1∶v 2＝1∶2，B 正确． 2．(初速度为零的比例式)一石块从楼房阳台边缘向下做自由落体运动到达地面，把它在空中运动的总时间分为相等的三段，如果它在第一段时间内的位移是1.2m ，那么它在第三段时间内的位移是( ) A ．1.2m B ．3.6m C ．6.0m D ．10.8m答案 C解析 该自由落体运动将时间分成了相等的三段，由其规律知：第T 内、第2T 内、第3T 内、…、第nT 内的位移之比为x 1∶x 2∶x 3∶…∶x n ＝1∶3∶5∶…∶(2n －1)，第一段时间内的位移为1.2m ，则第三段时间内的位移为x ＝1.2×5m ＝6.0m ，故选C.。

3 运动快慢与方向的描述——速度[学习目标] 1.理解速度的概念，领会其矢量性，知道速度的方向.2.知道平均速度和瞬时速度的区别和联系.3.能在具体问题的描述中正确使用平均速度和瞬时速度，并能进行相应的计算.4.理解v －t 图像的意义．一、运动快慢的描述——速度1．定义：位移与发生这段位移所用时间的比值，叫做速度． 2．表达式：v ＝Δx Δt.3．单位：米每秒，符号是m/s 或m·s －1.1 m/s ＝3.6km/h.4．矢量性：速度是矢量，速度的方向就是物体运动的方向． 5．物理意义：表示物体运动快慢和方向． 二、平均速度 1．公式：v ＝Δx Δt.2．平均速度只能粗略地描述物体在Δt 时间内运动的快慢． 3．方向：与位移的方向相同． 三、瞬时速度1．定义：运动物体在某一时刻或某一位置的速度． 2．物理意义：精确地描述物体运动的快慢．3．大小：当Δt 非常非常小时，ΔxΔt 称为物体在时刻t 的瞬时速度，瞬时速度的大小称为瞬时速率，简称速率． 四、速度—时间图像1．速度—时间图像(v －t 图像)：以速度为纵轴，时间为横轴，建立平面直角坐标系，在坐标系中画出的描述速度v 与时间t 关系的图像．2．匀速直线运动的速度－时间图像是与横轴平行的直线，在速度图像中位移对应边长分别为v 和t 的一块矩形面积．1．判断下列说法的正误．(1)由公式v ＝ΔxΔt知，运动物体的位移Δx 越大，速度越大．(×)(2)瞬时速度是运动时间Δt →0时的平均速度．(√) (3)物体的平均速度为零，则物体一定处于静止状态．(×) (4)子弹以速度v 从枪口射出，v 指瞬时速度．(√)2．某质点沿一直线运动，在第1s 内通过的位移为2m ，第2s 内通过的位移为4m ，第3s 内通过的位移为6m ，则质点前2s 的平均速度为________m/s ，后 2 s 内的平均速度为________m/s ；3s 内的平均速度为________m/s. 答案 3 5 4一、对速度的理解自行车和汽车都在平直公路上沿同一方向行驶，在30min 内自行车行驶了8km ，汽车行驶了50km ；百米比赛中，运动员甲用时10s ，运动员乙用时13.5s. (1)自行车和汽车哪个快？ (2)运动员甲和运动员乙哪个快？ (3)汽车和运动员甲哪个快？如何比较呢？答案 (1)汽车运动得快，单向直线运动中，相同时间内位移大的运动得快． (2)运动员甲跑得快，单向直线运动中，通过相同位移所需时间短的运动得快． (3)通过比较两物体单位时间内的位移，可比较两物体运动的快慢汽车：Δx 1Δt 1＝50km 30min ＝50×103m 30×60s≈27.8m/s运动员甲：Δx 2Δt 2＝100m10s ＝10m/s所以汽车运动得快．1．对公式v ＝ΔxΔt的理解(1)速度采用比值定义法，不能说v 与Δx 成正比．Δx 大，仅指物体的位置变化量大．位移大，速度不一定大；当物体位置变化快时，速度才大． (2)式中Δx 是位移不是路程，Δx 与Δt 具有对应性． 2．速度是矢量(1)速度既有大小，又有方向，是矢量．瞬时速度的方向就是物体此时刻的运动方向． (2)比较两个速度是否相同时，既要比较其大小是否相等，又要比较其方向是否相同． 例1 关于速度的定义式v ＝ΔxΔt，以下叙述正确的是( )A ．物体做匀速直线运动时，速度v 与运动的位移Δx 成正比，与运动时间Δt 成反比B ．速度v 的大小与运动的位移Δx 和时间Δt 都无关C ．速度大小不变的运动是匀速直线运动D ．v 1＝2m/s 、v 2＝－3 m/s ，因为2>－3，所以v 1>v 2 答案 B解析 v ＝ΔxΔt 是计算速度的定义式，只说明速度可用位移Δx 除以时间Δt 来获得，并不是说v 与Δx 成正比，与Δt 成反比，A 错，B 对；匀速直线运动是速度大小和方向都不变的运动，C 错；速度是矢量，正、负号表示方向，绝对值表示大小，D 错． 二、平均速度和瞬时速度小明坐在沿直线行驶的汽车上，从甲地到乙地用时20分钟，行徎20km ，根据公式v ＝ΔxΔt ，他计算出自己的速度为60km/h.但途中某时刻小明发现速度计显示为70 km/h. (1)上面提到的两个速度各表示什么速度？ (2)速度计显示的是什么速度？(3)若小明由乙地返回甲地又用了20分钟，则整个过程的平均速度是多少？它能反映汽车运动得快慢吗？答案 (1)60km/h 为20分钟内汽车的平均速度；70 km/h 为瞬时速度． (2)瞬时速度(3)因为全程的位移为零，所以平均速度为0 不能平均速度和瞬时速度的比较例2 (多选)下列速度属于瞬时速度的是( ) A ．火车以76km/h 的速度经过“深圳到惠州”这一路段 B ．汽车速度计指示着速度50km/hC ．城市繁华路口速度路标上标有“15km/h 注意车速”字样D ．足球以12m/s 的速度射入球门 答案 BCD例3 甲、乙两地相距60km ，一汽车沿直线运动用40km/h 的平均速度通过了全程的13，剩余的23路程用了2.5h ．求：(1)此汽车在后23路程的平均速度大小．(2)汽车在全过程中的平均速度大小． 答案 (1)16km/h (2)20 km/h解析 (1)汽车在前后两段的位移大小分别是 x 1＝60×13km ＝20kmx 2＝60×23km ＝40km汽车在后23路程的平均速度大小：v 2＝x 2t 2＝402.5km/h ＝16 km/h(2)汽车在全过程中的平均速度大小： v ＝x t ＝602040＋2.5km/h ＝20 km/h.求平均速度时注意：(1)所求的平均速度对应哪段的时间或位移. (2)发生的该位移一定与所用时间对应. 三、平均速度、平均速率与速率的比较 1．概念：(1)平均速度＝位移时间，平均速率＝路程时间(2)速率是瞬时速度的大小，是瞬时速率的简称．2．矢标性：平均速度是矢量，有方向；速率是标量，无方向． 3．平均速度的大小一般小于平均速率．例4 一物体以v 1＝4 m/s 的速度向东运动了5 s 后到达A 点，在A 点停了5 s 后又以v 2＝6 m/s 的速度沿原路返回，运动了5s 后到达B 点，求物体在全程的平均速度和平均速率． 答案 23m/s ，方向向西 103m/s解析 物体全程的位移大小x ＝v 2t 2－v 1t 1＝6×5m －4×5m ＝10m ，全程用时t ＝5s ＋5s ＋5s ＝15s ，故平均速度大小v ＝x t ＝1015m/s ＝23m/s ，方向向西．物体全程的路程s ＝v 2t 2＋v 1t 1＝6×5m ＋4×5m ＝50m ，故平均速率v ′＝s t ＝5015m/s ＝103m/s.求平均速度时常见的两种错误：(1)认为平均速度就等于速度的平均值，即v ＝v 1＋v 22 (v 1、v 2分别是物体的初、末速度).实际上这个式子对于极个别的运动适用，但对于一般的直线运动和曲线运动是不适用的. (2)认为平均速度大小等于平均速率.在计算平均速度时，用路程与时间的比值去求解.而实际上平均速度必须依据其定义用位移与时间的比值去求解.并且必须强调针对的是哪段位移(或哪段时间). 四、v －t 图像的理解从v －t 图像上可以得到的信息(1)读出物体在某时刻的速度或物体的某一速度所对应的时刻．(2)求出物体在某段时间内速度的变化量或物体发生某一速度变化所经历的时间．(3)判断运动方向．根据速度的正负判断运动方向．速度为正，表示物体沿正方向运动，速度为负，表示物体沿负方向运动．(4)比较物体速度变化的快慢．在v －t 图像中，直线的倾斜程度(斜率)反映了物体速度改变的快慢，倾斜程度越大，表示速度改变得越快，倾斜程度越小，表示速度改变得越慢，直线不倾斜(平行于时间轴)，表示物体的速度不变．例5 如图1所示，是某质点做直线运动的v －t 图像，试回答：图1(1)AB、BC、CD段质点分别做什么运动？(2)质点在4s末的速度多大？(3)质点在4～8s内的位移是多大？答案(1)AB段表示质点做加速运动；BC段表示质点做匀速运动；CD段表示质点做减速运动(2)15m/s(3)60m解析(1)根据题中v－t图像可知在AB段速度随时间不断增大，所以AB段表示质点做加速运动；在BC段速度不随时间而变化，所以BC段表示质点做匀速运动；在CD段速度随时间不断减小，所以CD段表示质点做减速运动．(2)质点在4s末的速度是15m/s.(3)4～8s内质点做匀速直线运动，v－t图像与t轴所围“面积”表示位移即x＝v t＝15×4m ＝60m.针对训练某物体的运动规律如图2所示，下列说法中正确的是()图2A．物体在第1s末运动方向发生变化B．第2s内、第3s内的速度方向是相同的C．物体在第2s内返回出发点，向反方向运动D．在这7s内物体做往复运动答案 D解析物体在第1s末运动方向没有发生变化，A错；第2s内、第3s内的速度方向是相反的，B错；物体在第2s内位移变大，向正方向运动，C错；整个过程中物体做的是往复运动，D项正确．。

考点一对质点、参考系和位移的理解1．质点(1)用来代替物体有质量的点叫做质点．(2)研究一个物体的运动时，如果物体的形状和大小对问题的影响可以忽略，就可以看做质点．(3)质点是一种理想化模型，实际并不存在．2．参考系(1)参考系可以是运动的物体，也可以是静止的物体，但被选为参考系的物体，我们都假定它是静止的．(2)比较两物体的运动情况时，必须选同一参考系．(3)选取不同的物体作为参考系，对同一物体运动的描述可能不同．通常以地球为参考系．3．位移(1)定义：表示质点的位置变动，它是质点由初位置指向末位置的有向线段．(2)与路程的区别：位移是矢量，路程是标量．只有在单向直线运动中，位移的大小才等于路程．[思维深化]判断下列说法是否正确．(1)只有质量和体积都很小的物体才能看成质点．(×)(2)平动的物体都可以看做质点，而转动的物体不能看做质点．(×)(3)参考系可以任意选取，但一般遵循描述运动方便的原则．(√)(4)当一个物体做竖直上抛运动返回原抛出点时，位移的大小等于上升高度的两倍．(×)1．[对质点的理解]以下情景中，人或物体可以看成质点的是()A．研究一列火车通过长江大桥所需的时间B．乒乓球比赛中，运动员发出的旋转球C．研究航天员翟志刚在太空出舱挥动国旗的动作D．用GPS确定打击海盗的“武汉”舰在大海中的位置答案D解析长江大桥虽长，但火车长度与之相比不能忽略，不符合“物体的大小或形状对研究的问题没有影响，或者对研究问题可以忽略时，物体就可以看做质点”的条件，选项A错误；既然是“旋转球”，就是要研究球的旋转的，如果把它看成质点，则掩盖了其旋转的特点，故不能把它看做质点，选项B错误；研究航天员翟志刚在太空出舱挥动国旗的动作时，突出的是看清“挥动国旗的动作”，不能把翟志刚看成质点，选项C错误；用GPS确定“武汉”舰在大海中的位置时，突出它的“位置”，可以把“武汉”舰看成质点(船的大小与大海相比，其大小可以忽略)，故选项D正确．2．[对参考系的理解](多选)从水平匀速飞行的直升机上向外自由释放一个物体，不计空气阻力，在物体下落过程中，下列说法正确的是()A．从直升机上看，物体做自由落体运动B．从直升机上看，物体始终在直升机的后方C．从地面上看，物体做平抛运动D．从地面上看，物体做自由落体运动答案AC3．[对质点、参考系和位移的理解]在“金星凌日”的精彩天象中，观察到太阳表面上有颗小黑点缓慢走过，持续时间达六个半小时，那便是金星，这种天文现象称为“金星凌日”，如图1所示．下面说法正确的是()图1A ．地球在金星与太阳之间B ．观测“金星凌日”时可将太阳看成质点C ．以太阳为参考系，金星绕太阳一周位移不为零D ．以太阳为参考系，可以认为金星是运动的答案 D解析 金星通过太阳和地球之间时，我们才看到金星没有被太阳照亮的一面呈黑色，选项A 错误；因为太阳的大小对所研究问题起着至关重要的作用，所以观测“金星凌日”不能将太阳看成质点，选项B 错误；金星绕太阳一周，起点与终点重合，位移为零，选项C 错误；金星相对于太阳的空间位置发生了变化，所以以太阳为参考系，金星是运动的，选项D 正确．抓住“三点”理解质点、参考系和位移1．质点的模型化：建立模型．一是要明确题目中需要研究的问题；二是看所研究物体的形状和大小对所研究问题是否有影响．2．运动的相对性：选取不同的参考系，对同一运动的描述一般是不同的．3．位移的矢量性：一是位移只与初末位置有关；二是位移方向由初位置指向末位置．考点二 速度 平均速度和瞬时速度1．速度(1)物理意义：描述物体运动快慢和方向的物理量，是状态量．(2)定义式：v ＝Δx Δt. (3)决定因素：v 的大小由v 0、a 、Δt 决定．(4)方向：与位移同向，即物体运动的方向．2．平均速度(1)在变速运动中，物体在某段时间内的位移与发生这段位移所用时间的比值叫做这段时间内的平均速度，即v ＝Δx Δt，其方向与位移的方向相同． (2)平均速度反映一段时间内物体运动的平均快慢程度，它与一段时间或一段位移相对应．3．瞬时速度(1)运动物体在某一时刻(或某一位置)的速度，方向沿轨迹上物体所在点的切线方向指向前进的一侧，是矢量．瞬时速度的大小叫速率，是标量．(2)瞬时速度能精确描述物体运动的快慢，它是在运动时间Δt →0时的平均速度，与某一时刻或某一位置相对应．(3)平均速率是路程与时间的比值，它与平均速度的大小没有对应关系．[思维深化]如果一质点沿直线Ox 方向做加速运动，它离开O 点的距离x 随时间变化的关系为x ＝3＋2t 3(m)，它的速度随时间变化的关系为v ＝6t 2 m/s.请思考如何求解t ＝2 s 时的瞬时速度和t ＝0到t ＝2 s 间的平均速度？答案 由速度随时间变化关系公式可得t ＝2 s 时的速度为：v ＝6×22 m /s ＝24 m/s ；由x 与t 的关系得出各时刻对应的位移，再利用平均速度公式可得t ＝0到t ＝2 s 间的平均速度为：v 1＝Δx Δt ＝19－32m /s ＝8 m/s.4．[平均速度和瞬时速度的区别](多选)关于瞬时速度和平均速度，以下说法正确的是( )A ．一般讲平均速度时，必须讲清楚是哪段时间(或哪段位移)内的平均速度B ．对于匀速直线运动，其平均速度跟哪段时间(或哪段位移)无关C ．瞬时速度和平均速度都可以精确描述变速运动D ．瞬时速度是某时刻的速度，只有瞬时速度才能精确描述变速运动的物体运动的快慢 答案 ABD解析 一般情况下，物体在不同时间(或不同位移)内的平均速度不同，但对于匀速直线运动，物体的速度不变，所以平均速度与哪段时间(或哪段位移)无关，故A 、B 均正确；平均速度只能粗略描述变速运动，只有瞬时速度才能精确描述变速运动的物体运动的快慢，故C 错，D 正确．5．[平均速度的求解]一个朝着某方向做直线运动的物体，在时间t 内的平均速度是v ，紧接着t 2内的平均速度是v 2，则物体在这段时间内的平均速度是( ) A ．v B.23v C.43v D.56v 答案 D解析 分别求出两个时间段的位移，求其和，得出总位移，再除以总时间．6．[用平均速度法求瞬时速度]用如图2所示的计时装置可以近似测出气垫导轨上滑块的瞬时速度．已知固定在滑块上的遮光条的宽度为 4.0 mm ，遮光条经过光电门的遮光时间为0.040 s ，则滑块经过光电门位置时的速度大小为( )图2A ．0.10 m /sB ．100 m/sC ．4.0 m /sD ．0.40 m/s答案 A解析 遮光条经过光电门的遮光时间很短，所以可以把遮光条经过光电门的平均速度当作滑块经过光电门位置时的瞬时速度，即v ＝d t ＝4.0×10－30.040 m /s ＝0.10 m/s ，A 正确．用极限思想理解两种速度关系1．两种速度的关系(1)瞬时速度是运动时间Δt →0时的平均速度．(2)对于匀速直线运动，瞬时速度与平均速度相等．2．关于用平均速度法求瞬时速度(1)方法概述：由平均速度公式v ＝Δx Δt可知，当Δx 、Δt 都非常小，趋向于极限时，这时的平均速度就可认为是某一时刻或某一位置的瞬时速度．(2)选用思路：当已知物体在微小时间Δt 内发生的微小位移Δx 时，可由v ＝Δx Δt粗略地求出物体在该位置的瞬时速度．考点三 加速度与速度及速度变化量的关系1．速度变化量(1)物理意义：描述物体速度改变的物理量，是过程量．(2)定义式：Δv ＝v －v 0.(3)决定因素：Δv 由v 与v 0进行矢量运算得到，由Δv ＝a Δt 知Δv 由a 与Δt 决定．(4)方向：由Δv 或a 的方向决定．2．加速度(1)物理意义：描述物体速度变化快慢和方向的物理量，是状态量．(2)定义式：a ＝Δv Δt ＝v －v 0Δt. (3)决定因素：a 不是由v 、Δt 、Δv 来决定，而是由F m来决定． (4)方向：与Δv 的方向一致，由合外力的方向决定，而与v 0、v 的方向无关．[思维深化]1．以恒定的速率做圆周运动的物体有加速度吗？为什么？答案 有，因为速度的方向在变化．2．有加速度的物体一定加速运动吗？为什么？答案 不一定，要看a 与v 的方向关系．7．[对加速度的理解]有下列几种情景，请根据所学知识选择对情景的分析和判断正确的说法( )A ．点火后即将升空的火箭，因火箭还没运动，所以加速度一定为零B ．高速公路上沿直线高速行驶的轿车为避免事故紧急刹车．因轿车紧急刹车，速度变化很快，所以加速度很大C ．高速行驶的磁悬浮列车，因速度很大，所以加速度也一定很大D ．太空中的“天宫一号”绕地球匀速转动，其加速度为零答案 B8．[加速度的求解]沿直线做匀变速运动的质点在第一个0.5 s 内的平均速度比它在第一个1.5 s 内的平均速度大2.45 m/s ，以质点的运动方向为正方向，则质点的加速度为( )A ．2.45 m /s 2B ．－2.45 m/s 2C ．4.90 m /s 2D ．－4.90 m/s 2答案 D解析 设第一个0.5 s 内的平均速度为v 1，即t 1＝0.25 s 时的速度为v 1；第一个1.5 s 内的平均速度为v 2，即t 2＝0.75 s 时的速度为v 2.由题意得v 1－v 2＝2.45 m/s ，故a ＝v 2－v 1t 2－t 1＝－2.450.75－0.25m /s 2＝－4.90 m/s 2，D 正确．9．[加速度与速度关系的理解]近几年，国内房价飙升，在国家宏观政策调控下，房价上涨出现减缓趋势．王强同学将房价的“上涨”类比成运动学中的“加速”，将房价的“下跌”类比成运动学中的“减速”，据此，你认为“房价上涨出现减缓趋势”可以类比成运动学中的( )A ．速度增加，加速度减小B ．速度增加，加速度增大C ．速度减小，加速度增大D ．速度减小，加速度减小答案 A解析 “房价上涨”可以类比成运动学中的“速度增加”，“减缓趋势”则可以类比成运动学中的“加速度减小”．10．[运动特点的分析]一个质点做方向不变的直线运动，加速度的方向始终与速度的方向相同，但加速度大小先保持不变，再逐渐减小直至为零，则在此过程中( )A ．速度先逐渐变大，然后再逐渐减小，当加速度减小到零时，速度达到最小值B ．速度先均匀增加，然后增加的越来越慢，当加速度减小到零时，速度达到最大值C ．位移逐渐增大，当加速度减小到零时，位移将不再增大D ．位移先逐渐增大，后逐渐减小，当加速度减小到零时，位移达到最小值答案 B解析 加速度与速度同向，速度应增大，当加速度不变时，速度均匀增加；当加速度减小时，速度仍增大，但不再是均匀增大，直到加速度为零时，速度不再增大，A 项错误，B 项正确；因质点速度方向不变化，始终是向前运动，最终匀速运动，所以位移一直在增大，C 项和D 项均错误．对速度与加速度关系的三点提醒1．速度的大小与加速度的大小没有必然联系．2．速度变化量与加速度没有必然的联系，速度变化量的大小由加速度和速度变化的时间决定．3．物体做加速运动还是减速运动，关键是看物体的加速度与速度的方向关系，而不是看加速度的变化情况．加速度的大小只反映速度变化(增加或减小)的快慢．(1)a 和v 同向(加速直线运动)⎩⎪⎨⎪⎧ a 不变，v 随时间均匀增加a 增大，v 增加得越来越快a 减小，v 增加得越来越慢(2)a 和v 反向(减速直线运动)⎩⎪⎨⎪⎧ a 不变，v 随时间均匀减小a 增大，v 减小得越来越快a 减小，v 减小得越来越慢1．物理学中引入了“质点”、“点电荷”的概念，从科学方法上来说属于( )A ．控制变量法B ．类比法C ．理想模型法D ．等效替代法答案 C解析 “质点”、“点电荷”等都是为了使研究问题变得简单而引入的理想化的模型，在现实中是不存在的，所以它们从科学方法上来说属于理想模型法，所以C 正确．2．关于速度、速度改变量、加速度，下列说法正确的是( )A ．物体运动的速度改变量很大，它的加速度一定很大B ．速度很大的物体，其加速度可以很小，可以为零C ．某时刻物体的速度为零，其加速度一定为零D ．加速度很大时，运动物体的速度一定很大答案 B解析 速度反映的是物体运动的快慢，速度的变化量指的是速度变化的多少，即Δv ＝v 2－v 1，而加速度指的是速度变化的快慢，即速度的变化率a ＝Δv Δt，由此可知，只有B 正确． 3．一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δx 所用的时间为t 1，紧接着通过下一段位移Δx 所用的时间为t 2，则物体运动的加速度为( )A.2Δx (t 1－t 2)t 1t 2(t 1＋t 2)B.Δx (t 1－t 2)t 1t 2(t 1＋t 2)C.2Δx (t 1＋t 2)t 1t 2(t 1－t 2)D.Δx (t 1＋t 2)t 1t 2(t 1－t 2) 答案 A解析 物体做匀加速直线运动在前一段Δx 所用的时间为t 1，平均速度为v 1＝Δx t 1，即为t 12时刻的瞬时速度；物体在后一段Δx 所用的时间为t 2，平均速度为v 2＝Δx t 2，即为t 22时刻的瞬时速度．速度由v 1变化到v 2所用的时间为Δt ＝t 1＋t 22，所以加速度a ＝v 2－v 1Δt ＝2Δx (t 1－t 2)t 1t 2(t 1＋t 2)，A 正确． 4．为了测定气垫导轨上滑块的加速度，滑块上安装了宽度为L ＝3.0 cm 的遮光板，滑块在牵引力作用下先后匀加速通过两个光电门，配套的数字毫秒计记录了遮光板通过第一个光电门的时间为Δt 1＝0.30 s ，通过第二个光电门的时间为Δt 2＝0.10 s ，遮光板从开始遮住第一个光电门到开始遮住第二个光电门的时间间隔为Δt ＝3.0 s ．试估算：(1)滑块的加速度多大(保留两位有效数字)?(2)两个光电门之间的距离是多少？答案 (1)0.067 m/s 2 (2)0.6 m解析 (1)遮光板通过第一个光电门的速度v 1＝L Δt 1＝3.0×10－20.30m /s ＝0.10 m/s 遮光板通过第二个光电门的速度v 2＝L Δt 2＝3.0×10－20.10m /s ＝0.30 m/s 故滑块的加速度a ＝v 2－v 1Δt≈0.067 m/s 2 (2)两个光电门之间的距离x ＝v 1＋v 22Δt ＝0.6 m 练出高分基础巩固1．下列关于矢量和标量的说法正确的是( )A ．矢量和标量没有严格的区别，同一个物理量可以是矢量，也可以是标量B ．矢量都是有方向的C ．时间、时刻是标量，路程是矢量D ．初中学过的电流是有方向的量，所以电流是矢量答案 B2．以下说法中正确的是( )A ．做匀变速直线运动的物体，t s 内通过的路程与位移的大小一定相等B ．质点一定是体积和质量都极小的物体C ．速度的定义式和平均速度公式都是v ＝Δx Δt，因此速度就是指平均速度D ．速度不变的运动是匀速直线运动答案 D解析 往复的匀变速直线运动中，路程不等于位移大小，A 错；质点不一定是体积小、质量小的物体，B 错；速度分为平均速度和瞬时速度，C 错；速度不变是指速度的大小和方向均不变，故做匀速直线运动，D 对．3．如图1所示哈大高铁运营里程 921千米，设计时速 350千米．某列车到达大连北站时做匀减速直线运动，开始刹车后第5 s 内的位移是57.5 m ，第10 s 内的位移是32.5 m ，则下列说法正确的有( )图1A ．在研究列车从哈尔滨到大连所用时间时不能把列车看成质点B ．时速350千米是指平均速度，921千米是指位移C ．列车做匀减速直线运动时的加速度大小为6.25 m/s 2D ．列车在开始减速时的速度为80 m/s答案 D解析 因列车的大小远小于哈尔滨到大连的距离，研究列车行驶该路程所用时间时可以把列车视为质点，A 错；由时间、时刻、位移与路程的意义知时速350千米是指平均速率，921千米是指路程，B 错；由等时位移差公式x n －x m ＝(n －m )aT 2可知加速度大小为a ＝57.5－32.55 m /s 2＝5 m/s 2，C 错；由题意可知第4.5 s 末列车速度为57.5 m /s ，由加速度公式知v 0＝80 m/s ，D 对.4．若规定向东方向为位移正方向，今有一个足球停在坐标原点处，轻轻踢它一脚，使它向东做直线运动，经过5 m 时与墙相碰后又向西做直线运动，经过7 m 停下，则上述过程足球通过的路程和位移分别是( )A ．12 m 、2 mB ．12 m 、－2 mC ．－2 m 、－2 mD ．2 m 、2 m 答案 B5．一辆汽车沿平直公路以速度v 1行驶了23的路程，接着又以速度v 2＝20 km/h 行驶完其余13的路程，如果汽车全程的平均速度为28 km/h ，那么汽车在前23路程内速度的大小是( )A．25 km/h B．34 km/hC．35 km/h D．38 km/h答案C6．第五颗北斗导航卫星成功送入太空预定轨道标志着卫星导航市场的垄断局面被打破，北斗卫星导航系统将免费提供定位、测速和授时服务，定位精度10 m，测速精度0.2 m/s，以下说法不正确的是()A．北斗导航卫星定位提供的是被测物体的位移B．北斗导航卫星定位提供的是被测物体的位置C．北斗导航卫星授时服务提供的是时刻D．北斗导航卫星测速服务提供的是运动物体的速率答案A解析由位置、位移、时间、时刻、速度、速率的定义可知，北斗导航卫星定位提供的是一个点，是位置，不是位置的变化，A错，B对；北斗导航卫星授时服务提供的是时刻，C对；北斗导航卫星测速服务提供的是运动物体某时刻的速度的大小即速率，D正确．7．(多选)下面关于瞬时速度和平均速度的说法正确的是()A．若物体在某段时间内任一时刻的瞬时速度都等于零，则它在这段时间内的平均速度一定等于零B．若物体在某段时间内的平均速度等于零，则它在这段时间内任一时刻的瞬时速度一定都等于零C．匀速直线运动中，物体在任意一段时间内的平均速度等于它任一时刻的瞬时速度D．变速直线运动中，物体在任意一段时间内的平均速度一定不等于它某一时刻的瞬时速度答案AC解析若物体在某段时间内任一时刻的瞬时速度都等于零，则物体静止，平均速度等于零，A选项对；若物体在某段时间内的平均速度等于零，任一时刻的瞬时速度不一定都为零，例如物体做圆周运动运动一周时，平均速度为零，任一时刻的瞬时速度都不为零，B选项错；在匀速直线运动中，物体的速度恒定不变，任一时刻的瞬时速度都相等，都等于任意一段时间内的平均速度，C选项对；在变速直线运动中，物体的速度在不断变化，某一时刻的瞬时速度可能等于某段时间内的平均速度，D选项错．8．(多选)某赛车手在一次野外训练中，先利用地图计算出出发地和目的地的直线距离为9 km，从出发地到目的地用了5 min，赛车上的里程表指示的里程数值增加了15 km，当他经过某路标时，车内速率计指示的示数为150 km/h，那么可以确定的是()A．在整个过程中赛车手的位移是9 kmB．在整个过程中赛车手的路程是9 kmC．在整个过程中赛车手的平均速度是180 km/hD．经过路标时的瞬时速率是150 km/h答案AD9．(多选)根据给出的速度与加速度的正负，对下列运动性质的判断正确的是()A．v0>0，a<0，物体做加速运动B．v0<0，a<0，物体做减速运动C．v0<0，a>0，物体做减速运动D．v0>0，a>0，物体做加速运动答案CD综合应用10．某质点以20 m/s的初速度竖直向上运动．其加速度保持不变，经2 s到达最高点，上升高度为20 m，又经过2 s回到出发点时，速度大小仍为20 m/s，关于这一运动过程的下列说法中正确的是()A．质点运动的加速度大小为10 m/s2，方向竖直向下B．质点在这段时间内的平均速度大小为10 m/sC．质点在最高点时加速度为零D．质点在落回抛出点时的速度与开始离开抛出点时的速度相等答案A11．钓鱼岛群岛自古以来就是中国领土，其附近海域是渔民祖祖辈辈传统的谋生渔场.9月16日12时休渔结束，我国派出海监编队到钓鱼岛海域护渔．如图2，中国海监46船(甲)和中国海监49船(乙)，在钓鱼岛领海内开展例行维权巡航．甲、乙两船并排行驶，甲船上的船员看见钓鱼岛向东移，乙船内的船员发现甲船没有动．如果以钓鱼岛为参照物，上述事实说明()图2A．甲船向西运动，乙船不动B．乙船向西运动，甲船不动C．甲船向西运动，乙船向东运动D．甲、乙两船以相等的速度都向西运动答案D解析甲船上的船员看见钓鱼岛向东移，以钓鱼岛为参照物，甲船向西运动，乙船内的船员发现甲船没有动．甲、乙两船的速度、行驶的方向应该是一样的，即甲、乙两船以相等的速度都向西运动．故选D.12．(多选)“神舟十号”飞船发射升空，并进入预定轨道，通过一系列的姿态调整，完成了与“天宫一号”的交会对接，关于以上消息，下列说法中正确的是()A．“神舟十号”飞船绕地球飞行一周的过程中，路程为零B．“神舟十号”飞船绕地球飞行一周的过程中，位移为零C．“神舟十号”飞船绕地球飞行一周的过程中，每一时刻的瞬时速度和平均速度都不为零D．在“神舟十号”与“天宫一号”的交会对接过程中，不能把“神舟十号”飞船看做质点答案BD13．(多选)在下面所说的物体运动情况中，可能出现的是()A．物体在某时刻运动速度很大，而加速度为零B．物体在某时刻运动速度很小，而加速度很大C．运动的物体在某时刻速度为零，而其加速度不为零D．做变速直线运动的物体，加速度方向与运动方向相同，当物体加速度减小时，它的速度也减小答案ABC。

6 匀变速直线运动位移与时间的关系 课时1 位移与时间的关系式及应用[学习目标] 1.理解位移公式的意义和导出过程.2.能运用位移公式解决有关问题.一、匀速直线运动的位移 1.位移公式：x ＝v t .2.位移在v －t 图像中的表示：对于匀速直线运动,物体的位移在数值上等于v －t 图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积.如图1所示阴影图形的面积就等于物体在t 1时间内的位移.图1二、匀变速直线运动的位移1.位移在v －t 图像中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v －t 图线与时间轴所包围的梯形面积.如图2所示,阴影图形面积等于物体在t 1时间内的位移.图22.公式：x ＝v 0t ＋12at 2.1.判断下列说法的正误.(1)位移公式x ＝v 0t ＋12at 2仅适用于匀加速直线运动.(×)(2)初速度越大,时间越长,匀变速直线运动物体的位移一定越大.(×) (3)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关.(√)2.某质点的位移随时间的变化关系是x ＝(4t ＋4t 2) m,则质点的初速度是v 0＝______ m /s,加速度a ＝______ m/s 2,2 s 内的位移为________ m.【参考答案】4 8 24一、匀变速直线运动的位移时间关系式如图3所示,为某物体做匀变速直线运动的v －t 图像.已知初速度为v 0,在t 时刻的速度为v t ,加速度为a .(1)把匀变速直线运动的v －t 图像分成几个小段,如图3所示.每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形的面积.故整个过程的位移≈各个小矩形的面积之和.图3(2)把运动过程划分为更多的小段,如图4所示,各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移.图4(3)把整个运动过程分得非常细,很多小矩形合在一起形成了一个梯形OABC ,如图5所示,梯形面积就代表物体在相应时间内的位移. 如图所示,v －t 图线下面梯形的面积 S ＝12(OC ＋AB )·OA图5把面积及各条线段换成其所代表的物理量,上式变成 x ＝12(v 0＋v t )t ①又因为v t ＝v 0＋at ② 由①②式可得 x ＝v 0t ＋12at 2.1.公式的适用条件：位移公式x ＝v 0t ＋12at 2只适用于匀变速直线运动.2.公式的矢量性：x ＝v 0t ＋12at 2为矢量公式,其中x 、v 0、a 都是矢量,应用时必须选取统一的正方向.一般选v 0的方向为正方向.(1)a ：匀加速直线运动中,a 与v 0同向,a 取正值；匀减速直线运动中,a 与v 0反向,a 取负值. (2)若位移的计算结果为正值,说明位移方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值,说明位移方向与规定的正方向相反. 3.两种特殊形式(1)当v 0＝0时,x ＝12at 2,即由静止开始的匀加速直线运动,位移x 与t 2成正比.(2)当a ＝0时,x ＝v 0t ,即匀速直线运动的位移公式.例1 一物体做初速度为零的匀加速直线运动,加速度为a ＝2 m/s 2,求： (1)第5 s 末物体的速度多大？ (2)前4 s 的位移多大？ (3)第4 s 内的位移多大？【参考答案】(1)10 m/s (2)16 m (3)7 m 解析 (1)由v 1＝v 0＋at 1得第5 s 末物体的速度v 1＝0＋2×5 m /s ＝10 m/s. (2)由x 1＝v 0t ＋12at 2得前4 s 的位移x 1＝0＋12×2×42 m ＝16 m.(3)物体第3 s 末的速度v 2＝v 0＋at 2＝0＋2×3 m /s ＝6 m/s 则第4 s 内的位移x 2＝v 2t 3＋12at 32＝6×1 m ＋12×2×12 m ＝7 m.针对训练1 一质点做匀变速直线运动,第3 s 内的位移为12 m,第5 s 内的位移为20 m,则该质点运动过程中( ) A.初速度大小为零 B.加速度大小为4 m/s 2 C.5 s 内的位移为50 m D.第4 s 内的平均速度为8 m/s【参考答案】B解析 第3 s 内的位移等于前3 s 内位移与前2 s 内位移之差,即Δx 3＝x 3－x 2＝12 m, 代入数据得v 0×3＋12a ×32－(v 0×2＋12a ×22)＝12①同理可得：v 0×5＋12a ×52－(v 0×4＋12a ×42)＝20②联立①②解得v 0＝2 m /s,a ＝4 m/s 2,故A 错误,B 正确；5 s 内的位移为x ＝v 0t 5＋12at 52＝60 m,C错误；第4 s 内的位移为Δx 4＝x 4－x 3＝v 0t 4＋12at 42－(v 0t 3＋12at 32)＝16 m,则第4 s 内的平均速度v ＝Δx 4t ＝161 m /s ＝16 m/s,D 错误.二、刹车问题分析例2 一辆汽车正在平直的公路上以72 km /h 的速度行驶,司机看见红色信号灯便立即踩下制动器,此后,汽车开始做匀减速直线运动.设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s 2,求： (1)开始制动后,前2 s 内汽车行驶的距离； (2)开始制动后,前5 s 内汽车行驶的距离. 【参考答案】(1)30 m (2)40 m解析 汽车的初速度v 0＝72 km /h ＝20 m/s,末速度v ＝0,加速度a ＝－5 m/s 2；汽车减速到静止的总时间t ＝v －v 0a ＝0－20 m/s－5 m/s 2＝4 s.(1)因为t 1＝2 s<t ,所以汽车2 s 末没有停止运动 故x 1＝v 0t 1＋12at 12＝(20×2－12×5×22) m ＝30 m.(2)因为t 2＝5 s>t ,所以汽车5 s 时早已停止运动 故x 2＝v 0t ＋12at 2＝(20×4－12×5×42) m ＝40 m.刹车类问题的处理思路实际交通工具刹车后在摩擦力作用下可认为是做匀减速直线运动且运动过程不可逆,当速度减小到零时,车辆就会停止.解答此类问题的思路是： (1)先求出它们从刹车到静止的刹车时间t 刹＝v 0a.(2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间,最后再利用运动学公式求解.若t >t 刹,不能盲目把时间代入,若t <t 刹,则在t 时间内未停止运动,可用公式求解.针对训练2 汽车以20 m /s 的速度做匀速直线运动,某时刻关闭发动机而做匀减速直线运动,加速度大小为5 m/s 2,则它关闭发动机后通过37.5 m 所需时间为( )A.3 sB.4 sC.5 sD.6 s 【参考答案】A解析 根据x ＝v 0t ＋12at 2,将v 0＝20 m /s,a ＝－5 m/s 2,x ＝37.5 m.代入得：t 1＝3 s,t 2＝5 s但因开始刹车到静止所用时间t 0＝0－v 0a ＝4 s,所以t 2＝5 s 应舍去,故只有选项A 正确.三、逆向思维法解题在处理末速度为零的匀减速直线运动时,为了方便解题,可以采用逆向思维法,将该运动对称地看成逆向的加速度大小相等的初速度为零的匀加速直线运动.例3 物体做匀减速直线运动,初速度为10 m /s,加速度大小为1 m/s 2,则物体在停止运动前1 s 内的平均速度为( ) A.5.5 m /s B.5 m/s C.1 m /s D.0.5 m/s【参考答案】D解析 物体减速时间t 0＝0－10 m/s－1 m/s 2＝10 s该匀减速直线运动的逆运动为：初速度为零、加速度为a ′＝1 m/s 2的匀加速直线运动,则原运动物体停止运动前1 s 内的位移与逆运动第1 s 内的位移相等.由x ＝12a ′t 2＝12×1×12 m ＝0.5 m,故物体停止运动前1 s 内的平均速度v ＝xt＝0.5 m/s,选项D 正确.对于末速度为0的匀减速直线运动.采用逆向思维法后,速度公式和位移公式变为v ＝at ,x ＝12at 2,计算更为方便.1.(位移公式)一辆汽车以2 m/s 2的加速度做匀减速直线运动,经过2 s(汽车未停下),汽车行驶了36 m.汽车开始减速时的速度是( ) A.9 m /s B.18 m/s C.20 m /s D.12 m/s【参考答案】C解析 由x ＝v 0t ＋12at 2,将x ＝36 m,a ＝－2 m /s 2,t ＝2 s,代入解得：v 0＝20 m/s,选项C 正确.2.(位移公式和速度公式)飞机起飞的过程是由静止开始在平直跑道上做匀加速直线运动的过程.飞机在跑道上加速到某速度值时离地升空飞行.已知飞机在跑道上加速前进的距离为 1600 m,所用时间为40 s,则飞机的加速度a 和离地速度v 分别为( ) A.2 m /s 2 80 m/s B.2 m /s 2 40 m/s C.1 m /s 2 40 m/s D.1 m /s 2 80 m/s【参考答案】A解析 根据x ＝12at 2得a ＝2x t 2＝2×1 600402m /s 2＝2 m/s 2,飞机离地速度为v ＝at ＝2×40 m /s ＝80 m/s.3.(逆向思维法的应用)(多选)用相同材料做成的A 、B 两木块的初速度之比为2∶3,它们以相同的加速度在同一粗糙程度相同的水平面上沿直线滑行直至停止,则它们滑行的( ) A.时间之比为1∶1 B.时间之比为2∶3 C.距离之比为4∶9 D.距离之比为2∶3 【参考答案】BC解析 由匀变速直线运动的速度公式v ＝v 0＋at ,得t ＝v －v 0a ＝－v 0a ,因为加速度相同,因此运动时间之比就等于初速度之比,选项A 错误,B 正确；将其看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动,根据位移公式x ＝12at 2,知位移之比等于运动时间的平方之比,选项C 正确,D 错误.4.(刹车问题)一辆卡车紧急刹车过程加速度的大小是5 m /s 2,如果在刚刹车时卡车的速度为10 m/s,求：(1)刹车开始后1 s 内的位移大小；(2)刹车开始后3 s 内的位移大小和3 s 内的平均速度大小. 【参考答案】(1)7.5 m (2)10 m103m/s 解析 (1)v 0＝10 m /s,a ＝－5 m/s 2,设经时间t 0停下 t 0＝0－v 0a ＝0－10－5 s ＝2 st 1＝1 s,x 1＝v 0t 1＋12at 12解得x 1＝7.5 m.(2)t 2＝3 s 时的位移大小等于前2 s 内的位移大小 x 2＝v 0t 0＋12at 02＝10 m3 s 内的平均速度v ＝x 2t 2＝103 m/s.一、选择题1.(多选)一质点以一定的初速度向东做匀变速直线运动,其位移与时间的关系为x ＝10t －t 2 (m),则( )A.质点初速度为10 m/sB.质点的加速度大小是1 m/s 2C.2 s 末的速度为6 m/sD.在2 s 末,质点在出发点西边,距出发点24 m 【参考答案】AC2.一物体由静止开始做匀变速直线运动,在时间t 内通过的位移为x ,则它从出发开始经过4x 的位移所用的时间为( ) A.t 4 B.t2 C.2t D.4t 【参考答案】C解析 由x ＝12at 2和4x ＝12at ′2得：t ′＝2t ,故C 对.3.一个物体由静止开始做匀加速直线运动,第1 s 末的速度达到4 m/s,物体在第2 s 内的位移是( ) A.6 m B.8 m C.4 m D.1.6 m【参考答案】A解析 根据速度公式v 1＝at ,得a ＝v 1t ＝41 m /s 2＝4 m/s 2.第1 s 末的速度等于第2 s 初的速度,所以物体在第2 s 内的位移x 2＝v 1t ＋12at 2＝4×1 m ＋12×4×12 m ＝6 m.故选A.4.一质点由静止开始做匀加速直线运动,它在第10 s 内的位移为19 m,则其加速度大小为( ) A.1.9 m /s 2 B.2.0 m/s 2 C.9.5 m /s 2 D.3.0 m/s 2 【参考答案】B解析 由x ＝12at 2,第10 s 内位移等于前10 s 内位移与前9 s 内的位移之差,故12a ×(10 s)2－12a ×(9 s)2＝19 m,得a ＝2.0 m/s 2,选项B 正确.5.一辆汽车以20 m /s 的速度沿平直公路匀速行驶,突然发现前方有障碍物,立即刹车,汽车以大小为5 m/s 2的加速度做匀减速直线运动,那么刹车后2 s 内与刹车后6 s 内汽车通过的位移大小之比为( )A.1∶1B.3∶4C.3∶1D.4∶3 【参考答案】B解析 汽车的刹车时间t 0＝205 s ＝4 s,故刹车后2 s 及6 s 内汽车的位移大小分别为x 1＝v 0t 1＋12at 12＝20×2 m ＋12×(－5)×22 m ＝30 m,x 2＝20×4 m ＋12×(－5)×42 m ＝40 m,x 1∶x 2＝3∶4,B 正确.6.一列火车从静止开始做匀加速直线运动,一人站在第一节车厢前端的旁边观测,第一节车厢通过他历时2 s,整列车厢通过他历时6 s,则这列火车的车厢有( ) A.3节 B.6节 C.9节 D.12节 【参考答案】C解析 设一节车厢长为L ,则L ＝12at 12,nL ＝12at 22.将t 1＝2 s,t 2＝6 s 代入上面两式解得：n ＝9,选项C 正确.7.(多选)由静止开始做匀加速直线运动的火车,在第10 s 末的速度为2 m/s,下列叙述中正确的是( )A.前10 s 内通过的位移为10 mB.每秒速度变化0.2 m/sC.10 s 内平均速度为1 m/sD.第10 s 内的位移为2 m 【参考答案】ABC解析 由v t ＝at ,得a ＝0.2 m/s 2,故前10 s 内的位移x ＝12at 2＝12×0.2×102 m ＝10 m,选项A 、B正确.10 s 内平均速度v ＝x t ＝1010 m /s ＝1 m/s,选项C 正确.t ＝10 s 时,x 10＝12at 2－12a (t －1)2＝1.9 m,选项D 错误.8.一辆汽车做匀速直线运动,某时刻遇到紧急情况需刹车,刹车后的第1秒内运动了8 m,第2秒内运动了4 m,关于汽车的运动和刹车过程,下列说法正确的是( ) A.汽车匀速运动时的速度是8 m/s B.汽车刹车时的加速度大小是2 m/s 2 C.汽车刹车后3秒末的加速度为0 D.汽车刹车后运动的距离是16 m 【参考答案】C解析 由位移时间公式可知,v 0×1＋12a ×12＝8①v 0×2＋12a ×22－8＝4②由①②联立得v 0＝10 m /s,a ＝－4 m/s 2,A 、B 错误.刹车减速到零所需时间t ＝0－v 0a ＝0－10－4 s ＝2.5 s,故刹车后3 s 末的速度为零,加速度也为零,故C 正确.刹车后的运动距离为x ＝v 0t ＋12at 2＝10×2.5 m －12×4×2.52 m ＝12.5 m,故D 错误.二、非选择题9.一滑块自静止开始,从斜面顶端匀加速下滑(斜面足够长),第5 s 末的速度是6 m/s,试求： (1)第4 s 末的速度大小； (2)运动后7 s 内的位移大小； (3)第3 s 内的位移大小.【参考答案】(1)4.8 m/s (2)29.4 m (3)3 m 解析 (1)v 4∶v 5＝at 4∶at 5＝4∶5 则第4 s 末的速度为v 4＝45v 5＝4.8 m/s.(2)a ＝65m /s 2＝1.2 m/s 2x 7＝12at 72＝12×1.2×72 m ＝29.4 m.(3)第3 s 内的位移大小x Ⅲ＝x 3－x 2＝12at 32－12at 22＝(12×1.2×32－12×1.2×22) m ＝3 m.10.汽车以v 0＝10 m /s 的速度在水平路面上匀速直线运动,刹车后经过2 s 速度变为6 m/s,若将刹车过程视为匀减速直线运动,求：(1)从开始刹车起,汽车在6 s 内发生的位移大小； (2)汽车静止前2 s 内通过的位移大小. 【参考答案】(1)25 m (2)4 m解析 (1)汽车刹车时的加速度：a ＝v －v 0t ＝6－102 m /s 2＝－2 m/s 2,则汽车速度减为零所需的时间：t 0＝0－v 0a ＝－10－2s ＝5 s ＜6 s.则6 s 内的位移等于5 s 内的位移：x ＝v 0t 0＋12at 02＝10×5 m －12×2×52 m ＝25 m.(2)采用逆向思维,汽车在静止前2 s 内的位移：x ′＝12a ′t ′2＝12×2×22 m ＝4 m.。

第15点 牛顿运动定律在临界和极值问题中的应用在某些物理情景中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具有最大值或最小值．这类问题称为临界、极值问题．临界、极值问题是动力学中的常见问题，常用的解决方法有：(1)极限法：在题目中如出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，一般隐含着临界问题，处理这类问题时，可把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)显现出来，达到快速求解的目的．(2)假设法：有些物理过程中没有明显出现临界状态的线索，但在变化过程中有可能出现临界状态，也可能不出现临界状态，解答这类问题，一般用假设法．(3)数学方法：将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式求解得出临界条件．对点例题 一个质量为m 的小球B ，用两根等长的细绳1、2分别固定在车厢的A 、C 两点，如图1所示，已知两绳拉直时，两绳与车厢前壁的夹角均为45°.试求：图1(1)当车以加速度a 1＝12g 向左做匀加速直线运动时1、2两绳的拉力的大小； (2)当车以加速度a 2＝2g 向左做匀加速直线运动时，1、2两绳的拉力的大小． 解题指导 设当细绳2刚好拉直而无张力时，车的加速度为向左的a 0，由牛顿第二定律得 F 1cos 45°＝mgF 1sin 45°＝ma 0可得：a 0＝g .(1)因a 1＝12g <a 0，故细绳2松弛，拉力为零，设此时细绳1与车厢前壁夹角为θ，有： F 11cos θ＝mgF 11sin θ＝ma 1得F 11＝52mg . (2)因a 2＝2g >a 0，故细绳1、2均张紧，设拉力分别为F 12、F 22，由牛顿第二定律得⎩⎪⎨⎪⎧F 12cos 45°＝F 22cos 45°＋mg F 12sin 45°＋F 22sin 45°＝ma 2 解得F 12＝322mg F 22＝22mg . 答案 (1)52mg 0 (2)322mg 22mg 特别提醒 求解此类问题时，一定要找准临界点，从临界点入手分析物体的受力情况和运动情况，看哪些量达到了极值，然后对临界状态应用牛顿第二定律结合整体法、隔离法求解即可．(多选)如图2所示，完全相同的磁铁A 、B 分别位于铁质车厢的竖直面和水平面上，A 、B 与车厢间的动摩擦因数均为μ，小车静止时，A 恰好不下滑，现使小车加速运动，为保证A 、B 无滑动，则( )图2A ．速度可能向左，加速度可小于μgB ．加速度一定向右，不能超过(1＋μ)gC ．加速度一定向左，不能超过μgD ．加速度一定向左，不能超过(1＋μ)g答案 AD解析 小车静止时，A 恰好不下滑，所以对A 有：mg ＝μF 引，当小车加速运动时，为了保证A 不下滑，有N ≥F 引，则N －F 引＝ma ，故加速时加速度一定向左，B 错误．对B 有μ(mg ＋F 引)＝ma m ，解得a m ＝(1＋μ)g ，故A 、D 正确，C 错误．第16点 动力学中的传送带问题1．模型特征一个物体以速度v 0(v 0≥0)在另一个匀速运动的物体上开始运动的力学系统可看做“传送。

人教版（2019）物理必修第一册《运动的描述》全章知识点梳理1.1质点参考系1．机械运动和质点(1)机械运动：物体的空间位置随时间的变化，是自然界中最简单、最基本的运动形态，叫作机械运动。

(2)质点的概念：在某些情况下，可以忽略物体的大小和形状，把它简化为一个具有质量的点，这样的点叫作质点。

(3)物体看成质点的另一种情况：物体上各点的运动情况完全相同，从描述运动的角度看，物体上任意一点的运动完全能反映整个物体的运动。

(4)质点的特点①质点不同于几何“点”。

质点是忽略了物体的大小和形状，代替物体的有质量的点，其特点是具有质量，没有大小、体积、形状，它与几何“点”有本质的区别。

②质点是一个理想化的物理模型。

质点是对实际物体的科学抽象，它突出了问题的主要因素，忽略次要因素，在现实中是不存在的。

③一个物体能否看成质点是由所要研究的问题决定的。

同一个物体，由于所要研究的问题不同，有时可以看成质点，有时不能看成质点。

2．参考系(1)运动与静止：自然界的一切物体都处于永恒的运动中，绝对静止的物体是不存在的，即运动是绝对的，静止是相对的。

(2)运动的相对性：描述某个物体的位置随时间的变化时，总是相对于其他物体而言的。

如果两个物体运动的快慢相同，方向相同，我们就说这两个物体是相对静止的。

(3)参考系的定义：在描述物体的运动时，用来作为参考的物体。

(4)参考系的四个性质①标准性：被选为参考系的物体都是假定不动的，被研究的物体是运动还是静止，都是相对于参考系而言的。

②任意性：参考系可以任意选择。

参考系的选取一般以观察方便和使运动的描述尽可能简单为原则。

通常在研究地面上物体的运动时，如果不特殊说明，则默认以地面为参考系。

③统一性：比较多个物体的运动或研究同一物体在不同阶段的运动时应选择同一个参考系。

④差异性：对于同一个物体，选择不同的参考系，观察结果一般不同。

1.2时间位移一、时刻和时间间隔1．时刻：表示某一瞬间，在时间轴上用点表示，如第2 s末、第8 s初等均为时刻．2．时间间隔：表示两个时刻之间的时间．在时间轴上用线段表示，如前4 s内(0至4 s末)、第4 s内(3 s 末至4 s末)等均为时间间隔．二、位置和位移1．坐标系(1)建立目的：定量描述物体的位置及位置的变化．(2)坐标系的三要素：原点、正方向和单位长度．(3)常见的坐标系的种类：直线坐标系、平面坐标系和空间坐标系．2．路程：物体运动轨迹的长度．3．位移(1)物理意义：表示物体(质点)位置变化的物理量．(2)定义：从初位置到末位置的一条有向线段．(3)大小：初、末位置间有向线段的长度．(4)方向：由初位置指向末位置．4．矢量和标量(1)矢量：既有大小又有方向的物理量，如位移等．(2)标量：只有大小、没有方向的物理量，如质量、时间、路程等．三、直线运动的位移研究直线运动时，在物体运动的直线上建立x轴，如图所示．1．物体的初、末位置：可用位置坐标x1、x2表示．2．物体的位移：Δx＝x2－x1．若Δx为正，表示位移方向与x轴正方向相同；若Δx为负，表示位移方向与x轴正方向相反．四、位移－时间图象(1)物理意义：直观地表示物体在每一时刻的位置或每一时间间隔的位移．(2)图象的建立：在直角坐标系中选时间t为横轴，选位置x为纵轴，其上的图线就是位置－时间图象；如果将物体运动的初始位置选作坐标原点O，则图象就成为位移－时间图象．五、位移和时间的测量1．生活中：可以用照相的方法记录物体的位置，用钟表记录物体运动的时刻，也可以用频闪照相的方法同时记录物体运动的时刻和位置．2．实验：练习使用打点计时器(1)打点计时器的原理及使用(2)操作流程 ①连接装置； ②接通电源； ③拉动纸带； ④关闭电源； ⑤处理数据； ⑥误差分析．1.3位置变化快慢的描述——速度一、速度 1．定义物理学中用位移与发生这段位移所用时间之比表示物体运动的快慢，这就是速度(velocity)．用字母v 表示． 2．公式：tx v ∆∆= 3．单位在国际单位制中，速度的单位是米每秒，符号是m/s 或m ·s －1.常用的单位还有千米每时(km/h 或km ·h －1)、厘米每秒(cm/s 或cm ·s －1)等． 4．矢标性速度是矢量，它既有大小，又有方向．速度的方向(物体运动的方向)和位移的方向相同． 5．物理意义速度是描述物体运动快慢的物理量． 二、平均速度和瞬时速度 1．平均速度(1)概念：由求得的速度v ，表示的只是物体在时间Δt 内运动的平均快慢程度，叫作平均速度(average velocity)． (2)公式tx v ∆∆=(3)矢标性：是矢量，方向与Δt 时间内发生的位移的方向相同． 2．瞬时速度(1)概念：用由时刻t 到t ＋Δt 一小段时间内的平均速度来代替时刻t 物体的速度，当Δt 非常非常小时，运动快慢的差异可以忽略不计，此时，我们就把叫作物体在时刻t 的瞬时速度(instantaneous velocity)．(2)匀速直线运动是瞬时速度保持不变的运动．在匀速直线运动中，平均速度与瞬时速度相等．3．速率瞬时速度的大小通常叫作速率(speed)．速率是标量．三、速度—时间图像1．概念以时间t为横轴，速度v为纵轴，坐标中的图像即为速度—时间图像或v—t图像．2．V—t图像的建立(1)用横轴表示时间t，纵轴表示速度v，建立直角坐标系．(2)根据测量的速度v、时间t数据在坐标系中描点．(3)用平滑的曲线把这些点连接起来，即得到如图所示的v t图像．3.物理意义V—t图像非常直观地反映了物体运动的速度随时间变化的规律，它并不表示物体运动的轨迹．四、由x－t图象分析物体的运动1．斜率与速度若物体做匀速直线运动，则x－t图象是一条倾斜的直线．斜率的大小表示速度的大小，斜率的正、负表示物体的运动方向，如图中的a、b所示．若x－t图象为平行于时间轴的直线，表示物体处于静止状态，如图中的c所示．2．截距与初始位置纵轴截距表示运动物体的初始位置，如图所示，a、b物体分别是从原点、x2处开始运动．3．交点的含义图线的交点表示相遇，如图中的交点表示a、b、c三个物体在t1时刻在位移x1的位置处相遇．4．注意事项(1)x－t图象只能用来描述直线运动．(2)x－t图象表示的是位移x随时间t变化的情况，不是物体运动的轨迹．(3)图线上某点切线的斜率的大小表示物体速度的大小． (4)图线上某点切线的斜率的正、负表示物体速度的方向． 五、由v －t 图象表示速度的变化规律1．由图象能看出每一时刻对应的瞬时速度．瞬时速度为正，说明物体沿选定的正方向运动，如图中的1、4、5图线；瞬时速度为负，说明物体沿与选定的正方向相反的方向运动，如图中的2、3图线．2．根据图线斜率判断物体的运动性质．若图线平行于t 轴，则表示物体做匀速直线运动，如图中所示的1、2图线；若图线不平行t 轴，则表示物体做变速运动，如图中的3、4、5图线，且倾斜程度越大，即斜率的绝对值越大，表示速度变化越快． 3．截距v －t 图象在纵轴上的截距表示初始时刻物体的瞬时速度，横轴截距表示物体速度为零的时刻．4．图线交点：两条图线相交，交点表示两物体此时的瞬时速度相同． 5．由v －t 图象求位移物体在某段时间内的位移可以用其v －t 图线与时间轴所围的面积来表示(如图中阴影所示)．若所围的面积在t 轴上方，对应的位移为正；若所围的面积在t 轴下方，则对应的位移为负(第二章会再学习)。