映射的概念

映射基础知识一、映射1.映射概念定义设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,么称f为从X到Y的映射, 记作f:x→y,其中y称为元素x(在映射/下)的像,并记作f(x),即y=f(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;集合X称为映射f的定义域,记作D,即D=X;X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,记作R或f(X),即R=f(X)=f(x)lx∈X从上述映射的定义中,需要注意的是:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素:集合X,即定义域D=X;集合Y,即值域的范围:R,Cy;对应法则f,使对每个x∈X,有唯一确定的y=f(x)与之对应(2)对每个x∈X,元素x的像y是唯一的;而对每个y∈R,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域R是Y的一个子集,即Rcy,不一定R=y2.逆映射与复合映射设f是X到Y的单射,则由定义,对每个y∈R,有唯一的x∈X,适合f(x)=y.于是,我们可定义一个从R到X的新映射g,即g:R→X,对每个y∈R,规定g(y)=x,这x满足f(x)=y个映射g称为f的逆映射,记作f, 其定义域D=R,值域R=X.按上述定义,只有单射才存在逆映射.所以在例1、例2、例3中,只有例3中的映射f才存在逆映射f,这个就是反正弦函数的主值f'(x)=arcsin x, x [-1 1],其定义域D=[-1,1],值域R=-设有两个映射g:X→y1， f:2→z,其中Y1CY2,则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则,它将每个x∈X映成fg(x)]∈Z.显然,这个对应法则确定了一个从X到Z的映射,这个映射称为映射g和f构成的复合映射,记作fg,即fg:→z,(fg)(x)=fg(x)],x∈X.由复合映射的定义可知,映射g和f构成复合映射的条件是:g的值域R必须包含在f的定义域内,即RCD否则,不能构成复合映射.由此可以知道,映射g和f的复合是有顺序的,fg有意义并不表示gf也有意义即使fg与gf都有意义,复合映射fg与gf也未必相同。

函数、映射的概念•1、映射：（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。

（2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。

2、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x ∈A}叫做函数f（x）的值域。

显然值域是集合B的子集。

3、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。

值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。

4、函数的表示方法：（1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法；（2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。

注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。

•映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。

映射的知识点总结一、映射的定义在数学中，映射被定义为一种从一个集合到另一个集合的元素之间的关系。

设A和B是两个集合，如果存在一个规则f，使得对A中的每一个元素a，都有一个唯一确定的元素b∈B与之对应，则称f是从A到B的一个映射，记作f:A→B。

在这里，A称为定义域，B称为值域，f(a)称为元素a的像，b称为元素a的原像。

映射的定义也可以用集合的语言来描述。

即映射是一个集合到另一个集合的元素之间的规则，使得集合中的每一个元素有且只有一个唯一确定的对应元素。

这种描述映射的方式更加直观，容易理解。

二、映射的性质1. 单射如果映射f：A→B的不同元素a1、a2∈A，若f(a1)≠f(a2)，则称f是单射。

直观地说，单射表示A中的不同元素映射后得到的像也是不同的，即不会出现多个元素映射到一个元素上。

2. 满射如果映射f：A→B的任意元素b∈B，都存在一个元素a∈A，使得f(a)=b，即值域与B相等，则称f是满射。

满射表示在映射中，值域中的每一个元素都有至少一个原像。

3. 双射如果映射f：A→B既是单射又是满射，则称f是双射。

双射表示映射是一种一一对应的关系，每一个元素都有唯一的对应元素。

4. 逆映射设f：A→B是一个双射，那么存在一个映射f^-1：B→A，使得对于任意元素b∈B，f^-1(b)是唯一与b对应的元素，称f^-1是f的逆映射。

5. 复合映射设f：A→B和g：B→C是两个映射，其中f的值域是g的定义域，那么可以定义f和g的复合映射为g∘f:A→C，它的定义规则是(g∘f)(a)=g(f(a))。

6. 映射的像和原像对于映射f：A→B，其中元素b∈B，称元素b在映射f下的像为f^-1(b)={a∈A|f(a)=b}，即元素b对应的所有原像所构成的集合。

而元素a∈A，称元素a在映射f下的原像为f(a)。

三、映射的分类根据映射的性质，可以将映射分为不同的类型。

1. 根据值域的大小，映射可以分为有限映射和无限映射。

明目标、知重点 1.了解映射的概念，能够判定一些简单的对应是不是映射.2.通过对映射特殊化的分析，揭示出映射与函数之间的内在联系．1．映射的概念一般地，设A、B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B 中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B.2．映射与函数的关系由映射的概念可以看出，映射是函数概念的推广，特殊在函数概念中，A、B为两个非空数集．[情境导学]大家想一想，如果我们都没有名字，这个世界将会怎样？一个人可以有小名，有笔名，有外号，有学名，是一人多名，也可能是多人一名，但为了便于管理，政府部门规定，每人只能有一个法定的名字，这样，每个人都有了唯一确定的身份证上的名字，人与名字的关系是集合到集合的一种确定的对应．在数学里，把这种集合到集合的确定性的对应说成映射．探究点一映射的概念思考1在初中我们已经学过对应法则，生活中还有很多在两个集合之间建立单值对应的例子，你能举出几个？答对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x，y)和它对应；对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位和它对应．思考2两变量的函数关系实质上是一种对应法则，其对应有何特点？答函数是建立在两个非空数集间的一种对应．思考3函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的两集合中的元素之间的对应法则，即映射．那么，你能给映射下个定义吗？答一般地，设A、B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做从集合A到集合B的映射．记作f：A→B.思考4映射与函数有什么区别与联系？答映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射，函数是映射，但映射不一定是函数．例1下图所示的对应中，哪些是从A到B的映射？解根据映射的定义，可以知道上述图中，(4)的对应是A到B的映射，(1)、(2)、(3)的对应不是A到B的映射．反思与感悟对于映射f：A→B，A中元素与B中元素的对应法则，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．跟踪训练1下图表示集合A到集合B的映射的是______．答案(1)(4)探究点二映射概念的应用例2已知(x，y)在映射f的作用下的象是(x＋y，xy)．(1)求(1，－2)在f作用下的象；(2)若在f作用下的象是(2,1)，求它的原象．解(1)因为1－2＝－1,1×(－2)＝－2，所以，(1，－2)在f作用下的象是(－1，－2)．⎧⎧⎪x＋y＝2⎪x＝1(2)设它的原象是(x，y)，则有：⎨，解得：⎨.⎪xy＝1⎪⎩⎩y＝1所以，原象是(1,1)．反思与感悟由映射的定义可知：集合B可以有剩余的元素在A中没有原象，但集合A中每一个元素在B中都有象，不能有剩余的元素．跟踪训练2已知(x，y)在映射f的作用下的象是(x＋y，x－y)．(1)求(2，－2)在f作用下的象；(2)若在f作用下的象是(3，－1)，求它的原象．解(1)因为x＝2，y＝－2，所以x＋y＝0，x－y＝4，从而得(2，－2)在f作用下的象为(0,4)．⎧⎧⎪x＋y＝3，⎪x＝1，(2)由⎨得⎨即所求的原象为(1,2)．⎪x－y＝－1，⎪⎩⎩y＝2.探究点三映射与函数的关系例3给出下列四个对应法则：①A＝N*，B＝Z，f：x→y＝2x－3；②A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{y|y∈N*，y≤5}，f：x→y＝|x－1|；③A＝{x|x≥2}，B＝{y|y＝x2－4x＋3}，f：x→y＝x－3；④A＝N，B＝{y∈N*|y＝2x－1，x∈N*}，f：x→y＝2x－1.上述四个对应中是函数的有________．(填序号)答案①③反思与感悟判断两个集合之间的对应是否构成函数，首先应判断能否构成映射，且构成映射的两个集合之间对应必须是非空数集之间的对应．跟踪训练3设集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,9,25,49,81,100}，下面的函数关系式能构成A 到B的映射的有________．(填序号)①y＝(2x－1)2；②y＝(2x－3)2；③y＝2x－1；④y＝(x－1)2.答案④解析函数的定义域为A，对应的值域为B，只有④y＝(x－1)2满足x＝2,4,6,8,10时，对应的函数值分别为1,9,25,49,81.只有集合B中的元素100剩余，满足映射的定义中对A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应．1．从集合A到集合B的对应：＋①A＝R，B＝R，f：求绝对值；②A＝R，B＝R，f：开平方根；③A＝{平面内的点}，B＝{平面内的圆}，f：在平面内以A中的点为圆心画圆．其中是映射的个数是________．答案0解析①中，集合A的元素0在集合B中找不到对应的元素，所以①不是映射；②中，集合A中的元素4在集合B中有两个元素2和－2与之对应且负数没有平方根，不满足映射的定义；③中，由于圆的半径没有限制，所以一个圆心对应着无数个圆，所以③也不是映射．2．集合A和集合B都是实数集R，映射f：A→B是把集合A中的元素x对应到集合B中元素x3－x＋1，则映射f下象1的原象所组成的集合是________．答案{0，－1,1}解析由x3－x＋1＝1，得x＝0，－1,1.3．已知A＝{x，y，z}，B＝{2,3}，从A到B建立映射f，使得f(x)＋f(y)＋f(z)＝7，则满足条件的映射有________个．答案3解析∵f(x)＝f(y)＝2，f(z)＝3；f(x)＝f(z)＝2，f(y)＝3；f(y)＝f(z)＝2，f(x)＝3，所以满足条件的映射有3个．4．设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤4}，则下述对应法则f中，不能构成从A到B的映射的是________．(填序号)①f：x→y＝x2；②f：x→y＝3x－2；③f：x→y＝－x＋4；④f：x→y＝4－x2.答案④解析对于④，当x＝2时，由对应法则y＝4－x2得y＝0，在集合B中没有元素与之对应，所以④不能构成从A到B的映射．[呈重点、现规律]1．映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的．2．对应、映射、函数三个概念既有区别又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．3．判断一个对应是否是映射，主要看第一个集合A中的每一个元素在对应法则下是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一，若唯一则这个对应就是映射.一、基础过关1．设f：A→B是从集合A到集合B的映射，则下面说法正确的是________．(填序号)①A中的每一个元素在B中必有元素与之对应；②B中每一个元素在A中必有元素与之对应；③A中的一个元素在B中可以有多个元素与之对应；④A中不同元素在B中对应的元素可能相同．答案①④解析根据映射的定义，只有①④符合．2．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，则下列能表示从P到Q的映射的是________．(填序号)1①f：x→y＝x；21②f：x→y＝x；32③f：x→y＝x；3④f：x→y＝x.答案①②④解析如果从P到Q能表示一个映射，根据映射的定义，对P中的任一元素，按照对应法28则f在Q中有唯一元素和它对应，③中，当x＝4时，y＝×4＝Q.333．下列集合A到集合B的对应中，不能构成映射的是________．(填序号)答案①②③解析①、②中的元素2没有对应的元素；③中1的对应元素有两个；只有④满足映射的定义．4．下列集合A，B及对应法则能构成函数的是________．(填序号)①A＝B＝R，f(x)＝|x|；1②A ＝B ＝R ，f (x )＝；x③A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6,7}，f (x )＝x ＋3；④A ＝{x |x >0}，B ＝{1}，f (x )＝x 0.答案①③④解析在②中f (0)无意义，即A 中的数0在B 中找不到和它对应的数．5．给出下列两个集合之间的对应法则，回答问题：①A ＝{你们班的同学}，B ＝{体重}，f ：每个同学对应自己的体重；②M ＝{1,2,3,4}，N ＝{2,4,6,8}，f ：n ＝2m ，n ∈N ，m ∈M ；③M ＝R ，N ＝{x |x ≥0}，f ：y ＝x 4；④A ＝{中国，日本，美国，英国}，B ＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f ：对于集合A 中的每一个国家，在集合B 中都有一个首都与它对应．上述四个对应中映射的个数为______，函数的个数为______．答案42解析①、②、③、④都是映射；②、③是函数．6．集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3,4}，从A 到B 的映射f 满足f (3)＝3，则这样的映射共有________个．答案4解析由于要求f (3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的对应元素的问题，总共有如图所示的4种可能．7．设f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射，其中A ＝{正实数}，B ＝R ，f ：x →x 2－2x －1，求A 中元素1＋2在B 中的对应元素和B 中元素－1在A 中的对应元素．解当x ＝1＋2时，x 2－2x －1＝(1＋2)2－2×(1＋2)－1＝0，所以1＋2的对应元素是0.当x 2－2x －1＝－1时，x ＝0或x ＝2.因为0A ，所以－1的对应元素是2.8．已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 235⎫＋1)，求A 中元素2在B 中的对应元素和B 中元素⎛⎝2，4⎭在A 中的对应元素．解将x ＝2代入对应法则，可求出其在B 中的对应元素(2＋1,3)．⎧由⎨5x ＋1＝，⎩423x ＋1＝，21得x ＝.235⎫1，在A 中对应元素为.所以2在B 中的对应元素为(2＋1,3)，⎛⎝24⎭2二、能力提升9．设A ＝Z ，B ＝{x |x ＝2n －1，n ∈Z }，C ＝R ，且从A 到B 的映射是x →2x －1，从B 到C1的映射是y →，则经过两次映射，A 中元素1在C 中对应的元素为________．2y ＋11答案3解析A 中元素1在B 中对应的元素为2×1－1＝1，11而1在C 中对应的元素为＝.2×1＋1310．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表：映射f 的对应法则如下：A 中元素对应元素映射g 的对应法则如下：A 中元素对应元素则f [g 1]的值为________．答案1解析∵g (1)＝4，∴f [g 1]＝f (4)＝1.11．已知f 是从集合M 到N 的映射，其中M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－3,0,3}，则满足f (a )＋f (b )＋f (c )＝0的映射f 的个数是________．答案7f (a )＝3，⎧⎪解析⎨f (b )＝0，⎪⎩f (c )＝－3，f (a )＝－3，⎧⎪⎨f (b )＝3，⎪⎩f (c )＝0，1423314213243241f (a )＝－3，⎧⎪⎨f (b )＝0，⎪⎩f (c )＝3，f (a )＝3，⎧⎪⎨f (b )＝－3，⎪⎩f (c )＝0，f (a )＝0，⎧⎪⎨f (b )＝3，⎪⎩f (c )＝－3，f (a )＝0，⎧⎪⎨f (b )＝－3，⎪⎩f (c )＝3，f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.12．已知A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，其中m，n∈N*.若x∈A，y∈B，有对应法则f：x→y＝px＋q是从集合A到集合B的一个映射，且f(1)＝4，f(2)＝7，试求p，q，m，n的值．解由f(1)＝4，f(2)＝7，⎧⎧⎪p＋q＝4⎪p＝3列方程组：⎨⎨.⎪2p＋q＝7⎪⎩⎩q＝1故对应法则为f：x→y＝3x＋1.由此判断出A中元素3的对应值是n4或n2＋3n.若n4＝10，因为n∈N*，不可能成立，所以n2＋3n＝10，解得n＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A 中的元素m的对应元素是n4时，即3m＋1＝16，解得m＝5.当集合A中的元素m的对应元素是n2＋3n时，即3m＋1＝10，解得m＝3.由元素互异性知，舍去m＝3.故p＝3，q＝1，m ＝5，n＝2.三、探究与拓展13．在下列对应法则中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？哪些不是？(1)A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，对应法则f：“加1”；(2)A＝(0，＋∞)，B＝R，对应法则f：“求平方根”；(3)A＝N，B＝N，对应法则f：“3倍”；(4)A＝R，B＝R，对应法则f：“求绝对值”；(5)A＝R，B＝R，对应法则f：“求倒数”．解(1)中集合A中的每一个元素通过对应法则f作用后，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，显然，对应法则f是A到B的映射．(2)中集合A中的每一个元素通过对应法则f作用后，在集合B中都有两个元素与之对应，显然对应法则f不是A到B的映射．(3)中集合A中的每一个元素通过对应法则f作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f是从A到B的映射．(4)中集合A中的每一个元素通过对应法则f作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f是从A到B的映射．1(5)当x＝0∈A时，无意义，故对应法则f不是从A到B的映射.x。

映射的意思语文
映射指的是将一个事物或概念通过图像、图表或其他方式呈现出来，以便更好地理解和分析。

在现代科技发展的背景下，映射技术得到了广泛的应用，尤其是在地图制作、数据可视化、网络安全等领域。

在地图制作方面，映射技术可以根据实际情况进行三维建模和数据分析，制作出更加真实、准确的地图。

在数据可视化方面，映射技术可以帮助我们更好地理解数据的含义和趋势，从而做出更加明智的决策。

在网络安全方面，映射技术可以帮助我们识别和分析网络攻击，从而更好地保护网络安全。

除了在技术领域的应用之外，映射还有着更广泛的意义。

人们可以通过映射来了解不同文化之间的差异，理解历史和文化发展的脉络。

同时，映射也可以帮助我们探索更深刻的哲学和人类思维的问题，例如人类意识和思维的本质等等。

可以说，映射技术不仅是一种工具，更是一种思维方式和方法论。

通过映射，我们可以更好地理解和分析事物，从而探索更深刻的问题和发现更多的可能性。

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映射重要知识点总结一、映射的定义1.1 映射的概念映射是一种将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素的规则。

具体来说，如果从集合A到集合B的每个元素a都能找到集合B中的唯一元素b与之对应，那么我们就说存在从集合A到集合B的一个映射。

我们通常用f: A → B来表示这个映射，其中f表示映射的规则，A称为定义域，B称为值域，而对应的元素对(a, b)称为映射对。

1.2 映射的表示方式映射可以用图、公式、表格等形式来表示。

在图中，我们可以用箭头连接集合A和集合B 的元素，表示它们之间的对应关系；在公式中，我们可以用f(x) = y来表示映射的规则，其中x表示集合A中的元素，y表示集合B中的元素；在表格中，我们可以将集合A的元素和对应的集合B的元素按一定顺序排列，表示它们之间的对应关系。

1.3 映射的例子为了更好地理解映射的概念，我们可以举几个具体的例子。

比如说，将一个学生的学号与他的成绩对应起来，就是一个映射；将一个人的身高与体重对应起来，也是一个映射；将一个城市的名称与它的人口数量对应起来，同样也是一个映射。

二、映射的性质2.1 单射、满射和双射在研究映射的性质时，我们通常关注三个重要的性质，即单射、满射和双射。

- 单射：如果一个映射f: A → B满足对任意的x1, x2∈A，只要x1≠x2就有f(x1)≠f(x2)，那么我们就说这个映射是单射。

单射也可以表述为：对于集合A中的任意两个不同的元素，它们在集合B中的像也是不同的。

- 满射：如果一个映射f: A → B满足对于集合B中的任意元素y，都能在集合A中找到一个元素x与之对应，那么我们就说这个映射是满射。

- 双射：如果一个映射既是单射又是满射，那么我们就说这个映射是双射。

2.2 映射的复合在实际问题中，有时我们会遇到多个映射的复合。

设有两个映射f: A → B和g: B → C，我们可以定义它们的复合映射g∘f: A → C为：对于A中的任意元素x，它在C中对应的像为(g∘f)(x) = g(f(x))。