导数的四则运算法则导学案(1)

导数的四则运算法则，反函数的导数教学目的：掌握导数的四则运算法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求反函数的导数教学重点：导数的四则运算法则，反函数求导方法教学难点：反函数求导教学内容：1. 函数和、差、积、商的求导法则根据导数定义，很容易得到和、差、积、商的求导法则（假定下面出现的函数都是可导的）。

（1）()()[]()()x v x u x v x u '±'='± （2）()()[]()()()()x v x u x v x u x v x u '+'='⋅()[]()x u c x cu '='()w uv w v u vw u uvw '+'+'='（3）()()()()()()()x v x v x u x v x u x v x u 2'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 这里仅证（2）()()()hx f h x f x f h -+='→0lim()()()()h x v x u h x v h x u h -++=→0lim ()()()()()()()()[]x v x u h x v x u h x v x u h x v h x u h h -+++-++=→1lim 0()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅++⋅-+=→h x v h x v x u h x v h x u h x u h 0lim ()()()()()()hx v h x v x u h x v h x u h x u h h h -+⋅++⋅-+=→→→000limlim lim()()()()x v x u x v x u '+'= 例1 x y tan =，求y '。

解：()()()x x x x x x x x y 2cos cos sin cos sin cos sin tan '-'='⎪⎭⎫⎝⎛='='x xx x x 22222sec cos 1cos sin cos ==+=， 即 ()x x 2sec tan ='。

1.2.3 导数的四则运算法则学习目标(1)能利用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式求简单函数的导数；(2)理解并掌握复合函数的求导法则．知识导学一、导数的四则运算法则1．函数和(或差)的求导法则若f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)，(f(x)－g(x))′＝f′(x)－g′(x)．注意：(1)设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．(2)对任意有限个可导函数，有(f1(x)±f2(x)±…±f n(x))′＝f1′(x)±f2′(x)±…±f n′(x)．2．函数积的求导法则对于可导函数f(x)，g(x)，有[f(x)g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)．注意：(1)若C为常数，则[Cf(x)]′＝C′f(x)＋Cf′(x)＝0＋Cf′(x)＝Cf′(x)，即[Cf(x)]′＝Cf′(x)，即常数与函数之积的导数，等于常数乘函数的导数．(2)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)，a，b为常数．切忌把[f(x)·g(x)]′记成f′(x)·g′(x)．3．函数的商的求导法则对于可导函数f(x)，g(x)，有[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)g2(x)(g(x)≠0)．注意：在两个函数积f(x)g(x)的导数公式中，f′(x)g(x)与g′(x)f(x)之间为“＋”号；而两个函数商f(x)g(x)的导数公式中，f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之间为“－”号．二、复合函数的求导法则1．复合函数的求导法则一般地，设函数u＝φ(x)在点x处有导数u x′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y u′＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处也有导数，且y x′＝y u′·u x′或f′(φ(x))＝f′(u) φ′(x)或d y d x＝d y d u·d ud x，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘中间变量对自变量的导数．2．求复合函数的导数的步骤(1)适当选定中间变量，正确分清复合关系；(2)分步求导；(3)把中间变量代回原自变量的函数．整个过程可简记为“分解——求导——回代”．熟练后，可省略中间过程．若遇多重复合，可相应的多次用中间变量．3．求复合函数的导数应处理好以下环节：①中间变量的选择应是基本函数结构；②关键是正确分析函数的复合层次；③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；④善于把一部分表达式作为一个整体；⑤最后要把中间变量换成自变量的函数．三、导数计算中的化简技巧有关导数的运算一般要按照导数的运算法则进行，但也不能盲目地套用公式，要仔细观察函数式的结构特点，适当地对函数式中的项进行“合”与“拆”，进行优化组合，有的放矢，但每部分易于求导，然后运用导数运算法则进行求解．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免运处算失误．探究点一 导数的四则运算例1 求下列函数的导数．(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝x －1x ＋1； (4)y ＝2x ＋1x 2＋x 22x ＋1.归纳总结(1)熟练掌握和运用函数的和、差、积、商的导数公式，并进行简单、合理的运算，注意运算中公式运用的准确性．(2)灵活运用公式，化繁为简，如小题(2)这种类型，展开化为和、差的导数比用积的导数简单容易．练一练1.求下列函数的导数：(1)y＝x4－3x3＋2x2－4x－1；(2)y＝x cos x；(3)y＝sin2x；(4)y＝tan x＋cot x；(5)y＝x2ln x＋1log a x(a>0且a≠1，x>0)．探究点二复合函数的导数例2 求下列函数的导数．(1)y＝sin3x；(2)y＝3－x.方法总结复合函数的求导需注意以下问题：(1)分清复合函数的复合关系，看它是由哪些基本初等函数复合而成的，适当选定中间变量；(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin2x )′＝2cos2x ，而(sin2x )′≠cos2x ；(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；(4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写．练一练2.求下列函数的导数：(1)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π6； (2)y ＝ln(2x 2＋3x ＋1)．探究点三 求导法则的综合应用例3 求和S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1(x ≠0，n ∈N ＋)．方法总结 本题事实上可用数列中的错位相减法求和解决，若利用导数转化，则可成为等比数列求和问题，从而简化运算．求解时要注意需对x 是否等于1分类讨论．练一练3.求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程．当堂检测1.求函数y ＝x 3·cos x 的导数．解：y ′＝(x 3)′cos x ＋x 3·(cos x )′＝3x 2cos x －x 3sin x .2.求y ＝x 2sin x的导数．3.求复合函数y ＝(2x ＋1)5的导数．4.函数f (x )＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)的导数为( )A ．x 2－x ＋1B ．(x ＋1)(2x －1)C ．3x 2D ．3x 2＋15、已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)·…·(x －2015)，则f ′(0)＝________.课堂小结导数的四则运算法则⎩⎪⎨⎪⎧ 函数和差积商的求导法则掌握复合函数的求导法则理解参考答案探究点一 导数的四则运算例1 解：(1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－3(x 2)′－5x ′＋(6)′＝4x 3－6x －5.(2)解法1：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11.解法2：∵y ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)解法1：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2 ＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. 解法2：∵y ＝1－2x ＋1，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋1′ ＝－(2)′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. (4)y ′＝⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 2′＋⎝⎛⎭⎫x 22x ＋1′＝(2x ＋1)′x 2－(2x ＋1)(x 2)′x 4＋(x 2)′(2x ＋1)－x 2(2x ＋1)′(2x ＋1)2＝2x 2－4x 2－2x x 4＋4x 2＋2x －2x 2(2x ＋1)2＝－2x －2x 3＋2x 2＋2x (2x ＋1)2. 练一练1.解：(1)y ′＝4x 3－9x 2＋4x －4.(2)y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′＝cos x －x sin x .(3)y ′＝(sin2x )′＝(2sin x cos x )′＝(2sin x )′cos x ＋2sin x (cos x )′＝2cos 2x －2sin 2x ＝2cos2x .(4)y ′＝(tan x ＋cot x )′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＋⎝⎛⎭⎫cos x sin x ′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝1cos 2x －1sin 2x＝－cos2x cos 2x sin 2x ＝－4cos2x sin 22x . (5)y ′＝2x ln x ＋x 2·1x ＋0－1x ln a log 2a x＝2x ln x ＋x －ln a x ln 2x . 探究点二 复合函数的导数例2 解：(1)设y ＝sin u ，u ＝3x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝cos u ·3＝3cos3x .(2)设y ＝u ，u ＝3－x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝12u ·(－1)＝－123－x. 练一练 2.解：(1)设y ＝cos u ，u ＝3x －π6， ∴y ′x ＝－sin u ·3＝－3sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6. (2)设y ＝ln u ，u ＝2x 2＋3x ＋1，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(4x ＋3)＝4x ＋32x 2＋3x ＋1. 探究点三 求导法则的综合应用例3 解：当x ＝1时，S n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2； 当x ≠1时，∵x ＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝x (x n －1)x －1， ∴S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝(x ＋x 2＋x 3＋…＋x n )′＝(x n ＋1－x x －1)′ ＝(x n ＋1－x )′(x －1)－(x n ＋1－x )(x －1)′(x －1)2＝1－(n ＋1)x n ＋nx n ＋1(x －1)2. 练一练3.解：设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－2.故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)． ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0. ② 又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12. 故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)， 即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.当堂检测1.解：y ′＝(x 3)′cos x ＋x 3·(cos x )′＝3x 2cos x －x 3sin x .2.解：y ′＝(x 2)′sin x －x 2·(sin x )′sin 2x＝2x sin x －x 2cos x sin 2x. 3.解：∵函数y ＝(2x ＋1)5由函数y ＝u 5和u ＝2x ＋1复合而成， ∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u 5)′u ·(2x ＋1)′x＝5u 4·2＝5(2x ＋1)4·2＝10(2x ＋1)4，即y ′x ＝10(2x ＋1)4.4.【答案】 C【解析】 因为y ＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)＝x 3＋1， 所以y ′＝(x 3＋1)′＝3x 2，故选C.5.【答案】 －(1×2×3× (2015)【解析】 依题意，设g (x )＝(x －1)(x －2)·…·(x －2015)， 则f (x )＝x ·g (x )，f ′(x )＝[x ·g (x )]′＝g (x )＋x ·g ′(x )， 故f ′(0)＝g (0)＝－(1×2×3×…×2015)．。

5.2.2导数的四则运算法则【学习内容】函数求导数【课标要求】能利用导数四则运算法则求简单函数的导数；【学习目标】2.3能推导导数的四则运算法则，并能进行简单应用；2.4能灵活运用导数的运算法则解决综合问题；【学习重点】利用导数的四则运算法则求函数的导数【学习难点】能灵活运用导数的运算法则解决函数求导一、利用运算法则求函数的导数任务一：独立计算并试着猜想.问题1：设f (x )=x 2 ，g (x )=x ，计算[f (x )+g (x )]′与[f (x )−g (x )]′，它们与f ’(x)和g ‘(x)有什么关系？再取几组函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？ 问题2：计算[()()]f x g x '与()()f x g x ''，它们是否相等？()f x 与()g x 商的导数是否等于它们导数的商呢？总结：两个函数()f x 和()g x 的和（或差）的导数法则：[()()]f x g x '±= . 两个函数()f x 和()g x 的乘积(或商)的导数法则：[()()]f x g x '= .()[]()f x g x '= .任务二：完成例1, 要求：认真审题，规范作答（8min ）例1求下列函数的导数（1）32234y x x =--；（2）y =2sinx +3x ；（3）3x y x e =；（4）22sin xy x =.练习运用1（1）ln x y e x = （2）2(2y x x =+； （3）tan y x =二、综合运用求导法则任务一：完成例2, 要求：认真审题，规范作答（7min ）例2日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1 t 水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为 5284()(80100)100c x x x =<<-. 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90%；（2）98%. 任务二：完成例3, 要求：认真审题，规范作答 例3 求曲线23y x x =+在点()1,4处的切线方程． 练习运用2已知函数()x f x ax be =+图象上的点()1,2P -处的切线与直线3y x =-平行，则a = ，。

导数的四则运算法则导学案导数的四则运算法则(一)【学习要求】1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．【学法指导】应用导数的四则运算法则和已学过的常用函数的导数公式可迅速解决一类简单函数的求导问题．要透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，达到巩固知识、提升能力的目的.【知识要点】导数的运算法则设两个可导函数分别为f(x)和g(x)【问题探究】探究点一导数的运算法则问题1我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？问题2应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？例1求下列函数的导数：（1）y＝3x－lg x；（2）y＝(x2＋1)(x－1)；（3）y＝x5＋x7＋x9x.跟踪训练1求下列函数的导数：（1）f(x)＝x·tan x；（2）f(x)＝2－2sin2x2；（3）f(x)＝x－1x＋1；（4）f(x)＝sin x1＋sin x.探究点二导数的应用例2（1）曲线y＝x e x＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为_______________（2）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________（3）已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．跟踪训练2 （1）曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为 ( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D ．22（2）设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．【当堂检测】1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于 ( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )2．曲线f (x )＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2 3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A ．193B ．163C ．133D ．1034．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝_______ 5．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．【课堂小结】求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.【教学反思】导数的四则运算法则(二)【学习要求】1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．【学法指导】复合函数的求导将复杂的问题简单化，体现了转化思想；学习中要通过中间变量的引入理解函数的复合过程．【问题探究】探究点一复合函数的定义问题1观察函数y＝2x cos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？问题2对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？问题3在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？例1指出下列函数是怎样复合而成的：（1）y＝(3＋5x)2；（2）y＝log3(x2－2x＋5)；（3）y＝cos 3x.跟踪训练1指出下列函数由哪些函数复合而成：（1）y＝ln x；（2）y＝e sin x；（3）y＝cos (3x ＋1)．探究点二复合函数的导数问题如何求复合函数的导数？例2求下列函数的导数：（1）y＝(2x－1)4；（2）y＝11－2x；（3）y＝sin(－2x＋π3)；（4）y＝102x＋3.跟踪训练2 求下列函数的导数．（1）y ＝ln 1x； （2）y ＝e 3x ； （3）y ＝5log 2(2x ＋1)．探究点三 导数的应用例3 求曲线y ＝e 2x＋1在点(－12，1)处的切线方程．跟踪训练3 曲线y ＝e 2x cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．【当堂检测】1．函数y ＝(3x －2)2的导数为 ( )A ．2(3x －2)B ．6xC ．6x (3x －2)D ．6(3x －2)2．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于 ( )A ．sin 2xB ．2sin xC ．sin x cos xD ．cos 2x3．若y ＝f (x 2)，则y ′等于 ( )A ．2xf ′(x 2)B ．2xf ′(x )C ．4x 2f (x )D ．f ′(x 2)4．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.【课堂小结】1.求简单复合函数f (ax ＋b )的导数2.求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.【拓展提高】1 ．已知函数在区间内任取两个实数,且,不等式恒成立,则实数的取值范围为____________ 【教学反思】2)1ln()(x x a x f -+=)1,0(q p ,q p ≠1)1()1(>-+-+qp q f p f a。

1.2.3 导数的四则运算法则学案（含答案）1.2.3导数的四则运算法则导数的四则运算法则学习目标1.能利用导数的四则运算法则求解导函数.2.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导知识点一导数的四则运算法则已知fxx，gx1x.思考1fx，gx的导数分别是什么答案fx1，gx1x2.思考2试求Gxx1x，Hxx1x的导数并说出Gx，Hx与fx，gx 的关系答案Gx11x2.同理，Hx11x2.Gxfxgx，Hxfxgx思考3fxgxfxgx正确吗那么fxgxfxgxgx0且gx0是否正确答案fxgxfxgx，fxgxfxgx.梳理导数的四则运算法则1设fx，gx是可导的，则法则语言叙述fxgxfxgx两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数和或差fxgxfxgxfxgx两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数fxgxfxgxfxgxg2xgx0两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子的差除以分母的平方2特别地，CfxCfx，1gxgxg2xgx0特别提醒1fxgxfxgx可推广到任意有限个函数的和或差的求导2afxbgxafxbgx知识点二复合函数yfux的导数yfux是x的复合函数，则yfuxdydududxfuux1函数fxxex的导数是fxexx12当gx0时，1gxgxg2x.3函数yex的导数为yex.类型一利用导数的四则运算法则求导例1求下列函数的导数1yx3ex；2yxsinx2cosx2；3yx2log3x；4yex1ex1.解1yx3exx3ex3x2exx3exx23xex.2yx12sinx，yx12sinx112cosx.3yx2log3xx2log3x2x1xln3.4yex1ex1ex1ex1ex12exex1ex1exex122exex12.反思与感悟求函数的导数的策略1先区分函数的运算特点，即函数的和.差.积.商，再根据导数的运算法则求导数2对于三个以上函数的积.商的导数，依次转化为“两个”函数的积.商的导数计算跟踪训练11已知fxxaxbxc，则afabfbcfc________.答案0解析fxxaxbxcxaxbxcxaxbxcxbxcxaxcxaxb，faabac，fbbabcabbc，fccacbacbcafabfbcfcaabacbabbccacbcabcbaccababbcac0.2求下列函数的导数y2x33xx1xx；yx21x23；yx1x3x5；yxsinx2cosx.解313122223yxxxx，1352222333.22yxxxx方法一yx21x23x21x23x2322xx232xx21x2324xx232.方法二yx21x23x232x2312x23，y12x232x232x232x23x2324xx232.方法一yx1x3x5x1x3x5x1x3x1x3x5x1x32x4x5x1x33x218x23.方法二yx1x3x5x24x3x5x39x223x15，yx39x223x153x218x23.yxsinx2cosxxsinxxsinx2cosx2cosxcos2xsinxxcosx2sinx cos2x.类型二简单复合函数求导例2求下列函数的导数1yecosx1；2ylog22x1；3y2sin3x6；4y112x.解1设yeu，ucosx1，则yxyuuxeusinxecosx1sinx.2设ylog2u，u2x1，则yxyuux2uln222x1ln2.3设y2sinu，u3x6，则yxyuux2cosu36cos3x6.4设yu12，u12x，则yxyuux12u12x1232u212x32.反思与感悟求复合函数导数的步骤1确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系yfu，ugx2分步求导弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求yu，再求ux.3计算yuux，并把中间变量转化为自变量整个过程可简记为“分解求导回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程跟踪训练21已知函数fx2x15，则f0的值为________答案10解析fx52x142x1102x14，f010.2求下列函数的导数y3x；y12lnx21；ya12xa0，a1解设yu，u3x，则yxyuux12u1123x.设y12lnu，ux21，则yxyuux121u2x121x212xxx21.令yau，u12x，则yxyuuxaulna2a12xlna22a12xlna.类型三导数运算法则的综合应用命题角度1利用导数求函数解析式例31已知函数fxlnxx2xf1，试比较fe与f1的大小关系；2设fxaxbsinxcxdcosx，试确定常数a，b，c，d，使得fxxcosx.解1由题意得fx1lnxx22f1，令x1，得f11ln112f1，即f11.fxlnxx2x.felnee2e1e2e，f12，由fef11e2e20，得fef12由已知得fxaxbsinxcxdcosxaxbsinxcxdcosxaxbsinxaxbsinxcxdcosxcxdcos xasinxaxbcosxccosxcxdsinxacxdsinxaxbccosx.又fxxcosx，adcx0，axbcx，即ad0，c0，a1，bc0，解得ad1，bc0.反思与感悟1中确定函数fx的解析式，需要求出f1，注意f1是常数2中利用待定系数法可确定a，b，c，d的值完成12问的前提是熟练应用导数的运算法则跟踪训练3函数fxx2x1f1，则f1________.答案1解析对fx求导，得fx2x12x2x1212x12，则f11.命题角度2与切线有关的问题例41若曲线yxlnx上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是________答案e，e解析设Px0，y0yxlnx，ylnxx1x1lnx，k1lnx0.又k2，1lnx02，x0e.y0elnee.点P的坐标是e，e2已知函数fxax2bx3a0，其导函数为fx2x8.求a，b的值；设函数gxexsinxfx，求曲线gx在x0处的切线方程解因为fxax2bx3a0，所以fx2axb，又知fx2x8，所以a1，b8.由可得gxexsinxx28x3，所以gxexsinxexcosx2x8，所以g0e0sin0e0cos02087.又知g03，所以gx在x0处的切线方程为y37x0，即7xy30.反思与感悟1与切线有关的问题往往涉及切点.切点处的导数.切线方程三个主要元素其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系2准确利用求导法则求出导函数是解决与切线有关的问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确3分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点跟踪训练41设曲线y2cosxsinx在点2，2处的切线与直线xay10垂直，则a________.答案1解析ysin2x2cosxcosxsin2x12cosxsin2x，当x2时，y12cos2sin221.又直线xay10的斜率是1a，1a1，即a1.2曲线yesinx在0,1处的切线与直线l平行，且与l的距离为2，求直线l的方程解设usinx，则yesinxeusinxcosxesinx，即y|x01，则切线方程为y1x0，即xy10.若直线l与切线平行，可设直线l的方程为xyc0.两平行线间的距离d|c1|22，所以c3或c1.故直线l的方程为xy30或xy10.1设函数y2exsinx，则y等于A2excosxB2exsinxC2exsinxD2exsinxcosx答案D解析y2exsinxexcosx2exsinxcosx2对于函数fxexx2lnx2kx，若f11，则k等于A.e2B.e3Ce2De3答案A解析fxexx2x31x2kx2，f1e12k1，解得ke2，故选A.3曲线yxx2在点1，1处的切线方程为Ay2x1By2x1Cy2x3Dy2x2答案A解析yxx2xx2x222x22，ky|x121222，切线方程为y12x1，即y2x1.4函数y2cos2x在x12处的切线斜率为________考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案1解析由函数y2cos2x1cos2x，得y1cos2x2sin2x，所以函数在x12处的切线斜率为2sin2121.5在曲线yx33x26x10的切线中，斜率最小的切线的方程为________________答案3xy110解析y3x26x63x22x23x1233，当x1时，斜率最小，此时切点坐标为1，14，切线方程为y143x1，即3xy110.1应用和.差.积.商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，要先利用代数.三角恒等变换对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错2注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“”，而商的导数公式中分子上是“”3求复合函数的导数应处理好以下环节1正确分析函数的复合层次2中间变量应是基本初等函数结构3一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导4善于把一部分表达式作为一个整体5最后要把中间变量换成自变量的函数。

§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课前预习学案一．预习目标1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数二．预习内容1．基本初等函数的导数公式表2.（2）推论：[]'()cf x =（常数与函数的积的导数，等于： ）三． 提出疑惑课内探究学案一． 学习目标1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数二． 学习过程（一）。

【复习回顾】复习五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =（二）。

【提出问题，展示目标】我们知道,函数*()()n y f x x n Q ==∈的导数为'1n y nx-=，以后看见这种函数就可以直接按公式去做，而不必用导数的定义了。

那么其它基本初等函数的导数怎么呢？又如何解决两个函数加。

减。

乘。

除的导数呢？这一节我们就来解决这个问题。

（三）、【合作探究】1．（1）分四组对比记忆基本初等函数的导数公式表（2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数． （1）2y x =与2xy =（2）3x y =与3log y x =2.（1推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于： ）提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.（2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+（2）sin y x x =⋅；（3）2(251)xy x x e =-+⋅；（4）4xx y =；【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．（四）．典例精讲例1：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系0()(15%)tp t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？分析：商品的价格上涨的速度就是：解：变式训练1：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%分析：净化费用的瞬时变化率就是： 解：比较上述运算结果，你有什么发现？三．反思总结：（1）分四组写出基本初等函数的导数公式表：（2）导数的运算法则：四．当堂检测1求下列函数的导数（1）2log y x = （2）2xy e =（3）32234y x x =-- （4）3cos 4sin y x x =-2.求下列函数的导数（1）ln y x x = （2）ln xy x=课后练习与提高1．已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为： A ()2(1)f x x =- B 2()2(1)f x x =- C 2()(1)3(1)f x x x =-+- D ()1f x x =-2．函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a =A18 B 14 C 12D 1 3.设函数1()n y x n N +*=∈在点（1,1）处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则12n x x x ••⋅⋅⋅•=A l nB l 1n +C 1n n + D 14.曲线21xy xe x =++在点（0,1）处的切线方程为-------------------5.在平面直角坐标系中，点P 在曲线3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线在点P 处的切线的斜率为2，则P 点的坐标为------------6.已知函数32()f x x bx ax d =+++的图像过点P （0,2），且在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=，求函数的解析式。

5.2.2 导数的四则运算法则课题 5.2.2 导数的四则运算法则单元第六单元学科数学年级高二教材分析导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量的刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本工具，因而在解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题中有着广泛应用。

在本单元，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想。

教学目标与核心素养大单元目标：1.通过学习基本初等函数的导数公式和导数的四则运算求复杂函数的导数2.能利用复合函数求导法则求简单的复合函数的导数本节目标：1.通过用定义对函数的导数进行推理，让学生理解导数的四则运算法则.2.通过探究函数的求导法则的过程，发展学生数学运算和逻辑推理能力.3.让学生在探究过程中，体验探索的乐趣，培养学生的数学思维。

重点导数的四则运算法则难点导数的四则运算法则教学过程教学环节教学内容设计师生活动设计意图导入新课情境导入高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s＝f(t)，求它的瞬时速度，就是求f(t)的导数．根据导数的定义，就是求当Δt→0时，ΔyΔt所趋近的那个定值．若y＝sin x＋x，我们应该如何求导数呢？教师引入问题，学生思考，引出本节新课内容。

通过设置问题情境，引导学生推导函数和、差、积、商的求导法则，培养学生的逻辑推理能力，同时增加了教学过程的趣味性、实践性，调动起学生积极性。

讲授新课【预习新知】探究用定义推导[f(x)+g(x)]′与[f(x)-g(x)]′, 它们与f'(x)和g'(x)有什么关系?教师提出问题，检测学生通过课前预习课本，让学生初步[()()]()().f x g x f x g x '''-=-同理有 一般地，对于两个函数f(x)和 g(x)的和(或差)的导数，我们有如下法则：[()()]()().f x g x f x g x '''±=±思考 类比两个函数f (x )和g (x )的和(或差)的求导法则， 那么[f (x )g (x )]′与f ′(x )g ′(x ), 它们是否相等? f (x )与g (x )商的导数是否等于它们导数的商呢?你能否用定义证明呢？事实上，对于两个函数f(x)和 g(x)的积(或商)的导数，我们有如下法则：2[()()]()()()()()()()()()(()0).()[()]f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x g x '''=+'''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦；【预习检测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)已知函数y ＝2ln x －2x，则y ′＝2x －2x ln2.( )(2)已知函数y ＝3sin x ＋cos x ，则y ′＝3cos x ＋sin x ．( )(3)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( )(4)若函数f (x )＝e xx 2，则f ′(x )＝e x (x ＋2)x 3.( ) 2．已知函数f (x )＝cos x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( )A ．1－sin 1B ．1＋sin 1C ．sin 1－1D ．－sin 1 3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( )A ．y ′＝cos 2 x ＋sin 2 xB ．y ′＝cos 2 x －sin 2 xC ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x 4．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝预习新课的效果。

导数的四则运算法则1.求和规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的和的导数等于各自函数的导数之和。

即：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)2.差规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的差的导数等于各自函数的导数之差。

即：(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)3.乘法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数。

即：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)4.除法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数且g(x)不等于零，则它们的商的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数减去第一个函数乘以第二个函数的导数，再除以第二个函数的平方。

即：(f/g)'(x)=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2这些四则运算法则可以用于计算复杂函数的导数。

下面通过一些简单的例子来说明这些规则的具体应用。

例子1：计算函数f(x)=x^3+2x^2-3x+1的导数。

解：对于这个函数，可以按照求和规则和乘法规则分别对各项进行求导。

f'(x)=(x^3)'+(2x^2)'+(-3x)'+(1)'=(3x^2)+(4x)+(-3)=3x^2+4x-3例子2：计算函数g(x)=(2x^2+3x-1)/(x+2)的导数。

解：应用乘法规则和除法规则对该函数进行求导。

g'(x)=((2x^2+3x-1)'*(x+2)-(2x^2+3x-1)*(x+2)')/(x+2)^2=(((4x+3)*(x+2))-((2x^2+3x-1)*1))/(x+2)^2=(4x^2+11x+6-2x^2-3x+1)/(x+2)^2=(2x^2+8x+7)/(x+2)^2通过这两个简单的例子，我们可以看到四则运算法则在计算导数中的应用。

详解导数四则运算法则导数就是“平均变化率“△y/△x”，当△x→0时的极限值”。

可导函数y=f(x)在点(a,b)处的导数值为f'(a)。

求导的四则运算法则是：1、(u+v)'=u'+v'2、(u-v)'=u'-v'3、(uv)'=u'v+uv'4、(u/v)'=(u'v-uv')/v^2求导是数学计算中的一个计算方法，它的定义就是，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。

在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。

可导的函数一定连续。

不连续的函数一定不可导。

如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。

这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数，记作y'、f'（x）、dy/dx或df（x）/dx，简称导数。

函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

导数求导法则：由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。

基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

敢于质疑、敢于创新、敢于展示！ §4.1 导数的四则运算法则 ( 1课时)预习案【学习目标】1、掌握导数的四则运算法则，并能利用公式求简单函数的导数；2、能运用公式处理某些实际问题。

[重点]:基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则。

[难点]:基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用。

【使用说明与学法指导】1. 课前（前一天晚自习）自学课本并完成导学案，要求限时完成，书写规范；2. 带“★”的C 层可以选做，带“★★”的B,C 层可以选做.3. 自主探究先行一步，遇到难以理解的地方先做好标记，然后再通过小组讨论解决，如果小组不能解决的问题第二天在课堂上讨论解决。

【预习自测】（大约在10分钟）1、函数2()(2)f x x π=的导数是（ ）A ． ()4f x x π'=B ．2()4f x x π'=C ．2()8f x x π'=D ．()16f x x π'= 2、函数cos x y x=的导数是（ ） A 、2sin x y x=- B 、sin y x =- C 、2sin cos x x x x +- D 、2cos cos x x x x +- 3、曲线()ln f x x x = 在点1x =处的切线方程是( ) A 、 22y x =+ B 、 22y x =- C 、 1y x =- D 、 1y x =+【我的疑惑】（将在预习中不能理解的问题写下来，供课堂上处理）1.2.3一、预习自学基础知识梳理（1） 导数的四则运算法则：1、[]()()()()f x g x f x g x '''±=±2、[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=±3、[]2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x '''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ （2）推论：[]()()cf x cf x ''= （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）敢于质疑、敢于创新、敢于展示！ 探究案学始于疑----我思考，我收获二、合作探究探究一：导数运算例1、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+ （2）sin y x x =⋅； （3）4x xy =；★拓展1：（1）1ln 1ln x y x -=+． （2）2(251)x y x x e =-+⋅； （3）sin cos cos sin x x x y x x x-=+探究二：实际应用例2、日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<- 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%拓展2： 处的导数。