2012年高考数学命题趋势预测
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3 2 (辽宁卷 ) 已知函数 f (x ) = 1 ax + bx + 3
当 x > - 1 时 , f &(x ) > 0 . 所以 f ( x ) 在 x = - 1处取得最小值 , 即 x 0 = - 1 . ( ( ) 因为 f &( x ) = ax + 2bx + c( a > 0 ),
2
( ( ) 若 ! ABC 有一边平行于 x 轴, 且面积为 2 + 3, 求 a , d 的值. 解析 ( ∋ ) 因为 2b = a + c,
2 2
所以 f &( x ) = ax + 2bx + c = ax + ( a + c) x + c = ( x + 1 ) ( ax + c). 令 f &( x ) = 0 , 得 x = - 1或 x = c . a
中学数学杂志
2011 年第 1 期
ZHON GXUESH UXU EZAZH I
2011年高考数学命题趋势预测
安徽岳西县城关中学 纵观 2010年全国及十几个省份的高考试题, 在 继承创新和保持整体稳定的前提下, 加大了改革创 新的力度, 形成 立意鲜明 , 背景新颖 , 百花齐放、 百 家争鸣 的特点. 既有利于中学课程改革的实施 , 也 有利于高校创新人才的选拔. 2011年高考数学考点总体上不会有大的变化 , 重点还将是函数、 三角、 不等式、 数列、 解析几何、 立 体几何和概 率, 但在保持总 体稳定的基础 上, 2011 年考点将会沿着 2009 、 2010 年改革步伐, 继续向前 推进, 以达到推进高中课改的要求, 以有利于对学生 创新能力和后继学习数学能力的提高 . 下面将以近 年来高考数学出现的新亮点为例, 以此预测 2011 年 高考命题新趋势 . 1 向量知识综合化 向量作为新增内容之一, 自一开始引入中学数 学教材就备受高考命题者的青睐, 成为高考的一个 亮点. 这是因为向量不仅拥有一套优良运算通性的 数学体系, 而且向量知识、 向量观点在数学很多分支 都有着广泛的应用, 平面向量具有几何形式与代数 形式的双重身份 , 能融数形一体 , 从而使它成为中学 数学知识的一个交汇点, 成为数学多项内容的媒介 . 向量在 2011 年的高考中将向综合化发展, 向量 与三角 , 数列、 函数和解析几何等章节在高考中将综 合命题 , 而向量与解析几何综合交汇命题在 2011 年 高考中应值得注意. 例 1 ( 四 川 卷 ) 已 知 两 定 点 F1 ( , 0 ), 2 F2 ( 2 , 0), 满足条件 | PF 2 | - | PF 1 | = 2 的点 P 的 轨迹是曲线 E, 直线 y = kx - 1与曲线 E 交于 A, B 两 点 , 如果 | AB | = 6 3 , 且曲线 E 上存在点 C, 使 OA + OB = m OC, 求 m 的值和 ! ABC 的面积 S . 分析 本小 题主 要考 查双曲 线的定义和性 质、 直 线与双 曲线的关系、 点到直 线的距离等知识及解析几何 的基本思想方法和综合解决 问题的能力 . 解 由 双曲 线的 定义 # 246600 李庆社 2 , 0 ), F 2 ( 2 , 0 ) 为焦点的 可知 , 曲线 E 是以 F 1 (-
2
= ( 2k ) + 8 ( 1 - k ) > 0 x1 + x2 = x1 x2 = - 2k , 2 < 0 1- k - 2 2 > 0 1- k 1 + k # | x1 - x2 | =
2 2 2
2
2
解得 - 2 < k < - 1. 又因为 | AB | = (x 1 + x 2 ) - 4x 1x 2 = = 2 1+ k #
2
所以 f &( x ) 的图像的开口向上 , 对称轴方程为 x b 2b b b > 1知 | ( 1 ) - () | < | 0= - .由 a a a a (b 2b ) |, 所以 f &( x ) 在 [ 1 - , 0 ] 上的最大值为 a a b b > 1 ,知 ) a a 2b , 0] , a
f &( 0) = c, 即 x 1 = 0 . 又由 [1-
所以当 x = 2
b 时 , f &(x ) 取得最小值为 f &( a
b d b ) = - , 即 x2 = - . a a a 因为 f ( x 0 ) = f ( - 1 ) = - 1 a, 3 所以 A ( - 1 , b d 1 a ), B ( 0 , c), C ( - , ). a a 3
双曲线的左支 , 且 c = 2 , a= 1 , 易知 b = 1 , 2 2 故曲线 E 的方程为 x - y = 1 (x < 0 ). 设 A (x 1, y 1 ), B ( x 2, y 2 ), 由 题 意 建 立 方 程 组 y = kx - 1 2 2 , 消去 y, 得 ( 1 - k ) x + 2kx - 2 = 0 . 2 2 x - y = 1 又已知直线与双曲线左支交于两点 A, B, 有 1- k ∀ 0
因为 ! A CD 为正三角形,
所以 AC = AD, 所
以 CG = GD. 因为 G 在 CD 的垂直平分线上, 所以点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上, 过 G 作 GH 垂直 ED 于 H, 连结 AH, 则 AH , DE, 所以 − AH G 为二面 角 A - DE - C 的平面 角. 即 − AH G = . 设原正方形的边长为 2a, 连结 A F. 在折后图的 ! AEF 中, AF = 3a, EF = 2 AE = 2a, 即 ! AEF 为直角三角形 , AG # EF = AE # A F, 所 以 AG = 3 a, 在 R t! ADE 中 , AH # DE = AE # AD, 2 2 a, 5 , 2 5 a
2 2 2
1+ k
- 2k 2 1- k
2
- 4∃
- 2 2 1- k
(1+ k ) ( 2- k ) . 2 2 ( 1- k ) ( 1+ k ) ( 2- k ) = 6 3, 整理后 2 2 (1- k )
2 2
依题意得 2
4 2
得 28k - 55k + 25 = 0 , 2 5 2 5 或k = ,但- 2< k <- 1 ,所 所以 k = 4 7 以k =5 . 2 5 x+ y+ 1 = 0 . 2
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ZH ONGXU ESHUXUEZA ZH I
中学数学杂志 ( ∋ ) 求 x 0 的值 ;
2011 年第 1 期
8 . 所以点 C - 4 5 , m m 80 64 将点 C 的坐标代入曲线 E 的方程, 得 2 - 2 = 1 , m m 解得 m = % 4 , 但当 m = - 4时, 所得的点在双曲 线的右支上 , 不合题意 , 所以 m = 4 , C 点的坐标为 ( - 5 , 2). C 到 AB 的距离为 5 ∃ (2 5 2 所以 ! ABC 的面积 S = 点评 5) + 2 + 1
2 2
由 ! ABC 有一条边平行于 x 轴知 AC 平行于 x 轴, 所以 1 d 2 2 a = - , 即 a = 3d 3 a ( 1)
又由 ! ABC 的面积为 2 + ( c+ a ) = 2+ 3 , 3
3得 1 ( - 1 + b ) # 2 a
cx + d, 其中 a , b , c是以 d 为公差的等差数列 , 且 a > 0 , d> 0 . 设 x 0 为 f (x ) 的极小值点 , 在 [ 1 2b , 0] a
利用 b = a + d, c = a + 2d, 得 3∗ ( 2 )
2 d d+ = 2+ 3 a
2
上 , f &( x ) 在 x 1 处取得最大植, 在 x 2 处取得最小值 , 将点 (x 0, f ( x 0 ) ), ( x 1, f &( x 1 ) ), ( x 2, f &( x 2 ) ) 依次记 为 A, B, C.
故直线 AB 的方程为
设 C ( x c, y c ), 由已知 OA + OB = m OC, 得 (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (m x c, m y c ), x1 + x2 y1 + y2 所以 ( x c, y c ) = , (m ∀ 0 ). , m m 2k 又 x1 + x2 = 2 = - 4 5 , y 1 + y 2 = k (x 1 + k - 1 2 2 2k - 2= 2 = 8 , x2 ) - 2 = 2 k - 1 k - 1
பைடு நூலகம்
所以 AH = 所以 GH = cos =
GH 1 = . AH 4
点评 本小题考查空间中的线面关系 , 解三角 形等基础知识 , 考查空间想象能力和思维能力. 本题通过开放条件 、 结论 , 让学生的思维在创造 的气氛中得到锻炼与发展, 并让学生在开放探索中 发散思维 , 从而使学生的主体意识得到唤起 , 创新精 神得以呈现. 以立体几何为载体的探索性问题将成为 2011 年高考命题的热点之一, 值得大家重视的是对一些 探索性问题常用向量法去思考, 这样思路清晰, 目标 明确 , 从而大大降低求解难度 . 4 概率与统计模型生活化 概率与统计是高中新增加的内容之一, 在高考 中概率是必考的内容, 且常以一道大题的形式出现, 概率知识时常作为应用题来考查 , 题目的材料越来 越接近生活. 例 4 ( 北京卷 ) 某公司招聘员工, 指定三门考 试课程, 有两种考试方案 . 方案一: 考试三门课程, 至少有两门及格为考试 通过 ; 方案二: 在三门课程中 , 随机选取两门, 这两门 都及格为考试通过 . 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率 分别是 a, b, c, 且三门课程考 试是否及格相互之间 没有影响 . 求 : ( ∋ ) 分别求该应聘者用方案一和方案二时考 试通过的概率 ;
当 x > - 1 时 , f &(x ) > 0 . 所以 f ( x ) 在 x = - 1处取得最小值 , 即 x 0 = - 1 . ( ( ) 因为 f &( x ) = ax + 2bx + c( a > 0 ),
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( ( ) 若 ! ABC 有一边平行于 x 轴, 且面积为 2 + 3, 求 a , d 的值. 解析 ( ∋ ) 因为 2b = a + c,
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所以 f &( x ) = ax + 2bx + c = ax + ( a + c) x + c = ( x + 1 ) ( ax + c). 令 f &( x ) = 0 , 得 x = - 1或 x = c . a
中学数学杂志
2011 年第 1 期
ZHON GXUESH UXU EZAZH I
2011年高考数学命题趋势预测
安徽岳西县城关中学 纵观 2010年全国及十几个省份的高考试题, 在 继承创新和保持整体稳定的前提下, 加大了改革创 新的力度, 形成 立意鲜明 , 背景新颖 , 百花齐放、 百 家争鸣 的特点. 既有利于中学课程改革的实施 , 也 有利于高校创新人才的选拔. 2011年高考数学考点总体上不会有大的变化 , 重点还将是函数、 三角、 不等式、 数列、 解析几何、 立 体几何和概 率, 但在保持总 体稳定的基础 上, 2011 年考点将会沿着 2009 、 2010 年改革步伐, 继续向前 推进, 以达到推进高中课改的要求, 以有利于对学生 创新能力和后继学习数学能力的提高 . 下面将以近 年来高考数学出现的新亮点为例, 以此预测 2011 年 高考命题新趋势 . 1 向量知识综合化 向量作为新增内容之一, 自一开始引入中学数 学教材就备受高考命题者的青睐, 成为高考的一个 亮点. 这是因为向量不仅拥有一套优良运算通性的 数学体系, 而且向量知识、 向量观点在数学很多分支 都有着广泛的应用, 平面向量具有几何形式与代数 形式的双重身份 , 能融数形一体 , 从而使它成为中学 数学知识的一个交汇点, 成为数学多项内容的媒介 . 向量在 2011 年的高考中将向综合化发展, 向量 与三角 , 数列、 函数和解析几何等章节在高考中将综 合命题 , 而向量与解析几何综合交汇命题在 2011 年 高考中应值得注意. 例 1 ( 四 川 卷 ) 已 知 两 定 点 F1 ( , 0 ), 2 F2 ( 2 , 0), 满足条件 | PF 2 | - | PF 1 | = 2 的点 P 的 轨迹是曲线 E, 直线 y = kx - 1与曲线 E 交于 A, B 两 点 , 如果 | AB | = 6 3 , 且曲线 E 上存在点 C, 使 OA + OB = m OC, 求 m 的值和 ! ABC 的面积 S . 分析 本小 题主 要考 查双曲 线的定义和性 质、 直 线与双 曲线的关系、 点到直 线的距离等知识及解析几何 的基本思想方法和综合解决 问题的能力 . 解 由 双曲 线的 定义 # 246600 李庆社 2 , 0 ), F 2 ( 2 , 0 ) 为焦点的 可知 , 曲线 E 是以 F 1 (-
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= ( 2k ) + 8 ( 1 - k ) > 0 x1 + x2 = x1 x2 = - 2k , 2 < 0 1- k - 2 2 > 0 1- k 1 + k # | x1 - x2 | =
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解得 - 2 < k < - 1. 又因为 | AB | = (x 1 + x 2 ) - 4x 1x 2 = = 2 1+ k #
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所以 f &( x ) 的图像的开口向上 , 对称轴方程为 x b 2b b b > 1知 | ( 1 ) - () | < | 0= - .由 a a a a (b 2b ) |, 所以 f &( x ) 在 [ 1 - , 0 ] 上的最大值为 a a b b > 1 ,知 ) a a 2b , 0] , a
f &( 0) = c, 即 x 1 = 0 . 又由 [1-
所以当 x = 2
b 时 , f &(x ) 取得最小值为 f &( a
b d b ) = - , 即 x2 = - . a a a 因为 f ( x 0 ) = f ( - 1 ) = - 1 a, 3 所以 A ( - 1 , b d 1 a ), B ( 0 , c), C ( - , ). a a 3
双曲线的左支 , 且 c = 2 , a= 1 , 易知 b = 1 , 2 2 故曲线 E 的方程为 x - y = 1 (x < 0 ). 设 A (x 1, y 1 ), B ( x 2, y 2 ), 由 题 意 建 立 方 程 组 y = kx - 1 2 2 , 消去 y, 得 ( 1 - k ) x + 2kx - 2 = 0 . 2 2 x - y = 1 又已知直线与双曲线左支交于两点 A, B, 有 1- k ∀ 0
因为 ! A CD 为正三角形,
所以 AC = AD, 所
以 CG = GD. 因为 G 在 CD 的垂直平分线上, 所以点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上, 过 G 作 GH 垂直 ED 于 H, 连结 AH, 则 AH , DE, 所以 − AH G 为二面 角 A - DE - C 的平面 角. 即 − AH G = . 设原正方形的边长为 2a, 连结 A F. 在折后图的 ! AEF 中, AF = 3a, EF = 2 AE = 2a, 即 ! AEF 为直角三角形 , AG # EF = AE # A F, 所 以 AG = 3 a, 在 R t! ADE 中 , AH # DE = AE # AD, 2 2 a, 5 , 2 5 a
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1+ k
- 2k 2 1- k
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- 2 2 1- k
(1+ k ) ( 2- k ) . 2 2 ( 1- k ) ( 1+ k ) ( 2- k ) = 6 3, 整理后 2 2 (1- k )
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依题意得 2
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得 28k - 55k + 25 = 0 , 2 5 2 5 或k = ,但- 2< k <- 1 ,所 所以 k = 4 7 以k =5 . 2 5 x+ y+ 1 = 0 . 2
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中学数学杂志 ( ∋ ) 求 x 0 的值 ;
2011 年第 1 期
8 . 所以点 C - 4 5 , m m 80 64 将点 C 的坐标代入曲线 E 的方程, 得 2 - 2 = 1 , m m 解得 m = % 4 , 但当 m = - 4时, 所得的点在双曲 线的右支上 , 不合题意 , 所以 m = 4 , C 点的坐标为 ( - 5 , 2). C 到 AB 的距离为 5 ∃ (2 5 2 所以 ! ABC 的面积 S = 点评 5) + 2 + 1
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由 ! ABC 有一条边平行于 x 轴知 AC 平行于 x 轴, 所以 1 d 2 2 a = - , 即 a = 3d 3 a ( 1)
又由 ! ABC 的面积为 2 + ( c+ a ) = 2+ 3 , 3
3得 1 ( - 1 + b ) # 2 a
cx + d, 其中 a , b , c是以 d 为公差的等差数列 , 且 a > 0 , d> 0 . 设 x 0 为 f (x ) 的极小值点 , 在 [ 1 2b , 0] a
利用 b = a + d, c = a + 2d, 得 3∗ ( 2 )
2 d d+ = 2+ 3 a
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上 , f &( x ) 在 x 1 处取得最大植, 在 x 2 处取得最小值 , 将点 (x 0, f ( x 0 ) ), ( x 1, f &( x 1 ) ), ( x 2, f &( x 2 ) ) 依次记 为 A, B, C.
故直线 AB 的方程为
设 C ( x c, y c ), 由已知 OA + OB = m OC, 得 (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (m x c, m y c ), x1 + x2 y1 + y2 所以 ( x c, y c ) = , (m ∀ 0 ). , m m 2k 又 x1 + x2 = 2 = - 4 5 , y 1 + y 2 = k (x 1 + k - 1 2 2 2k - 2= 2 = 8 , x2 ) - 2 = 2 k - 1 k - 1
பைடு நூலகம்
所以 AH = 所以 GH = cos =
GH 1 = . AH 4
点评 本小题考查空间中的线面关系 , 解三角 形等基础知识 , 考查空间想象能力和思维能力. 本题通过开放条件 、 结论 , 让学生的思维在创造 的气氛中得到锻炼与发展, 并让学生在开放探索中 发散思维 , 从而使学生的主体意识得到唤起 , 创新精 神得以呈现. 以立体几何为载体的探索性问题将成为 2011 年高考命题的热点之一, 值得大家重视的是对一些 探索性问题常用向量法去思考, 这样思路清晰, 目标 明确 , 从而大大降低求解难度 . 4 概率与统计模型生活化 概率与统计是高中新增加的内容之一, 在高考 中概率是必考的内容, 且常以一道大题的形式出现, 概率知识时常作为应用题来考查 , 题目的材料越来 越接近生活. 例 4 ( 北京卷 ) 某公司招聘员工, 指定三门考 试课程, 有两种考试方案 . 方案一: 考试三门课程, 至少有两门及格为考试 通过 ; 方案二: 在三门课程中 , 随机选取两门, 这两门 都及格为考试通过 . 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率 分别是 a, b, c, 且三门课程考 试是否及格相互之间 没有影响 . 求 : ( ∋ ) 分别求该应聘者用方案一和方案二时考 试通过的概率 ;
