初中数学——用“倍半角模型”解题事半功倍

半角模型十五个结论及证明《探索半角模型的十五个结论及证明》嗨，大家好！今天我要和大家一起探索一个超有趣的数学知识——半角模型的十五个结论及证明。

这就像是一场奇妙的数学冒险，跟我来呀！一、什么是半角模型呢？半角模型呀，就像是一个神秘的数学宝藏，藏在各种几何图形里。

想象一下，我们有一个正方形或者等腰直角三角形，然后在这个图形里出现了一个角，这个角是另外一个大角的一半，这就形成了半角模型。

比如说，在正方形里，一个角是45度，它就是直角90度的一半呢。

这时候啊，就会有好多神奇的结论冒出来。

二、结论一：线段相等我给大家举个例子哈。

在正方形ABCD中，∠EAF = 45度（E、F分别在BC、CD 上）。

我们能发现BE + DF = EF。

这是为啥呢？我们可以把△ADF绕着点A顺时针旋转90度，这样AD就和AB重合了。

旋转后的点F变成了F'。

那这个时候呀，我们就会发现△AEF和△AEF'是全等的。

为啥呢？因为AF = AF'，∠EAF = ∠EAF' = 45度，AE是公共边啊。

就像两个一模一样的小积木，那EF就等于EF'了，而EF'就是BE + DF呀。

你们说神奇不神奇？这就好比是把分散的力量集中起来了，原本分开的BE和DF，通过旋转这个魔法，就变成了和EF相等的线段。

三、结论二：三角形面积关系还有一个有趣的结论呢。

三角形AEF的面积等于三角形ABE的面积加上三角形ADF的面积。

这又怎么理解呢？我们刚刚把△ADF旋转到了△ABF'的位置。

那三角形AEF的面积就等于三角形AEF'的面积啦。

而三角形AEF'的面积就是三角形ABE的面积加上三角形ABF'（也就是原来的三角形ADF）的面积。

这就好像是把两个小地块合并起来就等于一个大地块的面积一样。

四、结论三：角平分线如果我们延长CB到G，使得BG = DF，连接AG。

我们会发现AG是∠EAG的角平分线呢。

倍半角模型知识精讲一、二倍角模型处理方法1. 作二倍角的平分线，构成等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形.2. 延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.例题：如图，在△ABC中，∠C＝2∠A，AC＝2BC，求证：∠B＝90º.【解答】见解析【证法一】如图1，作∠C的平分线CE交AB于点E，过点E作ED⊥AC于点D.则∠ACE＝∠A，AE＝CE，∵AE＝EC，ED⊥AC，∴CD＝AC，又∵AC＝2BC，∴CD＝CB，∴△CDE≌△CBE，∴∠B＝∠CDE＝90º；【证法二】如图2，延长AC到点D，使得CD＝CB，连接BD，取AC的中点E，连接BE. 由题意可得EC＝CD＝BC，∠DBE＝90º，∵CD＝CB，∠D＝∠CBD，∴∠ACB＝2∠D，∵∠ACB＝2∠A，∠A＝∠D，∴AB＝BD，又∵AE＝DC，∴△ABE≌△DBC，∴∠ABE＝∠DBC，∴∠ABC＝∠EBD＝90º.【证法三】如图3，作∠C的平分线CD，延长CB到点E，使得CE＝AC，∴AC＝BC＋BE. ∵AC＝2BC，∴BC＝BE，在△ACD与△ECD中，AC＝EC，∠ACD＝∠ECD，CD＝CD，∴△ACD≌△ECD，∴∠A＝∠E，又∵∠DCB＝∠DCA＝∠A，∴∠E＝∠DCB，∴DC＝DE，∴∠ABC＝90º.二、倍半角综合1. 由“倍”造“半”已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可.如图，若，则（）2. 由“半”造“倍”已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可.如图，在Rt△ABC（∠A＜45º）的直角边AC上取点D，当BD＝AD时，则∠BDC＝2∠A，设，则，在Rt△BCD中，由勾股定理可得，解得，故有.三、一些特殊的角度1. 由特殊角30º求tan15º的值如图，先构造一个含有30º角的直角三角形，设BC＝1，，AB＝2，再延长CA至D，使得AD＝AB＝2，连接BD，构造等腰△ABD，则∠D＝∠BAC＝15º，.2. 由特殊角45º求tan22.5º的值由图可得，.3. “345”三角形（1）如图1，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，若，则；（2）如图2，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，若，则；（3）如图3，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，若，则.。

用“倍半角模型”解题事半功倍段广猛（江苏省爲邮市赞化学校）首先，一个问题如果是确左性的，那么就注泄是可解的•英次，因果法是一种重要的思考问题的方式，"由因导果、执果索因”是分析问题、解决问题的重要途径.下而笔者借助平时教学中遇到过的一些问题，通过常规解法及“倍半角”解法，两相对比，让大家体会“倍半角” 解题模型的优势.一、“倍半角模型”（一）问题的提出：首先介绍一下，什么是“倍半角模型” ？如图1,在RtAABC中，记ZA二卩，贝lj tan卩二（不妨b0 设a<b），当冬b确左时，tan0及Zp都随之确定，那么2P及2卩角也是确左的，从而ta〒及tan2p的值也是确定的，既然是确立的，注立是可解的，那么如何求解呢？P（二）由“倍0”到“半:2如图2、延长CA至D,使AD二AB二c,连结BD,构造岀等B pB腰/\血，贝IJZD二ZDBA二一‘从而构造出角一‘而且此一角2 2 2P a恰好在RtADBC中，故可求出tan- = ---------------2 b +c上而这个过程不妨称为“由倍到半”的过程，简单易懂，但结论作用却很大，可以实现已知一个角的三角函数值，轻易求出这个角的一半所对应的三角函数值，从而此半角所在的直角三角形三边之比就可以确建下来，用于计算.（三）由“半卩”到“倍2卩":如图3,作斜边AB的垂直平分线交AC于点E,连结BE 构造出等腰△ABE,则ZA=ZEBA=p, ZBEC二2p,从而构造岀角2p 而且此2卩角恰好在Rt/kEBC中，设CE二x,贝IJAE二BE二b-x,在RtAEBC 2 22 b2-a2中，由勾股左理得x + “ = （b—x）>解之得x = ------------------- 故可2b C LCA图2图ia lab求岀二十"（此公式不需要记忆）.上而这个过程不妨称为“由半到倍”的过程，计算稍显复杂，但结论作用却很大，可以实现已知一个角的三角函数值，轻易求出这个角的2倍所对应的三角函数值，从而此倍角所在的直角三角形三边之比就可以确定下来，用于计算.通过上而两个过程，可以看岀，一般情况下，“由倍到半”容易，“由半到倍”稍复杂些，而且都是通过构造等腰三角形得出已知角的“半角”与“倍角”的，操作容易，作用极大.作者简介：段广猛（1989年一〉，男，江苏宿迁人，中学一级教师.任教于商邮市赞化学校•理学颁七,毕业于苏州大学数学系.主要从事数学教仃与中学教学研尤。

几何图形之半角模型主题半角模型教学内容教学目标1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。

2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。

3.正确运用正方形的性质解题。

4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。

5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。

知识结构正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）。

正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。

正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。

小结：（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图（2）正方形的性质：①正方形对边平行。

②正方形四边相等。

③正方形四个角都是直角。

④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

典型例题精讲例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ．【解析】：作GM ⊥BD ，垂足为M ． 由题意可知∠ADG=GDM ， 则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM ．而BM=BD-DM=22-2=2（2-1）， ∴AG=BM=2（2-1）．例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积？【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ．设PF x =，则10EF x =+，1(10)2BF x =+．由222PB PF BF =+． 可得：222110(10)4x x =++． 故6x =．216256ABCD S ==．例 3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？【解析】：要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可． 理由：连结AE 、AF ．由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用， ∴△ABE ≌△AME ． ∴BE=ME ．同理可得，△ADF ≌△AMF ．∴DF=MF ．∴EF=ME+MF=BE+DF ．例4．如下图E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且45EAF ︒∠=，试说明EF BE DF =+。

专题04 半角模型与倍角模型模型一、正方形中含半角模型如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF 于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD.例.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为4．【答案】4【解答】解：如图，延长FD到G，使DG＝BE；连接CG、EF；∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，∵CE＝5，CB＝4，∴BE＝3，∴AE＝1，设AF＝x，则DF＝4﹣x，GF＝1+（4﹣x）＝5﹣x，∴EF＝＝，∴（5﹣x）2＝1+x2，∴x＝，即AF＝，∴DF＝4﹣＝，∴CF＝＝＝4，故答案为：4．【变式训练1】已知四边形ABCD 是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A 点重合，将此三角板绕A 点旋转时，两边分别交直线BC ，CD 于M ，N ．(1)如图1，当M ，N 分别在边BC ，CD 上时，求证：BM +DN =MN(2)如图2，当M ，N 分别在边BC ，CD 的延长线上时，请直接写出线段BM ，DN ，MN 之间的数量关系(3)如图3，直线AN 与BC 交于P 点，MN =10，CN =6，MC =8，求CP 的长．【答案】（1）见解析；（2）BM DN MN -=；（3）3【详解】（1）证明：如图，延长CB 到G 使BG DN =，连接AG ，∵四边形ABCD 是正方形，∵AB AD =，90ABG ADN BAD ∠=∠=∠=︒，在ABG 与ADN △中，AB AD ABG ADN BG DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGB AND SAS ∴△≌△，AG AN ∴=，GAB DAN ∠=∠，45MAN ∠=︒，90BAD ∠=︒，∵45DAN BAM BAD MAN ∠+∠=∠-∠=︒，45GAM GAB BAM DAN BAM ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，GAM NAM ∴∠=∠，在AMN 与AMG 中，AM AM GAM NAM AN AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AMG SAS ∴△≌△，MN GM ∴=，又∵BM GB GM +=，BG DN =，BM DN MN ∴+=；（2）BM DN MN -=，理由如下：如图，在BM 上取一点G ，使得BG DN =，连接AG ，∵四边形ABCD 是正方形，∵AB AD =，90ABG ADN BAD ∠=∠=∠=︒，在ABG 与ADN △中，AB AD ABG ADN GB DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGB AND SAS ∴△≌△，AG AN ∴=，GAB DAN ∠=∠，∵GAB GAD DAN GAD ∠+∠=∠+∠，∵90GAN BAD ∠=∠=︒，又45MAN ∠=︒，45GAM GAN MAN MAN ∴∠=∠-∠=︒=∠，在AMN 与AMG 中，AM AM GAM NAM AN AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AMG SAS ∴△≌△，MN GM ∴=，又∵BM BG GM -=，BG DN =，∵BM DN MN -=，故答案为：BM DN MN -=；（3）如图，在DN 上取一点G ，使得DG BM =，连接AG ，∵四边形ABCD 是正方形，∵AB AD BC CD ===，90ABM ADG BAD ∠=∠=∠=︒，//AB CD ，在ABM 与ADG 中，AB AD ABM ADG BM DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABM ADG SAS ∴△≌△，AM AG ∴=，MAB GAD ∠=∠，∵MAB BAG GAD BAG ∠+∠=∠+∠，∵90MAG BAD ∠=∠=︒，又45MAN ∠=︒，45GAN MAG MAN MAN ∴∠=∠-∠=︒=∠，在AMN 与AGN 中，AM AG MAN GAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AGN SAS ∴△≌△，10MN GN ∴==，设DG BM x ==，∵6CN =，8MC =，∵1064DC DG GN CN x x =+-=+-=+，8BC MC BM x =-=-，∵DC BC =，∵48x x +=-，解得：2x =，∵6AB BC CD CN ====，∵//AB CD ，∵BAP CNP ∠=∠，在ABP △与NCP 中，APB NPC BAP CNP AB CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABP NCP AAS ∴△≌△，132CP BP BC ∴===， ∵CP 的长为3．【变式训练2】如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝CD ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠MAN ＝∠BAD ．（1）如图1，将∠MAN 绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图2，将∠MAN 绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 的延长线于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，将∠MAN 绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 的反向延长线于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明．【答案】见解析 【详解】解：（1）证明：延长MB 到G ，使BG ＝DN ，连接AG ．∵∵ABG ＝∵ABC ＝∵ADC ＝90°，AB ＝AD ，∵∵ABG ∵∵ADN ．∵AG ＝AN ，BG ＝DN ，∵1＝∵4．∵∵1+∵2＝∵4+∵2＝∵MAN ＝∵BAD ．∵∵GAM ＝∵MAN ．又AM＝AM，∵∵AMG∵∵AMN．∵MG＝MN．∵MG＝BM+BG．∵MN＝BM+DN．（2）MN＝BM﹣DN．证明：在BM上截取BG，使BG＝DN，连接AG．∵∵ABC＝∵ADC＝90°，AD＝AB，∵∵ADN∵∵ABG，∵AN＝AG，∵NAD＝∵GAB，∵∵MAN＝∵NAD+∵BAM＝∵DAB，∵∵MAG＝∵BAD，∵∵MAN＝∵MAG，∵∵MAN∵∵MAG，∵MN＝MG，∵MN＝BM﹣DN．（3）MN＝DN﹣BM．模型二、等腰直角三角形角含半角模型如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.例.如图，已知∵ABC中，∵BAC=90°，AB=AC,D,E是B C边上的点，将∵ABD绕点A旋转，得到∵AC D′，当∵DAE=45°时，求证：DE=D′E；在（1）的条件下，猜想：BD2，DE2，CE2有怎样的数量关系？请写出，并说明理由.【答案】见解析【详解】解析：因为∵ABD绕点A旋转，得到△ACD′∵AD=AD′，∵DAD’=∵BAC=90°∵∵DAE=45°，∵∵EAD’=∵DAD’-∵DAE=45°∵在∵AED和∵AED′中，AE=AE，∵EAD=∵AED’，AD=AD’∵∵AED∵∵AED’，∵DE=D’E由（1）得∵AED∵∵AED’，ED=ED’在∵ABC中，AB=AC,∵BAC=90°，∵∵B=∵ACB=45°∵∵ABD绕点A旋转，得到∵ACD’，∵BD=CD’,∵B=∵ACD’=45°∵∵BCD’=∵ACB+∵ACD’=45°+45°=90°【变式训练1】在等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90º，O为AB的中点，∠EOF＝45º，交CA于F，交BC的延长线于E.（1）求证：EF＝CE＋AF；（2）如图2，当E在BC上，F在CA的反向延长线上时，探究线段AF、CE、EF之间的数量关系，并证明.【答案】（1）见解析；（2）AF－EF＝CE.【解析】（1）连接CO，过点O作OG⊥OF交BE于点G，如图所示：由题意可得△AOF≌△COG，∴OF＝OG，∴△EOF≌△EOG，∴EF＝EG，∴EF＝EG＝EC＋CG＝EC＋AF；（2）AF－EF＝CE.【变式训练2】如图所示，等腰直角∵ABC 中，∵ACB ＝90°，E 、F 为AB 上两点（E 左F 右），且∵ECF ＝45°，求证：222AE BF EF +=．【答案】见解析【详解】解：222AE BF EF +=，理由如下：如图，将∵BCF 绕点C 旋转得∵ACF ′，使∵BCF 的BC 与AC 边重合，即∵ACF ′∵∵BCF ，∵在∵ABC 中，∵ACB ＝90°，AC ＝BC ，∵∵CAF ′＝∵B ＝45°，∵∵EAF ′＝90°，∵∵ECF ＝45°，∵∵ACE ＋∵BCF ＝45°，∵∵ACF ′＝∵BCF ，∵∵ECF ′＝45°，在∵ECF 和∵ECF ′中45CE CE ECF ECF CF CF =⎧⎪∠=∠='︒⎨='⎪⎩∵∵ECF ∵∵ECF ′（SAS ），∵EF ＝EF ′，在Rt ∵AEF ′中，222AE F A F E ''+=，∵222AE BF EF +=．【变式训练3】如图，∵ABC 是边长为3的等边三角形，∵BDC 是等腰三角形，∵BDC ＝120º，以D 为顶点作一个60º的角，使其两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连接MN ，则∵AMN 的周长是多少？【答案】6【详解】∵∵BDC 是等腰三角形，且∵BDC ＝120º，∵∵BCD ＝∵DBC ＝30º，∵∵ABC 是边长为3的等边三角形，∵∵ABC ＝∵BAC ＝∵BCA ＝60º，∵DBA ＝∵DCA ＝90º，如图，延长AB 至点F ，使BF ＝CN.连接DF，在∵BDF与∵CND中，∵∵BDF＝∵CDN，DF＝DN，∵∵MDN＝60º，∵∵BDM＋∵CDN＝60º，∵∵BDM＋∵BDF＝60º，在∵DMN与∵DMF中，∵MN＝MF，∵∵AMN的周长是：AM＋AN＋MN＝AM＋MB＋BF＋AN＝AB＋AC＝6.模型三、二倍角模型（1）作二倍角的平分线，构成等腰三角形.（2）延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.例.已知及的值（利用倍半角模型解题）.，.【解析】由图1，由图2可得.【变式训练1】如图，在正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过点A作AF⊥BE交CD边于点F，M是AD边上一点，且BM＝DM＋CD.（1）求证：点F是CD边上的中点；（2）求证：∠MBC＝2∠ABE.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝AB＝BC，∠C＝∠D＝∠BAD＝90º，AB∥CD，∵AF⊥BE，∴∠AOE＝90º，∴∠EAF＋∠AEB＝90º，∠EAF＋∠BAF＝90º，∴∠AEB＝∠BAF，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AFD，∴∠AEB＝∠AFD，∵∠BAD＝∠D，AB＝AD，∴△BAE≌△ADF，∴AE＝DF，∵点E是边AD的中点，∴点F是CD边上的中点；（2）延长AD至点G，使得MG＝MB，连接FG、FB，如图所示：∵BM＝DM＋CD，∴DG＝DC＝BC，∵∠GDF＝∠C＝90º，DF＝CF，∴△FDG≌△FCB，∴∠DFG＝∠CFB，∴点B、F、G共线，∵点E为AD边上的中点，点F是CD边上的中点，AD＝CD，∴AE＝CF，∵AB＝BC，∠C＝∠BAD＝90º，AE＝CF，∴△ABE≌△CBF，∴∠ABE＝∠CBF，∵AG∥BC，∴∠AGB＝∠CBF＝∠ABE，∴∠MBC＝∠AMB＝2∠AGB＝2∠GBC＝2∠ABE，∴∠MBC＝2∠ABE.【变式训练2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90º，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD 翻折得到△AED，连接CE，求线段CE的长.【解析】如图，连接BE交AD于点O，作AH⊥BC于点H.在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝3，∴BC＝5，∵CD＝DB，∴AD＝DC＝DB＝，，∵AE＝AB，DE＝DB＝DC，∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，，∴BE＝2OB＝，在Rt△BCE.课后训练1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，D是AB边上的一点，M是CD的中点，若∠AMD＝∠BMD.求证：∠CDA＝2∠ACD.【答案】见解析【解析】证明：过点A作AG∥DC交BM延长线于点H交BC的延长线于点G，连接HC，如图所示：由题意可得∠BMD＝∠AHB，∠AMD＝∠HAM，∠HAC＝∠ACD，即，∵CM＝DM，∴HG＝AH，即点H是AG的中点，∵AC⊥BC，∴，∴∠HCA＝∠HAC＝∠ACD，∴∠HCM＝∠HCA＋∠ACD＝∠ACD＋∠ACD＝2∠ACD，∵∠HAM＝∠AMD，∠AMD＝∠BMD，∠BMD＝∠AHB，∠BMD＝∠HMC，∴HM＝AM，∵MD＝MC，∠AMD＝∠HMC，AM＝HM，∴△AMD≌△HMC，∴∠ADM＝∠HCM＝2∠ACD.2.在△ABC中，∠C＝90º，AC＝8，AB＝10，点P在AC上，AP＝2BP与AB、AC.的半径为1【解析】过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，延长CA至点F，使得AF＝AB＝10，连接OA、BF，如图所示：由题意可得OD＝OE，AO平分∠EAO，∠F＝BAC，∴tan∠EAO＝tan∠F＝，设的半径为，由BC＝PC＝6，∴△PBC为等腰直角三角形，∴EP＝OE＝，EA＝＋2，，解得1.3.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180º，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE＋FD.【答案】见解析【解析】如图，将△ADF顺时针旋转得到△ABG，使得AD与AB重合.∵旋转，∴△ADF≌△ABG，∴∠FAG＝∠BAD，AF＝AG，DF＝GB，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠EAG，又∵AE＝AE，∴△EAG≌△EAF，∴GE＝EF，∵GE＝GB＋BE＝DF＋BE，∴EF＝BE＋FD.4.已知，在正方形ABCD中，∠MAN＝45º，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM＋DN＝MN.（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN、和MN之间有怎样的数量关系？猜想一下，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.【解答】（1）猜想：BM＋DN＝MN；（2）猜想：DN－BM＝MN【解析】（1）猜想：BM＋DN＝MN.证明：如图，将△AND绕点A顺时针旋转90º，得到△ABE，则E、B、M共线，∴∠EAM＝90º－∠NAM＝90º－45º＝45º，∵∠NAM＝45º，在△AEM与△ANM中，∴ME＝MN，∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴DN＋BM＝MN；（2）猜想：DN－BM＝MN.证明：在线段DN上截取DQ＝BM，如图所示.在△ADQ与△ABM中，，∴∠DAQ＝∠BAM，∴∠QAN＝∠MAN，在△AMN与△AQN中，∴MN＝QN，∴DN－BM＝MN.5.如图，在平面直角坐标系中，且.（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）如图2，A、B两点在轴上、轴上的位置不变，在线段AB上有两动点M、N，满足∠MON＝45º，试猜想线段BM、AN、MN之间的数量关系，并证明你的结论.【解答】（1）见解析；（2）【解析】（1），且，∴，，∴OA ＝OB ＝OC ＝4，∵∠AOB ＝∠BOC ＝90º，∴∠BCA ＝∠CBO ＝∠OBA ＝∠BAC ＝45º，∴BA ＝BC 且∠CBA ＝90º，即△ABC 是等腰直角三角形；（2）猜想：.∵OA ＝OB ＝4，∴∠AOB ＝90º，如图，将△BOM 绕点O 顺时针旋转90º得到△AOD ， ∴AD ＝BM ，DO ＝MO ，∠OAD ＝∠OBM ＝45º，且∠DOM ＝∠AOB ＝90º，∴∠AOD ＝∠BOM ， ∵∠MON ＝45º，∠AOB ＝90º，∴∠BOM ＋∠AON ＝45º，∴∠AOD ＋∠AON ＝45º，即∠DON ＝∠MON ＝45º，∴△DON ≌△MON ，∴DN ＝MN ，∵∠OAD ＝∠OBM ＝∠BAO ＝45º，即∠NAD ＝90º，.6.已知正方形ABCD ，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC 于点M 、N ，AH MN ⊥于点H ．（1）如图①，当BM DN =时，可以通过证明≌ADN ABM ，得到AH 与AB 的数量关系，这个数量关系是___________；（2）如图②，当BM DN ≠时，（1）中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？说明理由；（3）如图③，已知AMN 中，45MAN ∠=︒，AH MN ⊥于点H ，3MH =，7=NH ，求AH 的长．【答案】（1）AB AH =；（2）AB AH =成立，理由见解析；（3）AH =【详解】解：（1）∵正方形ABCD ，∵AB ＝AD ，∵B ＝∵D ＝∵BAD ＝90°，在Rt ∵ABM 和Rt ∵ADN 中，AB AD B D BM DN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∵Rt ∵ABM ∵Rt ∵ADN （SAS ），∵∵BAM ＝∵DAN ，AM ＝AN ， ∵∵MAN ＝45°，∵∵BAM ＋∵DAN ＝45°，∵∵BAM ＝∵DAN ＝22.5°，∵∵MAN ＝45°，AM ＝AN ，AH ∵MN ，∵∵MAH ＝∵NAH ＝22.5°，∵∵BAM ＝∵MAH ，在Rt ∵ABM 和Rt ∵AHM 中，BAM MAH B AHM AM AM ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∵Rt ∵ABM ∵Rt ∵AHM （AAS ），∵AB ＝AH ，故答案为：AB ＝AH ；（2）AB ＝AH 成立，理由如下：延长CB 至E ，使BE ＝DN ，如图：∵四边形ABCD 是正方形，∵AB ＝AD ，∵D ＝∵ABE ＝90°，在Rt ∵AEB 和Rt ∵AND 中，AB AD ABE D BE DN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∵Rt ∵AEB ∵Rt ∵AND （SAS ），∵AE ＝AN ，∵EAB ＝∵NAD ，∵∵DAN ＋∵BAM ＝45°，∵∵EAB ＋∵BAM ＝45°，∵∵EAM ＝45°，∵∵EAM ＝∵NAM ＝45°，在∵AEM 和∵ANM 中，AE AN EAM MAN AM AM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∵∵AEM ∵∵ANM （SAS ），∵AB ，AH 是∵AEM 和∵ANM 对应边上的高，∵AB ＝AH ．（3）分别沿AM ，AN 翻折∵AMH 和∵ANH ，得到∵ABM 和∵AND ，分别延长BM 和DN 交于点C ，如图：∵沿AM ，AN 翻折∵AMH 和∵ANH ，得到∵ABM 和∵AND ，∵AB ＝AH ＝AD ，∵BAD ＝2∵MAN ＝90°，∵B ＝∵AHM ＝90°＝∵AHN ＝∵D ， ∵四边形ABCD 是正方形，∵AH ＝AB ＝BC ＝CD ＝AD ．由折叠可得BM ＝MH ＝3，NH ＝DN ＝7，设AH ＝AB ＝BC ＝CD ＝x ，在Rt ∵MCN 中，由勾股定理，得MN 2＝MC 2＋NC 2，∵()()()2227+3=37x x -+-，解得5x =5x =，∵AH =。

中考数学解题的基本模型半角模型建立模型如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=1/2∠BAD.求证：EF=BE+DF.分析：要证明一条线段等于两条线段的和，我们首先想到的是"截长补短"添加辅助线.如下图，在线段EF上截取EG=EB.如果能证明线段GF=DF，则结论得证.而要证明两条线段相等，且两条线段不在同一个三角形中，可以尝试利用全等.即证明△ABE≌△AGE.通过尝试，我们发现很难证明这两个三角形全等，所以"截长"无法得到我们想要的结果.再试一试“补短”，延长CD至点G，使DG=EB.如下图：此时若能证明FG=FE，则FE=FG=FD+DG=FD+BE.结论得证.而要证明FE=FG，只需证明△AEF≌AGF即可.证明：延长FD至点G，使DG=BE.易证△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG.∴∠EAF=1/2∠BAD=∠BAE+∠FAD=∠DAG+∠FAD=∠GAF又∵AF=AF，∴△EAF≌△GAF.∴EF=GF=DF+DG=DF+BE反思：1、本题中的辅助线：延长DG=BE，也可以通过旋转来实现（实际上就是将三角形ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的度数）.需要指出的是，如果用旋转，需说明C、D、G三点共线（证明∠ADG+∠ADC=180°即可）.2、题中有三个非常重要的元素：（1）∠EAF=1/2∠BAD（半角模型名称的由来）；（2）AB=AD. 共端点的两条线段相等，这点尤为关键，它为下一步的旋转提供了条件.当题中出现一个角等于另一角的一半，且共端点的线段相等时，常采用旋转，将分散的条件集中起来，为下一步的证明做好铺垫. （3）对角互补.由于对角互补的存在，通过旋转，两边的两个三角形可拼成一个大三角形，进而可证明三角形全等.一、半角结构之90°与45°先来看一道题目：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF=45°.求证：EF=BE+DF.证明：证明：∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD且∠ABE+∠ADF=180°将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，此时点C、D、G三点共线.∴∠BAE=∠DAG，AE=AG. ∵∠EAF=45°∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠GAF=45°∴∠EAF=∠GAF. 又∵AF=AF.∴△EAF≌△GAF.∴EF=GF=DF+DG=DF+BE.模型应用1：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°.BE=2cm,DF=3cm.求正方形的边长.分析：根据上题的结论可知EF=BE+DF=5.设正方形的边长为x，那么CE=x-2，CF=x-3.在Rt△CEF中，根据勾股定理得，CE^2+CF^2=EF^2，即(x-2)^2+(x-3)^2=5^2，解得，x=6.所以正方形的边长为6以上的半角结构主要发生在四边形中，再次回顾半角结构中的重要元素：（1）半角（2）邻边相等（3）对角互补. 半角模型中经常通过旋转将分散的条件集中起来，进而通过三角形的全等进行证明.在三角形中同样存在半角模型，下面以一道题为例来说明三角形中的半角模型.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.点D，E是BC边上两点且∠DAE=45°求证：BD^2+CE^2=DE^2分析：看到这个结论，相信大部分同学首先想到的是勾股定理，但DE,BD,CE不在同一个三角形中.所以要想办法将他们集中在一个三角形里面，根据题中条件AB=AC，共端点的两条线段相等，可以尝试旋转.证明：因为AB=AC，且∠BAC=90°.将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG. 如下图：由旋转的性质可知，△ABD≌△ACG.∴AD=AG，∠BAD=∠CAG，∠ABD=∠ACG=45°.∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=∠CAG+∠EAC=45°∴∠DAE=∠GAE∴△DAE≌△GAE(SAS)∴DE=GE在Rt△GCE中CE^2+CG^2=GE^2∵BD=CG，DE=CG∴BD^2+CE^2=DE^2反思：对于本题，我们通过旋转将分散的条件集中起来，进而得到结论。

倍半角，镜面相似，2020贵阳中考压轴题分析
传播知识，传播力量！
贵阳市是贵州的省会，贵州有9个地级行政区，2020年的中考有三各个地方考卷一样（贵阳，安顺，六盘水），其他地方各自为战。

今天做的是贵阳中考：
选择题：
结合图形来看，主要应用二函对称性
开口无所谓：
填空题：
本题为静态几何求长度
所用的策略是倍半角构造之先转移再构造！
关键把∠A转移到∠BFC
再倍半构造即
倍半角处理策略，依山势建城堡，含例题分析
解答题几何：
看着也就最后一题有难度
（1）略
（2）其实和（3）是连续性的，甚至可以得到一般性结论，即△ABO不轮转多少度，△PQB恒为等直的结论。

联结O'A 可发现模型：
（交互式）镜面相似模型
简单证明：
证毕！
（3）就根据等直很好算了！
感谢支持：分享、转发、右下角点“在看赞”
“知识”这个东西非常的神奇，你把它分享出去，它不但不会减少，反而会增加，所分享知识应当是快乐的，也能够让自己提升，这就是我每天分享知识的信念。

专题08倍半角模型【模型解读】半角向外构等腰，倍角向内构等腰.【必备知识】等腰三角形与“倍半角”在等腰ABC △中，AB AC =，则2CAD B ∠=∠【模型建立】 （一）向外构造等腰,得到“半”角 如图，在直角三角形中，若tan a b θ=，则tan 2a b cθ=+已知“倍角”求“半角”，只需将该倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长，“等腰现，半角出”（二）向内构造等腰得到“倍”角如图，在Rt △的直角边上取点，向内构造等腰，设x ，在粉色Rt △中，由勾股定理可以解出x ，从而得到tan 2θ已知“半角”求“倍角”，只需在该半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段，“等腰现，倍角出”； 可以看出：由“倍”造“半”，极其容易，只需口算；由“半”造“倍”，相对麻烦，需要方程；【特殊“半角”】(一)15°角问题：如何计算tan15°的值呢?由15°容易联想到30°，它们之间存在着“倍半”关系；如图，先构造一个含30°角的Rt △ABC，设1,BC CA AB ===2，再延长CA 至D 使AD=AB=2，连接BD ，构造出等腰△ABD ，则115,2D BAC ︒∠=∠=故在Rt △DBC 中，有tan152BC DC ︒===(二)22．5°角 构造可得tan 22.5BC DC ︒==1= 而tan 67.51,tan 22.5DC BC︒︒==与tan67．5°互为倒数. ba x1D(三)“345”三角形①如图，Rt △ABC 三边比为3：4：5，Rt △BCE 三边比为1:即若3tan ,4BAC ∠=11tan tan 23E BAC ∠=∠=②如图，Rt △ABC 三边比为3：4：5，Rt △ACF 三边比为1:2即若4tan ,3ABC ∠=11tan tan 22F ABC ∠=∠=121D54B54F③如图，Rt △ABC 三边比为3：4：5，Rt △BCD 三边比为7：24：25，即若3tan ,4A ∠=则tan 24tan 27BDC A ∠=∠=记住这些常用的数据以及来龙去脉，对于解题来说，百利而无一害．【模型实例】1．如图，在正方形ABCD 中，1AB =，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，AE AF =，60EAF ∠=︒，则CF 的长是 ．2．如图，在正方形纸片ABCD 中，E 是CD 的中点，将正方形纸片折叠，点B 落在线段AE 上的点G 处，折痕为AF ，若4AD cm =，则CF 的长为 cm ．3．如图，ABC ∆中，点E 在边AC 上，EB EA =，2A CBE ∠=∠，CD 垂直于BE 的延长线于点D ，8BD =，11AC =，则边BC 的长为 ．x43B4．如图，点A 在反比例函数(0)k y x x=<上，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，C 为x 轴正半轴上一点，连接AC 交y 轴于点D ，3tan 4ACB ∠=，AO 平分CAB ∠，此时，8ABC S ∆=，则k 的值为 ．5．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是CD 的中点，AF 平分BAE ∠交BC 于点F ，将ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒得ABG ∆，则CF 的长为 ．6．如图，AB 是O 的直径，C ，P 是AB 上两点，13AB =，5AC =，如图，若点P 是AB 的中点，求PA 的长；7．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，AD 平分BAC ∠，AD 交BC 于点D ，ED AD ⊥交AB 于点E ，ADE ∆的外接圆O 交AC 于点F ，连接EF ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）求O 的半径r 及3∠的正切值．8．如图，BM 是以AB 为直径的O 的切线，B 为切点，BC 平分ABM ∠，弦CD 交AB 于点E ，DE OE =．（1）求证：ACB ∆是等腰直角三角形；（2）求证：2OA OE DC =；（3）求tan ACD ∠的值．9．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以CB 为半径作C ，交AC 于点D ，交AC 的延长线于点E ，连接BD ，BE ．（1）求证：ABD AEB ∆∆∽；（2）当43AB BC =时，求tan E ； （3）在（2）的条件下，作BAC ∠的平分线，与BE 交于点F ，若2AF =，求C 的半径．10．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 是弧BC 的中点，BC 与AD 、OD 分别交于点E 、F ．（1）求证：//DO AC ；（2）求证：2DE DA DC ⋅=；（3）若1tan 2CAD ∠=，求sin CDA ∠的值．11．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线212y x bx c =-++经过A ，B 两点且与x 轴的负半轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D 为直线AB 上方抛物线上的一个动点，当2ABD BAC ∠=∠时，求点D 的坐标；12．二次函数24(0)y ax bx a =++≠的图象经过点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，当2DPB BCO ∠=∠时，求直线BP 的表达式；13．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线212y x bx c =-++经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点，过点D 作DF AC ⊥，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得CDF ∆中的某个角恰好等于BAC ∠的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线26y ax x c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线5y x =-经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ，连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，请直接写出点M 的坐标．15．如图，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A 、B 两点，其中点A 坐标为(1,0)，与y 轴交于点(0,3)C -．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足2PAB ACO∠=∠．求点P的坐标；16．在平面直角坐标系中，直线122y x=-与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数212y x bx c=++的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．（1）求二次函数的表达式；（2）如图，过点D作DM BC⊥于点M，是否存在点D，使得CDM∆中的某个角恰好等于ABC∠的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．专题08倍半角模型【模型解读】半角向外构等腰，倍角向内构等腰.【必备知识】等腰三角形与“倍半角”在等腰ABC △中，AB AC =，则2CAD B ∠=∠【模型建立】 （一）向外构造等腰,得到“半”角 如图，在直角三角形中，若tan a b θ=，则tan 2a b cθ=+已知“倍角”求“半角”，只需将该倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长，“等腰现，半角出”（二）向内构造等腰得到“倍”角如图，在Rt △的直角边上取点，向内构造等腰，设x ，在粉色Rt △中，由勾股定理可以解出x ，从而得到tan 2θ已知“半角”求“倍角”，只需在该半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段，“等腰现，倍角出”；可以看出：由“倍”造“半”，极其容易，只需口算；由“半”造“倍”，相对麻烦，需要方程；【特殊“半角”】(一)15°角问题：如何计算tan15°的值呢?由15°容易联想到30°，它们之间存在着“倍半”关系；如图，先构造一个含30°角的Rt△ABC，设1,BC CA AB===2，再延长CA至D使AD=AB=2，连接BD，构造出等腰△ABD，则115,2D BAC︒∠=∠=故在Rt△DBC中，有tan152BCDC︒===(二)22．5°角构造可得tan22.5BCDC︒==1=而tan67.51,tan22.5DCBC︒︒==与tan67．5°互为倒数.bax1D(三)“345”三角形①如图，Rt △ABC 三边比为3：4：5，Rt △BCE三边比为1:即若3tan ,4BAC ∠=11tan tan 23E BAC ∠=∠=②如图，Rt △ABC 三边比为3：4：5，Rt △ACF 三边比为1:2:即若4tan ,3ABC ∠=11tan tan 22F ABC ∠=∠=121D54B③如图，Rt△ABC三边比为3：4：5，Rt△BCD三边比为7：24：25，即若3 tan,4A∠=则tan24tan27 BDC A∠=∠=记住这些常用的数据以及来龙去脉，对于解题来说，百利而无一害．【模型实例】1．如图，在正方形ABCD中，1AB=，点E、F分别在边BC和CD上，AE AF=，60EAF∠=︒，则CF1．54Fx43B【解答】解：四边形ABCD 是正方形，90B D BAD ∴∠=∠=∠=︒，1AB BC CD AD ====，在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中， AE AFAB AD=⎧⎨=⎩， Rt ABE Rt ADF(HL)∴∆≅∆，BAE DAF ∴∠=∠，60EAF ∠=︒， 30BAE DAF ∴∠+∠=︒， 15DAF ∴∠=︒，在AD 上取一点G ，使15GFA DAF ∠=∠=︒，如图所示，AG FG ∴=，30DGF ∠=︒， 1122DF FG AG ∴==，DG ，设DF x =，则DG ，2AG FG x ==， AG DG AD +=，21x ∴=，解得：2x =2DF ∴=，1(21CF CD DF ∴=-=-=；1-．2．如图，在正方形纸片ABCD 中，E 是CD 的中点，将正方形纸片折叠，点B 落在线段AE上的点G 处，折痕为AF ，若4AD cm =，则CF 的长为 (6- cm ．【解答】解：设BF x =，则FG x =，4CF x =-．在Rt ADE ∆中，利用勾股定理可得AE =．根据折叠的性质可知4AG AB ==，所以4GE =．在Rt GEF ∆中，利用勾股定理可得2224)EF x =+， 在Rt FCE ∆中，利用勾股定理可得222(4)2EF x =-+，所以22224)(4)2x x +=-+，解得2x =．则46FC x =-=-故答案为：(6-．3．如图，ABC ∆中，点E 在边AC 上，EB EA =，2A CBE ∠=∠，CD 垂直于BE 的延长线于点D ，8BD =，11AC =，则边BC 的长为【解答】解：延长BD 到F ，使得DF BD =， CD BF ⊥，BCF ∴∆是等腰三角形， BC CF ∴=，过点C 作//CH AB ，交BF 于点H 22ABD CHD CBD F ∴∠=∠=∠=∠， HF HC ∴=， //CH AB ，ABE CHE ∴∠=∠，BAE ECH ∠=∠， EH CE ∴=，EA EB =，AC BH ∴=，8BD =，11AC =，3DH BH BD AC BD ∴=-=-=， 835HF HC ∴==-=，在Rt CDH ∆，∴由勾股定理可知：4CD =，在Rt BCD ∆中，BC ∴==，故答案为：4．如图，点A 在反比例函数(0)ky x x=<上，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，C 为x 轴正半轴上一点，连接AC 交y 轴于点D ，3tan 4ACB ∠=，AO 平分CAB ∠，此时，8ABC S ∆=，则k 的值为 6- ．【解答】解：设点A 纵坐标为m ，则点A 坐标为(km，)m ，作OE 垂直于AC 于点E ， AB m ∴=， 3tan 4AB ACB BC ∠==， 4433BC AB m ∴==， 21128223ABC S AB BC mBC m ∆∴=⋅===，解得m =或m =-)，AB ∴=，BC =，AC OE OB =，1111()82222ABC ABO AOC S S S AB BO AC OE BO AB AC BO ∆∆∆∴=+=⋅+⋅=+=⨯=，解得BO =∴点A 坐标为(，6k ∴==-．故答案为：6-．5．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是CD 的中点，AF 平分BAE ∠交BC 于点F ，将ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒得ABG ∆，则CF 的长为 6-【解答】解：正方形ABCD 的边长为4，点E 是CD 的中点，2DE ∴=，AE ∴=ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒得ABG ∆，AG AE ∴==，2BG DE ==，34∠=∠，90GAE ∠=︒，90ABG D ∠=∠=︒，而90ABC ∠=︒，∴点G 在CB 的延长线上，AF 平分BAE ∠交BC 于点F ， 12∴∠=∠，2413∴∠+∠=∠+∠，即GAF DAF ∠=∠， DAF AFG ∠=∠， GA GF ∴=，GF GA AE ∴===426CF CG GF ∴=-=+-=-故答案为6-6．如图，AB 是O 的直径，C ，P 是AB 上两点，13AB =，5AC =．如图，若点P 是AB 的中点，求PA 的长【解答】解：如图所示，连接PB ，AB 是O 的直径且P 是AB 的中点，45PAB PBA ∴∠=∠=︒，90APB ∠=︒，又在等腰三角形APB ∆中有13AB =，PA ∴． 7．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，AD 平分BAC ∠，AD 交BC 于点D ，ED AD ⊥交AB 于点E ，ADE ∆的外接圆O 交AC 于点F ，连接EF ． （1）求证：BC 是O 的切线； （2）求O 的半径r 及3∠的正切值．【解答】（1）证明：ED AD ⊥， 90EDA ∴∠=︒，AE 是O 的直径， AE ∴的中点是圆心O ，连接OD ，则OA OD =， 1ODA ∴∠=∠，AD 平分BAC ∠，21ODA ∴∠=∠=∠，//OD AC ∴，90BDO ACB ∴∠=∠=︒， BC ∴是O 的切线；（2）解：在Rt ABC ∆中，由勾股定理得，10AB ===， //OD AC ， BDO BCA ∴∆∆∽，∴OD OB AC AB =，即10610r r-=， 154r ∴=，在Rt BDO ∆中，5BD =， 853CD BC BD ∴=-=-=，在Rt ACD ∆中，31tan 262CD AC ∠===， 32∠=∠，1tan 3tan 22∴∠=∠=．8．如图，BM 是以AB 为直径的O 的切线，B 为切点，BC 平分ABM ∠，弦CD 交AB 于点E ，DE OE =．（1）求证：ACB ∆是等腰直角三角形； （2）求证：2OA OE DC =； （3）求tan ACD ∠的值．【解答】证明：（1）BM 是以AB 为直径的O 的切线，90ABM ∴∠=︒， BC 平分ABM ∠，1452ABC ABM ∴∠=∠=︒AB 是直径90ACB ∴∠=︒，45CAB CBA ∴∠=∠=︒ AC BC ∴=ACB ∴∆是等腰直角三角形；（2）如图，连接OD ，OCDE EO =，DO CO =EDO EOD ∴∠=∠，EDO OCD ∠=∠ EDO EDO ∴∠=∠，EOD OCD ∠=∠EDO ODC ∴∆∆∽∴OD DEDC DO=2OD DE DC ∴=2OA DE DC EO DC ∴==（3）如图，连接BD ，AD ，DO ，作BAF DBA ∠=∠，交BD 于点F ，DO BO =ODB OBD ∴∠=∠，2AOD ODB EDO ∴∠=∠=∠，453CAB CDB EDO ODB ODB ∠=∠=︒=∠+∠=∠，15ODB OBD ∴∠=︒=∠ 15BAF DBA ∠=∠=︒AF BF ∴=，30AFD ∠=︒ AB 是直径90ADB ∴∠=︒2AF AD ∴=，DF =2BD DF BF AD ∴=++tan tan 2AD ACD ABD BD ∴∠=∠===-9．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以CB 为半径作C ，交AC 于点D ，交AC 的延长线于点E ，连接BD ，BE ． （1）求证：ABD AEB ∆∆∽； （2）当43AB BC =时，求tan E ； （3）在（2）的条件下，作BAC ∠的平分线，与BE 交于点F ，若2AF =，求C 的半径．【解答】解：（1）90ABC ∠=︒， 90ABD DBC ∴∠=︒-∠，由题意知：DE 是直径， 90DBE ∴∠=︒， 90E BDE ∴∠=︒-∠， BC CD =， DBC BDE ∴∠=∠，ABD E ∴∠=∠， A A ∠=∠， ABD AEB ∴∆∆∽；（2）:4:3AB BC =，∴设4AB =，3BC =，5AC ∴==， 3BC CD ==，532AD AC CD ∴=-=-=，由（1）可知：ABD AEB ∆∆∽，∴AB AD BDAE AB BE==，2AB AD AE ∴=， 242AE ∴=，8AE ∴=，在Rt DBE ∆中 41tan 82BD AB E BE AE ====；（3）过点F 作FM AE ⊥于点M ， :4:3AB BC =，∴设4AB x =，3BC x =，∴由（2）可知；8AE x =，2AD x =，6DE AE AD x ∴=-=，AF 平分BAC ∠，∴BF ABEF AE =， ∴4182BF x EF x ==， 1tan 2E =，cos E ∴=，sin E =，∴BE DE =，BE ∴=，23EF BE ∴==，sin MF E EF ∴=， 85MF x ∴=，1tan 2E =， 1625ME MF x ∴==， 245AM AE ME x ∴=-=，222AF AM MF =+，222484()()55x x ∴=+，x ∴C ∴的半径为：3x =．另解：由上述知1tan 3FMFAM AM∠==， BC DC CE ==，35BC AC =， ::2:3:3AD DC CE ∴=，1tan 2FME ME∠==， 设FM a =，则3AM a =，2ME a =， 5AE a ∴=，31588DC AE a ∴==，由勾股定理可知：AF =，2AF =，a ∴=DC ∴=10．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 是弧BC 的中点，BC 与AD 、OD 分别交于点E 、F ． （1）求证：//DO AC ； （2）求证：2DE DA DC ⋅=； （3）若1tan 2CAD ∠=，求sin CDA ∠的值．【解答】解：（1）因为点D 是弧BC 的中点， 所以CAD BAD ∠=∠，即2CAB BAD ∠=∠， 而2BOD BAD ∠=∠， 所以CAB BOD ∠=∠， 所以//DO AC ； （2）CD BD =，CAD DCB ∴∠=∠， DCE DAC ∴∆∆∽，2CD DE DA ∴=⋅；（3）1tan 2CAD ∠=，连接BD ，则BD CD =，DBC CAD ∠=∠，在Rt BDE ∆中，1tan 2DE DE DBE BD CD ∠===， 设：DE a =，则2CD a =， 而2CD DE DA =⋅，则4AD a =， 3AE a ∴=，∴3AEDE=， 而AEC DEF ∆∆∽，即AEC ∆和DEF ∆的相似比为3， 设：EF k =，则3CE k =，8BC k =， 1tan 2CAD ∠=， 6AC k ∴=，10AB k =，3sin 5CDA ∴∠=．11．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线212y x bx c =-++经过A ，B 两点且与x 轴的负半轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D 为直线AB 上方抛物线上的一个动点，当2ABD BAC ∠=∠时，求点D 的坐标；【解答】解：（1）在122y x =-+中，令0y =，得4x =，令0x =，得2y =(4,0)A ∴，(0,2)B把(4,0)A ，(0,2)B ，代入212y x bx c =-++，得2116402c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩，解得322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为213222y x x =-++ （2）如图，过点B 作x 轴得平行线交抛物线于点E ，过点D 作BE 的垂线，垂足为F//BE x 轴，BAC ABE ∴∠=∠ 2ABD BAC ∠=∠，2ABD ABE ∴∠=∠即2DBE ABE ABE ∠+∠=∠DBE ABE ∴∠=∠DBE BAC ∴∠=∠设D 点的坐标为213(,2)22x x x -++，则BF x =，21322DF x x =-+tan DF DBE BF ∠=，tan BO BAC AO∠= ∴DF BO BF AO=，即2132224x xx -+= 解得10x =（舍去），22x = 当2x =时，2132322x x -++=∴点D 的坐标为(2,3)12．二次函数24(0)y ax bx a =++≠的图象经过点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ． （1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，当2DPB BCO ∠=∠时，求直线BP 的表达式；【解答】解：（1）二次函数24(0)y ax bx a =++≠的图象经过点(4,0)A -，(1,0)B ， ∴2(4)(4)4040a b a b ⎧⋅-+⋅-+=⎨++=⎩，解得：13a b =-⎧⎨=-⎩，∴该二次函数的表达式为234y x x =--+；（2）如图，设BP 与y 轴交于点E ， //PD y 轴， DPB OEB ∴∠=∠， 2DPB BCO ∠=∠， 2OEB BCO ∴∠=∠， ECB EBC ∴∠=∠，BE CE ∴=，令0x =，得4y =， (0,4)C ∴，4OC =，设OE a =，则4CE a =-， 4BE a ∴=-，在Rt BOE ∆中，由勾股定理得：222BE OE OB =+，222(4)1a a ∴-=+， 解得：158a =， 15(0,)8E ∴， 设BE 所在直线表达式为(0)y kx e k =+≠， ∴150810k e k e ⎧⋅+=⎪⎨⎪⋅+=⎩， 解得：158158k e ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BP 的表达式为151588y x =-+； 13．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线212y x bx c =-++经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点，过点D 作DF AC ⊥，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得CDF ∆中的某个角恰好等于BAC ∠的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）根据题意得(4,0)A -，(0,2)C ， 抛物线212y x bx c =-++经过A 、C 两点，∴1016422b c c ⎧=-⨯-+⎪⎨⎪=⎩， ∴322b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 213222y x x ∴=--+；（2）(4,0)A -，(1,0)B ，(0,2)C ，AC ∴=，BC ，5AB =，222AC BC AB ∴+=，ABC ∴∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，3(2P ∴-，0)，52PA PC PB ∴===， 2CPO BAC ∴∠=∠， 4tan tan(2)3CPO BAC ∴∠=∠=， 过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ， 情况一：如图，2DCF BAC DGC CDG ∴∠=∠=∠+∠， CDG BAC ∴∠=∠， 1tan tan 2CDG BAC ∴∠=∠=， 即12RC DR =， 令213(,2)22D a a a --+，DR a ∴=-，21322RC a a =--，∴2131222a aa --=-， 10a ∴=（舍去），22a =-， 2D x ∴=-，情况二，2FDC BAC ∴∠=∠， 4tan 3FDC ∴∠=， 设4FC k =，3DF k ∴=，5DC k =，31tan 2k DGC FG ∠==， 6FG k ∴=，2CG k ∴=，35DG k =，25RC k ∴=，45RG k =， 4511535DR k k k =-=， ∴21155132522kDR a RC a ak -==--，10a ∴=（舍去），22911a =-， 点D 的横坐标为2-或2911-．14．如图，抛物线26y ax x c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线5y x =-经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，请直接写出点M 的坐标．【解答】解：（1）当0x =时，55y x =-=-，则(0,5)C -， 当0y =时，50x -=，解得5x =，则(5,0)B ，把(5,0)B ，(0,5)C -代入26y ax x c =++得253005a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得15a c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为265y x x =-+-；（2）作AN BC ⊥于N ，NH x ⊥轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于1M ，交AC 于E ，如图， 11M A M C =，11ACM CAM ∴∠=∠， 12AM B ACB ∴∠=∠，ANB ∆为等腰直角三角形， 2AH BH NH ∴===，(3,2)N ∴-，易得AC 的解析式为55y x =-，E 点坐标为1(2，5)2-，设直线1EM 的解析式为15y x b =-+，把1(2E ，5)2-代入得15102b -+=-，解得125b =-，∴直线1EM 的解析式为11255y x =--， 解方程组511255y x y x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩得136176x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则113(6M ，17)6-；在直线BC 上作点1M 关于N 点的对称点2M ，如图2，则212AM C AM B ACB ∠=∠=∠，设2(,5)M x x -， 13632x +=， 236x ∴=， 223(6M ∴，7)6-， 综上所述，点M 的坐标为13(6，17)6-或23(6，7)6-．15．如图，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A 、B 两点，其中点A 坐标为(1,0)，与y 轴交于点(0,3)C -．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图，连接AC ，点P 在抛物线上，且满足2PAB ACO ∠=∠．求点P 的坐标；【解答】解：（1）抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)A ，(0,3)C - ∴10003b c c ++=⎧⎨++=-⎩解得：23b c =⎧⎨=-⎩ ∴抛物线的函数表达式为223yx x =+-（2）①若点P 在x 轴下方，如图1，延长AP 到H ，使AH AB =，过点B 作BI x ⊥轴，连接BH ，作BH 中点G ，连接并延长AG 交BI 于点F ，过点H 作HI BI ⊥于点I 当2230x x +-=，解得：13x =-，21x = (3,0)B ∴- (1,0)A ，(0,3)C -1OA ∴=，3OC =，AC ==4AB = Rt AOC ∴∆中，sin OA ACO AC ∠==，cos OC ACO AC ∠==AB AH =，G 为BH 中点AG BH ∴⊥，BG GH =BAG HAG ∴∠=∠，即2PAB BAG ∠=∠2PAB ACO ∠=∠ BAG ACO ∴∠=∠Rt ABG ∴∆中，90AGB ∠=︒，sin BG BAG AB ∠=BG ∴==2BH BG ∴= HBI ABG ABG BAG ∠+∠=∠+∠=︒ HBI BAG ACO ∴∠=∠=∠Rt BHI ∴∆中，90BIH ∠=︒，sin HI HBI BH ∠=cos BI HBI BH ∠==45HI ∴==，125BI = 411355H x ∴=-+=-，125H y =-，即11(5H -，12)5-设直线AH 解析式为y kx a =+ ∴0111255k a k a +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩解得：3434k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴直线33:44AH y x =-2334423y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=+-⎩解得：1110x y =⎧⎨=⎩（即点)A ，22943916x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩9(4P ∴-，39)16-；②若点P 在x 轴上方，如图2，在AP 上截取AH AH '=，则H '与H 关于x 轴对称 11(5H '∴-，12)5设直线AH '解析式为y k x a ''=+ ∴0111255k a k a ''+=⎧⎪⎨''-+=⎪⎩解得：3434k a ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩ ∴直线33:44AH y x '=-+2334423y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=+-⎩解得：1110x y =⎧⎨=⎩（即点)A ，221545716x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩15(4P ∴-，57)16． 综上所述，点P 的坐标为15(4-或9(4-，39)16-．解法二：在y 轴上取一点T ，是的AT CT =，则ACT TAC ∠=∠， 2ATO TAC ACT ACT ∴∠=∠+∠=∠，设OT t =，则3AT CT t ==-， 在Rt AOT ∆中，则有2221(3)t t +=-， 43t ∴=，即43OT =， ①当P 在y 轴的正半轴上时，过点A 作1AK AT ⊥交y 轴于1K ， 由OAT ∆∽△1OK A 得到OK OAOA OT=， 134OK ∴=， 13(0,)4K ∴，∴直线1AK 的解析式为3344y x =-+， 由2334423y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=+-⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩或1545716x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即115(4P -，57)16． 当2K 在y 轴的负半轴上时，根据对称性可知23(0,)4K -，∴直线2AK 的解析式为3344y x =-， 由2334423y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=+-⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩或943916x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即29(4P -，39)16-．16．在平面直角坐标系中，直线122y x =-与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数212y x bx c =++的图象经过B ，C 两点，且与x 轴的负半轴交于点A ，动点D 在直线BC 下方的二次函数图象上． （1）求二次函数的表达式；（2）如图过点D 作DM BC ⊥于点M ，是否存在点D ，使得CDM ∆中的某个角恰好等于ABC ∠的2倍？若存在，直接写出点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把0x =代122y x =-得2y =-， (0,2)C ∴-．把0y =代122y x =-得4x =， (4,0)B ∴，设抛物线的解析式为1(4)()2y x x m =--，将(0,2)C -代入得：22m =-，解得：1m =-，(1,0)A ∴-．∴抛物线的解析式1(4)(1)2y x x =-+，即213222y x x =--． （2）如图所示：过点D 作DR y ⊥垂足为R ，DR 交BC 与点G ．(1,0)A -，(4,0)B ，(0,2)C -，AC ∴BC =，5AB =，222AC BC AB ∴+=， ABC ∴∆为直角三角形．取AB 的中点E ，连接CE ，则CE BE =， 2OEC ABC ∴∠=∠． 4tan 3OC OEC OE ∴∠==． 当2MCD ABC ∠=∠时，则1tan tan 2CDR ABC ∠=∠=．设213(,2)22D x x x --，则DR x =，21322CR x x =-+．∴2131222x xx -+=，解得：0x =（舍去）或2x =． ∴点D 的横坐标为2．当2CDM ABC ∠=∠时，设3MD k =，4CM k =，5CD k =． 1tan 2MGD ∠=， 6GM k ∴=，GD =， 2GC MG CM k ∴=-=，GR ∴=，CR =．RD ∴==．∴21322x x CR DR x -+==21129022x x -+=，解得：0x =（舍去）或2911x =． ∴点D 的横坐标为2911． 综上所述，当点D 的横坐标为2或2911．。