清华大学附属中学中学生标准学术能力基础性测试2021届高三上学期9月模拟测试理科综合化学试卷及解析

北京市清华大学附属中学中学生标准学术能力基础性测试2021届高三9月测试化学试题一、单选题(★★) 1. 化学与社会、生产、生活密切相关。

下列说法不正确的是A. 煤干馏可以得到甲烷、苯和丙烯等重要化工原料B. 含磷废水的排放能引起水体富营养化C. 萃取溴水中的溴单质可以用直馏汽油，不能用裂化汽油D. 利用反渗透膜可从海水中分离出淡水(★★★) 2. 下列关于物质分类的说法正确的是A. 液氯、液氨、液态氯化氢都是非电解质B. 鸡蛋清中加入饱和硫酸铵溶液生成白色沉淀，属于化学变化C. 古代的陶瓷、砖瓦，现代的玻璃、水泥、光纤等都是硅酸盐产品D. 电泳现象可证明胶体不同于电解质溶液(★★★) 3. 下列各物质的性质和用途都正确且有因果关系的是选项性质用途A SO2比SiO2的酸性强SO2通入到水玻璃中可以得到硅酸B SO2和O3都有漂白性混合后得到漂白性更强的漂白剂C NaClO有强氧化性可用于新型冠状病毒的消毒作用D纳水碳管比表面积大可用作新型储氢材料A．A B．B C．C D．D(★★★) 4. 下列有关能量变化的说法，正确的是A．化学变化中的能量转化都是热能和化学能间的相互转化B．H+(aq)+OH−(aq)＝H2O(l)△H＝-57.3 kJ·mol-1可以表示所有强酸和强碱的中和反应C．如果旧化学键断裂吸收的能量大于新化学键形成释放的能量，则该反应为吸热反应D．根据CH4(g)+2O2(g)＝CO2(g)+2H2O(g)△H＝-890.3 kJ·mol-1，可以得出CH4的燃烧热为890.3 kJ·mol-1(★★★) 5. 某溶液中可能含有Ba 2+、、Na +、、S 2−、I −。

分别取样：①加足量氯水，无明显现象；②用pH计测试，溶液显弱酸性。

为确定该溶液的组成，还需要的试剂或实验是A. Na 2SO 4溶液B. 焰色反应C. BaCl 2溶液D. 浓氢氧化钠溶液(★★★) 6. 用6.02×10 23表示阿伏伽德罗常数(N A)的值，下列说法中不正确的是A. 1 L水吸收标准状况下2.24 L Cl 2，所得溶液中，N(Cl −)+N(ClO −)+N(HClO)＝1.204×10 23个B. 16.85 g CsCl晶体中含有6.02×10 22个如图所示的结构单元C. 6.5 g Zn与足量的浓H 2SO 4完全反应，转移的电子数为0.2N AD. 1 mol-CH 3中的电子数为5.418×10 24个(★★★) 7. 橙花醇具有玫瑰及苹果香气，可作为香料，其结构简式如下图。

2021届高三数学中学生标准学术能力基础性测试（9月）试题理本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U＝{－1，0，1，2，3，4}，集合4＝{x|x≤1，x∈N}，B＝{1，3}，则U(A∪B)＝A.{4}B.{2，4}C.{－1，2，4}D.{－1，0，2，4}2.设z＝1ii+(i为虚数单位)，则|等于A.2B.2C.2D.123.已知a＝log248，2b＝23，则a＋b＝A.4B.5C.6D.74.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，已知m⊂α，n⊂α，则“m//β，n//β”是“a//β”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知cos263πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos223πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为A.59B.19C.－19D.－596.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是(单位：cm3)A.2B.4C.6D.127.函数f(x)＝x＋sin(πx)的图象是8.已知e1，e2是单位向量，其夹角为3π，若|m e1＋n e2|＝2(m，n∈R)，则m＋2n的最大值为A.2B.3C.22D.239.如图，已知△ABC的顶点C∈平面α，点A，B在平面α的同一侧，且|AC|＝23，|BC|＝2。

若AC，BC与平面α所成的角分别为512π，4π，则△ABC面积的取值范围是6，3，336，3]10.已知点F为双曲线C：22221(,0)x ya ba b-=>的右焦点，直线y＝kx，k∈[333]与双曲线C交于A，B两点，若AF⊥BF，则该双曲线的离心率的取值范围是23226] C.[2326]11.已知函数f(x)＝()()f x109x1lg x11x11+-<≤⎧⎪⎨-<≤⎪⎩，，，若有四个不同的实数：x1，x2，x3，x4满足方程f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x)，且x1<x2<x3<x4，则以下结论不一定正确的是A.x1＋x4＝x2＋x3B.x1·x3＝x2·x4C.(x1＋9)(x2＋9)＝(x3－1)(x4－1)D.(x1＋10)·x4＝(x2＋10)·x312.已知数列{a n}满足：a1＝0，a n＋1＝ln(n a e＋1)－a n(n∈N*)，前n项和为S n(参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099)，则下列选项错误的是A.{a2n－1}是单调递增数列，{a2n}是单调递减数列B.a n＋a n＋1≤ln3C.S 2020<670D.22n －1≤a 2n二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

中学生标准学术能力基础性测试2021届上学期高三年级9月测试英语试卷本试卷共150分，考试时间100分钟。

第一部分阅读理解（共两节，满分60分）第一节（共15小题；每小题3分，满分45分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C 和D 四个选项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

AKeee to rela ContemmonA They have a long historyB They are modern architecturesC They are the center of shomitment to self-immitment to self-ime healthyA ore eerciseC Develoe forward, not to remon ___32___ — they afortableD valuable26 A adoed D amercial第二节（共10小题；每小题分，满分15分）阅读下面短文，在空白处填入1个适当的单词或括号内单词的正确形式。

Tens of millions of e, researchers estimate that a regularly ___47___use smartmon for smarte into contact with various forms of bacteria, including stree 50 eating短文改错Dear Lucy,I am glad to receive your e-mail asing me with my future careerAbout itwith youAs the matter of fact, I want to be a translator To begin with, I am fond of languages, of that my awhichEnglish isalways second to none I a y effortsofSo what do you find my e in your conveniencehow atYours,Karo 书面表达Dear Lucy,I am more than ecited to now from the Internet that you were given the title “ writing to y sincere congratulationsAs a teenager of the same age, I am so ental y best to tell others to ent, but they only laughed at me I wonder whether you could share with me how to ent on came Congratulations again!It would be great if you could write bac soonYours,Li Hua。

中学生标准学术能力基础性测试2021届上学期高三年级9月测试生物试卷一、选择题：本大题共30小题，每小题分，共45分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．生命活动离不开水，下列相关叙述不正确的是A．结合水是细胞结构的重要组成成分B．代谢越旺盛的细胞，自由水的含量越高C．有氧呼吸时，产物水中的氢来自于丙酮酸和参加反应的水D．植物吸收无机盐和水是两个相对独立的过程2．细胞是生物体结构和功能的基本单位，下列相关说法正确的是A．多细胞生物的每个细胞既有它自己的生命，又对整体生命起作用B．细胞膜上的受体是细胞间信息交流所必需的结构C．细胞核是遗传信息库，是细胞代谢和遗传的主要场所D．核膜上的核孔可以让蛋白质和 RNA 自由进出3．细胞的结构和功能是相适应的，下列相关说法不正确的是A．细胞膜内的生物膜把各种细胞器分隔开，使各种化学反应相对独立的进行B．神经递质的特异性受体存在于突触后膜上，保证了兴奋传递的单向性C．叶绿体内的类囊体堆叠增大了膜面积，有利于光反应的进行D．高尔基体通过形成囊泡增大膜面积，有利于蛋白质的加工4．下图为细胞膜结构及物质跨膜运输示意图，下列说法不正确的是A．细胞内O2的浓度可限制 a、e 的运输速度B．温度对 a、b、c、d、e 的运输速度均有影响C．细胞膜的选择透过性功能主要是由物质 A 实现的D．神经递质可通过 e 途径排出细胞5．在酶促反应中，底物会与酶的活性位点互补结合完成催化反应，如图甲。

酶的竞争性抑制剂会与底物竞争酶的活性位点相结合，非竞争性抑制剂与酶活性位点以外的其他位点相结合，两者都会使酶的活性降低。

图乙是物质 A、B、C 对某种酶活性影响的变化曲线。

下列相关叙述正确的是A．物质A能提高该化学反应的活化能B．物质C可能是竞争性抑制剂C．青霉素的结构与细菌合成细胞壁的底物相似，其作用相当于物质CD．增大底物浓度可以减轻物质 B 对该种酶活性的影响6．下图为人体运动强度与血液中乳酸含量和氧气消耗速率的关系。

清华大学附中2021届毕业生标准学术能力诊断性测试(9月)语文试卷整理制作：青峰弦月工作室一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1-3题。

现代意义上的公共空间是一个开放的、公众的空间。

现代公共空间包括物理意义上的公共空间，如公园等，也包括每个人都可以发表意见的公共论坛，如网络等。

我国传统社会中并不存在或者较少存在公共空间，以家为本位的传统道德伦理也没有凸显出公共空间意识及公共空间伦理。

改革开放以后，我国现代化进程加快，引入了现代性制度及伦理要求，例如公共空间需要排队等，但我国民众对于公共空间的认知依然不足，通常将公共空间视为“私人空间”的外化，没有意识到公共空间与所有人相关，每个人都是公共空间的主人，应当遵守公共空间的伦理规范。

社会公共空间的行为规范，社会公德的养成需要多元主体协同共治，整体推进，并非政府、学校或企业一方可以完成。

在现代社会治理的视野中，不同主体应该是平等合作、共同促进的关系，需要政府机构、企业法人、社会组织、学校、公民个人共同参与，构建与公共空间发展相适应的伦理道德。

建立覆盖社会公共领域的制度体系，规范各交往领域的制度，引导公共交往和谐、有序发展。

同时，提供完善的、有效的制度调节，管理、引导人们遵守现代公共交往原则规范，处理公共领域中人与人的关系，人与公共领域的关系。

还应对已经出台的制度进行进一步细化与拓展，更新人们熟知的道德规范的内容。

例如“爱护公物”是宣传几十年的美德，今天看来依然是合理的，但应根据社会的发展变化，更新“公物”的概念，不只是国家所有的物品，非国家所有却是公共空间的事物（例如共享单车）也应涵盖在内。

另外，规范公共领域交往的制度，应当符合制度伦理，即具有道德合理性，让制度彰显人性，保障、尊重人权，最大限度地尊重大多数人。

这就要求从制度设计到运行、监督，乃至惩罚环节，都需要体现对人的关怀和尊重。

（摘编自赵鑫洋《共享时代的公共空间伦理问题》）1．下列关于原文内容的理解和分析，不正确的一项是(3分)A．传统道德伦理的存在，导致我国传统社会中公共空间和公共伦理意识很淡薄。

2020届THUSSAT北京市清华大学中学生高三上学期9月标准学术能力诊断性物理试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图所示为研究光电效应规律的实验电路，电源的两个电极分别与接线柱a、b连接。

用一定频率的单色光A照射光电管时，灵敏电流表G的指针会发生偏转，而用另一频率的单色光B照射该光电管时，灵敏电流表G的指针不偏转。

下列说法正确的是（）A．B光的频率可能大于A光的频率B．若增加B光的入射强度，灵敏电流表可能发生偏转C．用B光照射光电管时，可能发生了光电效应D．若ab端电压增大，B光照射光电管时灵敏电流表G的指针可能发生偏转2．如图所示，静止在水平地面上的物块A，从t=0时刻起受到水平拉力F的作用，F与t的关系如图乙所示。

设物块与水平地面间的最大静摩擦力maxf等于滑动摩擦力，则（）A．t2时刻物块速度最大B．t3时刻合外力的功率最大C．t1至t3时间内，摩擦力的功率先增大后减小D．t1至t3时间内，合外力的功率先增大后减小3．科学实验证明：通电长直导线周围磁场的磁感应强度大小为IB kr，式中常量k>0，I为电流强度，r为距导线的距离。

如图所示，三根完全相同的长直导线a、b、c，其截面位于等腰三角形的三个顶点上，b、c位于光滑水平面上，且b、c间的距离为2x，当三根导线中均通有大小相等的恒定电流时，导线a、b、c均可保持静止状态。

下列说法中错误的是（）A ．a 、b 、c 三根导线中，只有两根导线中的电流方向相同B ．导线c 所受磁场力竖直向下C ．导线a 、b 所受的磁场力大小相等，方向相反D ．导线a 、c4．在如图所示的电路中，平行板电容器两极板水平放置，闭合开关S ，待电路稳定后，位于O 点的电子枪水平向右发射速度相同的电子，电子刚好击中竖直放置的荧光屏上的Q 点，OP 连线与极板平行，则下列说法中正确的是（ ）A ．把滑动变阻器的滑片向左移动，电子将击中Q 点上方的某个位置B ．把滑动变阻器的滑片向右移动，电子将击中Q 点上方的某个位置C ．断开开关S ，将电容器的下极板下移一小段距离，电子将击中PQ 之间的某个位置D ．断开开关S ，将电容器的上极板上移一小段距离，电子将仍然击中Q 点5．2021年6月5日，我国在黄海海域用长征十一号海射运载火箭“CZ-11 WEY 号”成功发射技术试验卫星捕风一号A 、B 星及5颗商业卫星，卫星被顺利送入约600公里高度的预定轨道，试验取得圆满成功。

2021届中学生标准学术能力诊断性测试高三数学9月测试试题一、单选题1．已知全集{}1,0,1,2,3,4U =-，集合{}1,A x x x =≤∈N ，{}1,3B =，则()UA B =（ ）.A ．{}4B ．{}2,4C ．{}1,2,4-D ．{}1,0,2,4-【答案】C【解析】先求出集合A ，即可求出A B ，进而求出()UA B ⋃.【详解】{}{}1,0,1A x x x =≤∈=N ,{}0,1,3A B ∴⋃=, (){}1,2,4UA B ∴=-.故选：C. 【点睛】本题考查集合的并集补集混合运算，属于基础题. 2．设1iz i=+（i 为虚数单位），则z 等于（ ）A ．2B C ．2D ．12【答案】A【解析】利用复数的除法法则化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z . 【详解】()()()111112i i i i z i i i -+∴===++-，因此，2z ==. 故选：A. 【点睛】本题考查复数模长的计算，利用复数的除法法则化简复数是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.3．已知2log 48a =，223b=，则a b +=（ ）. A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】由对数的运算可得2l 43og a =+，由223b=，得22log 3b =，即可得到结果.【详解】()2222244log 48log log log 23234lo 3g a ⨯=+=+==，由223b=得22222log log 2log 3=1log 33b ==--，则2243log 1log 35a b +-+==+， 故选：B 【点睛】本题考查对数的运算，考查指对互化，考查计算能力，属于基础题.4．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，已知m α⊂，n ⊂α，则“//m β，βn//”是“//αβ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用面面平行的判定和性质定理结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】充分性：已知m α⊂，n ⊂α，由于//m β，βn//，若//m n ，则α与β不一定平行，充分性不成立；必要性：已知m α⊂，n ⊂α，若//αβ，由面面平行的性质可得//m β，βn//，必要性成立.因此，“//m β，βn//”是“//αβ”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了面面平行的判定与性质定理的应用，考查推理能力，属于基础题. 5．已知π2cos 63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）. A ．59 B ．19C ．19-D ．59-【答案】B【解析】用诱导公式求得sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后由余弦的二倍角公式计算． 【详解】由题意2sin sin cos 32663ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴22221cos 212sin 123339ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查诱导公式，二倍角公式，解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，以便先用恰当的公式求解．6．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）.（单位：3cm ）A ．2B ．4C ．6D ．12【答案】A【解析】由三视图可知几何体是底面为直角梯形的四棱锥，且侧面PAD ⊥面ABCD ,利用棱锥的体积公式进行求解即可. 【详解】由几何体的三视图可知，该几何体是底面为一直角梯形的四棱锥，且侧面PAD ⊥面ABCD ,梯形的上底为1cm ，下底为2cm ，高为2cm ，则梯形的面积为()212232cm +⨯=，棱锥的高为PAD △的边AD 上的高，长为2cm ，则几何体的体积为313223cm ⨯⨯=， 故选：A【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积问题，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题. 7．函数()()sin f x x x π=+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值的符号，结合选项，即可求解． 【详解】由题意，函数()()sin f x x x π=+的定义域为R ， 且()()()()sin [sin ]f x x x x x f x ππ-=-+-=-+=-，所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除A 、C ； 当1x =时，()()11sin 10f π=+=>，排除B ． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的基本性质和特殊点的函数值求解是解答的关键，着重考查了推理与识别能力． 8．已知1e 、2e 是单位向量，其夹角为3π，若()122,me ne m n R +=∈，则2m n +的最大值为（ ）A B C ．D ．【答案】C【解析】在等式122me ne +=两边平方得出2213224m n m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，可得出12m n ≤+≤2m n +的最大值. 【详解】已知1e 、2e 是单位向量，其夹角为3π，则12121cos 32e e e e π⋅=⋅=， 在等式122me ne +=两边平方得()222222222121122132224me ne m e mne e n e m mn n m n m ⎛⎫=+=+⋅+=++=++ ⎪⎝⎭，22132224m n m ⎛⎫∴+=-≤ ⎪⎝⎭，可得12m n ≤+≤2m n ∴-≤+≤，因此，2m n +的最大值为故选：C. 【点睛】本题考查利用平面向量的模长求参数的最值，考查计算能力，属于中等题. 9．如图，已知ABC 的顶点C ∈平面α，点,A B 在平面α的同一侧，且|||2AC BC ==．若,AC BC 与平面α所成的角分别为5,124ππ，则ABC 面积的取值范围是（ ）A ．[6,3]B ．[3,3]C ．[3,23]D ．[6,23]【答案】B【解析】根据题意，得到直线,AC BC 与轴l 在同一平面内时，ACB ∠取到最大值和最小值，求得13sin 2ACB ≤∠≤，在利用三角形的面积公式，求得23sin S ACB =∠，即可求解. 【详解】因为,AC BC 与平面α所成的角分别为5,124ππ，且||23,||2AC BC ==， 所以点,A B 分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线,AC BC 与轴l 在同一平面内时，ACB ∠取到最大值和最小值，于是有63ACB ππ≤∠≤，所以sinsin sin63ACB ππ≤∠≤，即13sin 2ACB ≤∠≤， 而ABC 的面积S =1||||sin 23sin 2AC BC ACB ACB ⋅⋅∠=∠， 因此33S ≤≤， 故选B ．【点睛】本题考查直线与平面所成角的定义、圆锥的几何结构特征、以及三角形的面积公式的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．10．已知点F 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>的右焦点，直线y kx =，3k ∈⎣与双曲线C 交于A ，B 两点，若AF BF ⊥，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）. A．1⎤⎦B．C．1⎡⎤+⎣⎦D．⎡⎣【答案】A【解析】根据题意，得到(),0F c ，设(),A x y ，则(),B x y --，由AF BF ⊥，求出2220x y c +-=与双曲线联立，求出()2222242242222a c a x c c a c a y c ⎧-⎪=⎪⎨-+⎪=⎪⎩，再由2221,33y k x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】因为点F 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的右焦点，则(),0F c ，设(),A x y ，由题意有(),B x y --，则(),AF c x y =--，(),BF c x y =+，又AF BF ⊥，所以()()20AF BF c x c x y ⋅=+--=，则2220x y c +-=，又(),A x y 在双曲线上，所以22221x y a b-=，由22222222221x y a b x y c c a b ⎧-=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得()2222242242222a c a x c c a c ay c ⎧-⎪=⎪⎨-+⎪=⎪⎩，又A 在直线y kx =上，k ∈⎣， 所以()4224424222222222212111,33212c a c a e e e e e a c a y k x -+-+---⎡⎤====-∈⎢⎥⎣⎦， 即42424213421e e e e ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≤⎪-⎩，整理得42423840840e e e e ⎧-+≥⎨-+≤⎩，解得22423e ≤≤+或224233e -≤≤（舍，因为双曲线离心率大于1）， 所以231e ≤≤+， 故选：A. 【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.11．已知函数()()()10,91lg 1,111f x x f x x x ⎧+-<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，若有四个不同的实数：1x ，2x ，3x ，4x 满足方程()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则以下结论不一定正确的是（ ）. A ．1423x x x x +=+B ．1324x x x x ⋅=⋅C ．()()()()12349911x x x x ++=--D ．()()14231010x x x x +⋅=+⋅【答案】B【解析】作出函数图象，由图象观察出1234,,,x x x x 的性质，从而判断各选项． 【详解】作出函数()y f x =的图象，作直线y m =，它与()y f x =图象有四个交点，横坐标依次为1234,,,x x x x ，由对数函数性质知：1234lg(9)lg(9)lg(1)lg(1)x x x x -+=+=--=-，3110x x =+，4210x x =+，198x -<<-，281x -<<，所以1423x x x x +=+，()()()()12349911x x x x ++=--，()()14231010x x x x +⋅=+⋅均正确，只有1324x x x x ⋅=⋅不正确． 故选：B ．【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查对数函数的性质，解题方法是作出函数图象，把1234,,,x x x x 看作是函数图象与直线的交点的横坐标，从图象上易得其性质，从而得到判断．12．已知数列{}n a 满足：10a =，()()1ln 1n an n a e a n *+=+-∈N ，前n 项和为n S （参考数据：ln 20.693≈，ln3 1.099≈，则下列选项错误的是（ ）. A ．{}21n a -是单调递增数列，{}2n a 是单调递减数列 B ．1ln 3n n a a ++≤ C ．2020670S < D ．212n n a a -≤ 【答案】C【解析】设nn a e b =，则有11n n n b b b ++=， 2211n n n b b b ++=+，11n n n b b b +=+，构建21()1x g x x +=+，求导分析可知导函数恒大于零，即数列21{}n b -，2{}n b 都是单调数列，分别判定13b b <，24b b >，即得单调性，数列{}n a 与{}n b 的单调性一致，可判定A 选项正确；B 、C 选项利用分析法证明，可知B 正确，C 错误；D 选项利用数学归纳法证分两边证212n n b b -<<，即可证得212n n a a -<. 【详解】∵()()1ln 1n an n a e a n *+=+-∈N，10a=，∴()2ln 10ln 2a e =+-=，33ln 3ln 2ln2a =-=，4535ln ln ln 223a =-=， 设nn a e b =，0n b >，1ln(1)111n n nna b a n n n a nb b b e ee b ++-+++====，则1211211n n n n n b b b b b +++++==+， 令21()1x g x x +=+，则21()0(1)g x x '=>+，∴()g x 单调递增，将2(,)n n b b -，2(,)n n b b +看作是函数()y g x =图象上两点，则220n nn n b b b b +-->-，∴数列21{}n b -，2{}n b 都是单调数列，111a b e ==，同理22b =，332b =，453b =，即13b b <，24b b >，∴21{}n b -单调递增，2{}n b 单调递减，而数列{}n a 与{}n b 的单调性一致， ∴{}21n a -是单调递增数列，{}2n a 是单调递减数列，A 正确； 由nn a e b =得ln n n a b =， 11n n nb b b ++=要证111ln ln ln()ln 3n n n n n n a a b b b b ++++=+=≤，即证13n n b b +≤，即13n b +≤，即证2n b ≤，也即要证1112n n b b --+≤，等价于11n b -≥， 显然2n =时，11b =，3n ≥时，21211n n n b b b ---+=>，故11n b -≥成立， ∴不等式1ln 3n n a a ++≤成立．B 正确；欲证12ln 3n n n a a a ++++≥，只需证12ln ln ln ln 3n n n b b b ++++≥，即12ln()ln 3n n n b b b ++≥即123n n n b b b ++≥12121311n n n n n n n b b b b b b b ++⇔⋅⋅=+≥⇔≥+，显然成立， 故12ln 3n n n a a a ++++≥1>，所以20201998199816663S S >>⨯=， 故C 选项错误；欲证212n n a a -<，因单调性一致则只需证212n n b b -<，只需证21212n n b b -<<因为1112b =<，若2112n b -<，则2121212121122112n n n n b b b b -+--+==-<=++又因为251 22b+ =>，若2512nb+>，则2222211512211511nnn nbbb b+++==->-=++++由数学归纳法有212512n nb b-+<<，则212n na a-<成立故D选项正确。

2024届高三数学上学期9月中学生标准学术能力诊断性测试卷2023.9（全卷满分150分，考试用时120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}11,,1522x A xx B x x x -⎧⎫=<∈=∈<<⎨⎬+⎩⎭R N ，则A B = （）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,42．欧拉公式i e cos isin θθθ=+把自然对数的底数e 、虚数单位i 、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，则i i =（）A ．π2e B ．π2e -C ．πe D ．πe -3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且公比1q ≠-，若124816S S S =+，则公比q =（）A ．3B ．2±C ．2D ．3±4．已知向量6AB AC ⋅=，线段BC 的中点为M ，且6AM = ，则BC = （）A ．230B ．330C ．226D ．3265．已知函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为T ，且满足2πT >，若函数()f x 在区间,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭不单调，则ω的取值范围是（）A ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4,15⎛⎫ ⎪⎝⎭6．三棱锥A BCD -中，ππ3,42,,43AB BC BD ABC ABD DBC ===∠=∠=∠=，则直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值是（）A ．41717B ．42929C ．31717D ．329297．已知三角形ABC 中，3BC =，角A 的平分线交BC 于点D ，若12BD DC =，则三角形ABC 面积的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．比较11101011a =-，ln1.2b =，0.115ec =的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c>>二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分．9．已知实数,,a b c 满足a b c >>，且1abc =，则下列说法正确的是（）A ．()21a c b+>B ．11a cb c<--C ．22a b >D ．()()22110a b ab -->10．已知10个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的8个样本数据的方差为21s ，平均数1x ；最大和最小两个数据的方差为22s ，平均数2x ；原样本数据的方差为2S ，平均数x ，若12x x =，则（）A ．剩下的8个样本数据与原样本数据的中位数不变B ．1x x =C ．剩下8个数据的下四分位数大于原样本数据的下四分位数D ．222124155S s s =+11．已知函数()cos22sin f x x x =+，则（）A ．函数()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 的值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．方程()()()0,2πf x a x =∈最多有8个根，且这些根之和为8π12．已知椭圆C ：2212x y +=的中心为O ，A ，B 是C 上的两个不同的点且满足OA OB ⊥，则（）A ．点O 在直线AB 上投影的轨迹为圆B ．AOB ∠的平分线交AB 于D 点，OD 的最小值为63C ．AOB 面积的最小值为23D ．AOB 中，AB 边上中线长的最小值为233三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知tan 2α=，则sin4α=．14．若()52210012103x x a a x a x a x --=++++ ，则12345a a a a a ++++=．15．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上．若该球的体积为36π，则该四棱锥体积的最大值是．16．已知函数()()21e sin 112xf x m x x m x =+--++，在0x =处取到极小值，则实数m =．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{}n a 是各项均为正数的数列，设3log n n c a =，若数列{}n c 的前n 项和22n n nS +=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记()2265n n d a n n =⋅++，求数列{}n d 的前n 项和n T ．18．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos cos2c a A B b A A B =-≤．(1)求A ；(2)若D 是BC 上的一点，且:1:2,2BD DC AD ==，求a 的最小值．19．某单位组织知识竞赛，有甲、乙两类问题．现有A 、B 、C 三位员工参加比赛，比赛规则为：先从甲类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该员工比赛结束；若回答正确再从乙类问题中随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该员工比赛结束．每人两次回答问题的过程相互独立．三人回答问题也相互独立．甲类问题中每个问题回答正确得20分，否则得0分；乙类问题中每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知A 员工能正确回答甲类问题的概率为0.5，能正确回答乙类问题的概率为0.6；B 员工能正确回答甲类问题的概率为0.6，能正确回答乙类问题的概率为0.5；C 员工能正确回答甲类问题的概率为0.4，能正确回答乙类问题的概率为0.75．(1)求3人得分之和为20分的概率；(2)设随机变量X 为3人中得分为100的人数，求随机变量X 的数学期望．20．已知四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是矩形，SA BD ⊥，22SA AD CD ==，M 是SB 的中点．(1)证明：MC BD ⊥；(2)若SA AD ⊥，2SA =，点P 是SC 上的动点，直线AP 与平面AMC 所成角的正弦值为1010，求SP SC ．21．已知椭圆222:1(0)6x y C b b +=>的左右焦点分别为12,,F F C 是椭圆的中心，点M 为其上的一点满足125,2MF MF MC ⋅==．(1)求椭圆C 的方程；(2)设定点(),0T t ，过点T 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，若在C 上存在一点A ，使得直线AP 的斜率与直线AQ 的斜率之和为定值，求t 的范围．22．已知函数()ln e ee (0)axxf x a x x=-->．(1)当1a =时，求函数()()1e eax f x g x x a -=-+-的单调区间；(2)证明：当2e a -<-时，不等式()0f x >恒成立．1．B【分析】根据分式不等式的解法、交集的定义求解即可.【详解】1122x x -<+，则11022x x --<+，即402x x -<+，()()420x x -+<，解得24-<<x ，故{}24A x x =-<<，又{}{}152,3,4B x x =∈<<=N ，故{}2,3A B ⋂=.故选：B 2．B【分析】由已知得出πi 2ππi cos isin e 22⋅=+=，然后指数运算可得结果.【详解】因为πi 2ππi cos isin e 22=+=，所以，2iπππi i i 222i e e e ⋅⋅-⎛⎫=== ⎪⎝⎭.故选：B.3．B【分析】利用等比数列片断和的性质，构造新的等比数列求解即可.【详解】由题意可知，公比1q ≠.由{}n a 是等比数列，则484128,,S S S S S --成等比数列，且公比为4q ，已知124816S S S =+，则412848488444)1615()1515(S S S S S S S S S S S -=-+=+-=++，即844441615S q S S q =+，当40S ≠时，两边同除以4S 得，8415160q q --=，解得，41q =-（舍），或416q =，则2q =±，当40S =时，此时414(1)01a q S q-==-，由10a ≠，解得1q =-，由已知1q ≠-，舍去.故选：B.4．A【分析】用平面向量基底{},AB AC 表示,AM BC，找到,AM BC 的关系求解即可.【详解】设,AB a AC b ==，则()()11,22AM AB AC a b BC AC AB b a =+=+=-=-，由()22222212,24AM a a b b BC a a b b =+⋅+=-⋅+ ，得2244AM BC a b -=⋅ ，又已知6AB AC a b ⋅=⋅=，且6AM = ，则有22444(366)120BC AM a b =-⋅=-=，故230BC =.故选：A.5．C【分析】由函数()f x 在区间,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭不单调，转化为在,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭上存在对称轴，求出对称轴方程，建立不等式组求解即可.【详解】已知()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，令πππ()32x k k ω+=+∈Z ，解得ππ6,()k x k ω+=∈Z 则函数()f x 对称轴方程为ππ6,()k x k ω+=∈Z 函数()f x 在区间,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭不单调，∴ππππ6,()64k k ω+<<∈Z ，解得2461,3k k k ω+<<+∈Z ，又由2πT >，且0ω>，得01ω<<，故仅当0k =时，213ω<<满足题意.故选：C.6．A【分析】取CD 中点，连接,AE BE ，证得CD ⊥面ABE ，作AO BE ⊥于O 得AO ⊥面BCD ，由等积法求出点D 到平面ABC 的距离h ，则hAD为直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值.【详解】取CD 中点，连接,AE BE ，,,AB AB BC BD ABC ABD ==∠=∠ ，ABC ∴ ≌ABD △，AC AD ∴=，AE CD ∴⊥，π,3BC BD DBC =∠=，BCD ∴△是边长为42的正三角形，,26BE CD BE ∴⊥=，,AE BE ⊂ 面,ABE AE BE E = ，CD \^面ABE ，作AO BE ⊥于O ，AO ⊂Q 面,ABE CD AO ∴⊥，,BE CD ⊂ 面,BCD BE CD E = ，AO ∴⊥面BCD ，在ABC 中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC=+-⋅⋅∠22π3(42)2342cos4=+-⨯⨯17=，17AC AD ∴==，221783AE AC CE ∴=-=-=，3AB AE == ，OB OE ∴=，22963AO AB BO ∴=-=-=，1sin 2ABC S AB BC ABC =⋅⋅∠△1π342sin 624=⨯⨯⨯=，设点D 到平面ABC 的距离为h ，由A BCD D ABC V V --=得1133BCD ABC S AO S h =⋅⋅ ，即21π(42)sin 3623h ⨯⋅⋅=⋅，解得4h =，所以直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值为44171717h AD ==.故选：A.7．C【分析】先根据正弦定理可得12AB AC =，再建立平面直角坐标系求解A 的轨迹方程，进而可得ABC 面积的最大值.【详解】在ABD △中sin sin AB BDADB BAD =∠∠，在ABD △中sin sin AC DC ADC CAD=∠∠，故sin sin AB ADB BD BAD ∠=∠，sin sin AC ADCDC CAD∠=∠，因为180ADB ADC ∠=︒-∠，故()sin sin 180sin ADB ADC ADC ∠=︒-∠=∠，又角A 的平分线交BC 于点D ，则BAD CAD ∠=∠，故AB ACBD DC=.故12AB BD AC DC ==.以D 为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为3BC =，12BD DC =，故()1,0B -，()2,0C ，设(),A x y ，则()()22221122x y x y ++=-+，即()()2222412x y x y ⎡⎤=++-+⎣⎦，故222484344x x y x x +++=-+，化简可得2240x x y ++=，即()2224x y -+=，故点(),A x y 的轨迹是以()2,0-为圆心，2为半径的圆（除去()()4,0,0,0-）.故当A 纵坐标最大，即()2,2A -时ABC 面积取最大值为13232ABC S =⨯⨯=△.故选：C 8．D【分析】构造函数()12ln f x x x x=--，其中1x >，()()2ln 211x g x x x =+-+，其中0x >，()e 1x h x x =--，其中0x >，利用导数分析各函数的单调性，由()f x 的单调性可得出a 、b 的大小关系，由()g x 的单调性可得出b 、211的大小关系，由()h x 的单调性可得出c 、211的大小关系，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】构造函数()12ln f x x x x =--，其中1x >，则()()22211210x f x x x x-'=+-=>，所以，函数()f x 在()1,+∞上为增函数，所以，()()111011101.12ln1.1ln1.211010111011f f =--=-->=，所以，1110ln1.21ln1.21011a b =->>=，令()()2ln 211xg x x x =+-+，其中0x >，则()()()222220111xg x x x x '=-=>+++对任意的0x >恒成立，所以，函数()g x 在()0,∞+上为增函数，所以，()()0.220.1ln1.2ln1.2001.111g g =-=->=，即2ln1.211b =>，令()e 1x h x x =--，其中0x >，则()e 10xh x '=->对任意的0x >恒成立，所以，函数()h x 在()0,∞+上为增函数，则()()0.10.1e 1.100g g =->=，则0.1e 1.1>，所以，0.11125e 5 1.111c =<=⨯，综上所述，a b c >>.故选：D.9．ABD【分析】对A ，根据1abc =可得1ac b =，再代入()21a c b+>推导即可；对B ，由0a c b c ->->推导即可；对C ，举反例判断即可；对D ，根据1abc =代入化简()()2211a b ab --即可判断.【详解】对A ，根据1abc =可得1ac b =，故()21a c b+>即()2a c ac +>，即220a ac c ++>.因为22223204a a a c c c c ⎛⎫=++ ⎪+⎭+>⎝恒成立，故()21a c b +>成立，故A 正确；对B ，因为a b c >>，故0a c b c ->->，故11a cb c<--成立；对C ，当1,1,22a b c ==-=-时，满足a b c >>且1abc =，但22a b >不成立，故C 错误；对D ，因为1abc =，()()()()2221111a c b c a b a b ab c c c --⎛⎫⎛⎫--=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为a b c >>，故()()20a c b c c -->，故D 正确.故选：ABD 10．ABD【分析】设10个样本数据从小到大排列分别为12310,,...x x x x ，再根据中位数、平均数、下四分卫数与方差的定义与公式推导即可.【详解】设10个样本数据从小到大排列分别为12310,,...x x x x ，则剩下的8个样本数据为239,...x x x .对A ：原样本数据的中位数为562x x +，剩下的8个样本数据中位数为562x x+，故A 正确；对B ，由题意()12391...8x x x x =+++，()211012x x x =+，()12101...10x x x x =+++.因为12x x =，故()()123911011 (82)x x x x x x =+++=+，即23911101...8,2x x x x x x x +++=+=，故1239101...10x x x x x x +++++=，故()12391011 (10)x x x x x x +++++=，故1x x =.故B 正确；对C ，因为1824⨯=，故剩下8个数据的下四分位数为()3412x x +，又110 2.54⨯=，故原样本数据的下四分位数为3x ，又43x x ≥，故()34312x x x +≥，故C 错误；对D ，因为12x x x ==，故()2222212391...8s x x x x =+++-，()2222211012s x x x =+-，()2222212101 (10)S x x x x =+++-.故222222391...88x x x s x +++=+，2222110222x x s x +=+，故()22222222121114188221055S s x s x x s s =+++-=+，故D 正确.故选：ABD 11．BCD【分析】根据函数的周期性与对称性，结合复合函数的单调性作出图象即可解决问题.【详解】()cos22sin ,f x x x x =+∈R ，()cos(2)2|sin()|cos 22|sin |()f x x x x x f x ∴-=-+-=+=，则()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称.()cos 2()2sin()cos 22sin ()f x x x x x f x +π=+π++π=+= ，()f x ∴是周期函数，周期T π=.又()cos 2()2sin()cos 22cos 222f x x x x xπππ-=-+-=-+ 且()cos 2()2sin()cos 22cos 222f x x x x x πππ+=+++=-+，()()22f x f x ππ∴-=+，即()f x 图象关于2x π=轴对称，故直线,2k x k π=∈Z 都是()f x 的对称轴.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin 0x ≥，则2()cos 22sin 2sin 2sin 1f x x x x x =+=-++2132(sin )22x =--+，令sin t x =，则()f x 可看成由2132()22y t =--+与sin t x =复合而成的函数，sin ,0,2t x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦单调递增，当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2132()22y t =--+单调递增，则()f x 单调递增；当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2132()22y t =--+单调递减，则()f x 单调递减；且min max 3()(0)()1,()()262f x f f f x f ππ=====.结合以上性质，作出函数()[]cos22sin ,0,2πf x x x x =+∈的大致图象.GGB选项A ，函数()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故A 项错误；选项B ，直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，故B 项正确；选项C ，当[0,]x π∈时，函数()f x 的值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由函数周期πT =，函数()f x 的值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C项正确；选项D ，如图可知，方程()f x a =最多有8个根，设为(1,2,3,,8)i x i = ，不妨设1238x x x x <<<< ，当()0,2πx ∈时，函数()f x 的图象关于x π=对称，则8182736451()()()()428i i x x x x x x x x x ==+++++++=⨯π=π∑，即这些根之和为8π，故D 项正确.GGB故选：BCD.12．ABC【分析】根据斜率是否存在分类设直线AB 方程，利用OA OB ⊥，可求得点O 到直线AB 的距离为定值，即可判断A ；根据椭圆的对称性，AOB ∠的平分线OD 及AB 边上中线最小值都为点O 到直线AB 的距离可判断BD ；C 选项可有射影定理和基本不等式求出AB 的最小值，进而得到AOB 面积的最小值.【详解】AI选项A ：如图，作OM AB ⊥于M ，则点O 在直线AB 上投影为点M ，当直线AB 斜率不存在时，设直线AB 为x m =，因OA OB ⊥，根据椭圆的对称性可知若A 在第一象限，则(),A m m ，代入2212x y +=得2212m m +=，得63m =，故直线AB 方程为63x =，此时M 为直线AB 与x 轴的交点，63OM =，根据椭圆的对称性知，当直线AB 方程为63x =-，也符合题意，63OM =，当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx n =+，联立2212x y +=得()222144220k x knx n +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122414kn x x k +=-+，21222214n x x k-=+，因OA OB ⊥，故12120x x y y +=，即()()12120x x kx n kx n +++=，化简得()()22121210k x x kn x x n ++++=，即()22222224101414n knk kn n k k-⎛⎫++-+= ⎪++⎝⎭，得()22213n k =+，OM 即点O 到直线AB 的距离，则222261331nn OM k k====++，综上可知OM 为定值63，故M 点的轨迹为以O 为圆心以63为半径的圆，故A 正确；选项B ：由A 选项知点O 到直线AB 的最小距离为63，AOB ∠的平分线交AB 于D 点，当直线AB 斜率不存在时，根据椭圆的对称性，OD 即为OM ，故OD 的最小值为63，故B 正确；选项C ：根据射影定理，223AM BM OM ⋅==，故2623AB AM BM AM BM =+≥⋅=，当且仅当AM BM =时等号成立，此时11226623332AOB S AB OM =壮=创，故C 正确；D 选项：当直线AB 斜率不存在时，根据椭圆的对称性，AOB 中，AB 边上中线即为63OM =，故D 错误，故选：ABC 13．2425-##0.96-【分析】知切求弦，转化为齐次比形式再变形为切代入求解即可.【详解】22sin 42sin 2cos 24sin cos (cos sin )==-ααααααα333322242244(sin cos sin cos )4(sin cos sin cos )(sin cos )sin 2sin cos cos --==+++αααααααααααααα3424(tan tan )4(28)24tan 2tan 1168125--===-++++αααα.故答案为：2425-.14．46-【分析】根据二项展开式公式分别计算12345,,,,a a a a a 即可.【详解】由题意，()523x x --中含x 的项为()()1415C 3405x x =---；含2x 的项为()()()()2123421255C 35C 3+13x x x --=-；含3x 的项为()()()()()1133212135453+C C 33450C x x x x -=---；含4x 的项为()()()()()()()213224122122455454C 3+1C 53C 3C x x x x x -+=-----；含5x 的项为()()()()()()()21123152211253553545C C +2C 3C C 131x x x x x x -+=-----；故123454051354501521146a a a a a ++++=-++--=-.故答案为：46-15．643##1213【分析】根据球的体积求出半径，再判断出体积最大时为正四棱锥，根据直角三角形中勾股定理求出正四棱锥底面边长和高的关系，表示出正四棱锥的体积，通过导数求得其最大值.【详解】 球的体积314363V R ππ==,∴球的半径3R =要使该四棱锥体积最大，如图四棱锥P ABCD -，对于底面ABCD 所在的小圆中，顶点P 到该小圆面距离最大，也就是高最大，即点P 位于小圆圆心O 与球心M 所在直线与球面的交点（远离小圆圆心的那点）；同时要使四棱锥体积最大，底面四边形ABCD 面积S 取最大，1111sin sin()sin()sin 2222AOB AOD BOC COD S S S S S AO BO AO OD OB OC CO DO θπθπθθ=+++=⋅⋅+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅ 1sin 2AC BD θ=⋅⋅（其中θ为AC 与BD 的夹角）所以当AC 、BD 取最大即小圆的直径，sin θ取最大为1时，即AC BD ⊥时，底面四边形ABCD 面积S 最大，也就是四边形ABCD 为正方形时，其面积最大，因此当四棱锥P ABCD -为正四棱锥时，其体积最大.设2AB a =，高PO h =，则2OD a =,在Rt MOD 中，222MD MO OD =+,即2223(3)2h a =-+，221[9(3)]2a h ∴=--所以正四棱锥的体积()223211224934(06)3333V Sh a h h h h h h ⎡⎤==⨯=--=-+<<⎣⎦2282(4)V h h h h '=-+=--，故当()0,4h ∈时，0V '>，函数V 单调递增；当()4,6h ∈时，0V '<，函数V单调递减，所以4h =时，函数V 取得最大值32max 26444433V =-⨯+⨯=故答案为：643.16．1【分析】首先求函数的导数，并求函数的多阶导数，并分析求得m 的取值.【详解】()()e cos 1xf x m x x m '=+--+，由题意可知，()()0110f m m '=+-+=，设()()g x f x '=，()e sin 1xg x m x '=--，()00g '=，设()()h x g x '=，()e cos xh x m x '=-，()01h m '=-，若()010h m '=->，则存在(),x εε∈-，使()0h x '>，则(),x εε∈-，()h x 单调递增，即()g x '单调递增，又()00g '=，所以(),0x ε∈-，()0g x '<，函数()g x 单调递减，()0,x ε∈，()0g x '>，函数()g x 单调递增，所以(),x εε∈-，()()00g x g ≥=，即()0f x '≥，那么，(),x εε∈-，函数()f x 单调递增，在0x =处不能取到极小值，故不成立，若()010h m '=-<，则存在(),x εε∈-，使()0h x '<，则(),x εε∈-，()h x 单调递减，即()g x '单调递减，又()00g '=，所以(),0x ε∈-，()0g x '>，函数()g x 单调递增，()0,x ε∈，()0g x '<，函数()g x 单调递减，所以(),x εε∈-，()()00g x g ≤=，即()0f x '≤，那么，(),x εε∈-，函数()f x 单调递减，在0x =处不能取到极小值，故不成立，所以()010h m '=-=，即1m =.故答案为：1【点睛】思路点睛：本题表面是一道普通的根据极小值点求参数的取值问题，实际得需要求多阶导数，再分析出m 的取值.17．(1)3nn a =(2)n T ()212236n n n +=++⨯-【分析】（1）根据1n n n S S c --=可得n c n =，进而可得{}n a 的通项公式；（2）裂项可得()()21211313n n n d n n +⎡⎤=++⨯-+⨯⎣⎦，再累加求和即可.【详解】（1）()()22111,22n n n n n n S S --+-+=∴=，()11,n n n S S n c n n -∴-==>∈N 又()111,,3nn n c S c n n a +==∴=∈∴=N （2）()()22123265(1)1313n n nn d n n n n +⎡⎤=⨯++=++⨯-+⨯⎣⎦ ()()()()2222322213113313213n T ∴=+⨯-+⨯++⨯-+⨯++()()22121213(1)13(1)1313n n n nnn n n -+⎡⎤⎡⎤+⨯--+⨯+++⨯-+⨯⎣⎦⎣⎦()221113(1)13n n +⎡⎤=-+⨯+++⨯⎣⎦()212236n n n +=++⨯-18．(1)π3A =(2)677【分析】（1）根据正弦定理化简可得()sin sin 2C A B =-，再根据角度关系分析即可；（2）根据平面向量基本定理可得23AB ACAD += ，再两边平方可得224236b c bc ++=，结合余弦定理可得222421361c c b b a c c b b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再令c x b =，结合函数单调性与最值求解即可.【详解】（1）()2cos cos cos2c a A B b A A B =-≤ ，sin 2sin cos cos sin cos2C A A B B A∴=-()sin sin2cos sin cos2sin 20C A B B A A B ∴=-=->又02πA B <-<，则C 2A B =-或2πC A B +-=，若C 2A B =-，则π3A =；若2πC A B +-=，则2A B =，又A B ≤，不符合题意，舍去，综上所述π3A =.（2）22222,,()33AB AC AB AC BD DC AD AD ⎛⎫++=∴=∴= ⎪⎝⎭224236b c bc ∴++=①，又222a b c bc =+-②，①÷②得：222222242136421c c c b bc b b a b c bc c c b b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==+-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令cx b=，又22222,,,A B a b a b b c bc b ≤∴≤∴≤∴+-≤，,01cc b x b∴≤∴<=≤，令()()22242163(01),411x x x f x x f x x x x x ++-=<≤=+-+-+ 令363,6t x t x +-==，令()()2364(33)27tg t f x t t ==+-<≤+，当0=t 时()4g t =，当0t ≠时()364(33)27g t t t t=+-<≤+，由对勾函数性质可得当03t <≤时，27y t t =+为减函数，故27273123t t +≥+=，同理当0t <时2712t t+<-，()2366717,7,7g t a a ∴<≤∴≤∴≥所以当三角形ABC 为等边三角形时a 最小，最小值为67719．(1)0.158(2)0.9【分析】（1）列举出3人得分之和为20分的各种情况，结合独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；（2）计算出3人各自得分为100的概率，可知()~3,0.3X B ，利用二项分布的期望公式可求出()E X 的值.【详解】（1）解：设事件1A 为A 员工答对甲类问题；设事件2A 为A 员工答对乙类问题；设事件1B 为B 员工答对甲类问题；设事件2B 为B 员工答对乙类问题；设事件1C 为C 员工答对甲类问题；设事件2C 为C 员工答对乙类问题；三人得分之和为20分的情况有：①A 员工答对甲类题，答错乙类题；B 与C 员工均答错甲类题，则()()()()()121112110.50.40.40.60.048P A A B C P A P A P B P C ⋅⋅⋅==⨯⨯⨯=；②B 员工答对甲类题，答错乙类题；A 与C 员工均答错甲类题，()()()()()121112110.60.50.50.60.09P B B A C P B P B P A P C ⋅⋅⋅==⨯⨯⨯=；③C 员工答对甲类题，答错乙类题；A 与B 员工均答错甲类题，()()()()()121112110.40.250.50.40.02P C C A B P C P C P A P B ⋅⋅⋅==⨯⨯⨯=，所以三人得分之和为20分的概率为0.0480.090.020.158++=.（2）解：因为A 员工得100分的概率为()()()12120.50.60.3P A A P A P A ⋅=⋅=⨯=，B 员工得100分的概率为()()()12120.60.50.3P B B P B P B ⋅=⋅=⨯=，C 员工得100分的概率为()()()12120.40.750.3P C C P C P C ⋅=⋅=⨯=，所以，随机变量()3,0.3X B ，所以，()30.30.9E X =⨯=.20．(1)证明见解析(2)12SP SC =【分析】（1）取AB 的中点N ，连接MN 、CN ，推导出BD ⊥平面CMN ，再利用线面垂直的性质定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设SP SC λ=，其中01λ≤≤，求出平面AMC 的一个法向量的坐标，利用空间向量法可得出关于λ的方程，解出λ的值，即可得解.【详解】（1）取AB 的中点N ，连接MN 、CN ，因为M 、N 分别为SB 、AB 的中点，则//MN SA ，因为SA BD ⊥，所以，BD MN ⊥，设直线CN 与直线BD 交于Q 点，因为//BN CD ，则BNQ DCQ ∠=∠，NBQ CDQ ∠=∠，所以，BNQ CDQ △∽△，所以，12NQ BQ BN CQ DQ DC ===，故13NQ BQ NC BD ==，设AD a =，则22CD AD a ==，22222622NC BN BC a a a ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以，1636NQ CN a ==，且()222223BD AD AB a aa =+=+=，1333BQ BD a ==，所以，222222632a a a NQ BQ BN +=+==，所以，BD CN ⊥，又因为MN CN N ⋂=，MN 、CN ⊂平面CMN ，则BD ⊥平面CMN ，因为MC ⊂平面CMN ，故MC BD ⊥.（2）因为SA AD ⊥，SA AB ⊥，AB AD ⊥，以点A 为坐标原点，AD 、AB 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为2SA =，则()0,0,0A 、()0,0,2S 、()2,22,0C 、()0,22,0B 、()0,2,1M ，设平面AMC 的法向量为(),,m x y z =，则()2,22,0AC = ，()0,2,1AM = ，则222020m AC x y m AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2x =，则()2,1,2m =- ，设()()2,22,22,22,2SP SC λλλλλ==-=-，其中01λ≤≤，()()()0,0,22,22,22,22,22AP AS SP λλλλλλ=+=+-=-，因为直线AP 与平面AMC 所成角的正弦值为1010，则()222110cos ,1051684m AP AP m m APλλλ-⋅===⋅⋅-+，解得12λ=，即12SP SC =.21．(1)22163x y +=(2)6t >或6t <-【分析】（1）在12MF F △中，根据余弦定理及MC可得2229a c -=，从而求得椭圆方程.（2）设()()()001122,,,,,A x y P x y Q x y ，直线l 的方程为x y t λ=+，代入椭圆方程得韦达定理，要使01020102y y y y x x x x --+=--()()()()200000222002212462x y tx y x t x x t λλλ+-+--+-为常数，则02120tx -=，根据0x 范围得到t 的范围及点A 坐标.【详解】（1）设1122,MF r MF r ==，在12MF F △中，设12F MF θ∠=，22221212122cos 4F F r r r r c θ=+-=，()22212121212cos 4,2r r r r c MC MF MF θ∴=+-=+ 又，()()2222222212112212121122cos 4422r r MC MF MF MF MF r r r r c θ∴=++⋅=++=+- ，()222121222222122254222r r r r r r MC c c a c +-∴=+-=-=--=2222229,6,3,3a c a c b ∴-==∴=∴= ，所以椭圆C 的方程为：22163x y +=（2）设()()()001122,,,,,A x y P x y Q x y ，直线l 的方程为x y t λ=+，()222221226063x y y t y t x y t λλλ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩，2121211222226,,,22t t y y y y x y t x y t λλλλλ-∴+=-==+=+++，22121222426,22t t x x x x λλλ-+==++，设()()()()()()01020201010201020102y y x x y y x x y y y y x x x x x x x x -⋅-+-⋅---+=---⋅-()()()()0001212012201201222x y y x x y y t x y y x x x x x x λ-+++-+=-++()()()()200000222002212462x y tx y x t p x x t λλλ+-+-==-+-，若p 为常数，则02120tx -=，即06tx =，而此时()()()000002200042262y x t x y y x t x x t -==---，又0666,66x t-<<∴-<<，即6t >或6t <-，综上所述，6t >或6t <-，存在点2618,3A t t ⎛⎫±- ⎪ ⎪⎝⎭，使得直线AP 的斜率与直线AQ 的斜率之和为定值002y x t-【点睛】关键点点睛：()()()()200000222002212462x y tx y x t x x t λλλ+-+--+-对任意λ恒为定值，因为分子分母中同时含有λ，这种情况下分子分母λ的对应系数成比例则整体可以为定值，故需要02120tx -=且()()()000022004262y x t x y x x t -=--即2λ项、常数项对应成比例.22．(1)函数()g x 在()0,∞+上单调递增(2)证明见解析【分析】（1）利用导函数研究函数()g x 的单调性，由导函数分子21ln x x -+符号不易判断，再构造函数()21ln ,0h x x x x =-+>，借助导函数研究()h x 的单调性，进而求出其最小值大于0，即()0g x '>，从而得到函数的单调性.（2）等价转化不等式为1e ln 0ax x x ax --->，构造函数()1e ln ax x x x ax -=--ϕ，求导得()()()111e 1ax x ax x x-'=+-ϕ，再构造研究函数()1e 1ax r x x -=-的单调性与最值，得1e 10ax x --<，再由()()()111e 1ax x ax x x -'=+-ϕ符号，分析单调性，得()22min e e ln 1x a a --⎛⎫=---- ⎪⎝⎭ϕ，再构造函数证明()min ()ln 10x m t t t ==-->ϕ即可.【详解】（1）当1a =时，()ln e ee(0)xxf x x x=-->，则()()1ln e 1e x f x xg x x x x-=-+-=+，()()2221ln 1ln 1x x x g x x x --+=+='令()21ln ,0h x x x x =-+>，则()21212x h x x x x -=-+='，令()0h x '=，得22x =，当20,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当2,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增.所以函数()h x 在20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减,在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，()()()min 221311ln ln 20,0,022222h x h h x g x ⎛⎫∴==-+=+>∴>⎝'∴> ⎪ ⎪⎭，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增.（2）不等式ln e e e 0ax xa x -->等价于1e ln 0ax x x ax --->令()1e ln 0ax x x x ax -=-->ϕ则()()()()11111e 1e 1ax ax x ax a ax x x x --'=+-=+--ϕ设()()()11e 1,1e ax ax r x x r x ax --'=-∴=+，当()10,0x r x a '<<->，当()1,0x r x a '>-<，所以函数()r x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减，()()2max 11e r x r a a a -⎛⎫∴=-=-+ ⎪⎝⎭，()22max 1e ,()e 0a r x a a --<-∴=-+< ，即()0r x <，则令()()()111e 10ax x ax x x -'=+-<ϕ，解得1x a <-，令()()()111e 10ax x ax x x -'=+->ϕ，解得1x a >-，所以函数()x ϕ在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭单调递增，()222min 111e e e ln 1ln 1x a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=---+=---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ϕϕ，令2e t a -=-，则()()()11ln 1,0,1,1t m t t t t m t t t -=-=-='-∈，当(0,1)t ∈时，()0m t '<，()m t ∴在()0,1单调递减，()()1,(1)1ln110,m t m m ∴>=--=，()0m t ∴>()()min 0,0x x ∴>∴>ϕϕ即2e a -<-时，不等式()0f x >恒成立．。