v1.0 可编辑可修改2019高考立体几何题型与方法全归纳文科配套练习1、四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,23PA =,2BC CD ==,3ACB ACD π∠=∠=.(Ⅰ)求证:BD ⊥平面PAC ；(Ⅱ)若侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =,求三棱锥P BDF -的体积。
【答案】(Ⅰ)证明:因为BC=CD ，即BCD ∆为等腰三角形，又ACD ACB ∠=∠,故AC BD ⊥.因为⊥PA 底面ABCD ，所以BD PA ⊥,从而BD 与平面PAC 内两条相交直线AC PA ,都垂直， 故BD ⊥平面PAC 。
(Ⅱ)解：332sin 2221sin 21=⨯⨯=∠••=∆πBCD CD BC S BCD . 由⊥PA 底面ABCD 知23233131=⨯⨯=⨯⨯=∆-PA S V BCD BDC P .由,7FC PF =得三棱锥BDC F -的高为PA 81,故：4132813318131=⨯⨯⨯=⨯⨯=∆-PA S V BCD BDC F47412=-=-=---BCD F BCD P BDF P V V V 2、如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PAD ∆为等腰三角形，90APD ︒∠=，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，且1,2AB AD ==，,E F 分别为PC 和BD 的中点．（Ⅰ）证明：EF 平面PAD ；（Ⅱ）证明：平面PDC ⊥平面PAD ； （Ⅲ）求四棱锥P ABCD -的体积．【答案】（Ⅰ）证明：如图，连结AC ．∵四边形ABCD 为矩形且F 是BD 的中点．∴F 也是AC 的中点． 又E 是PC 的中点，EFAPv1.0 可编辑可修改∵EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以EF 平面PAD ；（Ⅱ）证明：∵平面PAD ⊥ 平面ABCD ，CD AD ⊥，平面PAD 平面ABCD AD =， 所以平面CD ⊥ 平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以PA CD ⊥ 又PA PD ⊥，,PD CD 是相交直线，所以PA ⊥面PCD 又PA ⊂平面PAD ，平面PDC ⊥平面PAD ；（Ⅲ）取AD 中点为O ．连结PO ,PAD ∆为等腰直角三角形，所以PO AD ⊥， 因为面PAD ⊥面ABCD 且面PAD 面ABCD AD =， 所以，PO ⊥面ABCD ，即PO 为四棱锥P ABCD -的高． 由2AD =得1PO =．又1AB =．∴四棱锥P ABCD -的体积1233V PO AB AD =⋅⋅=考点：空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.3、如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，CD PA ⊥， DB ADC ∠平分，E PC 为的中点，45DAC ∠=，2AC =.（Ⅰ）证明：PA ∥BDE 平面；（Ⅱ）若,22,2==BD PD 求四棱锥ABCD E -的体积 【答案】（Ⅰ）设F BD AC =⋂，连接EF ，CD PD ABCD CD ABCD PD ⊥∴⊂⊥，平面，平面PAD PA PD P PA PD PA CD 平面，，，又⊂=⋂⊥ AD CD PAD AD PAD CD ⊥∴⊂⊥∴平面，平面∵,45︒=∠DAC ∴,DC DA =∵DB 平分,ADC ∠F 为AC 中点，E 为PC 中点， ∴EF 为CPA ∆的中位线.∵EF ∥,PA EF BDE ⊂平面，PA BDE ⊄平面 ∴PA ∥BDE 平面.(Ⅱ)底面四边形ABCD 的面积记为S ;ABC ADC S S S ∆∆+=222322122221=⨯⨯+⨯⨯=． 的中点，为线段点PC E111122232323E ABCD V S PD -∴=⋅=⨯⨯⨯=．考点：1.线面平行的证明；2.空间几何体的体积计算.4、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，其中2PA PD AD ===，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点．v1.0 可编辑可修改(1) 求证：AD PQB ⊥平面；(2) 若平面PAD ⊥平面ABCD ,且M 为PC 的中点，求四棱锥M ABCD -的体积． 【答案】（1）PA PD =，Q 为中点，AD PQ ∴⊥ 连DB ，在ADB ∆中，AD AB =，60BAD ︒∠=，ABD ∴∆为等边三角形，Q 为AD 的中点，AD BQ ∴⊥,PQ BQ Q ⋂=,PQ ⊂平面PQB ,BQ ⊂平面PQB , ∴AD ⊥平面PQB .（2）连接QC ,作MH QC ⊥于H .H ABCD PMQPQ AD⊥,PQ⊂平面PAD,平面PAD⋂平面ABCD AD=,平面PAD⊥平面ABCD，PQ ABCD∴⊥平面 , QC⊂ABCD平面 ,PQ QC∴⊥//PQ MH∴.∴MH ABCD⊥平面,又12PM PC=,1122222MH PQ∴==⨯=.在菱形ABCD中，2BD=,1sin602ABDS AB ADΛ=⨯⨯⨯1=2222⨯⨯⨯∴2ABDABCDS S∆==菱形M ABCDV-13ABCDS MH=⨯⨯菱形132=⨯1=．5、如图，E是矩形ABCD中AD边上的点，F为CD边的中点，243AB AE AD===，现将ABE∆沿BE边折至PBE∆位置，且平面PBE⊥平面BCDE.⑴求证：平面PBE⊥平面PEF；⑵求四棱锥P BEFC-的体积.PB CDFE(1)(2)【答案】(1) 证明：由题可知，4545ED DF DEF DEF ED DF EF BE AE AB ABE AEB AE AB =⎫⎫∆⇒∠=︒⎬⎪⊥⎭⎪⇒⊥⎬=⎫⎪∆ ⇒∠=︒ ⎬⎪⊥⎭⎭中中 ABE BCDEABE BCDE BE EF PBE PBE PEF EF BE EF PEF ⎫⊥⎫⎪⎪=⇒⊥⎬⎪⇒⊥⎬⎪⊥⎭⎪⎪ ⊂⎭平面平面平面平面平面平面平面平面 (2) 116444221422BEFC ABCD ABE DEF S S S S =--=⨯-⨯⨯-⨯⨯=，则111433BEFC V S h =⋅⋅=⨯⨯=6、已知四棱锥P ABCD -中，,PD ABCD ABCD ⊥平面是正方形，E 是PA 的中点，(1)若PD AD =，求 PC 与面AC 所成的角 (2) 求证：//PC 平面EBD (3) 求证：平面PBC ⊥平面PCD 【答案】(1)PD ⊥平面ABCD ，DC ∴是直线PC 在平面ABCD 上的射影，PCD ∴∠是直线PC 和平E D CBAP面ABCD 所成的角。
又PD DA =，四边形ABCD 是正方形，,DA DC ∴=PD DC ∴=，045PCD ∴∠=；∴直线PC 和平面ABCD 所成的角为045（2）连接AC 交BD 与O,连接EO, ∵E 、O 分别为PA 、AC 的中点 ∴EO ∥PC ∵PC ⊄平面EBD,EO ⊂平面EBD ∴PC ∥平面EBD （3）∵PD平面ABCD, BC ⊂平面ABCD ，∴PDBC ，∵ABCD 为正方形 ∴ BCCD ，∵PD ∩CD=D, PD ，CD ⊂平面PCD ∴BC平面PCD又∵ BC ⊂平面PBC ∴平面PBC平面PCD7、在边长为4cm 的正方形ABCD 中，E F 、分别为BC CD 、的中点，M N 、分别为AB CF 、的中点，现沿AE AF EF 、、折叠，使B C D 、、三点重合，重合后的点记为B ，构成一个三棱锥．（1）请判断MN 与平面AEF 的位置关系，并给出证明； （2）证明AB ⊥平面BEF ； （3）求四棱锥E AFNM -的体积． 【答案】（1）MN 平行平面AEF证明：由题意可知点M N 、在折叠前后都分别是AB CF 、的中点（折叠后B C 、两点重合） 所以MN 平行AF因为MN AEF AF AEF MN AF ⊄⎧⎪⊂⎨⎪⎩面面平行，所以MN 平行平面AEF .（2）证明：由题意可知AB BE ⊥的关系在折叠前后都没有改变.因为在折叠前AD DF ⊥，由于折叠后AD AB 与重合，点D F 与重合，所以AB BF ⊥因为=AB BE AB BF BE BEF BF BEF BE BF B ⊥⎧⎪⊥⎪⎪⊂⎨⎪⊂⎪⋂⎪⎩面面，所以AB ⊥平面BEF .（3）E AFNM E ABF E MBN V V V ---=- A BEF M BEN V V --=-1133BEF BEN S AB S MB ∆∆=⋅-⋅11112242123232=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ 2= .8、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ＝＝.(1)求证：平面EFG ⊥平面PDC ；(2)求三棱锥P MAB －与四棱锥P ABCD －的体积之比．【答案】(1)证明：∵MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ， ∴PD ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ， ∵ABCD 为正方形，∴BC ⊥DC. ∵PD DC D ＝，∴BC ⊥平面PDC .在PBC ∆中，因为G F 、分别为PB 、PC 的中点， ∴GF ∥BC ，∴GF ⊥平面PDC .又GF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PDC . (2)不妨设=1MA ，∵ABCD 为正方形，∴2PD AD ＝＝， 又∵PD ⊥平面ABCD ，所以P ABCD V －＝13ABCD S PD ⋅正方形＝83.由于DA ⊥平面MAB ，且PD ∥MA ， 所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离，三棱锥P MAB V －＝13×1122⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭×2＝23.所以14P MAB P ABCD V V －－:＝:. 9、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，.21,1,90====⊥=∠AD BC AB SA ABCD SA ABC ，面v1.0 可编辑可修改 (1)求四棱锥S-ABCD 的体积;(2)求证：;SBC SAB 面面⊥(3)求SC 与底面ABCD 所成角的正切值。
【答案】（1）解：111111()(1)11332624v Sh AD BC AB SA ==⨯⨯+⨯⨯=⨯+⨯⨯= （2）证明：BC SA ABCD BC ABCD SA ⊥∴⊂⊥,面，面 又,A AB SA BC AB =⊥ ，SAB BC 面⊥∴SAB BC 面⊂ SBC SAB 面面⊥∴（3）解：连结AC,则SCA ∠就是SC 与底面ABCD 所成的角。
在三角形SCA 中，SA=1,AC=21122=+,2221tan ===∠AC SA SCA 10、如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求AD与平面ABE 所成角的正弦值．SCA D B【答案】（Ⅰ）证明：连接CQ DP ,， 在ABE ∆中，Q P ,分别是AB AE ,的中点，所以BE PQ 21//==， 又BE DC 21//==，所以DC PQ ==//，又⊄PQ 平面ACD ，DC ⊂平面ACD ， 所以//PQ 平面ACD （Ⅱ）在ABC ∆中，BQ AQ BC AC ===,2，所以AB CQ ⊥ 而DC ⊥平面ABC ，DC EB //，所以⊥EB 平面ABC 而⊂EB 平面ABE ， 所以平面ABE ⊥平面ABC ， 所以⊥CQ 平面ABE 由（Ⅰ）知四边形DCQP 是平行四边形，所以CQ DP // 所以⊥DP 平面ABE ， 所以直线AD 在平面ABE 内的射影是AP ， 所以直线AD 与平面ABE 所成角是DAP ∠ 在APD Rt ∆中，5122222=+=+=DC AC AD ，1sin 2=∠==CAQ CQ DP 所以5551sin ===∠AD DP DAP。
