2019高考立体几何题型与方法全归纳文科
配套练习
1、四棱锥中,⊥底面,,,
.
(Ⅰ)求证:⊥平面；
(Ⅱ)若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积。
【答案】
(Ⅰ)证明:因为BC=CD ，即BCD ∆为等腰三角形，又ACD ACB ∠=∠,故AC BD ⊥.
因为⊥PA 底面ABCD ，所以BD PA ⊥,从而BD 与平面PAC 内两条相交直线AC PA ,都垂直， 故⊥平面。
(Ⅱ)解：33
2sin 2221sin 21=⨯⨯=∠••=∆πBCD CD BC S BCD . 由⊥PA 底面ABCD 知23233
131=⨯⨯=⨯⨯=∆-PA S V BCD BDC P . 由,7FC PF =得三棱锥BDC F -的高为PA 8
1, 故：4
132813318131=⨯⨯⨯=⨯⨯=∆-PA S V BCD BDC F 4
7412=-=-=---BCD F BCD P BDF P V V V 2、如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PAD ∆为等腰三角形，90APD ︒∠=，平面PAD ⊥
平面ABCD ，且1,2AB AD ==，,E F 分别为PC 和BD 的中点．
（Ⅰ）证明：EF P 平面PAD ；
（Ⅱ）证明：平面PDC ⊥平面PAD ；
（Ⅲ）求四棱锥P ABCD -的体积．
【答案】
（Ⅰ）证明：如图，连结AC ．
∵四边形ABCD 为矩形且F 是BD 的中点．∴F 也是AC 的中点．
又E 是PC 的中点，EF AP P
∵EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以EF P 平面PAD ；
（Ⅱ）证明：∵平面PAD ⊥ 平面ABCD ，CD AD ⊥，平面PAD I 平面ABCD AD =，
所以平面CD ⊥ 平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以PA CD ⊥
又PA PD ⊥，,PD CD 是相交直线，所以PA ⊥面PCD
又PA ⊂平面PAD ，平面PDC ⊥平面PAD ；
（Ⅲ）取AD 中点为O ．连结PO ,PAD ∆为等腰直角三角形，所以PO AD ⊥，
因为面PAD ⊥面ABCD 且面PAD I 面ABCD AD =，
所以，PO ⊥面ABCD ，
即PO 为四棱锥P ABCD -的高．
由2AD =得1PO =．又1AB =．
∴四棱锥P ABCD -的体积1233
V PO AB AD =⋅⋅= 考点：空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.
3、如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，CD PA ⊥， DB ADC ∠平分，E PC 为的中点，45DAC ∠=o
，AC =
O
（Ⅰ）证明：PA ∥BDE 平面； （Ⅱ）若,22,2==BD PD 求四棱锥ABCD E -的体积
【答案】（Ⅰ）设F BD AC =⋂，连接EF ，
CD PD ABCD CD ABCD PD ⊥∴⊂⊥，平面，平面Θ
PAD PA PD P PA PD PA CD 平面，，，又⊂=⋂⊥Θ
AD CD PAD AD PAD CD ⊥∴⊂⊥∴平面，平面Θ
∵,45︒=∠DAC ∴,DC DA =
∵DB 平分,ADC ∠F 为AC 中点，E 为PC 中点，
∴EF 为CPA ∆的中位线.
∵EF ∥,PA EF BDE ⊂平面，PA BDE ⊄平面
∴PA ∥BDE 平面.
(Ⅱ)底面四边形ABCD 的面积记为S ;
ABC ADC S S S ∆∆+=222322122221=⨯⨯+⨯⨯=
． 的中点，为线段点PC E Θ
111122232323
E ABCD V S PD -∴=⋅=⨯⨯⨯=． 考点：1.线面平行的证明；2.空间几何体的体积计算.
4、如图，在四棱锥中，底面为菱形，其中，，为的中点．
(1) 求证：AD PQB ⊥平面；
(2) 若平面平面ABCD ,且M 为PC 的中点，求四棱锥M ABCD -的体积．
【答案】
（1）PA PD =Q ，Q 为中点，AD PQ ∴⊥
连DB ，在ADB ∆中，AD AB =，，
ABD ∴∆为等边三角形，为的中点，
AD BQ ∴⊥,
PQ BQ Q ⋂=,PQ ⊂平面PQB ,BQ ⊂平面PQB ,
∴AD ⊥平面PQB .
（2）连接QC ,作MH QC ⊥于H .
Q PQ AD ⊥,PQ ⊂平面PAD ,平面PAD ⋂平面ABCD AD =,平面平面ABCD ，
PQ ABCD ∴⊥平面 , QC ⊂ABCD 平面 ,
PQ QC ∴⊥
//PQ MH ∴.
∴MH ABCD ⊥平面,
又12PM PC =,1122222
MH PQ ∴==⨯=. 在菱形ABCD 中，2BD =,
01sin 602
ABD S AB AD Λ=⨯⨯⨯1=2222⨯⨯⨯
∴2ABD ABCD S S ∆==菱形
M ABCD V -13ABCD S MH =⨯⨯菱形13233=⨯⨯1=． 5、如图，是矩形中边上的点，为边的中点，，现将沿边折至位置，且平面平面.
⑴ 求证：平面平面；
⑵ 求四棱锥的体积.
【答案】(1) 证明：由题可知，
(2) ，则
.
6、已知四棱锥中，是正方形，E 是的中点，
(1)若PD AD =，求 PC 与面AC 所成的角
(2) 求证：平面
(3) 求证：平面PBC ⊥平面PCD
【答案】平面，是直线在平面ABCD 上的射影，是直线PC 和平面ABCD 所成的角。
又，四边形ABCD 是正方形，，；直线PC 和平面ABCD 所成的角为
（2）连接AC 交BD 与O,连接EO, ∵E 、O 分别为PA 、AC 的中点
∴EO ∥PC ∵PC 平面EBD,EO 平面EBD ∴PC ∥平面EBD
（3）∵PD 平面ABCD, BC 平面ABCD ，∴PD BC ，
E
D C
B
A P
∵ABCD 为正方形 ∴ BC CD ，
∵PD ∩CD=D, PD ，CD 平面PCD
∴BC 平面PCD
又∵ BC 平面PBC
∴平面PBC 平面PCD
7、在边长为的正方形中，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重合，重合后的点记为，构成一个三棱锥．
（1）请判断与平面的位置关系，并给出证明；
（2）证明平面；
（3）求四棱锥的体积．
【答案】（1）平行平面
证明：由题意可知点在折叠前后都分别是的中点（折叠后两点重合）
所以平行
因为，所以平行平面.
（2）证明：由题意可知的关系在折叠前后都没有改变.
因为在折叠前，由于折叠后，点，所以
因为，所以平面.
（3）
.
8、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ＝＝.
(1)求证：平面EFG ⊥平面PDC ；
(2)求三棱锥P MAB －与四棱锥P ABCD －的体积之比．
【答案】(1)证明：∵MA 平面ABCD ，PD ∥MA ，
∴PD ⊥平面ABCD ，
又BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ，
∵ABCD 为正方形，∴BC ⊥DC.
∵PD DC D I ＝，∴BC ⊥平面PDC .
在PBC ∆中，因为G F 、分别为PB 、PC 的中点，
∴GF ∥BC ，∴GF ⊥平面PDC .
又GF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PDC .
(2)不妨设=1MA ，∵ABCD 为正方形，∴2PD AD ＝＝，
又∵PD ⊥平面ABCD ，
所以P ABCD V －＝13
ABCD S PD ⋅正方形＝83. 由于DA ⊥平面MAB ，且PD ∥MA ，
所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离，
三棱锥P MAB V －＝13×1122⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭
×2＝23. 所以1
4P MAB P ABCD V V －－:＝:. 9、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，
.2
1,1,90====⊥=∠AD BC AB SA ABCD SA ABC ，面ο
(1)求四棱锥S-ABCD 的体积;(2)求证：;SBC SAB 面面⊥(3)求SC 与底面ABCD 所成角的正切值。
S
C
A D B
【答案】（1）解：
111111()(1)11332624
v Sh AD BC AB SA ==⨯⨯+⨯⨯=⨯+⨯⨯= （2）证明：
BC SA ABCD BC ABCD SA ⊥∴⊂⊥,
面，面Θ又,A AB SA BC AB =⊥I Θ，SAB BC 面⊥∴
SAB BC 面⊂ΘSBC SAB 面面⊥∴
（3）解：连结AC,则SCA ∠就是SC 与底面ABCD 所成的角。
在三角形SCA 中，SA=1,AC=21122=+,222
1tan ===∠AC SA SCA 10、如图，平面，，，，分别为的中点．（I ）证明：平面；（II ）求与平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC 平面ACD ， 所以平面ACD
（Ⅱ）在中，，所以
而DC 平面ABC ，，所以平面ABC
而平面ABE ， 所以平面ABE 平面ABC ， 所以平面ABE
由（Ⅰ）知四边形DCQP 是平行四边形，所以
所以平面ABE ， 所以直线AD 在平面ABE 内的射影是AP ，
所以直线AD与平面ABE所成角是在中，，
所以。
