第1讲 函数的图像与性质的简单应用高考年份全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ2020函数单调性的应用·T12对数大小的判断·T11 函数的奇偶性与单调性·T9函数的性质·T162019 函数图像的判断·T5函数的建模与应用·T4 函数图像的判断·T7 2018函数图像的判断·T3函数图像的判断·T71。
[2019·全国卷Ⅰ］函数f （x )=sinx+x cosx+x 2在[-π,π］的图像大致为( ）A BC D图M1-1-12。
[2018·全国卷Ⅲ]函数y=-x 4+x 2+2的图像大致为 ( ）图M1-1-23。
［2019·全国卷Ⅱ］若a〉b,则 (）A。
ln（a—b）>0 B。
3a〈3bC。
a3—b3〉0 D.｜a|>｜b｜4。
[2020·全国卷Ⅱ］若2x-2y〈3—x-3-y，则(）A.ln(y-x+1)〉0B.ln（y—x+1）〈0C.ln|x-y|〉0D。
ln｜x-y｜〈05.[2020·北京卷]已知函数f(x)=2x—x—1，则不等式f(x）〉0的解集是()A.（—1，1)B。
(-∞,—1)∪(1，+∞）C.(0，1）D。
（-∞,0）∪(1,+∞）6.[2020·全国新高考Ⅰ卷］若定义在R的奇函数f（x)在（-∞，0)单调递减,且f（2）=0,则满足xf(x-1）≥0的x的取值范围是（)B。
［—3,—1]∪[0，1]C.[—1，0］∪［1，+∞）D.[-1,0］∪［1,3］7.［2020·全国卷Ⅲ]已知55〈84,134<85。
设a=log53，b=log85,c=log138,则()A。
a<b〈c B.b<a〈cC。
b<c〈a D.c<a〈b8。
[2020·全国卷Ⅲ］Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎，累计确诊病例数I（t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t）=K1+e-0.23(t-53)其中K为最大确诊病例数。
函数的性质一、题型选讲题型一 、 函数的奇偶性正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域．例1、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =（ ） A ．2x - B ．2x - C ．2x --D ．2x例2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为（ ）A ．-15B ．-7C ．3D ．15例3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）若函数()2ln 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()1f x <的x 的取值范围为（ ） A ．11,1e e -⎛⎫- ⎪+⎝⎭B ．10,1e e -⎛⎫⎪+⎝⎭C ．1,11e e -⎛⎫⎪+⎝⎭D ．11,(1,)1e e -⎛⎫-⋃+∞ ⎪+⎝⎭例4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =题型二、函数的单调性已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数.简称：同增异减.例5、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知函数22,1()1,1ax x x f x ax x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上为单调増函数，则实数a 的取值范围为________．例6、函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是例7、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是________．题型三、 函数的周期性1、若()f x 是一个周期函数，则()()f x T f x +=，那么()()()2f x T f x T f x +=+=，即2T 也是()f x 的一个周期，进而可得：()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期2、函数周期性的判定：（1）()()f x a f x b +=+：可得()f x 为周期函数，其周期T b a =- （2）()()()f x a f x f x +=-⇒的周期2T a = （3）()()()1f x a f x f x +=⇒的周期2T a = （4）()()f x f x a k ++=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a = （5）()()f x f x a k ⋅+=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =例8、(2019通州、海门、启东期末）已知函数f(x)的周期为4，且当x ∈(0，4]时，f(x)＝⎩⎨⎧cos πx 2，0<x≤2，log 2⎝⎛⎭⎫x －32，2<x≤4.则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12的值为________．例9、(2017南京三模）已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数． 当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ▲ ．题型四 函数的对称性函数的对称性要注意一下三点：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称 （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
函数的观点第一节 函数及其表示一、基础知识1． 函数的相关观点 (1)函数的定义域、值域： 在函数 对应的y ＝ f(x)，x ∈A 中， x 叫做自变量， x 的取值围 A 叫做函数的定义域；与y 值叫做函数值，函数值的会合{ f(x)|x ∈ A} 叫做函数的值域．x 的值相(2)函数的三因素：定义域、值域和对应关系． 3． 分段函数若函数在其定义域， 对于定义域的不一样取值区间， 有着不一样的对应关系， 这样的函数往常叫做分段函数．对于分段函数的 3 个注意(1)分段函数固然由几个部分组成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不能够订交．考点一 函数的定义域[典例 ] (1)(2019 质检·)函数 y ＝ln 1－ x＋1的定义域是 ()x ＋ 1xA ． [－ 1,0)∪ (0,1)B ． [－ 1,0)∪ (0,1]C ．( －1,0)∪ (0,1]D ． (－ 1,0)∪ (0,1)(2)已知函数 f(x)的定义域为 (－ 1,0)，则函数 f(2x ＋ 1)的定义域为 ()A ． (－ 1,1)B. － 1，－1C ． (－ 1,0) D. 1， 122[题组训练 ]1.(2018) 函数f (x)log2 x 1 的定义域为．2. 若函数 y ＝ f(x) 的定义域是 [1,2 019]，则函数f x＋1的定义域是g(x) ＝x－1_______________ ．考点二求函数的分析式[ 典例 ] (1) 已知函数 f x 1 x 2 x3(2)已知函数f(x)知足 f(－ x)＋ 2f(x)＝ 2x，求 f(x)．考点二分段函数考法 (一 )求函数值[典例（]1 log2(2 x), x 12015 新课标Ⅱ）设函数f (x)，则 f ( 2) f (log 2 12)2x 1, x≥ 1A．3B．6C．9D．12考法 (二 )求参数或自变量的值(或围 )2－x， x≤ 0，[典例 ]设函数f( x)＝则知足f( x＋1)< f(2x)的x的取值围是()1， x>0，A ． (－∞，－ 1]B． (0，＋∞ )C． (－ 1,0)D． (－∞， 0)[题组训练 ]x＋ 1，x≤ 0，则知足 f(x)＋f x－1>1 的 x 的取值围 ___．1． (2017 全·国卷Ⅲ )设函数 f(x)＝，22x， x>01x2．设函数 f(x)＝2－ 7， x<0，若 f(a)<1，则实数 a 的取值围是 ____________．x，x≥ 0，第二节函数的单一性与最值一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I ：一是随意性；二是有大小，即 x1<x2( x1>x2)；三是同属于一个单一区间，三者缺一不行．2．单一性、单一区间若函数 y＝ f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数y＝ f(x)在这一区间拥有(严格的 )单一性，区间 D 叫做函数y＝ f(x)的单一区间 .3．函数的最值设函数 y＝ f(x)的定义域为I，假如存在实数M 知足：(1)对于随意的x∈ I，都有 f(x)≤ M 或 f(x) ≥M .(2)存在 x0∈ I，使得 f(x0)＝ M.那么，我们称M 是函数 y＝ f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论二、常用结论在公共定义域：(1)函数 f(x)单一递加， g(x)单一递加，则f(x)＋ g(x)是增函数；(2)函数 f(x)单一递减， g(x)单一递减，则f(x)＋ g(x)是减函数；(3)函数 f(x)单一递加， g(x)单一递减，则f(x)－ g(x)是增函数；(4)函数 f(x)单一递减， g(x)单一递加，则f(x)－ g(x)是减函数；(5)若 k>0，则 kf(x)与 f(x)单一性同样；若k<0，则 kf(x)与 f(x) 单一性相反；(6)函数 y＝ f(x)( f(x)>0) 在公共定义域与1 的单一性相反；y＝－ f(x)， y＝f x(7)复合函数 y＝ f[g(x)]的单一性与 y＝ f(u)和 u＝ g(x)的单一性相关．简记：“同增异减”．考点一单一区间1．（ 2014）函数 f ( x) = log 1 ( x2 - 4) 的单一递加区间是_______22．函数 f x lg x 23x 2 的单一增区间是_________考点二、函数单一性的应用考法 (一 )比较函数值的大小[典例 ]偶函数f(x)定义域为R，当 x∈ [0，＋∞ )时， f( x)是增函数，则f(－ 2)， f( π)，f(－ 3)的大小关系是()A ． f( π )>f( －3)>f(－ 2) B． f( π )>f(－ 2)> f(－ 3) C． f( π )<f(－ 3)< f( －2) D ． f( π )<f(－ 2)< f(－ 3)考法 (二 ) 解函数不等式2x， x<2，若 f(a＋ 1)≥ f(2a－ 1)，则实数 a 的取值围是 () [典例 ] 设函数 f(x)＝x2， x≥ 2.A ． (－∞， 1]B． (－∞， 2]C．[2,6]D． [2，＋∞ )考法 (三 )利用单一性求参数的围(或值 )ax2－ x－1， x≤1，是 R 上的单一函数，则实数 a 的取值围是[典例 ] 已知函数 f( x)＝4log a x－ 1， x>1 ()A.1， 1B.1， 1C.1D.1， 1 4 2 4 20，22[课时追踪检测 ]1的 x 的取值围是1．函数 f(x)是定义在区间 [0，＋∞ )的单一增函数，知足f(2x－1) ＜f 3A.1， 2B.1，21， 2D.1， 2 3 3 3 3 C. 23 2 32．已知函数f(x)＝ ln x＋ x，若 f(a2－ a)>f(a＋ 3)，则正数 a 的取值围是 ________．第三节函数的奇偶性与周期性一、基础知识1．函数的奇偶性偶函数奇函数假如对于函数f(x)的定义域随意一个x定义都有 f(－ x)＝f(x)?，那么函都有 f(－ x)＝－ f(x)?，那么函数数 f(x) 是偶函数f(x) 是奇函数图象特点对于 y 轴对称对于原点对称函数的定义域对于原点对称是函数拥有奇偶性的前提条件．2．函数的周期性(1) 周期函数f(x＋ T)＝ f(x)，对于函数f(x)，假如存在一个非零常数T，使适当x 取定义域的任何值时，都有那么就称函数f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2) 最小正周期假如在周期函数f( x)的全部周期中存在一个最小的正数，这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．二、常用结论1．函数奇偶性常用结论(1) 假如函数f(x)是奇函数且在x＝ 0处有定义，则必定有f(0)＝ 0；假如函数f(x)是偶函数，那么 f( x)＝ f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上拥有同样的单一性；偶函数在两个对称的区间上拥有相反的单一性．(3)在公共定义域有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对 f(x) 定义域任一自变量 x：(1)若 f(x＋ a)＝－ f(x)，则 T＝ 2a(a>0) ．(2)1，则 T＝ 2a(a>0)．若 f(x＋ a)＝f x(3)1，则 T＝ 2a(a>0) ．若 f(x＋ a)＝－f x3．函数图象的对称性(1) 若函数 y＝ f( x＋a)是偶函数，即 f(a－ x)＝ f( a＋x)，函数 y＝ f(x)的图象对于直线x＝ a 对称．(2) 若对于 R 上的随意 x 都有 f(2a－ x)＝f(x)或 f(－ x)＝ f(2a＋x)，则 y＝ f(x) 的图象对于直线 x ＝a 对称．(3)若函数 y＝ f( x＋b)是奇函数，即 f(－x＋b)＋ f( x＋ b)＝0，函数 y＝ f(x)对于点 (b,0)中心对称．考点一函数奇偶性的判断1． (2015) 以下函数为奇函数的是A ．y x B．y sin x C．y cosx D ．y e x e x2． (2015) 以下函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．y 1x 2B．y x1C．y 2x1D ．y x e xx2x3． (2014 新课标1)设函数f ( x)，g ( x)的定义域都为R，且f ( x)是奇函数，g( x)是偶函数，则以下结论正确的选项是A ．f ( x) g (x)是偶函数B．f (x) | g ( x) |是奇函数C．| f (x) | g(x)是奇函数 D ． | f ( x) g(x) |是奇函数4． (2014) 以下函数为偶函数的是A ． f ( x)x 1 B ． f ( x)x 3 x C ． f ( x) 2x 2 xD ． f ( x)2x 2 x考点二函数奇偶性的应用[典例 ](1)(2019 模拟·)函数 y ＝ f(x)是 R 上的奇函数，当 x<0 时， f(x)＝ 2x ，则当 x>0 时， f(x)＝()A ．－ 2x－x －xD ． 2xB ． 2C ．－ 2e x ae x是奇函数 , 则实数 a 的值为 ______.(2)设函数 f ( x)2x（ 3）（2019 全国Ⅱ理 14）已知 f ( x) 是奇函数，且当 x0 时， f (x)e ax .若f (ln 2) 8 ，则 a __________.[题组训练 ]1．设函数 f(x)=xsin x的最大值为 M ，最小值为 m ，则 M mx2． (2018 八·中模拟 )若函数 f(x)＝xln( x ＋ a ＋ x 2)为偶函数，则 a ＝________.3.(2014)已知 f ( x), g(x) 分别是 R 上的偶函数和奇函数f ( x) f ( x) = x 3 x 2 1，则f (1) g(1) ＝A ．－ 3B ．－ 1C ．1D ．3考点三、由函数的单一性与奇偶性，求解不等式1. 已知偶函数 f ( x) 在区间 [0,) 单一增添，则知足f (2 x 1) f (1) 的 x 的取值围是 (3 A. (1, 2)B.[1,2]C.(1,2) D.[1,2] 3 33 32 32 32．已知奇函数 f (x) 在区间2,2上单一递减 , 则不等式 f (x 2 ) f (2 x)0 的解集是 (A．[-1,0)B．(-2,0)C．2,1D．, 2U0, 3．（ 2013）已知函数 f ( x) 是定义在R 上的偶函数，且在区间 [0,) 单一递加．若实数 a知足 f (log 2 a) f (log 1a) 2 f (1) ，则 a 的取值围是2A ． [1,2]B． 0,11D ． (0,2] 2C． ,224．（ 2017 新课标Ⅰ）函数 f ( x) 在 (,) 单一递减，且为奇函数．若 f (1)1 ，则知足1≤ f (x 2) ≤ 1 的 x 的取值围是A．B．C．D．考点四、由函数的奇偶、周期性求值[典例 ] (1)(2018期末·)已知定义在R 上的函数 f(x)知足 f(x)＝－ f(x＋2)，当 x∈ (0,2] 时， f(x)＝2x＋ log 2x，则 f(2019)＝ ()1C． 2D．－ 2A ． 5 B.2（）定义在R 上的函数f (x)知足 f ( x)f (x),f (x 1) f (1 x),且 x ? (- 1,0)2时 , f (x) = 2x+6则 f (log2 20) ________. 5考点五、详细函数的对称中心或对称轴问题1．若函数f (x)1x的图像的对称中心为( 1,1) ,则实数 m 的值为( )1mxA.1B.1C.2D.22．函数y5x32sin 3x tan x 6 的图象的对称中心是（）A. (0,0)B.(6,0)C.( 6,0)D.(0,6)3.函数 f(x)＝9x＋ 1) 3x的图象 (A ．对于 x 轴对称B．对于 y 轴对称 C．对于坐标原点对称D．对于直线 y＝x 对称4.(2016全国 II)已知函数fx x R满足f x2 f xx1，若函数 y与xmy f x 图像的交点为x1，y1， x2， y2，，x m，y m，则x i y ii 1A． 0 B ．m C ． 2m D ． 4m对称5．函数y x－2的图象对于 ________对称x＋2考点六函数性质的综合问题1.函数 y＝ f(x)在[0,2] 上单一递加，且函数f(x＋ 2)是偶函数，则以下结论建立的是()5775C． f 7557A ． f(1)< f 2<f2B． f 2<f(1)< f22<f2<f(1)D． f 2<f(1)< f22.(2018全国卷Ⅱ ) 已知f ( x)是定义域为(,) 的奇函数， f (1 x) f (1 x) ．若f (1) 2 ，则 f (1) f (2) f (3)⋯ f (50)A．50B． 0C．2D． 50奇偶 +对称 =周期3、若定义在 R上的奇函数 f (x) 知足 f ( x4) f ( x) ，且在区间[0,2]上是增函数，则有( )奇偶 +周期 +单一A. f ( 25) f (80) f (11)B. f (11) f (80) f (25)C. f ( 25) f (11) f (80)D. f (80) f (11) f ( 25)。
