浙江省台州中学2014届高三上学期第三次统练数学文试题 Word版含解析
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台州中学2013学年第一学期第三次统练试题高三 数学（文科）参考公式：球的表面积公式24S πR = 棱柱的体积公式 Sh V =球的体积公式343V πR =其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 其中R 表示球的半径棱台的体积公式121()3V h S S =+棱锥的体积公式Sh V 31= 其中1S ，2S 分别表示棱台的上底、下底面积，其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 h 表示棱台的高 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数22()i i+= A ．-3 -4iB ．-3+4iC ．3-4iD ．3+4i2．设集合{sin ,}3n M x x n Z π==∈，则满足条件P M = 的集合P 的个数是A ． 1B ．3C ．4D ．83．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．8B ．203C ．173D ．1434．等比数列{a n }中，“公比q>1”是“数列{a n }单调递增”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．函数21()x xe f x e +=的图象 Ks5uA ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称6．设变量x 、y 满足1,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩则目标函数z=2x+y 的最小值为A ．6B ．4C ．2D ．327．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若｜a －b ｜≤1，就称甲乙“心相近”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心相近”的概率为 A ．19 B ．29 C ．718D ．49Ks5u 8．已知直线l m 、,平面βα、,且βα⊂⊥l m ,,给出下列命题: Ks5u ①若α∥β，则m ⊥l ； ②若α⊥β，则m ∥l ；③若m ⊥l ，则α∥β； ④若m ∥l ，则α⊥β.其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．49．设函数3()(3)1f x x x =-+-，数列{}n a 是公差不为0的等差数列，127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则127a a a ++⋅⋅⋅+=A ．0B ．7C ．14D ．2110．已知双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点分别是12,F F ，正三角形12AF F 的一边1AF 与双曲线左支交于点B ，且114AF BF = ，则双曲线C 的离心率的值是 A ．123+ BC ．1313+ D非选择题部分（共100分）Ks5u二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．经过点A(－5,2)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程 是________． 12. 执行右面的框图，若输出结果为21，则输入的实数x 的值是______. 13．椭圆1422=+y x 的焦点到直线02=-y x 的距离为 . 14.下图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，数据落在[2,10)内的概率约为________． 15.====（a ，t 均为正实数），则类比以上等式，可推测a ，t 的值，a+t = .16．已知P 是圆C：22(1)(1x y -+=上的一个动点，，则OP OA的最小值为______.17．给出下列五个命题中，其中所有正确命题的序号是_______.①函数()f x =3Ks5u②函数2()|4|f x x =-，若()()f m f n =，且0m n <<，则动点()P m n ，到直线512390x y ++=的最小距离是3-③命题“函数()f x x x=+，当1212||||22x x x x ππ⎡⎤∈->⎢⎥⎣⎦，，，且时，12()()f x f x >有”是真命题.④函数22()sin cos 122f x ax x x ax =+-+的最小正周期是1的充要条件是1a =.⑤已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，OA OB、为不共线的向量，又14026OC a OA a OB =+ ，若CA AB λ=，则40262013S =.Ks5u三、解答题本大题共5小题．共72分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本小题满分14分）ABC ∆中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知2a =，cos 4C =. 第14题图（1）求sin B 的值；（2）若D 为AC 中点，且ABD ∆的面积为8，求BD 的长度. Ks5u19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且*22()n n S a n N =-∈,数列{}n b 满足11b =,且12n n b b +=+. (Ⅰ)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (Ⅱ)设22*sincos ()22n n n n n c a b n N ππ=⋅-⋅∈,求数列{}n c 的前2n 项和2n T . 20．（本小题满分14分）如图，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,A C ∠=∠= 105ADC ∠= ,AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC ，设点F 为棱AD 的中点．（1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）求直线BF 与平面ACD 所成角的余弦值．Ks5u21．（本小题满分15分）已知函数32()(63)xf x x x x t e =-++，t R ∈.若函数()y f x =依次在,,()x a x b x c a b c ===<<处取到极值. （1）求t 的取值范围； （2）若22a c b +=，求t 的值.22．（本小题满分15分）如图,已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于M 、N 两点，其准线l 与x 轴交于K 点. （1）求证：KF 平分∠MKN；（2）O 为坐标原点，直线MO 、NO 分别交准线于点P 、Q ，求PQ MN +的最小值. Ks5u BAFCDABA CAD台州中学2013学年第一学期第三次统练试题数学文科参考答案1．【答案】A 【解析】解：因为2234()341i ii i ++==---，故选AKs5u 2．【答案】C【解析】：{0,}22M =-，由P M = 得，0∈P ，这样的集合P 共有4个，故选C 3．【答案】C【解析】几何体是正方体截去一个三棱台， 311172(22323V =-⋅++⨯= 4. 【答案】D【解析】a 1<0，q>1时,{a n }递减。
a 1<0，0<q<1时，{a n }递增 5． 【答案】D【解析】)(11)(22x f ee e e xf xxx x =+=+=--- )(x f ∴是偶函数，图像关于y 轴对称.6．【答案】 C【解析】由题意可得，在点B 处取得最小值，所以z=2，故选C7. 【答案】D 【解析】：试验包含的所有事件共有6×6=36种猜数的结果。
其中满足题设条件的有如下情形：若a=1，则b=1，2；他们“心相近”的概率为 若a=2，则b=1，2，3； 若a=3，则b=2，3，4； 若a=4，则b=3，4，5； 若a=5，则b=4，5，6；Ks5u 若a=6，则b=5，6 共16种。
故他们“心相近”的概率为P=16/36=4/9，选D 8. 【答案】B【解析】①④对，②③错9．【答案】D【解析】37232131721)3(1)3(1)3()()()(-+-+-+-+-=+++a a a a a a f a f a f1417=-+a ，即03)3(3)3(3)3(737232131=-+-+-+-+-+-a a a a a a ，根据等差数列的性质得0)3(7)33()23()33(4343434=-++-++--+--a d a d a d a ，即0)3(7)3()23()23()33()33(43434343434=-+-++--+--++-+--a a d a d a d a d a )3)3)((3(2)12)3)((3(2)27)3)((3(2224422442244d a a d a a d a a +--++--++--∴0)3(7)3(434=-+-+a a ，即0)784)3(7)(3(2244=++--d a a ，,034=-∴a 即34=a ，2174721==+++∴a a a a ，故选D.10.【答案】B11．【答案】2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0解析：分截距为0或不为0两种情况可求2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. 12. 答案：2【解析】若执行1y x =-，则(]3,12x =∉-∞，所以不成立，若执行2log y x =，则()1,x =+∞，成立Ks5u 13．【答案】1 14.【答案】0.4解析 (0.02＋0.08)×4＝0.4. 15.【答案】41【解析】照此规律：a=6,t=a 2-1=3516．【答案】【解析】如图：作PQ ⊥OA 于Q ，CD ⊥OA 于D ，根据向量数量积的几何意义得OP OA min =|OA|∙|OQ|min =|OA|∙17．①③⑤【解析】在①中，函数的定义域是2230540x x x x ⎧-≥⎪⎨-+≥⎪⎩解得：(][)04x ∈-∞+∞ ，，，当(]0x ∈-∞，时，()f x =是减函数，min (0)3f =，当[)4x ∈+∞，时()f x =+min (4)93f =>，所以(][)04x ∈-∞+∞ ，，，min ()3f x =.①正确.在②中，由图像知，022m n <<<<，22()|4|4f m m m ∴=-=-，2()|4|f n n =-2224()()44n f m f n m n =-=∴-=- ，，即228m n +=，则动点()P m n ，的轨迹是以(00)O ，为圆心，半径r =，所以点()P m n ，到直线512390x y ++=的最小距离是d r -（d 是点P 到直线的距离），|5012039|313d ⨯+⨯+== ，3d r ∴-=-P 的值取不到，所以d r -也不能取到最小值.故②错.在③中，函数()sin 1f x x x =+是偶函数，且02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()sin cos 0f x x x x '=+> 即()sin 1f x x x =+是增函数，当12||||x x >时，12()()f x f x >有，故③正确. Ks5u在④中，由22()sin cos 122f x ax x x ax =+-+整理得， ()sin(2)13f x ax π=++，函数的周期211|2|T a a π===±，，故④错误.在⑤中，由CA AB λ= 知，A B C 、、三点共线，且14026OC a OA a OB =+，所以14026a a + 1=，所以140264026()402620132a a S +⨯==，故⑤正确.18．解：（1）由cos 4C =，得sin 4C =，由正弦定理得sin sin 8a C A c ==，,,(0,)a c A C A π<∴<∴∈ 5cos A ∴=由ABD ∆211sin b c A c ∴⋅==，得2c =，19．【解析】 (Ⅰ)当1=n ,21=a ;当2≥n 时,1122n n n n n a S S a a --=-=- ,∴ 12n n a a -=, ∴{}n a 是等比数列,公比为2,首项12a =, ∴2n n a = 由12n n b b +=+,得{}n b 是等差数列,公差为2 Ks5u又首项11=b ,∴21n b n =-(Ⅱ)2(21)n n c n ⎧=⎨--⎩ 为偶数为奇数n n321222[37(41)]n n T n -=+++-+++-2122223n n n +-=--20．【解析】（1）证明：在图甲中∵AB BD =且45A ∠= ∴45ADB ∠= ,90ABD ∠= 即AB BD ⊥在图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ， 且平面ABD 平面BDC ＝BD ∴AB ⊥底面BDC ，∴AB ⊥CD ．又90DCB ∠= ，∴DC ⊥BC ,且AB BC B =∴DC ⊥平面ABC ． …………………… 7分 （2）解：作BE ⊥AC ，垂足为E 。
