数学奥林匹克高中训练题(223)
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９ｐ 一２Ｏｐ￣＜Ｏ ｊ ｐ… ：２ ０
．
于是 ，整 数 的值 为 一２．此 时 ，方 程 为
ｚ ＋
一
１：ｏ，正 根 为
．
３．（２ ，０）．
Ｆ｝１已知得 ｃ＝￣／ｆｚ。＋４．
从而，｛ ｌ…＝（ ）…＝竽（此时，
存在 ０＝ 一 ，可对应求得 ）．
６ １ ００９ ， ‘ 而 ‘
３．在平 面直 角 坐标 系 ｘＯｙ中 ，Ｆ 、 分
２
．
２
．
别为双 曲线 一 ＝１（口＞０）的左 、右焦 点 ，
口
叶
直线 Ｚ过双 曲线 的右顶点 ４与点 Ｂ（０，２）．若
点 、 到直线 Ｚ的距 离之 和等于线 段
的长度 ，则点 的坐标 为一
４．已知正 四棱 锥 Ｐ—ＡＢＣＤ 的各棱 长 均
‘
故∑ＰｉＰ… ＝∑ ｐ （ｐ２ ＋ｐ …）
＝
）
＝ １ 丽１）＝而１ ００９．
７． ．
如 图 ２．
最小值为 ．
上Ｕ
８．３２．
公交车 的行驶 路径 可 以视 为一 个 圈 ， （暂不考虑其 方向 ），厂上 每个 站点均 恰有 两 个相邻站点．
设 ，上与 ，相 邻 的两个 站 点 为 Ｏｌ与 ， 有 以下 两 种 情 形 ：
点 ，作 出通过 它们 的直线 ，用 ｐ 表 示 这条 直 线 的两 侧 顶 点 数 之 差 不 超 过 ｌ的 概 率．则
２０１８
， — —
∑ ｐ …的值为一
ｉ＝ ｌ
７．在 ￣ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝４，ＢＣ＝２， ＤＡＢ
＝ ６０。，边 ＢＣ上 一 点 Ｐ与 ＤＣ延 长线 上 一点
—
２ ：２ ＋２ ＋２ ．
故 ２ ‘ 鳓 ＝２ ＋２ ＋２
＝ ２ ＋２ ＋２ ＋ … ＋２ ＝２ ．
因此 ，ｌ术（Ａ术Ｂ）＝７．
易知，ｓｉｎ ＯＡＢ＝三，Ｉ Ｉ＝√ｃ ＋４．
而点 Ｆ 、 到直线 Ｚ的距离之和为
ＩＡＦｌ Ｉ ｓｉｎ ＯＡＢ ＋ Ｉ Ｉ ｓｉｎ ＯＡＢ
任意选 择 黑 、白两色 之一进 行 染色．证 明 ：对 任意 正数 、ｂ（ａ＞ｂ），总 能找 到 四个 同色点
、Ｂ、Ｃ、Ｄ，使 得 四边 形 ＡＢＣＤ是长 为 ａ、宽为 ｂ的 矩 形 ．
参 考 答 案
第 一 试
— — １．７． 、
南 ：ｌ＝的定 义 知 ２ ＝２。＋２ ． 贝０ ２ ＝２ ＋２ ＝２ ＋２ ＋２ ，
ＣＨ ：ＡＨ ＋Ｄ ＢＣ·ＤＥ ＝ＢＤ ·ＧＨ．
三 、（５０分 ）是否存在一列 正整数 ａ ，ａ ，
… ， 使 得 对 任 意正 整 数 ，
为
２ ０１７次方 数？证明你 的结论． 四、（５０分 ）对平面直角坐标 系的每个带
形 区 域 Ｓ ＝｛（ ，Ｙ）Ｉ ｎ≤ ＜ｎ＋１｝（ｎ∈ Ｚ）
Ｑ满 足 ５△卯Ｑ＝ ．则 户·ＢＱ的 最 小 值 为
加 试
一 、 （４Ｏ分 ）设 复数 、 满 足
３ Ｉ ＋ １ Ｉ ｆ ＋ １ ｌ≥ Ｉ删 ＋５ｕ ＋５ｖ＋１ Ｉ ｌ ＋ Ｉ＝ Ｉ删 ＋ ｌ １．
ｒｌＩ等 数 学
证 明 ：ｕ、Ｖ中必有一个 等于 １． 二 、（４０分 ）在 圆 内接 六 边 形 ＡＢＣＤＥＦ 中 ，ＢＤ与 ＣＦ、ＡＣ与 ＢＥ、ＡＤ与 ＣＥ分 别交 于 点 Ｇ、 、，，且 满足 ＢＤ上 ＣＦ，ＡＩ＝ＣＩ．证 明 ：
，’ 一 ｌ十√５
２ 。
南条 件 得 ｒ（ｋ＋３） 一４（２ ＋３）＞０， Ｊ ２ｋ＋３＝Ｘ１ ２＜０，
【 ＋３：一 ，一 ＞０
ｊ ｋ∈（ ，专）．
一
± 曼
一
５ ＋４ｃｏｓ ０
＝ ５ｐ 一２ ＝２ｓｉｎ ０—４ｐｃｏ￣０
＝ ，／１６ｐ ＋４ ｓｉｎ（０＋ ），
其 中 ， ＝ａｒｃｔａｎ（－２ｐ）． 故 （５ｐ一２） ≤１６ｐ ＋４
，’
＝ｆ Ｆ 詈 ４
ｊ ￣／ｃ ＋４：４ ｃ＝２
因此 ，点 Ａ（２√２，０）．
４．２ ＋４Ｙ
—
一
．
ｎ：２ ．
不妨设 四棱 锥 Ｐ—ＡＢＣＤ的各棱 长为 ２．
以正方形 ＡＢＣＤ 的中心 ０为 坐标 原点 ，并 以
一
ＤＡ、 、 的方 向作为 轴 、ｙ轴 、 轴正 向建
立 空间直角坐标系．
由计算知 Ｐ（０，０， ），
ＰＡ＝（１，一１，一、／２），ＣＦ＝（２，０，一２）．
则 １ ｌ：２，Ｉ ｌ：２ ，
．
： ２ ＋２ ．
设异面直线 与 ＣＦ所成 角为 ０．
ｌ １ ２ × ２ √２ ｌ Ｉ ＿ 斗 ．
气
‘ ３ ‘
设 ＝ＣＯＳ ０＋ｉ ｓｉｎ
： ｌ
酱 ｌ
相等．以 ＡＢＣＤ为一个 面 ，在正 四棱 锥 的另一 侧作一个 正方体 ＡＢＣＤ—ＥＦＧＨ．则 异 面直线
ｎ。＋ｎ：＋ ．．·＋ ＞４ｍ 一 ．
与 ＣＦ所成角 的余弦值为一
５．设 是模为１的复数．则Ｉ 石１＿厶Ｉ 的最
大值为— — ． ６．在 正 ｎ＋２边 形 中 随 机 选 出 两 个 顶
１．定 义运算 “：ｌ：”： ｎ木ｂ＝ｌｏｇ２（２。＋２。）（０、ｂ∈ Ｒ）． 设 Ａ＝（１米３）：ｌ：５，Ｂ ＝（２水４）术６．则
ｌ术（Ａ木Ｂ）的值 为一
２．已知关 于 的整 系数方 程
＋（ｋ＋３）戈＋（２ 十３）＝０
有一正根 和一 负根 ，且正 根 的绝 对值 小 于负
根 的绝对值．则 该方程 的正根为— —
２０１８年 第 １期
４３
数学 魏寓 删拣雹（２２３）
中图分 类号 ：ｃ４２４．７９ 文献 标识码 ：Ａ 文章编 号 ：１００５—６４１６（２０１８）０１—００４３—０６
第 一 试
Ｂ萎 市 站 出 ，． 发的…一沿道，辆Ｉ 道路表公路图示交行， 九车其驶个 从中，公到Ａ，Ａ一 交 站 达， “ｌ Ｉ＼／ ＼／ｔＩ＼／＼／ ｌ 一 、填空题（每小题８分，共６４分）
２０１８年第 １期
４５
由对称性 ，不妨考虑取定一个 顶点 Ａ． 当 ｎ＝２ｋ时 ，在剩 下 的 ２ｋ＋１个顶 点 中 ，
只能取 Ａ关于 中心的对称点 ，则 ｐ：
·
当 ｎ＝２ｋ一１时 ，在剩下 的 ２ｋ个 顶点 中 ，
可在 与 Ａ最 远 的两点 中任意选取一点 ，则
２ １
Ｐ２ｋ一１
．
于是 ，整 数 的值 为 一２．此 时 ，方 程 为
ｚ ＋
一
１：ｏ，正 根 为
．
３．（２ ，０）．
Ｆ｝１已知得 ｃ＝￣／ｆｚ。＋４．
从而，｛ ｌ…＝（ ）…＝竽（此时，
存在 ０＝ 一 ，可对应求得 ）．
６ １ ００９ ， ‘ 而 ‘
３．在平 面直 角 坐标 系 ｘＯｙ中 ，Ｆ 、 分
２
．
２
．
别为双 曲线 一 ＝１（口＞０）的左 、右焦 点 ，
口
叶
直线 Ｚ过双 曲线 的右顶点 ４与点 Ｂ（０，２）．若
点 、 到直线 Ｚ的距 离之 和等于线 段
的长度 ，则点 的坐标 为一
４．已知正 四棱 锥 Ｐ—ＡＢＣＤ 的各棱 长 均
‘
故∑ＰｉＰ… ＝∑ ｐ （ｐ２ ＋ｐ …）
＝
）
＝ １ 丽１）＝而１ ００９．
７． ．
如 图 ２．
最小值为 ．
上Ｕ
８．３２．
公交车 的行驶 路径 可 以视 为一 个 圈 ， （暂不考虑其 方向 ），厂上 每个 站点均 恰有 两 个相邻站点．
设 ，上与 ，相 邻 的两个 站 点 为 Ｏｌ与 ， 有 以下 两 种 情 形 ：
点 ，作 出通过 它们 的直线 ，用 ｐ 表 示 这条 直 线 的两 侧 顶 点 数 之 差 不 超 过 ｌ的 概 率．则
２０１８
， — —
∑ ｐ …的值为一
ｉ＝ ｌ
７．在 ￣ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝４，ＢＣ＝２， ＤＡＢ
＝ ６０。，边 ＢＣ上 一 点 Ｐ与 ＤＣ延 长线 上 一点
—
２ ：２ ＋２ ＋２ ．
故 ２ ‘ 鳓 ＝２ ＋２ ＋２
＝ ２ ＋２ ＋２ ＋ … ＋２ ＝２ ．
因此 ，ｌ术（Ａ术Ｂ）＝７．
易知，ｓｉｎ ＯＡＢ＝三，Ｉ Ｉ＝√ｃ ＋４．
而点 Ｆ 、 到直线 Ｚ的距离之和为
ＩＡＦｌ Ｉ ｓｉｎ ＯＡＢ ＋ Ｉ Ｉ ｓｉｎ ＯＡＢ
任意选 择 黑 、白两色 之一进 行 染色．证 明 ：对 任意 正数 、ｂ（ａ＞ｂ），总 能找 到 四个 同色点
、Ｂ、Ｃ、Ｄ，使 得 四边 形 ＡＢＣＤ是长 为 ａ、宽为 ｂ的 矩 形 ．
参 考 答 案
第 一 试
— — １．７． 、
南 ：ｌ＝的定 义 知 ２ ＝２。＋２ ． 贝０ ２ ＝２ ＋２ ＝２ ＋２ ＋２ ，
ＣＨ ：ＡＨ ＋Ｄ ＢＣ·ＤＥ ＝ＢＤ ·ＧＨ．
三 、（５０分 ）是否存在一列 正整数 ａ ，ａ ，
… ， 使 得 对 任 意正 整 数 ，
为
２ ０１７次方 数？证明你 的结论． 四、（５０分 ）对平面直角坐标 系的每个带
形 区 域 Ｓ ＝｛（ ，Ｙ）Ｉ ｎ≤ ＜ｎ＋１｝（ｎ∈ Ｚ）
Ｑ满 足 ５△卯Ｑ＝ ．则 户·ＢＱ的 最 小 值 为
加 试
一 、 （４Ｏ分 ）设 复数 、 满 足
３ Ｉ ＋ １ Ｉ ｆ ＋ １ ｌ≥ Ｉ删 ＋５ｕ ＋５ｖ＋１ Ｉ ｌ ＋ Ｉ＝ Ｉ删 ＋ ｌ １．
ｒｌＩ等 数 学
证 明 ：ｕ、Ｖ中必有一个 等于 １． 二 、（４０分 ）在 圆 内接 六 边 形 ＡＢＣＤＥＦ 中 ，ＢＤ与 ＣＦ、ＡＣ与 ＢＥ、ＡＤ与 ＣＥ分 别交 于 点 Ｇ、 、，，且 满足 ＢＤ上 ＣＦ，ＡＩ＝ＣＩ．证 明 ：
，’ 一 ｌ十√５
２ 。
南条 件 得 ｒ（ｋ＋３） 一４（２ ＋３）＞０， Ｊ ２ｋ＋３＝Ｘ１ ２＜０，
【 ＋３：一 ，一 ＞０
ｊ ｋ∈（ ，专）．
一
± 曼
一
５ ＋４ｃｏｓ ０
＝ ５ｐ 一２ ＝２ｓｉｎ ０—４ｐｃｏ￣０
＝ ，／１６ｐ ＋４ ｓｉｎ（０＋ ），
其 中 ， ＝ａｒｃｔａｎ（－２ｐ）． 故 （５ｐ一２） ≤１６ｐ ＋４
，’
＝ｆ Ｆ 詈 ４
ｊ ￣／ｃ ＋４：４ ｃ＝２
因此 ，点 Ａ（２√２，０）．
４．２ ＋４Ｙ
—
一
．
ｎ：２ ．
不妨设 四棱 锥 Ｐ—ＡＢＣＤ的各棱 长为 ２．
以正方形 ＡＢＣＤ 的中心 ０为 坐标 原点 ，并 以
一
ＤＡ、 、 的方 向作为 轴 、ｙ轴 、 轴正 向建
立 空间直角坐标系．
由计算知 Ｐ（０，０， ），
ＰＡ＝（１，一１，一、／２），ＣＦ＝（２，０，一２）．
则 １ ｌ：２，Ｉ ｌ：２ ，
．
： ２ ＋２ ．
设异面直线 与 ＣＦ所成 角为 ０．
ｌ １ ２ × ２ √２ ｌ Ｉ ＿ 斗 ．
气
‘ ３ ‘
设 ＝ＣＯＳ ０＋ｉ ｓｉｎ
： ｌ
酱 ｌ
相等．以 ＡＢＣＤ为一个 面 ，在正 四棱 锥 的另一 侧作一个 正方体 ＡＢＣＤ—ＥＦＧＨ．则 异 面直线
ｎ。＋ｎ：＋ ．．·＋ ＞４ｍ 一 ．
与 ＣＦ所成角 的余弦值为一
５．设 是模为１的复数．则Ｉ 石１＿厶Ｉ 的最
大值为— — ． ６．在 正 ｎ＋２边 形 中 随 机 选 出 两 个 顶
１．定 义运算 “：ｌ：”： ｎ木ｂ＝ｌｏｇ２（２。＋２。）（０、ｂ∈ Ｒ）． 设 Ａ＝（１米３）：ｌ：５，Ｂ ＝（２水４）术６．则
ｌ术（Ａ木Ｂ）的值 为一
２．已知关 于 的整 系数方 程
＋（ｋ＋３）戈＋（２ 十３）＝０
有一正根 和一 负根 ，且正 根 的绝 对值 小 于负
根 的绝对值．则 该方程 的正根为— —
２０１８年 第 １期
４３
数学 魏寓 删拣雹（２２３）
中图分 类号 ：ｃ４２４．７９ 文献 标识码 ：Ａ 文章编 号 ：１００５—６４１６（２０１８）０１—００４３—０６
第 一 试
Ｂ萎 市 站 出 ，． 发的…一沿道，辆Ｉ 道路表公路图示交行， 九车其驶个 从中，公到Ａ，Ａ一 交 站 达， “ｌ Ｉ＼／ ＼／ｔＩ＼／＼／ ｌ 一 、填空题（每小题８分，共６４分）
２０１８年第 １期
４５
由对称性 ，不妨考虑取定一个 顶点 Ａ． 当 ｎ＝２ｋ时 ，在剩 下 的 ２ｋ＋１个顶 点 中 ，
只能取 Ａ关于 中心的对称点 ，则 ｐ：
·
当 ｎ＝２ｋ一１时 ，在剩下 的 ２ｋ个 顶点 中 ，
可在 与 Ａ最 远 的两点 中任意选取一点 ，则
２ １
Ｐ２ｋ一１
