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02汇交力系

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工程力学第二章平面汇交力系

工程力学第二章平面汇交力系
FF
cos Y Fy
FF 式中 cos和 cos 称为力 F 的方向余弦。
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例题 3】试求图中各力在坐标轴上的投影。已知 P1=P2=P4=10kN， P3=P5=15kN， P6=20kN。
第二章 平面汇交力系
工程力学
第二章 平面汇交力系
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
第二章 平面汇交力系
§2–1平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2–2平面汇交力系合成与平衡的解析法
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1平面汇交力系 合成与平衡的几何法
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
矢量表达式：R= F1+F2
由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。
由余弦定理：
R F12 F22 2F1F2 cos
合力方向由正弦定理：
F1
R
sin sin(180 )
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
2. 任意个共点力的合成
F1
A F2
F4 F3
F1 B F2
A
R
C
F3
D
F4
E
F1、F2、F3、F4 为平面共点力系：
表达式： R F1 F 2F3 F4
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
力的多边形规则：
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。 加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。

工程力学课件 02汇交力系

工程力学课件 02汇交力系
①选择研究对象
平面汇交力系平衡的解析条件 平面汇交力系的平衡方程。 说明：两个方程可求解两个未知量；
投影轴可任意选择。
②画出研究对象的受力图（取分离体）
③列平衡方程（选投影轴）
19
2、空间汇交力系的平衡：
空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：
F R F R 2 F x R 2 F y R 2 z (F x ) 2 (F y ) 2 (F z ) 2 0 F Rx F x 0 F Ry F y 0 空间汇交力系的平衡方程 F Rz F z 0
说明：①空间汇交力系只有 三个独立平衡方程，只能求解三 个未知量。
②上式中三个投影轴可以任取，只要不共面、其中任 何两轴不相互平行。
20
[例3] 已知 AC=BC= l , h , P . 解：①研究C
②画出受力图
求 : FAC , FBC
③列平衡方程
Fx 0
F BC co F sAC co 0 s
明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力， 如果求出负值，说明物体受压力。
29
2-6 2-8 2-10
30
q q F y 0 ,T 1 s 6 i T 2 c n 0 c o 4 o T 3 s c 5 s c o 4 o 0 s 5 s
q q F z 0 ,N 2 T 1 c 6 o T 2 0 s s i T 3 s n i 0 n
T 2 T 3 4 .9 ( 1 k),N N 2 2 .0 ( 3 k)N
方向： tg q F Ry
F Rx
qta1 nFRyta1 n Fy
FRx

理论力学 02平面汇交力系

理论力学 02平面汇交力系
5
第二节 平面汇交力系合成与平衡的解析法
一、力在直角坐标轴上的投影
y
Fy
Fy

F
B

Fx
Fx F cos Fy F cos
Fy Fx cos , cos F F F Fx 2 Fy 2
A
j
O i
Fx
x
力在坐标轴上的投影是代数量，而分力则是矢量。 在直角坐标系中，它们之间的关系可表达为：
21
用解析法求解平衡问题的基本步骤为： 1、选取研究对象 一般原则为： （1）有已知求未知； （2）由简单到复杂。 2、画受力图 受力图是计算的基础，不容许出现任何差错。
3、建立坐标轴，列平衡方程 在选择坐标轴时，应使尽可能多的未知力与 坐标轴垂直，同时还要便于投影。 4、求未知量 解方程，求出未知量。
F F ix i y FR y Fi y FR x Fi x cos , cos FR FR FR FR FR FR x FR y
2 2 2 2
10
例2-3 已知 F1 200N、 、 F2 300N、 F3 100N F4 250N ， 各力方向如图所示， 试求该平面汇交力系的合力。
y
F
B A

F
C
B D
FAB


x
FBC
解：（1）先选取销钉 B为研究对象，画受力图。建立 图示坐标系Bxy ，相应的平衡方程为:
F 0, F 0,
x
y
FAB cos FBC cos 0
FAB sin FBC sin F 0
20
解得:

《工程汇交力系》PPT课件

《工程汇交力系》PPT课件

n
n
n
FR Fxi i Fyi j Fzi k
(a)
i1
i1
i1
合力
FR FRx i FRy j FRz k
(b)
FRx 、FRy 、FRz分别为合力 FR在x、y、z轴上的投影
比较(a)、(b)可得
FRx Fx FRy Fy
即空间汇交力系的合力 在任一坐标轴上的投影，等 于各力在同一轴上投影的代
过汇交点，合力的力矢由力多边形的封闭边表示。 矢量式为
n
FR F1 F2 Fn Fi 简写为 FR F i 1
二、汇交力系平衡的几何条件
汇交力系合成结果为一合力，因此，汇交力系作用下刚 体平衡的必要充分条件是力系的合力等于零。矢量形式为
平衡
FR F 0
汇交力系的合力
n
FR Fi i1
将各分力表示为
Fi Fxi i Fyi j Fzi k
Fxi 、Fyi F、zi 分别为第i个分力
在x、y、z轴上的投影
n
n
n
可得
FR Fxi i Fyi j Fzi k
(a)
i1
i1
i1
三、汇交力系合成的解析法
Fx 0 Fy 0

FOC
3 5

FBC
2 0 2

FOC
4 5

FAC
4 5

0
Fz 0

P

FAC
3 5

FBC
2 0 2
x
例4 杆OC的0端由球铰支承，C端由
绳索AC及BC系住，使杆 OC处于水平位 置如图所示。若在C点悬挂重为P＝ 1kN的重物，略去杆OC的重量，试求 两绳的拉力及杆OC的力。

工程力学第2章(汇交力系)

工程力学第2章(汇交力系)

2.力在平面上的投影
FM F cos
⑴ 力在平面上的投影是矢量。 ⑵ α：力与投影平面的夹角。
3. 力在直角坐标轴上的投影 · 一次投影法 Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
·二次投影法
Fx Fxy cos F cos cos Fy Fxy sin F cos sin
合力FR 的大小
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
合力FR 的方向
R
F cos( F ，i )
x
cos( FR，j )
R
F Fy
F
z
F cos( F ，k ) F
二、汇交力系平衡的解析条件
汇交力系平衡的充分且必要条件是力系的合力等于零。
角为60o ，若接触面光滑，试分别求出圆柱给墙面和夹板的压 力。
解:
FA Gtan30o 500 tan30o 288.7N
G 500 FB 577.4N o o cos 30 cos 30
几何法求解汇交力系简化与平衡问题总结：
⑴ 选择研究对象，分析受力情况，画出全部的 已知力和未知力，利用二力平衡、三力平衡汇交等定 律确定某些力作用方向（必须明确力的方向，否则容 易出错）。
Fx 0 : Fy 0 : F
z
FA FC cos 30o sin 0
FB FC cos 30o cos 0 FC sin30o P 0
0:
由几何关系可得 cos 0.8 sin 0.6 解得： FA 10.39kN
FB 13.85kN FC 20kN
F2 = 4kN，F3 = 5kN，求三个力的合力。 解:

汇交力系

汇交力系
3
汇交力系的合成 几何法（矢量法） 一、几何法（矢量法）
为作用在A点的力系 点的力系， 设 { F1 , F2 , F3 } 为作用在 点的力系，求其合力
F3
A
F2 F1
F F R
F3
F2
R12
F R
F1
F3
F2
多 边
F1
FR 12 = F1 + F2
FR = FR 12 + F3
FR = F1 + F2 + F3
x
FRz = ∑ Fz
y
8
平 面 力 系
FRx = FRy =
∑ ∑
Fx = 0 Fy = 0
X Y轴可以不正交，也不一 轴可以不正交，
定取水平和铅直方向
Y 9N 10N 9N F 10N X X Y轴不正交时分力方向？ 轴不正交时分力方向？ Ｙ Ｆ Ｘ
9
如图所示，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮 例：如图所示，重物 ， 钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上 铰接， 上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车 上。杆AB与BC铰接，并 与 铰接 以铰链A、 与墙连接 如两杆和滑轮的自重不计， 与墙连接。 以铰链 、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略 摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和 所受的力 所受的力。 摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆 和BC所受的力。
z
z
D
F3
ϕ
C
θ
C
ϕ
θ
F2
y
y B
A
F 1
B P
A 空 间 力 系
x
x
∑F ∑F ∑F
P
y
x
z
= 0 = 0 = 0

第02章 平面汇交力系与力偶系(高)

第二章平面汇交力系与平面力偶系2-1铆接薄板在孔心A、B和C处受三力作用，如图所示。

F1=100N,沿铅直方向；F2=50N，方向如图；F3=50N，沿水平方向，并通过点A，尺寸如图。

求此力系的合力。

（答案:F R =161.2N ）2-2、物体重W=20KN，用绳子挂在支架的滑轮B上，绳子的另一端接在绞车D上，如图所示。

转动绞车，物体便能升起。

设滑轮的大小、AB与CD杆自重及摩擦略去不计，A、B、C三处均为铰链连接。

当物体处于平衡状态时，拉杆AB和支杆CB所受的力。

（答案: FAB=54.64KN(拉), F CB=74.64KN）__2-3、在图示刚架的点B作用一水平力F,刚架重量不计。

求支座A、D的反力FA和F D。

（答案:FA= 1.118F F D=0.5F）2-4电动机重P=5000N，放在水平梁AC的中央，如图所示。

梁的A端以铰链固定，另一端以撑杆BC支持，撑杆与水平梁的交角为300。

不计撑杆重，求撑杆BC的内力及铰支座A处的约束力。

F A=5000N答案:FBC=5000N,2-5铰链四连杆机构CABD的CD边固定，在铰链A、B处有力F1、F2作用，如图示。

机构平衡，不计杆重。

求力F1、F2的关系。

答案:F1/F2 =0.61242-6三铰门式刚架受集中载荷Ｐ作用，不计架重；求图示情况下支座Ａ．Ｂ的约束反力。

（答案：R A =R B =0.707F ）2-7在杆AB的两端用光滑铰与两轮中心A、B连接，并将它们置于互相垂直的两光滑斜面上。

两轮重均为P，杆AB重量不计，试求平衡时角θ之值。

若轮A的重量PA=300N，欲使平衡时杆AB在水平位置，轮B的重量P B应为多少。

答案：θ=300 P B=100N2-8锻锤工作时，作用的力如图，F=F'=1000N，偏心距e=20mm，锤头高度h=200mm，求锤头加给两侧导轨的压力。

答案：F=100 KN2-9 已知梁AB上作用一力偶，力偶矩为M，梁长为L，梁重不计。

02第2章 平面汇交力系

A a h
。 A FB
O
。
c
FB
a
FC FC
W
。
W
b
FC=bc=680 N FB=ca=310 N 所求插爪及轴承所受的力与它们对于系统的约束力FB 及FC大小相等、方向相反，均为压力。
9
§2-2 力在坐标轴上的投影
矢量 F 在轴上的投影不在 投影不在 是矢量而是代数量，并规定其 是矢量而是代数量 投影的指向与轴的正向相同时 指向与轴的正向相同时 为正值，反之为负值。 为正值 y b2 Fy a2 Fy βF α A Fx a1 Fx b1 B
F 4m B C F B C FA A 8m FD=bc=10 kN D A FA
θ
c
FD
b
D
a
θ
F
FD
FA=ca=22.5 kN，θ=26.5°
8
棘轮插爪构成的止逆装置，如图所示， 例2-2 棘轮插爪构成的止逆装置，如图所示，已知提 升重量W=500 N，d1=42 cm，d2=24 cm，a=12 升重量 ， ， ， cm,h=5cm。求插爪及轴承所受的压力。 。求插爪及轴承所受的压力。
3
平面汇交力系： 平面汇交力系 各力的作用线位于同一平面内且汇交 于一点的力系。 研究方法： 研究方法： 几何法 解析法 解析法
平面汇交力系
4
§2-1 平面汇交力系合成 与平衡— 与平衡—几何法
一、合成的几何法
1.两个共点力的合成 1.两个共点力的合成 由力的平行四边形法则 平行四边形法则合成，也可用力的三角形法则 平行四边形法则 三角形法则 合成。 D C F2 FR A。 B F1 FRR F c b
6
二、平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充要条件是： F2 F1

理论力学第二章汇交力系与平面力偶系


FBC= 224.23 kN 代入（3）、（4）解得
tan θ = 1.631 , θ = 58.5°
FA= 303.29 kN
y
FBC
FD
C
45°
30°
x
W2
y
FA
θB
x
45°
W1 F'BC
第二章 汇交力系与平面力偶系
§2–1 平面汇交力系的合成与平衡
投影法的符号法则： 当由平衡方程求得某一未知力的值
y
FBC
B 30°
x
FAB
FD 30° W
b
联立求解,得
FAB= －54.5kN , FBC= 74.5kN
反力FAB为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。 即杆AB实际上受拉力。
第二章 汇交力系与平面力偶系
§2–1 平面汇交力系的合成与平衡
例2–5 如图已知W1=100 kN， W2=250 kN。不计各
Fx F cos
Fy
Fy F cos
O 2、力在空间直角坐标轴上的投影：
F
Fx x
一次投影法：
Z
Fx F cos Fy F cos
F
O
y
FZ F cos
第二章 汇交力系与平面力偶系
x
★§2–2 空间汇交力系的合成与平衡 二次投影法：
已知力F 和某一平面（oxy)的夹
角为θ，又已知力F 在该平面
杆自重，A，B，C，D各点均为光滑铰链。试求平衡状
态下杆AB内力及与水平的夹角。
A
θB
D
W1
45° C
30°
W2 第二章 汇交力系与平面力偶系
§2–1 平面汇交力系的合成与平衡

汇交力系


（2-10）
由式（2-10），得合力矢的大小及方向余弦为
FR = FR ⋅ FR = =
2 x
(F ) + (F ) + (F )
2 2 R x R y R z 2 2 y z
2
(∑ F ) + (∑ F ) + (∑ F )
cos ( FR , i ) = FR x FR FR y FR FR z FR
由式（2-1）可得汇交力系的合力矢为
FR = ( F1 x + L + Fn x ) i + ( F1 y + L + Fn y ) j + ( F1 z + L + Fn z )k = (∑ Fx ) i + (∑ Fy ) j + (∑ Fz )k = FR x i + FR y j + FRz k
o o o o
y F2 FR 60° O 45° F3 F1 x F4 30º 45°
= 10 + 15 3 − 5 2 − 12.5 2 = 11.23kN
(2)求合力矢FR的大小及方向余弦
FR = 12.932 + 11.232 = 17.13 kN 12.93 cos ( FR , i ) = = 0.75 17.13 11.23 cos ( FR , j ) = = 0.66 17.13 (FR , i ) = 40.99° 合力矢FR的方向角为
（2-14）
平衡方程式（2-13）虽然是在直角坐标系下推导 的，但在实际应用中，三根投影轴并不限定必须相互 垂直，只要三个投影轴既不共面，又不相互平行即可。 根据这一原则，可恰当选取投影轴，以简化计算。
例2-3 如图2-8所示简易起重设备，重力G = 20 kN 的重物吊在钢丝绳一端，钢丝绳另一端绕过定滑轮A接 在绞车D上。A、B、C处为铰链连接。不计滑轮和各杆 重力。试求重物匀速提升时，杆AB、AC作用于滑轮上 的力。
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解： （1）取研究对象：滑轮B与重物D
（2）作受力图:设各杆受拉
（3）建立直角坐标系Bxy
（4）建立平衡方程，求未知量
y
FBA
X 0 : F T cos 600 F BA F BC cos 600 0 (1)
x
600
600
Y 0 : F T sin 600 G F BC sin 600 0 (2)
用几何法，画封闭力三角形. 或
按比例量得 F 28.3kN, F 22.4kN
C
A
23
投影法的符号法则： 当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表示原先
假定的该力指向和实际指向相反。
投影法步骤：
1.选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设 的已知条件。
2.建立坐标系。
3.将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程∑Fx=0， ∑Fy=0， ∑Fz=0，求解。
a
b
v O 30o rc 45o
y
C
F3x F3cos30osin45o= 75 6 x
F3y F3cos30ocos45o= 75 6
F3z F3sin30o=150
17
5. 汇交力系合成的解析法
合力投影定理： 合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上
的投影的代数和。
证明：
空间汇交力系的合力
24
例2-2-2 已知： 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，
P=20kN；
求：系统平衡时，杆AB、BC受力.
解：AB、BC为二力杆，取轮B，画受力图.
F ix
0
F F cos60 F cos30 0
BA 1
2
F iy
0
F F cos30 F cos60 0
BC
1
2
F 7.321kN BA
F Fxi Fy j Fzk
分力与投影的区别：分力是矢量，投影是代数量
14
力的投影和力的分力的区别 力的投影和力的分力是两个不同的概念，不得混淆：
Fx X Fy Y Fz Z
仅对直角坐标系成立， 对斜坐标系不成立。
15
例2-1-1
长方体三边长分别为a b 3 m ,c 2 m。长方体上作
B
α
33
α
解：
A轮:
B
GA
FAB
α
FNA
GB
α
B
FAB’
FNB
F x 0, F AB cos(300 ) GAsin 300 0 (1)
B轮:
F y 0,
F
' AB
sin(300
)
G
B
sin
600
0
Байду номын сангаас
(2)
其中:
F
' AB
F
AB
(3)
由以上三式可求得： （1）当GA=GB时，α=300
（2）当α=0时，GB =GA/3 34
负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压 力。
27
江苏工业学院机械系力学教研室
例2-2-3
例.桅杆式起重 装置简图如图所 示，已知重物D 重G=6kN,忽略各 杆的重量、滑轮 的大小和重量、 钢索的重量，试 求重物匀速上升 时横杆和斜杆所 受的力。
28
7
（2）力与轴不共面：
过力 的起
点和终点分别
A
作平面垂直于x
轴，则X=±ABˊ
= ± ab
a
v F
B
α
B’
x
b
x
（3）正负号规定： 若α为 与x轴正向的夹角，则X=Fcosα
8
2.力在平面上的投影：
F F cos xy
O
注意： 力在轴上投影是代数值。 力在平面上的投影是矢量。
F
B
A
y
Fxy
A′
FBC
FT
FT G 6kN
由式（1）、（2）解得：
G
FBC=-12.9kN（BC杆受压）
FBA= 9.5kN（AB杆受拉） 29
例2-2-4
例.图为一绳索拔桩装置。绳索的E、C两点拴在架 子上，B点与拴在桩A上的绳索 AB连接，在D点加 一铅垂向下 的力G。AB可视为铅垂，BD视为水平。 已知α=0.1rad，G=800N，求绳索AB中产生的拔桩 力。
F cos30 1
F 2
cos 60
F 3
cos 45
F 4
cos 45
129.3N
F Ry
F iy
F sin 30 F sin 60 F sin 45 F sin 45
1
2
3
4
112.3N
F F 2 F 2 171.3N
R
Rx
Ry
cosθ FRx 0.7548 F
R
cos β FRy 0.6556 F
F 27.32kN BC
25
解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。
26
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
合力FR 的方向余弦
vv cos(FR , i )
FRx FR
v cos(FR ,
v j)
FRy FR
vv cos(FR , k )
FRz FR
19
例2-1-2 已知：图示平面共点力系；求：此力系的合力.
解：用解析法
F Rx
F ix
α α
y
α
x
y
α
x
31
因为α很小，所以可取 tg
F TBA
Gctg 2
G
tg 2
800 0.12
N
80kN
显然，拔桩力为
F' TBA
F TBA
80kN
32
例2-2-5
例.用AB杆在轮心铰接的两匀质圆轮A、B，分别放在 两个相交的光滑斜面上，如图所示。不计AB杆的自 重，试求：（1）设两轮重量相等，平衡时α；（2） 已知A轮重GA，平衡时，欲使α=0的B轮的重量GB 。
B′
x
9
3.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
F F cosθ x
F F cosβ y
力在轴上的投影是代数量
力沿坐标轴的分解
F=Fx +Fy
10
y
➢力在平面正交坐标轴上的投影：
Fx F cos Fy F cos
b´Fy
a´
Oa
B F Fx
bx
结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向 间夹角的余弦。
α α
30
解： D结点
Y 0, F TDE sin G 0
(1)
X 0, F TDE cos F TDB 0 (2)
F Gctg TDB
B结点
F' TDB
F TDB
X 0,
F
TBC
sin
F
' TDB
0
(3)
Y 0, F TBC cos F TBA 0 (4)
F TBA Gctg 2
F
F
F
12
b.二次投影法
Fxy F sin
Fx Fxy cos F sin cos Fy Fxy sin F sin sin Fz F cos
13
4.力在坐标轴上的分解：
设将力F 按坐标轴x、y、z方向分解为空间三正
交分力：Fx、Fy、Fz。
则
vv v v F=Fx +Fy +Fz
用三个力 F1 100 N , F2 200 N , F3 300 N , 方向如图
所示。求各力在三个坐标轴上的投影。
z
30o
F2
A
B
c
F1
F3
b
aO
y
C
x
16
解：
F1x 0 F1y 0 F1z F1 100
A
F2x F2cos60o= 100
v F1
z
30o v
F2
B
cv
F3
F2y F2cos30o= 100 3 F2z 0
F2
F1
v v v v v 4v
表达式：F
=
R
F
+
1
F
+
2
F
+
3
F
=
4
F
i
i=1
5
➢力多边形法则 ➢汇交力系的合成结果
v F4
v
FR
v F3
ov F1
v FR
v
o F2
v F2
v F4
v F3 v F1
6
二、力的投影
1.力 在任一轴上的投影 （1）力 与轴共面： 以X表示力 在x轴上的投影，则X=±ab。
R
θ 40.99, β 49.01
20
江苏工业学院机械系力学教研室
2.2汇交力系的平衡 条件
21
汇交力系平衡的几何条件
平衡条件—— F 0 力多边形自行封闭 i
22
例2-2-1
已知：AC=CB，F=10kN,各杆自重不计；
求：CD杆及铰链A的受力.
解：CD为二力杆，取AB杆，画受力图.