下载文档原格式
贵州省贵阳市大学附属中学 2020年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. i是虚数单位，复数z满足，则z=（）A．1+2i B．2+i C．1－2i D．2－i参考答案：B2. 设是虚数单位，若，则的值是A、-1B、1C、D、参考答案：D3. 设函数f（x）= 则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[1，2] B．[0，2] C．[1，+∞） D．[0，+∞）参考答案：D略4. 已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（）A、 B、 C、 D、参考答案：C略5. 某程序框图如右图所示，若输出的S=57，则判断框内填A. B. C. D.参考答案：A略6. 复数（i是虚数单位）的虚部是（）A. 3iB. 6iC. 3D. 6参考答案：C【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【详解】解：复数2+3i．复数（i是虚数单位）的虚部是3．故选：C．【点睛】本题考查复数的除法的运算法则以及复数的基本概念，是基础题．7. 设向量的模分别为6和5，夹角为等于（）A． B． C． D．参考答案：D略8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积可能为（）A．B．C．D．参考答案：A9. 已知函数，若,则实数的取值范围是（）A. B.C. D.参考答案：A略10. 已知集合，，若，则实数的值是（）A．0 B．0或2 C．2 D．0或1或2B试题分析：由得，所以．故选B．考点：集合的包含关系，集合的定义．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将参数方程（为参数）化为普通方程，所得方程是__________。
参考答案：答案：412. 已知集合，，，则= ．参考答案：{3,5}13. 已知＝1－mi，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m的值为＿＿＿＿参考答案：214. 已知双曲线（＞0）的一条渐近线的方程为，则= . 参考答案：2本题考查双曲线的渐近线方程，容易题。
贵州省五校联盟2020届高三第四次联考试卷文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
第Ⅰ卷（本卷共12小题，每小题5分，共60分）注意事项1．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮檫檫干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。
2．答题前认真阅读答题卡上的“注意事项”。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=+如果事件A 、B 相互独立，那么 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率为0()1()(=-=-k p p C k P k n k kn n ，1，2，… ，)n球的表面积公式：24R S π=（R 为球的半径） 球的体积公式：334R V π= （R 为球的半径）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}1,3,5,7M =，{}5,6,7N =，则()U C M N ⋃ =( )(A) {5，7} （B ） {2，4} （C ）{2.4.8} （D ）{1，3，5，6，7} 2.“0a b >> ”是“222ab a b <+ ”成立的（ ）A 必要不充分条件B 充分不必要条件C 充分且必要条件D 不充分且不必要条件 3.已知函数0.5()2log (1)f x x x =+>，则)(x f 的反函数是（ ） A ．)2(2)(21<=--x x f xB ．)2(2)(21>=--x x fxC ．)2(2)(21<=--x x fx D ．)2(2)(21>=--x x fx4. 若4cos ,,0,52παα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．17 B ．7 C ．177或D ．177-或-5. 在等差数列}{n a 中，有12876=++a a a ，则此数列的前13项之和为（ ）A ．24B ．39C ．52D ．1046.在坐标平面内，已知)0,0(O )0,5(),2,1(Q P ， OPQ ∠的平分线交x 轴于点S .记,,==则=( )A.b a PS 3132+=B.b a PS 3231+=C.b a PS 5154+=D. b a PS 5451+= 7.已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长都相等，则直线1AC 与侧面11ABB A 所成角的正弦值等于 （ ）A ．4 B ．4．2 D ．28.若过定点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22450x y x ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（ ）A. 0k <<B.0k <<C.0k <<05k <<9.有5张音乐专辑,其中周杰伦的3张(相同), 郁可唯和曾轶可的各1张.从中选出3张送给3个同学(每人1张).不同送法的种数有( )A. 120B.60C.25D.1310.如图，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、.过点1F 作倾斜角为ο30的直线l ，l 与双曲线的右支交于点P .若线段1PF 的中点M 落在y 轴上，则双曲线的渐近线方程为 （ ）A ．x y ±=B ．x y 2±=C ．x y 3±=D ．x y 2±= 11.四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且2CD =，3=AB ，在外接球面上B A 、两点间的球面距离是（ ） Ａ．π6Ｂ．π3Ｃ．2π3Ｄ．5π612.函数()f x 的定义域为R.若(1)f x +是奇函数，(1)f x -是偶函数，则( ) (A) )3(-x f 是偶函数 (B) )4(-x f 是偶函数 (C) )4()(+=x f x f (D) )5(+x f 是奇函数绝密★启用前贵州省2020届高三年级五校第二次联考试卷第Ⅱ卷（本卷共10小题，共90分）注意事项1．考生不能将答案直接答在试卷上，必须答在答题卡上。
2020届高三第二次联考试卷文科数学本卷分第Ⅰ卷(选择题、填空题)和第Ⅱ卷解答题两部分，满分150分. 考试用时间120分钟. 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、班级用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答卷上； 2．第I 卷每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上. 答在第Ⅰ卷上不得分；3．考试结束，考生只需将第Ⅱ卷（含答卷）交回. 参考公式: 锥体的体积公式13V Sh =, 其中S 是锥体的底面积, h 是锥体的高.第Ⅰ卷(选择题、填空题共70分)一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集{}{}R,(3)0,1U A x x x B x x ==+<=<-, 则下图中阴影部分表示的集合为 ( )A. {}0x x >B. {}30x x -<<C. {}31x x -<<-D. {}1x x <-2. 已知正方形ABCD 的边长为1, 则AB BC AC ++u u u r u u u r u u u r=（ ）A. 0B. 2C.2 D. 223. 两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km , 灯塔A 在观察站C 的北偏东20o, 灯塔B 在观察站C 的南偏东40o，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 ( )km A. a B.a 2 C. a 2 D. a 34. 曲线x x x f ln )(=在点1=x 处的切线方程为（ ）A. 22+=x yB. 22-=x yC. 1-=x yD. 1+=x y5. 设函数22(,2]()log (2,)x x f x x x ⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足()4f x =的x 的值是 ( )A. 2B. 16C. 2或16D. 2-或166. 设向量311(sin ,),(,cos ),432a xb x ==r r 且//a b r r , 则锐角x 为（ ） A. 6π B. 4π C. 3πD. π125 7. 已知等差数列{}n a 中, 315,a a 是方程2610x x --=的两根, 则7891011a a a a a ++++等于（ ）A. 18B. 18-C. 15D. 128. 已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值是４, 最小值是0, 最小正周期是2π, 直线3x π=是其图象的一条对称轴, 则下面各式中符合条件的解析式是（ ）A. 4sin(4)6y x π=+ B. 2sin(2)23y x π=++ C. 2sin(4)23y x π=++ D. 2sin(4)26y x π=++ 9. 若函数)(x f y =的图象如右下图所示, 则函数)1(x f y -=的图象大致为 ( )10. 已知0a >且21,()x a f x x a ≠=- , 当(1,1)x ∈- 时均有1()2f x < , 则实数a 的取值范围是( )A. [)∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛，，221 0YB. (]4,11,41 Y ⎪⎭⎫⎢⎣⎡C. (]2 11,21， Y ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ D. [)∞+⎥⎦⎤⎝⎛， 441,0Y 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 函数5||4)(--=x x x f 的定义域为_____ ________.12. 若()f n 为21n +的各位数字之和()n *∈N , 如: 因为2141197,19717+=++=, 所以(14)17f =. 记1()()f n f n =,21()(())f n f f n =, …,1()(())k k f n f f n += (k *∈N ), 则2008(8)f = .13. 如下图是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图, 则此几何体共由____ _____块木块堆成.14. 对于函数x x x f cos sin )(+=, 给出下列四个命题:① 存在)2,0(πα∈, 使34)(=αf ; 俯视图侧视图正视图D.C.A. B.② 存在)2,0(πα∈, 使)3()(αα+=+x f x f 恒成立;③ 存在R ϕ∈, 使函数)(ϕ+x f 的图象关于y 轴对称; ④ 函数f (x )的图象关于点)0,43(π对称;⑤ 若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 则()f x ∈. 其中正确命题的序号是 .2020年文科数学答题卷二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11. 12.13. 14.第Ⅱ卷(解答题共80分)三、解答题（共6小题，满分80分） 15. (本小题满分14分)已知向量(cos ,sin )=r a αα, (cos ,sin )=rb ββ, -=r r a b .(Ⅰ) 求cos()αβ-的值; (Ⅱ) 若0πα<<, 0πβ-<<, 且5sin β=-, 求sin α.班 姓 学号 考16. (本小题满分12分)已知函数32()(4)3(6)f x x m x mx n =+--+-在定义域内是奇函数. (1) 求m , n 的值;(2) 求()f x 在区间[3,2]-上的极值和最值.17. (本小题满分14分)已知点集{}(,)L x y y ==⋅u u r r m n , 其中(22,1),(1,12)x b b =-=+u u r rm n 为向量, 点列(,)n n n P a b 在点集L 中, 1P 为L 的轨迹与y 轴的交点, 已知数列{}n a 为等差数列, 且公差为1, *N n ∈.(1) 求数列{}n a , {}n b 的通项公式;(2) 求1n n OP OP +⋅u u u r u u u u u r 的最小值;(3) 设1(2)n n n n c n n a P P +=≥⋅u u u u u u r , 求234n c c c c ++++L 的值.18. (本小题满分14分)(1) 如图1, 在三棱锥A BCD -中, ,M N 分别是ABC ∆和ACD ∆的重心, 求证://MN BD .(2) 如图2, 在三棱锥S ABC -的侧棱,,SA SB SC 上分别取,,A B C '''三点, 使12SA SA '=, 13SB SB '=, 14SC SC '=, 过,,A B C '''三点作截面将棱锥分成上、下两部分, 求这两部分的体积比. 学号 考室19. (本小题满分12分)某西部山区的某种特产由于运输的原因, 长期只能在当地销售. 当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持, 已知每投入x 万元, 可获得纯利润100)40(16012+--=x P 万元 (已扣除投资, 下同). 当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售, 其规划方案为: 在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资, 其中在前5年中, 每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路. 公路5年建成, 通车前该特产只能在当地销售; 公路通车后的5年中, 该特产既在本地销售, 也在外地销售, 在外地销售的投资收益为: 每投入x 万元, 可获纯利润)60(2119)60(1601592x x Q -+--=万元. 问仅从这10年的累积利润看, 该规划方案是否可行?20.（本小题满分14分）已知函数()22xx af x =-, 将()y f x =的图象向右平移两个单位, 得到()yg x =的图象.(1) 求函数()y g x =的解析式;(2) 若函数()y h x =与函数()y g x =的图象关于直线1y =对称, 求函数()y h x =的解析式;(3) 设1()()(),F x f x h x a=+ 设()F x 的最小值为m . 是否存在实数a , 使2m >若存在, 求出a 的取值范围, 若不存在, 说明理由.室2020年联考文科数学答案一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） CDDCC BCDAC二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11. {x |45x x ≥≠且} 12. 11 13. 5 14. ①③④⑤ 三、解答题（共6小题，满分80分）15. 解:（Ⅰ）(cos ,sin )=r Q a αα, (cos ,sin )=rb ββ, ()cos cos ,sin sin ∴-=--r rαβαβa b . ………………………………………………… (2)5-=r r Q a b ,5=, …………………… (4) 即 ()422cos 5αβ--=, ()3cos 5αβ∴-=. (7)（Ⅱ）0,0,022ππαβαβπ<<-<<∴<-<Q , (8)()3cos 5αβ-=Q ,()4sin .5αβ∴-= (9)5sin 13β=-Q ,12cos 13β∴=, (10)()sin sin ∴=-+⎡⎤⎣⎦ααββ ……………………………………………………………… (12)()()sin cos cos sin =-+-αββαββ ………………………………………………… (13)412353351351365⎛⎫=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭. ………………………………………………………………………… (14) 16. 解: (1) 依题意得()()f x f x -=-, (1)即3232()(4)()3()(6)(4)3(6)x m x m x n x m x mx n -+----+-=---+--, ……………… (2)∴22(4)2(6)0m x n -+-=, ……………………………………………………………………… (3) 故4m =,6n =. ……………………………………………………………………………………(4)(2)由(1)得3()12f x x x =-, ………………………………………………………………………(5)∴2()3123(2)(2)f x x x x '=-=-+, …………………………………………………… (6)当(3,2)x ∈--时, ()0f x '>, ()f x 单调递增; 当(2,2)x ∈-时, ()0f x '<, ()f x 单调递减;……………………………………………………………………………………………… (8)所以当2x =-时,()f x 有极大值16. (9)(3)9f -=Q , (2)16f =-, ……………………………………………………………………… (10) max ()(2)16f x f ∴=-=,min ()(2)16f x f ∴==-. (12)17.解:(1)由y =⋅u u r r m n,(22,1),(1,12)x b b =-=+u u r rm n , 得:12+=x y (2)即 :L 12+=x y Q 1P 为L 的轨迹与y 轴的交点, 1(0,1)P ∴ 则 110,1a b == (3)Q数列{}n a 为等差数列, 且公差为1, 1 (N )n a n n *∴=-∈, ………………………………… (4) 代入12+=x y , 得:2 1 (N )n b n n *=-∈ (5)(2) (1,21)n P n n --Q , 1(,21)n P n n +∴+,221121(1,21)(,21)515()1020n n OP OP n n n n n n n +∴⋅=--⋅+=--=--u u u r u u u u u r (8)Nn *∈Q , 所以当1n =时,1n n OP OP +⋅u u u r u u u u u r有最小值, 为3. (9)(3) 当2≥n 时, )12,1(--n n P n ,得:11),n n n a P P n +⋅=-u u u u u u r…………………………………(10)111(1)1n C n n n n===---, (12)23111111(1)()()12231n C C C n n n∴+++=-+-++-=--L L L . …………………… (14)18. 解: (1) 连结AM , 延长交BC 于P ; 连结AN , 延长交CD 于Q , 连结PQ . (1),M N Q 分别是ABC ∆和ACD ∆的重心,23AM AN AP AQ ∴==. ...................................................... (3) //MN PQ ∴, 且,P Q 分别是,BC CD 的中点. ..................... (5) ∴//PQ BD , (6)由公理4知: //MN BD . (7)(2) 解:sin 1sin 12SB C SBC S SB SC B SC S SB SC B SC ''∆∆''''⋅∠==''⋅∠, ……………………… (10) 设点A '到平面SBC 的距离为h ', A 点到平面SBC 的距离为h .12SA SA '=Q , 12h h '∴=. …………………………………………… (12) 1131243SB C S A B C A SB C S ABC A SBCSBC S h V V V V S h ''∆''''''----∆'⋅===⋅. .................................... (13) 故三棱锥被分成的两部分的体积比为1:23. (14)19. 解: 在实施规划前, 由题设100)40(16012+--=x P (万元), 知每年只须投入40万, 即可获得最大利润100万元. 则10年的总利润为W 1=100×10=1000（万元）. …………………………………………… (3) 实施规划后的前5年中, 由题设100)40(16012+--=x P 知, 每年投入30万元时, 有最大利润8795max =P (万元). ………………………………………………………………………………………………………… (5) 前5年的利润和为8397558795=⨯(万元). (6)设在公路通车的后5年中, 每年用x 万元投资于本地的销售, 而用剩下的（60－x ）万元于外地区的销售投资, ………………………………………………………………………………………………………… (7) 则其总利润为5)2119160159(5]100)40(1601[222⨯+-+⨯+--=x x x W 4950)30(52+--=x . ……………………………… (9) 当x =30时，W 2|max =4950（万元）. (10)AB CD M NQPSC'B'A'CBA从而10年的总利润为495083975+（万元）. (11)1000495083975>+Θ,∴该规划方案有极大实施价值. …………………………………………… (12) 20. 解: (1) 由题设,()g x (2)f x =-2222x x a--=-. (2)(2) 设点(,)x y 在()y h x =的图象上, 点11(,)x y 在()y g x =的图象上, 且与点(,)x y 关于直线1y =对称, 则112x xy y=⎧⎨=-⎩, (4)2(),2()y g x y g x ∴-=∴=-, 即22()222x x ah x --=-+. (6)(3)由题设,21()2xx F x a =-+22222x x a ---+＝111()2(41)242x x a a -+-+ ………………… (7) 0a ≠Q① 当0a <时, 有114a -0<, 410a -<, 而2x0>, 12x 0>,()2F x ∴<, 这与()F x 的最小值2m >+矛盾; …………………………………………… (8) ② 当104a <≤时, 有114a -0>, 410a -≤, 此时()F x 在R 上是增函数, 故不存在最小值;……………………………………………………………………………………………………… (9) ③ 当4a ≥时, 有114a -0≤, 410a ->, 此时()F x 在R 上是减函数, 故不存在最小值;……………………………………………………………………………………………………… (10) ④当144a <<时, 有114a -0>,410a ->,()2F x ≥, (11)当且仅当2x=时取得等号,()F x 取最小值m=2. (12)又2m >+及144a <<, 得(4)(41)744144a a a a --⎧>⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩ …………………………………………… (13) 1212,21244a a a ⎧<<⎪⎪∴<<⎨⎪<<⎪⎩. (14)。
贵阳市五校2023届高三年级联合考试（四）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案BCDBDCDACDAD【解析】1．由题易知{|3}A x x =>，则{4}A B = ，故选B ．2．因为1i z =+，所以11131i i 1i 22z z -=+-=++，故选C ．3．由题知()f x 周期为4，(2021)(15054)(1)(1)1f f f f =+⨯==--=-，故选D．4．双曲线的一条渐近线方程为b y x a =，将(1-，代入渐近线方程得ba=，所以2e ==，故选B ．5．设公比为q ，由题意26q q =+，解得3q =，所以221914n n n a q a a q ++==++，故选D ．6．由图可知，输出10(110)1210552S +=+++== ，故选C ．7．因为ln 5ln e 1>=，1020551-<<=，1lg 05<，所以z y x <<，故选D ．8．由已知可得，5ππππcos 2cos π2cos π2cos 26666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=+-=--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππ119cos 22sin 11212169αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=--=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选A ．9．记4名男生为A ，B ，C ，D ，2名女生为a ，b ，从中选择两名为：AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，CD ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab 共15个基本事件，其中恰好选取一名男生和一名女生有Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，Da ，Db 共8种，所以概率为815，故选C.10．多面体所在正方体的棱长为224π12π⨯=，故选D ．11．由图知2A =，再把点(0代入，可得π2sin 3ϕϕ=⇒=，由五点描图法可得πππ63ω+=，所以4ω=，故π()2sin 43f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以5π5ππ2sin 12463f ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．12．()f x 为定义在(0)(0)-∞+∞ ，，上的偶函数，在(0)+∞，上是单调递减函数；又2(1)log 223f =+=，(lg )3f x <可化为(lg )(1)f x f <，即(|lg |)(1)f x f <，得|lg |1x >，即lg 1x >或lg 1x <-，解得10(10)10⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，，故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案01-36336000【解析】13．根据题意得，22(2)(2)a b a b -=+ ，∴22224444a a b b a a b b -+=++ ，∴814a b =+410--=，∴0a b =，即夹角的余弦值为0．14．(1(1))f ，代入740x y --=得(1)3f =，即3a b +=，(1)7k f '==，即327a b +=，则1a =，2b =，所以1a b -=-．15．设公差为d ，则220(1)n n d +=++，得2d =，于是312a =，324a =，336a = ，，213a ==，4223a ==，6333a ==， ，213a q a ⇒==，553(13)36313S -==-.16．根据题意可知大圆柱的底面圆的半径20cm R =，两圆柱的高40cm h =，设小圆柱的底面圆的半径为r ，则有12π2π2rh Rh =⨯，即80π800πr =，解得10r =，所以该模型的体积为223ππ12000π(cm )V V R h r h -=-=大小，所以制作该模型所需原料的质量为12000π1⨯=36000(g).解：（1三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分））sin sin sin πcos tan .sin 3a Ab Bc C C C C C C a B +-=⇒=⇒==……………………………………………………………………………………（6分）（2）设AB 边上的中线为CD ，由已知，有向量关系：2222224||||||2||||cos 4CD CA CB CD CA CB CA CB C a b ab =+⇒=++⇒=++224423ab a b ab ab ⇒-=+⇒≥≤(当且仅当a b =时取等号)14sin .24433S ab C ⇒===△≤……………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）100(0.00150.00250.00150.0010)1a ⨯++++=，解得0.0035a =，平均数估计值为5000.00151006000.00351007000.00251008000.0015⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯1009000.001100670⨯+⨯⨯=（分）．…………………………………………………（6分）（2）由题意可知，样本中男生有250100251000⨯=人，则女生有75人，属于“高分选手”的有(0.10.15)10025+= 人，其中男生10人，则高分中女生为251015-=人，不属于“高分选手”的男生为251015-=人，不属于“高分选手”的女生为751560-=人，因此，得到22⨯列联表如下：属于“高分选手”不属于“高分选手”合计男生101525女生156075合计2575100因此，2K 的观测值2100(10601515)4 3.84125757525k ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关．……………………………………………………………………………………（12分）（1）证明：连接OA OB OC ，，，D ∵为圆锥顶点，O 为底面圆心，OD ⊥∴平面ABC ，P ∵在DO 上，OA OB OC PA PB PC ====，∴，ABC △∵是圆内接正三角形，AC BC =∴，PAC △≌PBC △，90APC BPC ∠=∠=︒∴，即PB PC PA PC ⊥⊥，19．（本小题满分12分），PA PB P PC =⊥ ，∴平面PAB ．……………………………………………（6分）（2）解：设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，圆锥的侧面积为πrl rl ==，2222OD l r =-=，解得1r l ==，，2sin 60AC r =︒=，在等腰直角三角形APC中，2AP AC ==在Rt PAO △中，2PO =，∴三棱锥P ABC -的体积为11333248P ABC ABC V PO S -==⨯=△ ．…………………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）解：椭圆过点(20)，，即2a =，又c =，得21b =，即椭圆方程为2214x y +=．……………………………………………………（4分）（2）证明：由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得222(14)8440k x kmx m +++-=，2216(41)0k m ∆=-+>，设11()A x y ，，22()B x y ，，则122814kmx x k +=-+，设AB 的中点M 为00()x y ，，得0241142km x k =-=+，即2148k km +=-，所以2001141288k y kx m k k k+=+=-=-．所以AB 的中垂线方程为11182y x k k ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，即138y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故AB 的中垂线恒过点308N ⎛⎫⎪⎝⎭．…………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（1）解：11()(0)axg x a x x x-'=-=>，当0a ≤时，()0g x '>，函数在(0)+∞，上单调递增；当0a >时，10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0g x '>，1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0g x '<，函数在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减．综上所述，当0a ≤时，()g x 只有增区间为(0)+∞，．当0a >时，()g x 的增区间为10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，减区间为a 1⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，．………………………（6分）（2）证明：由已知得2()ln (1)f x x a x =--，()f x 的定义域为(0)+∞，，当0a ≤时，存在正实数e M =，使得2()1(e 1)0f M a =-->．当0a >时，2221()ax ax f x x--'=-，令22()221480h x ax ax a a =--∆=+>，，()h x 在区间(0)+∞，上有一个零点02a x a+=．当0(0)x x ∈，时，()0h x <，当0()x x ∈+∞，时，()0h x >，所以()f x 在0(0)x ，上单调递增，在0()x +∞，上单调递减．2000011()()ln (1)2x f x f x x a x =+=--，≤∵∴．由()0h x =，得001(1)2a x x -=，所以00011()ln 22f x x x =+-．设11()ln 22F x x x =+-，当1x >时，221()02x F x x -'=>，所以()F x 在(1)+∞，上单调递增，所以()(1)0F x F >=，即0()0f x >，所以存在正实数0M x =，使得()0f M >．…………………………………………（12分）解：（1）l 的普通方程为22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】1)y x =-，1C 的普通方程为2214y x +=．……………………………………………………………………………………（5分）（2）2C的参数方程为1cos 2sin 2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，(θ为参数)．故点P 的坐标是1cos 22θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，从而点P 到直线lπ244θ⎤⎛⎫=-+ ⎪⎥⎝⎭⎦，由此当πsin 14θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，d1)-．……………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）21()|1||1|21121x x f x x x x x x --⎧⎪=++-=-<⎨⎪>⎩，，，，，，≤≤∵()6f x <，∴261x x -<⎧⎨-⎩，，≤或2611x <⎧⎨-<⎩，，≤或261x x <⎧⎨>⎩，，∴31x -<-≤或11x -<≤或13x <<，故解集为(33)-，．……………………………………………………（5分）（2）∵()|1||1||(1)(1)|2f x x x x x =++-+--=≥，∴min ()2f x =，当且仅当(1)(1)0x x +-≤时取等，∵()|3|0f x a -+<有解，∴min |3|()2a f x +>=，∴|3|2a +>，∴32a +<-或32a +>，即5a <-或1a >-，故a 的取值范围是(5)(1)-∞--+∞ ，，．…………………………………………（10分）。
绝密★启用前2020届贵州省贵阳市高三11月联合考试数学（文）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{}0,1,2,3A =，{}|1B x x A =+∈，则A B =I （ ） A ．{}1,0,1- B ．{}0,1,2C ．{}0,1D ．{}1,0,1,2-答案：B首先求出集合B ，再根据交集的定义计算可得. 解：解：{}0,1,2,3A =Q ，{}|1B x x A =+∈{}1,0,1,2B ∴=-，{}0,1,2A B ∴⋂=. 故选：B 点评：本题考查交集的运算，属于基础题.2．1i +，3i ，()1i i +，()21i -中纯虚数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B根据复数代数形式的运算法则计算即可判断. 解：解：3i i =-Q ，()11i i i +=-+，()212i i -=-所以纯虚数有3i 和()21i -共2个， 故选：B . 点评：本题考查复数代数形式的运算，以及复数的相关概念，属于基础题. 3．已知之间的一组数据如下： 1 3 4 7 8 10 1657810131519则线性回归方程所表示的直线必经过点 A ．（8，10） B ．（8，11）C ．（7，10）D ．（7，11）答案：D 先计算的平均值，得到数据中心点，得到答案解：，线性回归方程所表示的直线经必经过点，即（7，11）.故答案选D 点评：本题考查了回归方程，回归方程一定过数据中心点.4．已知向量(),3a m =v，()2,b m =v ，则“6m =”是“a v 与b v 共线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A先由向量共线，得到6m =±，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 解：当a r 与b r 共线时，260m -=，即6m =±，由6m =可以推出a r 与b r 共线，但a r 与b r共线不能推出6m =，因此，“6m =”是“a 与b 共线”的充分不必要条件. 故选：A. 点评：本题主要考查由向量共线求参数，以及充分不必要条件的判定，熟记向量共线的坐标表示，以及充分条件与必要条件的概念即可，属于基础题型.5．甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000，12000，15000，其成本构成如下图所示，则关于这三家企业下列说法错误的是（ ）A ．成本最大的企业是丙企业B ．费用支出最高的企业是丙企业C ．支付工资最少的企业是乙企业D ．材料成本最高的企业是丙企业答案：C直接根据图中数据计算对应结果即可求出结论． 解：甲企业的成本为：10000； 乙企业的成本为：12000； 丙企业的成本为：15000故成本最大的是丙企业，故A 正确； 甲企业费用支出为：100005%500⨯=； 乙企业费用支出为：1200017%2040⨯=； 丙企业费用支出为：1500015%2250⨯= 故费用支出最高的企业是丙企业，故B 正确； 甲企业支付工资为：1000035%3500⨯=； 乙企业支付工资为：1200030%3600⨯=； 丙企业支付工资为：1500025%3750⨯=； 故甲企业支付的工资最少，故C 错误； 甲企业材料成本为：1000060%6000⨯=； 乙企业材料成本为：1200053%6360⨯=； 丙企业材料成本为：1500060%9000⨯= 故材料成本最高的企业是丙企业，故D 正确； 故选：C ． 点评：本题主要考查根据图表分析解决问题，是对基础知识的考查，关键是理解题中数据，属于基础题．6．在ABC V 中，,,a b c 分别为ABC V 的内角,,A B C 的对边，且sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin B A B A C A C A A +++=，则下列结论一定成立的是（ ）A ．,,b a c 成等差数列B ．,,a b c 成等差数列C ．222,,b a c 成等差数列 D ．222,,a b c 成等差数列答案：A根据两角和的正弦公式及正弦定理将角化边，再结合等差数列的性质即可判断.解：解：∵sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin B A B A C A C A A +++=， ∴sin()sin()2sin A B A C A +++=，∴sin sin 2sin C B A +=， ∴2b c a +=， ∴,,b a c 成等差数列. 故选：A 点评：本题考查两角和的正弦公式及正弦定理的应用，属于基础题.7．执行如图所示的程序框图，若输入的4x =，则输出的x 为（ ）A ．199B ．366C ．699D ．769答案：D根据程序框图，逐步执行，即可得出结果. 解：输入4x =，第一步，44313198x =⨯-=≤，进入循环； 第二步，413349198x =⨯-=≤，进入循环； 第三步，4493193198x =⨯-=≤，进入循环；第四步，41933769198x =⨯-=>，结束循环，输出结果769x =. 故选：D. 点评：本题主要考查求循环程序框图的输出值，逐步执行框图，即可求解，属于基础题型.8．设函数()3sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线2x π=对称答案：B根据题意，先得到()f x x =，再由余弦函数的单调区间，以及余弦函数的对称轴，即可求出()y f x =的单调区间，以及对称轴，进而可得出结果. 解：因为()3sin 2cos 2244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由222,πππ-+≤≤∈k x k k Z 得,2πππ-+≤≤∈k x k k Z ，由222,k x k k Z πππ≤≤+∈得,2πππ≤≤+∈k x k k Z ，即()y f x =的单调递增区间为,,2πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；单调递减区间为,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；所以()y f x =在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增； 由2,π=∈x k k Z 得,2k x k Z π=∈；即函数()y f x =的对称轴为：,2k x k Z π=∈； 因此其图象关于直线2x π=对称.故选：B. 点评：本题主要考查判断三角函数的单调性与对称性，熟记余弦函数的单调性与对称性即可，属于常考题型.9．设函数()()2cos ,0x x axa R a axf x ++=∈≠，若()1003f -=，则()100f =（ ） A ．-3 B ．-2C ．-1D ．1答案：C首先求出()()f x f x -+的值，再根据()1003f -=求出()100f . 解：由题知()22cos cos 1x x ax x xax a f x x+++==+，有()()()()22cos cos 22x x x xf x f x ax ax-+-+-+=++=-又因为()1003f -=，所以()()()1001002100231f f f -+=⇒=-=-. 故选：C. 点评：本题考查了函数的中心对称性，属于基础题.10．已知{}n a 是等比数列,且12016,a a 是关于x 的方程2sin 0x x αα--=的两个根,且12016320141a a a a ++=-,则锐角α的值为( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 答案：A由等比数列性质可知12016120161a a a a ++=-，由根与系数关系得12016sin a a α+=，12016a a α=，再由等比数列性质可知12016120161a a a a ++=-，代入即可求解.解：根据根与系数的关系可知12016sin a a α+=,12016a a α=, 由12016320141a a a a ++=-, 可知12016120161a a a a ++=-,故有sin 1αα-=-,12sin 12αα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,1sin 32πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,因为α为锐角， 所以可得36ππα-=-, 即6πα=.故选：A点评：本题主要考查了等比数列的性质，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题. 11．已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，12n n a b +=，1n n b a +=，则101101a b +=（ ） A ．502 B ．512 C ．5032⨯ D ．522答案：C首先根据12n n a b +=，1n n b a +=，通过构造恒等数列的方法求出101a ，101b ，然后即可求出101101a b +. 解：由12n n a b +=，1n n b a +=， 所以112n n a a +-=，有250511019997122==2=2a a a a ==L ，又因为112n n b b +-=，有250501019997122==2=2b b b b ==L ，所以5010110132a b +=⨯.故选：C. 点评：本题考查了根据递推公式求数列中的项，属于基础题.12．已知函数()ln f x x k =+的定义域与值域均为[],a b ，且0a >，则k 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,+∞C ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭答案：B由()f x 在()0,∞+上单调递增，故()()f a af b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以()f x x =在()0,∞+上有两个不同的解，参变分离得ln k x x =-，再构造函数()ln g x x x =-，利用导数研究函数的单调性及最值，即可得解. 解：解：()ln f x x k =+在()0,∞+上单调递增，故()()f a af b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以()f x x =在()0,∞+上有两个不同的解，ln k x x =-，令()ln g x x x =-，则()111x g x x x-'=-=， 所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()11k g >=，即1k >. 故选：B 点评：本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，函数方程思想，属于中档题.二、填空题13．若3sin cos 0αα+=，则tan2α=__________． 答案：34-由商数关系可得tan α，再根据二倍角的正切公式计算可得. 解：解：由3sin cos 0αα+=，可得1tan 3α=-，所以233tan 21419α-==--.故答案为：34-点评：本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角正切公式的应用，属于基础题.14．已知,x y 满足约束条件20x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则21y z x +=+的取值范围为__________．答案：2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦画出可行域，目标函数21y z x +=+的几何意义为可行域内的点(),x y 与点()1,2--A 的连线的斜率，数形结合即可解得. 解：解：20x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩Q ，画出可行域如下图所示：。
贵州省贵阳市高三11月联合考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}0,1,2,3A =，{}|1B x x A =+∈，则A B =I （ ） A ．{}1,0,1- B ．{}0,1,2C ．{}0,1D ．{}1,0,1,2-【答案】B【解析】首先求出集合B ，再根据交集的定义计算可得. 【详解】解：{}0,1,2,3A =Q ，{}|1B x x A =+∈{}1,0,1,2B ∴=-，{}0,1,2A B ∴⋂=. 故选：B 【点睛】本题考查交集的运算，属于基础题.2．1i +，3i ，()1i i +，()21i -中纯虚数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据复数代数形式的运算法则计算即可判断. 【详解】解：3i i =-Q ，()11i i i +=-+，()212i i -=-所以纯虚数有3i 和()21i -共2个， 故选：B . 【点睛】本题考查复数代数形式的运算，以及复数的相关概念，属于基础题. 3．已知之间的一组数据如下： 1 3 4 7 8 10 16 57810131519则线性回归方程所表示的直线必经过点 A ．（8，10） B ．（8，11）C ．（7，10）D ．（7，11）【答案】D 【解析】先计算的平均值，得到数据中心点，得到答案【详解】，线性回归方程所表示的直线经必经过点，即（7，11）.故答案选D 【点睛】本题考查了回归方程，回归方程一定过数据中心点.4．已知向量(),3a m =v，()2,b m =v ，则“6m =”是“a v 与b v 共线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先由向量共线，得到6m =±，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】当a r 与b r 共线时，260m -=，即6m =±，由6m =可以推出a r 与b r 共线，但a r 与b r共线不能推出6m =，因此，“6m =”是“a 与b 共线”的充分不必要条件.故选：A. 【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，以及充分不必要条件的判定，熟记向量共线的坐标表示，以及充分条件与必要条件的概念即可，属于基础题型.5．甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000，12000，15000，其成本构成如下图所示，则关于这三家企业下列说法错误的是（ ）A ．成本最大的企业是丙企业B ．费用支出最高的企业是丙企业C ．支付工资最少的企业是乙企业D ．材料成本最高的企业是丙企业【答案】C【解析】直接根据图中数据计算对应结果即可求出结论． 【详解】甲企业的成本为：10000； 乙企业的成本为：12000； 丙企业的成本为：15000故成本最大的是丙企业，故A 正确； 甲企业费用支出为：100005%500⨯=； 乙企业费用支出为：1200017%2040⨯=； 丙企业费用支出为：1500015%2250⨯= 故费用支出最高的企业是丙企业，故B 正确； 甲企业支付工资为：1000035%3500⨯=； 乙企业支付工资为：1200030%3600⨯=； 丙企业支付工资为：1500025%3750⨯=； 故甲企业支付的工资最少，故C 错误； 甲企业材料成本为：1000060%6000⨯=； 乙企业材料成本为：1200053%6360⨯=； 丙企业材料成本为：1500060%9000⨯= 故材料成本最高的企业是丙企业，故D 正确； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查根据图表分析解决问题，是对基础知识的考查，关键是理解题中数据，属于基础题．6．在ABC V 中，,,a b c 分别为ABC V 的内角,,A B C 的对边，且sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin B A B A C A C A A +++=，则下列结论一定成立的是（ ）A ．,,b a c 成等差数列B ．,,a b c 成等差数列C ．222,,b a c 成等差数列 D ．222,,a b c 成等差数列【答案】A【解析】根据两角和的正弦公式及正弦定理将角化边，再结合等差数列的性质即可判断.【详解】解：∵sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin B A B A C A C A A +++=， ∴sin()sin()2sin A B A C A +++=，∴sin sin 2sin C B A +=， ∴2b c a +=， ∴,,b a c 成等差数列. 故选：A 【点睛】本题考查两角和的正弦公式及正弦定理的应用，属于基础题.7．执行如图所示的程序框图，若输入的4x =，则输出的x 为（ ）A ．199B ．366C ．699D ．769【答案】D【解析】根据程序框图，逐步执行，即可得出结果. 【详解】输入4x =，第一步，44313198x =⨯-=≤，进入循环； 第二步，413349198x =⨯-=≤，进入循环； 第三步，4493193198x =⨯-=≤，进入循环；第四步，41933769198x =⨯-=>，结束循环，输出结果769x =. 故选：D. 【点睛】本题主要考查求循环程序框图的输出值，逐步执行框图，即可求解，属于基础题型. 8．设函数()3sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线2x π=对称【答案】B【解析】根据题意，先得到()f x x =，再由余弦函数的单调区间，以及余弦函数的对称轴，即可求出()y f x =的单调区间，以及对称轴，进而可得出结果. 【详解】因为()3sin 2cos 2244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由222,πππ-+≤≤∈k x k k Z 得,2πππ-+≤≤∈k x k k Z ，由222,k x k k Z πππ≤≤+∈得,2πππ≤≤+∈k x k k Z ，即()y f x =的单调递增区间为,,2πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；单调递减区间为,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；所以()y f x =在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增； 由2,π=∈x k k Z 得,2k x k Z π=∈；即函数()y f x =的对称轴为：,2k x k Z π=∈； 因此其图象关于直线2x π=对称.故选：B. 【点睛】本题主要考查判断三角函数的单调性与对称性，熟记余弦函数的单调性与对称性即可，属于常考题型.9．设函数()()2cos ,0x x axa R a axf x ++=∈≠，若()1003f -=，则()100f =（ ） A ．-3 B ．-2C ．-1D ．1【答案】C【解析】首先求出()()f x f x -+的值，再根据()1003f -=求出()100f . 【详解】由题知()22cos cos 1x x ax x xax a f x x+++==+，有()()()()22cos cos 22x x x xf x f x ax ax-+-+-+=++=-又因为()1003f -=，所以()()()1001002100231f f f -+=⇒=-=-. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数的中心对称性，属于基础题.10．已知{}n a 是等比数列,且12016,a a 是关于x 的方程2sin 0x x αα--=的两个根,且12016320141a a a a ++=-,则锐角α的值为( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A【解析】由等比数列性质可知12016120161a a a a ++=-，由根与系数关系得12016sin a a α+=，12016a a α=，再由等比数列性质可知12016120161a a a a ++=-，代入即可求解.【详解】根据根与系数的关系可知12016sin a a α+=,12016a a α=, 由12016320141a a a a ++=-, 可知12016120161a a a a ++=-,故有sin 1αα-=-,12sin 122αα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,1sin 32πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,因为α为锐角， 所以可得36ππα-=-, 即6πα=.【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题. 11．已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，12n n a b +=，1n n b a +=，则101101a b +=（ ） A ．502 B ．512 C ．5032⨯ D ．522【答案】C【解析】首先根据12n n a b +=，1n n b a +=，通过构造恒等数列的方法求出101a ，101b ，然后即可求出101101a b +. 【详解】由12n n a b +=，1n n b a +=， 所以112n n a a +-=，有250511019997122==2=2a a a a ==L ，又因为112n n b b +-=，有250501019997122==2=2b b b b ==L ，所以5010110132a b +=⨯.故选：C. 【点睛】本题考查了根据递推公式求数列中的项，属于基础题.12．已知函数()ln f x x k =+的定义域与值域均为[],a b ，且0a >，则k 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,+∞C ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由()f x 在()0,∞+上单调递增，故()()f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以()f x x =在()0,∞+上有两个不同的解，参变分离得ln k x x =-，再构造函数()ln g x x x =-，利用导数研究函数的单调性及最值，即可得解.解：()ln f x x k =+在()0,∞+上单调递增，故()()f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以()f x x =在()0,∞+上有两个不同的解，ln k x x =-，令()ln g x x x =-，则()111x g x x x-'=-=， 所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()11k g >=，即1k >. 故选：B 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，函数方程思想，属于中档题.二、填空题13．若3sin cos 0αα+=，则tan2α=__________． 【答案】34-【解析】由商数关系可得tan α，再根据二倍角的正切公式计算可得. 【详解】解：由3sin cos 0αα+=，可得1tan 3α=-，所以233tan 21419α-==--.故答案为：34-【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角正切公式的应用，属于基础题.14．已知,x y 满足约束条件20x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则21y z x +=+的取值范围为__________．【答案】2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】画出可行域，目标函数21y z x +=+的几何意义为可行域内的点(),x y 与点()1,2--A 的连线的斜率，数形结合即可解得.【详解】解：20x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩Q ，画出可行域如下图所示：由21y z x +=+，可知其几何意义为可行域内的点(),x y 与点()1,2--A 的连线的斜率，结合图象可知20210AO k --==--，022213AB k +==+，123112AC k +==+， 2,23z ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查简单的线性规划问题，关键是理解目标函数的几何意义，属于基础题. 15．海伦公式亦叫海伦—秦九昭公式.相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现的海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式.它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为()()()S p p a p b p c =---其中a ，b ，c 分别是三角形的三边长，2a b cp ++=.已知一根长为8的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为2，则该三角形面积的最大值为______. 【答案】2【解析】先根据题意，得到4p =，设2a =，则6b c +=，根据()()844=--S b c由基本不等式，即可求出结果. 【详解】由海伦公式可知842==p ， 不妨设2a =，则6b c +=， 则()()4484422222b cS b c -+-=--≤⨯=.当且仅当44-=-b c ，即3==b c 时，等号成立. 故答案为：22. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.16．已知函数()21f x x =-，()()333g x x x =--≤≤，点A ，B 分别是()f x ，()g x 图象上不同的两点，则AB 的取值范围是______.【答案】321,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】首先根据函数表达式绘制出函数图像，再根据点到直线距离求出AB 的取值范围. 【详解】分别作出函数()f x ，()g x 的图象，如图所示，()f x 的图象为以原点为圆心，1为半径的圆的上半部分， ()3,033,30x x g x x x -≤≤⎧=⎨+-≤<⎩，又原点到直线3y x =-的距离为3322112d -===+ 所以min 321AB =，根据图像易知max 314AB =+=， 故AB 的取值范围是321,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：321,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了函数图像的绘制，圆上的点到直线的最短距离，属于基础题.三、解答题17．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是直角梯形，//BC AD ，AB AD ⊥，22AD BC ==，四边形11ABB A 和11ADD A 均为正方形.（1）证明：平面11ABB A ⊥平面ABCD . （2）求四面体11AB CD 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】（1）通过证明1AA ⊥平面ABCD ，即可得到平面11ABB A ⊥平面ABCD . （2）利用割补法求四面体的体积. 【详解】解：（1）证明：因为四边形11ABB A 和11ADD A 均为正方形，所以1AA AD ⊥，1AA AB ⊥. 又AD AB A ⋂=，AD ⊂平面ABCD ，AB Ì平面ABCD . 所以1AA ⊥平面ABCD . 因为1AA ⊂平面11ABB A ， 所以平面11ABB A ⊥平面ABCD .（2）解：1111(12)2262ABCD A B C D V -+⨯=⨯=， 1112122323B ABC V -=⨯⨯⨯⨯=，111112224323A A B D V -=⨯⨯⨯⨯=，111112122323C B C D V -=⨯⨯⨯⨯=，1112223243D ACD V -=⨯⨯⨯⨯=，所以111111*********ABCD A C D B ABC A A D C B C D D B B AB CD ACD V V V V V V -----=----=四面体. 【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，三棱锥的体积计算问题，属于基础题.18．已知数列{}n a 的前n 项和21nn S =-.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知1131111n n T a a a a =+++⋯+，若12764m T =，求m 的值. 【答案】（1）()1*2n n a n -=∈N ；（2）7m = 【解析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式；（2）根据等比数列的前n 项和公式，得到方程即可解得. 【详解】解：（1）由21nn S =-，当1n =时，11a =，当2n ≥时，1121n n S --=-，两式相减得()1*22,n n a n n N -=≥∈，11a =也满足，综上，()1*2n n a n -=∈N .（2）由（1）12n n a -=，1112n n a -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭1211123111111111112212222212n n n n n T a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++=++++==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-L L ，12764m T =Q 111272264m m T -∴=-=，解得1264m -=，所以7m =. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前n 项和公式的应用，属于基础题.19．为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据分成[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,1007组，得到如图所示的频率分布直方图.若尺寸落在区间()2,2x s x s -+之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中x ，s 分别为样本平均和样本标准差，计算可得15s ≈（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（1）若一个零件的尺寸是100 cm ，试判断该零件是否属于“不合格”的零件； （2）工厂利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6个零件，标上记号，并从这6个零件中再抽取2个，求再次抽取的2个零件中恰有1个尺寸小于50 cm 的概率. 【答案】（1）该零件属于“不合格”的零件；（2）35. 【解析】（1）先由频率分布直方图中的数据，求出样本平均值，得到2,2x s x s -+，根据题意，即可得出结果；（2）根据分层抽样的方法得到第一组抽1个，记为A ；第二组抽2个，记为B ，C ；第三组抽3个，记为D ，E ，F ，用列举法列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，进而可得出结果. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，该批零件的样本平均值为：35100.00545100.01055100.01565100.0307510x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.02085100.01595100.00566.5+⨯⨯+⨯⨯=；则266.53096.5x s +=+=，266.53036.5x x -=-=，10096.5>， 所以该零件属于“不合格”的零件；（2）按照分层抽样抽6个零件时，第一组抽1个，记为A ；第二组抽2个，记为B ，C ；第三组抽3个，记为D ，E ，F ，从这6个零件中抽取2个零件共有15种情况，分别为(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F .其中再抽取的2个零件中恰有1个尺寸小于50 cm 的有9种，分别为(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F .根据古典概型概率公式，可得93155P ==. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，以及分层抽样与古典概型的问题，会根据频率分布直方图求样本平均值，熟记分层抽样的概念，以及古典概型的概率计算公式即可，属于常考题型.20．已知抛物线21:4C y x =和22:4C x y =的焦点分别为1F ，2F ，且1C 与2C 相交于O ，P 两点，O 为坐标原点.（1）证明：12F F OP ⊥.（2）过点O 的直线l 交1C 的下半部分于点M ，交2C 的左半部分于点N ，是否存在直线l ，使得以MN 为直径的圆过点P ？若存在，求l 的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在；:l y x =-【解析】（1）先由题意，得到()4,4P ，()11,0F ，()20,1F ，求出12F F u u u u r 与OP uuu r的坐标，计算向数量积，即可得出结果；（2）先设过点O 的直线为()0y kx k =<，分别联立直线与两抛物线的方程，得到244,M k k ⎛⎫⎪⎝⎭，()24,4N k k ，根据以MN 为直径的圆过点P ，得到()()22444444440PM PN k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅=--+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ，进而看得出结果.【详解】（1）证明：联立224,4,y x x y ⎧=⎨=⎩解得4,4,x y =⎧⎨=⎩所以点()4,4P ，()11,0F ，()20,1F ，∴()121,1F F =-u u u u r ，()()121,14,4440F F OP ==-⋅=-+=u u u u r u u u r ， ∴12F F OP ⊥；（2）解：设过点O 的直线为()0y kx k =<，联立24,,y x y kx ⎧=⎨=⎩得()24kx x =，求得244,M k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立24,,x y y kx ⎧=⎨=⎩得()24,4N k k ，所以2444,4PM k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r ，()244,44PN k k =--u u u r .若以MN 为直径的圆过点P ，则()()22444444440PM PN k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅=--+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ，2212k k+=，解得1k =-，即直线l 的方程为y x =-. 所以存在直线:l y x =-，使得以MN 为直径的圆过点P . 【点睛】本题主要考查抛物线中直线与直线垂直的证明，以及抛物线中存在某直线满足条件的问题，熟记抛物线的简单性质即可，属于常考题型. 21．已知函数()32f x x ax =-++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在[1,)-+∞上只有一个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）讨论见解析；（2）(),3-∞【解析】（1）求出函数的导数，分0a ≤和0a >两种情况讨论可得. （2）由（1）当0a ≤时，只需()10f -≥即可；当0a >时，对1<-和1-分类讨论即得. 【详解】（1）()23f x x a '=-+.①当0a ≤时，()0f x '≤，()f x 在R 上单调递减； ②当0a >时，令()230f x x a '=-+=，解得1x =2x = 所以()f x在,⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，在⎛ ⎝⎭上单调递增.（2）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减，且()2620f a =-+<， 则只需()1120f a -=-+≥，所以3a ≤，又0a ≤，所以0a ≤.当0a >时，()f x在,⎛-∞ ⎝和⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减，在⎛ ⎝上单调递增，且20f =>， ①当1<-，即3a >时，若()f x 在[1,)-+∞上恰好只有一个零点， 则()130f a -=->，则a 无解；②当1≥-，即03a <≤时，若()f x 在[1,)-+∞上恰好只有一个零点，则20f ⎛=> ⎝，解得3a <. 综上，a 的取值范围为(),3-∞. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及零点问题，属于中档题.22．在直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为,2x t y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()0θαα=≤≤π. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）已知直线l 与圆C 交于A ，B两点，若OA OB +=l 的直角坐标方程.【答案】（1）24sin 10ρρθ-+=（2）y =【解析】（1）先由圆的参数方程消去参数，得到圆的普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出圆的极坐标方程；（2）将直线l 的极坐标方程代入圆C的极坐标方程，根据题意，得到4sin OA OB α+==.【详解】（1）由圆C的参数方程,2x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），得圆C 的普通方程为()2223x y +-=，得22410x y y +-+=，圆C 的极坐标方程为24sin 10ρρθ-+=；（2）将直线l 的极坐标方程代入圆C 的极坐标方程，得24sin 10ρρα-+=，又1210ρρ⋅=>，0απ≤≤，216sin 40x ∆=->，得1sin 2α>，所以4sin OA OB α+==3πα=或23π. 所以直线l的直角坐标方程为y =. 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.23．设函数()21f x x a x a =++--.（1）当0a =时，求不等式()3f x x <的解集；（2）若0a >，且关于x 的不等式()7f x ≤有解，求a 的取值范围.【答案】（1）1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）(]0,4 【解析】（1）先由0a =得213x x x +-<，求解，即可得出结果；（2）先由题意，得到()31,1,21,1,231,,2x x a a f x x a x a a x x ⎧⎪-≥+⎪⎪=++-<<+⎨⎪⎪-+≤-⎪⎩，求出()min 312af x =+，根据题意只需()min 7f x ≤，求解，即可得出结果.【详解】（1）当0a =时，解不等式213x x x +-<，即1x x -<， 所以2221x x x -+<，解得12x >. 所以不等式()3f x x <的解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. （2）()31,1,21,1,231,,2x x a a f x x a x a a x x ⎧⎪-≥+⎪⎪=++-<<+⎨⎪⎪-+≤-⎪⎩当2a x =-时，()min 312af x =+. 因为()7f x ≤有解，所以()min 7f x ≤，即3172a+≤， 所以312a ≤，所以04a <≤， 所以a 的取值范围为(]0,4. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式中的参数问题，熟记绝对值不等式的解法即可，属于常考题型.。
