吉林省延边州2020-2021学年高三下学期教学质量检测理科数学

延边州2021年高考温习质量检测理科数学注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真查对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案利用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案利用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请依照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．维持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题前，考生依照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷 (选择题,共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题卡上。

1．已知集合M {}54321a ,a ,a ,a ,a ⊆，且M {}{}21321a ,a a ,a ,a =⋂的集合M 的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．复数ii-12的共轭复数是 A. i +1 B. i +-1 C. i -1 D. i --1 3．若向量)4,3(=a ，且存在实数y x ,使得21e y e x a +=，则21,e e 可以是A. ()()2,1,0,021-==e eB. ()()6,2,3,121-=-=e eC. ()()1,3,2,121-=-=e eD. ()2,1,1,2121-=⎪⎭⎫⎝⎛-=ee4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2， 且侧棱AA 1⊥平面A 1B 1C 1，正视图是正方形， 俯视图是正三角形，该三棱柱的侧视图面积为俯视图正视图BAB 1A 1C 1B 1A 1CABA. 32B. 3C. 22D. 45．在二项式nxx )13(2-的展开式中,所有二项式系数的和是32, 则展开式中各项系数的和为A. 32-B. 0C. 32D. 16．若y x ,知足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥+12122y x y x y x , 则目标函数y x z 23+=的取值范围是A ．[54，4] B ．[72，5] C.[ 72，4] D ．[54，5] 7．执行如图所示的程序框图，若是输入 P=153, Q=63, 则输出的P 的值是 A. 2 B. 3 C. 9 D. 278．在ABC ∆中，若，bc b a 322=- 且32sin )sin(=+BB A ，则角=AA.6πB.3π C. 32πD. 65π9．下列四种说法中，正确的个数有① 命题“R x ∈∀,均有0232≥--x x ”的否定是：“R x ∈∃0,使得023020≤--x x ”； ② Rm ∈∃，使mm mxx f 22)(+=是幂函数，且在),0(+∞上是单调递增；③ 不过原点)0,0(的直线方程都可以表示成1=+bya x ； ④ 回归直线的斜率的估量值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为ˆy＝1.23x ＋0.08. A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个输出P Q=RP=Q R 为P 除以Q 的余数否是Q=0?输入正整数P,Q结束开始10．如图所示，M, N 是函数)0)(sin(2>+=ωϕωx y 图象与x 轴的交点，点P 在M, N 之间的图象上运动，当△MPN 面积最大时, PN PM ⊥, 则ω= A. 4π B. 3πC. 2πD. 811．已知抛物线)0(42>=p px y 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F,点A 是两曲线的交点, 且AF⊥x 轴, 则双曲线的离心率为 A.215+ B. 12+ C. 13+ D.12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,ln 1,141)(x x x x x f ，则方程ax x f =)(恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是（注: e 为自然对数的底数）A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e 10， B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡e 1,41 C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡e ,41 D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部份，第13题－21题为必考题，每一个试题考生都必需作答，第22题－24题为选考题，考生按照要求作答。

小结: 你能告诉我这节课的收获吗？ 乘方运算的法则： 正数的任何次幂都是正数； 0的任何正整数次幂都是0;负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 乘方：求几个相同因数的积的运算，叫做乘方 思考题 同学们想一想，下面的题目你能用所学的识解决吗？ 作业： 习题1.5 第 1题 * * * * 1.5.1 有理数的乘方 2.如图，一正方体的棱长为a厘米, 则它的体积 为 立方厘米。

a×a×a 复习回顾 1.如图，边长为a厘米的正方形的面积为 平方厘米。

a×a a a 在小学已经知道： a×a＝ a×a×a＝ 读作：a的平方（或a的二次方） 读作：a的立方（或a的三次方） 某种细胞每30分钟便由一个分裂成两个。

经过3小时这种细胞由1个能分裂成多少个？ 分裂方式如下所示: 合作探究: 第一次 第二次 第三次 这个细胞分裂一次可得多少个细胞? 那么3小时共分裂了多少次?有多少个细胞？ 答:一次得: 两次 : 三次 :四次 ： 2个; 2×2个; 2×2×2个; 六次 : 2×2×2×2×2×2个. 分裂两次呢? 分裂三次呢?四次呢？ 思考:2×2×2×2个 请比较细胞分裂四次后的个数式子:2×2×2×2和细胞分裂六次后的个数式子:2×2×2×2×2×2. 1.这两个式子有什么相同点? 答:它们都是乘法;并且它们各自的因数都相同. 2.思考：这样的运算能像平方、立方那样简写吗？ 这样的运算我们可以像平方和立方那样简写： 乘方:求几个相同因数的积的运算，叫做乘方；乘方的结果叫做幂。

2×2×2×2 2×2×2×2×2×2 记作 记作 一般的,n个相同的因数a相乘，即 记作 n个a 读作a的n次方 a n 底数 幂 指数 a n 读作a的n次方 看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂 (1)在64中,底数是___,指数是____; (3)在(-6)4中,底数是 ___, 指数是___; 写出下列各幂的底数与指数: -6 4 a 4 6 4 (2)在a4中,底数是___,指数是____； 5 (4)在 中,底数是____,指数 是____; 动脑筋 请思考： 把下列各算式写成乘方的形式: 2×2×2=______. (2) 3×3×3×3=_______. 6×6×6×6×6=______. (4) a×a×a×a×a=_______. 23 34 65 a5 想一想： 2能不能写成乘方的形式呢？ 答：能，可以写成 注意：一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写。

一、单选题二、多选题1.设集合，则满足条件的集合的个数是A ．1B ．3C ．4D ．82. 甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若，，分别表示他们测试成绩的标准差，则（）A．B．C．D．3. 集合M ＝{x |2x 2﹣x ﹣1＜0}，N ＝{x |2x +1＜0}，U ＝R ，则M ∩∁U N ＝（ ）A ．[，1）B ．（，1）C ．（﹣1，）D ．（﹣1，]4. 下列四个结论中正确的个数是（ ）①“”是“”的充分不必要条件；②命题：“，”的否定是“，”；③“若，则”的否命题为真命题．A ．0B ．1C ．2D ．35. 已知随机变量的概率密度函数为，若，则（ ）A．B ．0C ．1D ．26. 不等式的解集是（ ）A．B．C．D．7. 《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》里，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”中，，，动点在“堑堵”的侧面上运动，且，则的最大值为（ ）.A．B．C．D．8. 若，则（ ）A．B ．3C．D．9. 已知函数的图象上，对称中心与对称轴的最小距离为，则下列结论正确的是（ ）A．B．当时，C ．若，则2022届吉林省延边州高三教学质量检测（一模）数学（理）试题2022届吉林省延边州高三教学质量检测（一模）数学（理）试题三、填空题四、解答题D ．若，，则的值为10.将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则（ ）A．B．是图像的一个对称中心C ．当时，取得最大值D ．函数在区间上单调递增11.如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形ABCD 为直角梯形，，，.在四棱锥中，则（）A ．平面PAD ⊥平面PBDB ．AD 平面PBCC ．三棱锥P -ABC的外接球表面积为D ．平面PAD 与平面PBC所成的二面角的正弦值为12.如图，在正方体中，E ，F ，G 分别为AB ，BC ，的中点，则下列说法中正确的是（）A．B．平面C ．直线与所成角的余弦值为D ．若，棱台的表面积为13.过点的直线与圆交于，两点，则的值为________.14. 已知数列的首项为3，前n 项和为，若，则的最大值为______．15.若，则______，______.16. 已知是公比为2的等比数列，为正项数列，，当时，．(1)求数列的通项公式；(2)记．求数列的前n 项和．17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，且.是椭圆上任意一点，满足.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆相交于、两点，且，为线的中点，求的最大值.18. ．（Ⅰ）若函数在定义域内有两个极值点，求实数的取值范围；（Ⅱ）若函数有三个不相同的零点，求证：．19. 已知函数.（1）求的极值；（2）证明：.20. “低碳经济”是促进社会可持续发展的推进器，某企业现有100万元资金可用于投资，如果投资“传统型”经济项目，一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资“低碳型”经济项目，一年后可能获利30%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为a和b（其中a+b＝1）．（1）如果把100万元投资“传统型”经济项目，用ξ表示投资收益（投资收益＝回收资金投资资金），求ξ的概率分布及均值（数学期望）；（2）如果把100万元投资“低碳型”经济项目，预测其投资收益均值会不低于投资“传统型”经济项目的投资收益均值，求a的取值范围．21. 在中、、为角、、所对的边，.（1）求角的值；（2）若且，求的取值范围.。

吉林省延边朝鲜族自治州数学高三下学期理数三模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2019高一上·汤原月考) 若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x 有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. （2分）若复数满足，则复数对应的点在复平面的（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A . 0B .C .D . -14. （2分）实系数一元二次方程的一个根在上，另一个根在上，则的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分）设数列{an}是公比为q的等比数列，则“0＜q＜1”是“{an}为递减数列”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） 6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（）A . 40B . 50C . 60D . 707. （2分）内，使成立的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高一上·福州期末) 如图，在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中点，则与平面所成角的大小是（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2019高二上·上海月考) 双曲线的焦距是________10. （1分）在极坐标系中，点到直线的距离为________．11. （1分） (2017高三下·淄博开学考) 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是________．12. （1分） (2017高二上·南通期中) 已知数列{an}中，a1=1，a2=4，a3=10，若{an+1﹣an}是等比数列，则 i=________．13. （1分） (2016高一上·饶阳期中) 给出下列四个命题：①函数y=|x|与函数y=（）2表示同一个函数；②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；③函数y=3（x﹣1）2的图象可由y=3x2的图象向右平移1个单位得到；④y=2|x|的最小值为1⑤对于函数f（x），若f（﹣1）•f（3）＜0，则方程f（x）=0在区间[﹣1，3]上有一实根；其中正确命题的序号是________（填上所有正确命题的序号）14. （1分） (2017高一上·陵川期末) 某同学从区间[﹣1，1]随机抽取2n个数x1 ， x2 ，…，xn ， y1 ，y2 ，…，yn ，构成n个数对（x1 ， y1），（x2 ， y2），…（xn ， yn），该同学用随机模拟的方法估计n个数对中两数的平方和小于1（即落在以原点为圆心，1为半径的圆内）的个数，则满足上述条件的数对约有________个．三、解答题 (共6题；共65分)15. （10分）已知函数f（x）= sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）（1）当x∈[﹣， ]时，求函数f（x）的值域．（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c= ，f（C）=0，sinB=2sinA，求a，b的值．16. （15分） (2016高二下·三门峡期中) 根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量X X＜300300≤X＜700700≤X＜900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（1）工期延误天数Y的均值与方差；（2）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．17. （15分） (2020高二下·浙江期中) 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E为PB的中点.（1）证明：平面平面PBC；（2）求直线PD与平面AEC所成角的正弦值.18. （5分）(2019·呼伦贝尔模拟) 已知椭圆：离心率为，直线被椭圆截得的弦长为 .（1）求椭圆方程；（2）设直线交椭圆于，两点，且线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点.19. （15分）(2016·新课标I卷文) 已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2 ．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．20. （5分）(2017·镇海模拟) 已知在数列{an}中，．，n∈N* （1）求证：1＜an+1＜an＜2；（2）求证：；（3）求证：n＜sn＜n+2．参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共65分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、。

吉林省延边朝鲜族自治州2021届新高考数学教学质量调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于A ，B 两点，若2PA AF =u u u r u u u r，则AB 为( )A ．409B ．40C ．16D ．163【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，过AB 分别作AC l ⊥于C ，BD l ⊥于D ，利用APC BPD ∆∆:和FPM BPD ∆∆:，联立方程组计算得到答案. 【详解】如图所示：过AB 分别作AC l ⊥于C ，BD l ⊥于D .2PA AF=u u u r u u u r ，则2433AC FM ==， 根据APC BPD ∆∆:得到：AP ACBP BD =，即4343AP BD AP BD =++， 根据FPM BPD ∆∆:得到：AF FM BP BD =，即42343AP BD AP BD +=++，解得83AP =，4BD =，故163AB AF BF AC BD =+=+=. 故选：D .【点睛】本题考查了抛物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.2．已知函数()x af x x e-=+，()()ln 24a xg x x e-=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ）A ．ln21--B ．1ln2-+C ．ln 2-D ．ln 2【答案】A 【解析】令f （x ）﹣g （x ）=x+e x ﹣a ﹣1n （x+1）+4e a ﹣x ， 令y=x ﹣ln （x+1），y′=1﹣12x +=12x x ++， 故y=x ﹣ln （x+1）在（﹣1，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数， 故当x=﹣1时，y 有最小值﹣1﹣0=﹣1，而e x ﹣a +4e a ﹣x ≥4，（当且仅当e x ﹣a =4e a ﹣x ，即x=a+ln1时，等号成立）；故f （x ）﹣g （x ）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）； 故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故选：A ．3．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ） A ．17种 B ．27种C ．37种D ．47种【答案】C 【解析】 【分析】由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解. 【详解】所有可能的情况有3464=种,其中最大值不是4的情况有3327=种,所以取得小球标号最大值是4的取法有642737-=种, 故选:C 【点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题. 4．如图所示的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）A ．5?n ≤B ．6?n ≤C ．7?n ≤D ．8?n ≤【答案】B 【解析】试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n 的值，并输出满足循环的条件． 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加S=2+22+…+2n 的值， 并输出满足循环的条件． ∵S=2+22+…+21=121， 故①中应填n≤1． 故选B点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．已知直线l ：320x y ++=与圆O ：224x y +=交于A ，B 两点，与l 平行的直线1l 与圆O 交于M ，N 两点，且OAB V 与OMN V 的面积相等，给出下列直线1l 330x y +-=320x y +-=，③320x y -+=3230x y ++=.其中满足条件的所有直线1l 的编号有（ ） A ．①② B ．①④C ．②③D ．①②④【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心O 到直线l 的距离为：112d r ==，得出120AOB ∠=︒，根据条件得出O 到直线1l 的距离1d '=或.【详解】解：由已知可得：圆O ：224x y +=的圆心为（0,0），半径为2， 则圆心O 到直线l 的距离为：112d r ==， ∴120AOB ∠=︒，而1//l l ，OAB V 与OMN V 的面积相等， ∴120MON ∠=︒或60︒，即O 到直线1l 的距离1d '=或 根据点到直线距离可知，①②④满足条件. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，涉及点到直线的距离公式. 6．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a L 的最小值为（ ） A ．24()27B ．34()27C ．44()27D ．54()27【答案】D 【解析】 【分析】由2317,927S S ==，可求出等比数列{}n a 的通项公式1227n n a -=，进而可知当15n ≤≤时，1n a <；当6n ≥时，1n a >，从而可知12n a a a L 的最小值为12345a a a a a ，求解即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由题意得，332427a S S =-=，得2111427190a q a a q q ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得11272a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得1227n n a -=. 当15n ≤≤时，1n a <；当6n ≥时，1n a >，则12n a a a L 的最小值为551234534()()27a a a a a a ==. 故选：D. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.7．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为Γ的离心率为（ ）A ．2B ．C ．73D 【答案】D 【解析】 【分析】由圆22:()4C x c y -+=与l 相切可知，圆心(,0)C c 到l 的距离为2，即2b =.又1222AF F AOF S S ab ∆===V a 的值，利用离心率公式，求出e.【详解】由题意得2b =，12AF F S ab ∆==a ∴=e ∴==. 故选：D. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题.8．已知向量a r ，b r ，b r =(1)，且a r 在b r方向上的投影为12，则a b ⋅r r 等于（ ） A ．2 B ．1C ．12D ．0【答案】B 【解析】 【分析】先求出b r ，再利用投影公式a bb⋅r rr 求解即可.【详解】解：由已知得2b ==r，由a r 在b r 方向上的投影为12，得12a b b ⋅=r r r ，则112a b b ⋅==r r r.故答案为：B. 【点睛】本题考查向量的几何意义，考查投影公式的应用，是基础题. 9．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1'()ln ()<-f x x f x x，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ）A ．(1,0)(0,1)-UB ．(,1)(1,)-∞-+∞UC ．(1,0)(1,)-??D ．(,1)(0,1)-∞-U【答案】D 【解析】构造函数，令()()()ln 0g x x f x x =⋅>，则()()()'ln 'f x g x xf x x=+，由()()1'f x lnx f x x<-可得()'0g x <， 则()g x 是区间()0,∞+上的单调递减函数， 且()()1ln110g f =⨯=，当x ∈(0,1)时,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x 2-1)f(x)>0; 当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x 2-1)f(x)<0 ∵f(x)是奇函数,当x ∈(-1,0)时,f(x)>0,(x 2-1)f(x)<0 ∴当x ∈(-∞,-1)时,f(x)>0,(x 2-1)f(x)>0.综上所述,使得(x 2-1)f(x)>0成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-⋃. 本题选择D 选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效． 10．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．48种【答案】C 【解析】 【分析】先将甲、乙两人看作一个整体，当作一个元素，再将这四个元素分成3个部分，每一个部分至少一个，再将这3部分分配到3个不同的路口，根据分步计数原理可得选项. 【详解】把甲、乙两名交警看作一个整体，5个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3部分，每部分至少有1个人，共有24C 种方法，再把这3部分分到3个不同的路口，有33A 种方法，由分步计数原理，共有234336C A ⋅=种方案。

吉林省延吉市2021-2021学年高三质量检测理数模拟试题本试题卷分选择题和非选择题两局部。

全卷共5页，选择题局部1至2页，非选择题局部3至5页。

总分值150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题局部〔共50分〕考前须知： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．设11z i =+，21z i =-〔i 是虚数单位〕，那么1221z z z z += 〔 〕A ．i -B ．iC ．0D ．12．设非空集合A , B 满足A ⊆B , 那么 〔 〕A ．∃x 0∈A , 使得x 0∉B B ．∀x ∈A , 有x ∈BC ．∃x 0∈B , 使得x 0∉AD ．∀x ∈B , 有x ∈A3．设α、β、γ是三个互不重合的平面，m n 、是两条不重合的直线，那么以下命题中正确的选项是〔 〕A ．,αββγαγ⊥⊥⊥若，则B ．//,,//,//m m m αββαβ⊄若则C ．,//m m αβαβ⊥⊥若，则D ．//,//,m n m n αβαβ⊥⊥若，则4．在ABC ∆中，假设,24,34,60==︒=AC BC A 那么角B 的大小为 〔 〕A ．30°B ．45°C ．135°D ．45°或135°5．假设向量a =〔x -1，2〕，b =〔4，y 〕相互垂直，那么y x 39+的最小值为 〔 〕A ．12B ．32C ．23D ．66．某程序框图如下图，该程序运行后输出的S 为 〔 〕 A ．2 B ．12-C ．3-D ．137．等差数列{}n a 中，2nna 是一个与n 无关的常数，那么该常数的可能值的集合为〔 〕A ．{}1B ．112⎧⎫⎨⎬⎩⎭，C ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．10,,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭8．函数()f x 的定义域为R ，且满足：()f x 是偶函数，(1)f x -是奇函数，假设(0.5)f =9，那么(8.5)f 等于 〔 〕A ．-9B ．9C ．-3D ．09．假设双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，线段21F F 被抛物线22y bx = 的焦点分成5:7的两段，那么此双曲线的离心率为〔 〕A ．98 B ．63737C ．324 D ．3101010．定义方程()'()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的 “新驻点〞，假设函数()()1g x x x =-3,()ln(1),()1x h x x x x ϕ==+=-的“新驻点〞分别为,,αβγ，那么,,αβγ的大小关系为〔 〕A ．αβγ>>B ．βαγ>>C ．γαβ>>D ．βγα>>第II 卷〔非选择题共100分〕二、填空题〔本大题共5小题，每题25分〕 11． 向量．假设a — 2b 与c 共线，那么k=________．12.()sin()f x A x ωϕ=+,(),()0f A f αβ==,αβ-的最小值为3π,那么正数ω= ．13．焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是x y 4±=，那么该双曲线的离心率为〔 〕．14．：1,3,0,OA OB OA OB ==⋅=点C 在AOB ∠内,且30,AOC ∠=︒设(,),OC mOA nOB m n R =+∈那么mn= ．15．曲线Ｃ：)0,0(||>>-=b a ax y 与y 轴的交点关于原点的对称点称为“望点〞，以“望点〞为圆心，但凡与曲线C 有公共点的圆，皆称之为“望圆〞，那么当a=1，b=1时，所有的“望圆〞中，面积最小的“望圆〞的面积为 ．三、解答题〔此题6小题,共75分解容许写出说明文字，证明过程或演算步骤〕16．〔本小题总分值12分〕函数.ln )(2x a x x f += 〔I 〕当)(,2x f e a 求函数时-=的单调区间和极值； 〔II 〕假设函数xx f x g 2)()(+=在[1，4]上是减函数，求实数a 的取值范围.17．(本小题总分值12分)某城市有一块不规那么的绿地如下图，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD=BD=14，BC=10,AC=16,∠C=∠D ． (I)求AB 的长度；(Ⅱ)假设建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低，请说明理由．18.(12分) 函数.32sin sin 32)(2++-=x x x f 〔Ⅰ〕求函数f (x )的最小正周期和最小值； 〔Ⅱ〕在给出的直角坐标系中，画出函数],0[)(π在区间x f y =上的图象.19．〔12分〕如下图，ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ， PD=AD=2.〔1〕求异面直线PC 与BD 所成的角；〔2〕在线段PB 上是否存在一点E ，使PC ⊥平面ADE ？假设存在，确定E 点的位置；假设不存在，说明理由.20．〔12分〕〔抛物线24x y =，过定点0(0,)(0)M m m >的直线l 交抛物线于A 、B 两点. 〔Ⅰ〕分别过A 、B 作抛物线的两条切线，A 、B 为切点，求证：这两条切线的交点00(,)P x y在定直线y m =-上.〔Ⅱ〕当2m >时，在抛物线上存在不同的两点P 、Q 关于直线l 对称，弦长|PQ|中是否存在最大值？假设存在，求其最大值〔用m 表示〕，假设不存在，请说明理由.21.(15分)数列{a n }，a 1=1，*)(3221N n n n a a n n ∈+-=+， 〔1〕求a 2，a 3的值；〔2〕是否存在常数μλ,，使得数列}{2n n a n μλ++是等比数列，假设存在，求出μλ,的值；假设不存在，说明理由；〔3〕设n n n n n b b b b S n a b ++++=-+=- 3211,21，吉林省延吉市2021-2021学年高三质量检测理数模拟试题答案第II 卷〔非选择题共100分〕二、填空题〔本大题共5小题，每题25分〕11.1 12。

2021年吉林省延边州高考数学质检试卷（理科）（2月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设全集U ={x ∈N|x <6}，集合A ={1,3}，B ={2,4}，则∁U (A ∪B )等于( )A. {1,2，3，4}B. {5}C. {0,5}D. {2,4}2. 已知i 为虚数单位，a ∈R ，若z =1−ia+i 为纯虚数，则a =( )A. −1B. 2C. 1D. 123. 已知向量 a ⃗⃗⃗ 与向量b ⃗ 满足|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=2，|2a ⃗ −b ⃗ |=2√13，则a 与b 的夹角为( )A. π6B. π4C. π3D. 2π34. 南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1，V 2，被平行于这两个平⾯面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S 1，S 2，则“V 1，V 2相等”是“S 1，S 2总相等”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 有三张卡片，分别写有1和2、1和3、2和3，甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上的相同的数字不是2”；乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”；丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则下列说法中正确的是( )A. 甲的卡片上的数字是1和3B. 甲的卡片上的数字是2和3C. 乙的卡片上的数字是1和3D. 丙的卡片上的数字是1和36. 已知各项均为正数且单调递减的等比数列{a n }满足a 3，32a 4，2a 5成等差数列.其前n项和为S n ，且S 5=31，则( )A. a n =(12)n−4B. a n =2n+3C. S n =32−12n−5 D. S n =2n+4−167. 函数f(x)=ln(xx 2−1)的图象大致是( )A. B.C. D.8.已知双曲线Γ：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与函数y=lnx+ln2e的图象相切，则双曲线Γ的离心率等于()A. √5B. √3C. √52D. √329.将偶函数的图像向右平移π6个单位，得到y=g(x)的图像，则g(x)的一个单调递减区间为()A. (−π3,π6) B. (π12,7π12) C. (π6,2π3) D. (π3,5π6)10.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图)，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.在棱长为2的正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖”的概率为()A. 12B. √32C. 23D. √3311.过抛物线C：y2=8x的焦点F，且斜率为√3的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√312.已知函数f(x)={|x 2+2x|,x≤0lnx,x>0，则函数g(x)=2f(f(x)−1)−1的零点个数为()A. 7B. 8C. 10D. 11二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足条件{x +y −2≥02x −y −2≤0x +2y −3≤0，则z =2x +2y 的最大值为______ ．14. 已知二项式(ax +√58)8的展开式的第二项的系数为√5，则∫3a−3x 3dx = ______ ．15. 已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a =4+2√2−c,tanA =−√7,cosC =34，则△ABC 的面积为______ ．16. 在三棱锥A −BCD 中，AB =BC =CD =DA =5，AC =BD =4√2，则它的外接球的体积为______ ，内切球的表面积为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 设数列{a n }满足a 1=1，a n+1−a n =2⋅3n−1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n =(2n +1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．18. 某地准备修建一条新的地铁线路，为了调查市民对沿线地铁站配置方案的满意度，现对居民按年龄(单位：岁)进行问卷调查，从某小区年龄在[18,68]内的居民中随机抽取100人，将获得的数据按照年龄区间[18,28)，[28,38)，[38,48)，[48,58)，[58,68]分成5组，同时对这100人的意见情况进行统计得到频率分布表.经统计，在这100人中，共有65人赞同目前的地铁站配置方案．(1)求a 和b 的值；(2)在这100人中，按分层抽样的方法从年龄在区间[28,38)，[38,48)内的居民(包括持反对意见者)中随机抽取6人进一步征询意见，再从这6人中随机抽取3人参加市里的座谈，记被抽取参加座谈的3人中年龄在[28,38)的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．19. 如图所示，半圆弧{AD 所在平面与平面ABCD 垂直，且M 是AD⏞上异于A ，D 的点，AB//CD ，∠ABC =90°，AB =2CD =2BC ． (1)求证：AM ⊥平面BDM ；(2)若M 为AD 的中点，求二面角B −MC −D 的余弦值．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1=1(a >b >0)的离心率为√33，上、下顶点分别为B 1，B 2，直线1经过点D(0,b2)且与椭圆C 交于P ，Q 两点，当B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2B 1⃗⃗⃗⃗ D 时，四边形B 1PB 2Q 的面积为6√2． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线B1P，B2Q交于点N，试判断点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．21.已知函数f(x)=lnx−ax，其中a≥0．(1)若f(x)无零点，求实数a的取值范围；(2)若f(x)有两个相异零点x1，x2，求证：x1⋅x2>e2．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=√6sinα(α为参数)，以坐标原点y=√6cosα)= O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π3 2．(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程；(2)直线l与x轴的交点为P，经过点P的直线m与曲线C交于A，B两点，若|PA|+|PB|=4√3，求直线m的倾斜角．23.设函数f(x)=|1−x|−|x+3|．(1)求不等式f(x)≤1的解集；(2)若函数f(x)的最大值为m，正实数p，q满足p+2q=m，求2p+2+1q的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查并集、补集的求法，考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．求出全集U和A∪B，由此能求出∁U(A∪B)．【解答】解：∵全集U={x∈N|x<6}={0,1，2，3，4，5}，集合A={1,3}，B={2,4}，∴A∪B={1,2，3，4}，∴∁U(A∪B)={0,5}．故选：C．2.【答案】C【解析】解：z=1−ia+i =(1−i)(a−i)(a+i)(a−i)=a−1−(a+1)ia2+1=a−1a2+1−a+1a2+1i，因为z=1−ia+i 为纯虚数，所以a−1a2+1=0，−a+1a2+1≠0，解得a=1，故选：C．先根据复数除法法则进行化简，然后根据纯虚数的定义即实部为零虚部不为零，从而可求出所求．本题主要考查了复数的运算，以及纯虚数的定义，同时考查了运算求解能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵|a⃗|=3,|b⃗ |=2,|2a⃗−b⃗ |=2√13，∴(2a⃗−b⃗ )2=4a⃗2+b⃗ 2−4a⃗⋅b⃗ =4×9+4−4a⃗⋅b⃗ =52，∴a⃗⋅b⃗ =−3，∴cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=−33×2=−12，且<a⃗,b⃗ >∈[0,π]，∴a⃗与b⃗ 的夹角为2π3．故选：D．对|2a⃗−b⃗ |=2√13两边平方进行数量积的运算即可得出a⃗⋅b⃗ =−3，然后即可求出cos<a⃗,b⃗ >的值，从而可得出a⃗与b⃗ 的夹角．本题考查了向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合祖暅原理是解决本题的关键，属于较易题．根据充分条件和必要条件的定义，通过举反例并结合祖暅原理进行判断即可．【解答】解：由祖暅原理知，若S1，S2总相等，则V1，V2相等成立，即必要性成立，若V1，V2相等，例如两个完全相同的棱台一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截面面积不一定相等，故充分性不成立，即“V1，V2相等”是“S1，S2总相等”的必要不充分条件，故选：B．5.【答案】A【解析】解：对于A，因为丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，所以丙的卡片上的数字不是2和3，甲的卡片上的数字是1和3，乙的卡片上的数字是2和3，丙的卡片上的数字是1和2，满足条件，所以A对；对于B，假设B对，即甲的卡片上的数字是2和3，则乙丙必有相同数字1，不满足条件，所以B错；对于C，假设C对，即乙的卡片上的数字是1和3，则丙的卡片上的数字是不能是1和3，也不能是2和3，所以C错；对于D，假设D对，即丙的卡片上的数字是1和3，则甲乙必有相同数字2，不满足条件，所以D错．故选：A．根据假设条件进行简单逻辑推理，用反证法分别判断即可．本题以命题的真假判断为载体，考查了逻辑推理能力，用反证法是解题关键，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：由a 3，32a 4，2a 5成等差数列，得3a 4=a 3+2a 5， 设{a n }的公比为q ，q >0且q ≠1， 可得3a 1q 3=a 1q 2+2a 1q 4， 即为2q 2−3q +1=0， 解得q =12或q =1(舍去)， 所以S 5=a 1(1−125)1−12=31，解得a 1=16．所以数列{a n }的通项公式为a n =16⋅(12)n−1=(12)n−5， S n =16[1−(12)n ]1−12=32−12n−5，故选：C ．由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式、求和公式，解方程可得公比和首项，进而得到所求通项公式和求和公式．本题考查等比数列的通项公式和求和公式，以及等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：根据题意，对于函数f(x)=ln(xx 2−1)，有xx 2−1>0，解可得x >1或−1<x <0，即函数的定义域为{x|x >1或−1<x <0}，排除AD ， 又由f(2)=ln 23<0，排除B ； 故选：C ．根据题意，求出函数的定义域，排除AD ，又由f(2)的值，排除B ，即可得答案． 本题考查函数的图象分析，注意分析函数的定义域以以及特殊值，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由双曲线Γ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，可知其渐近线方程为y =ba x 或y =−ba x ，设切点为(x 0,y 0)，由y =lnx +ln2e ，得y′=1x ，∵双曲线Γ的一条渐近线与函数y=lnx+ln2e的图象相切，∴{1x0=babax0=lnx0+ln2e或{1x0=−ba−bax0=lnx0+ln2e，解得x0=12,y0=1，∴y0=bax0，∴ba=2，∴e=ca =√a2+b2a=√1+(ba)2=√5．故选：A．先求出双曲线的渐近线方程，设切点为(x0,y0)，根据条件得到{1x0=bab a x0=lnx0+ln2e或{1x0=−ba−ba x0=lnx0+ln2e，然后求出ba，再求出离心率．本题考查了双曲线的基本性质和利用导数研究函数的切线方程，考查了方程思想和转化思想，属基础题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的平移和伸缩变换的应用，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．直接利用三角函数关系式的恒等变变换和三角函数关系式的平移变换和伸缩变换及余弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】解：函数f(x)=√3sin(2x+φ)−cos(2x+φ)，=2sin(2x+φ−π6)，由于函数f(x)为偶函数且0<φ<π，故：φ=2π3，则f(x)=2cos2x，所以：函数f(x)=2cos2x的图象向右平移π6个单位．得到：g(x)=2cos(2x−π3)的图象，令：2kπ≤2x−π3≤2kπ+π(k∈Z)，解得：kπ+π6≤x≤kπ+2π3(k∈Z)，故函数的单调递减区间为：[kπ+π6,kπ+2π3](k∈Z)，当k=0时，单调递减区间为：[π6,2π3]，由于：(π6,2π3)⊂[π6,2π3]，故选：C．10.【答案】C【解析】解：正方体的棱长为2，则其内切球的半径r=1，∴正方体的内切球的体积V球=43π×13=43π，又由已知V 球V方盖=π4，∴V牟合方盖=π4×43π=163．∴在棱长为2的正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖”的概率为：16323=23．故选：C．由已知求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积，进而求解结论．本题考查球的体积的求法以及概率的求解，理解题意是关键，是基础题．11.【答案】D【解析】解：如图，由抛物线C：y2=8x，得F(2,0)，则MF：y=√3(x−2)，与抛物线y2=4x联立得3x2−20x+12=0，解得x1=23，x2=6．∴M(6,4√3)，∵MN⊥l，∴N(−2,4√3)，∵F(2,0)，∴NF：y=−√3(x−2)，即√3x+y−2√3=0．∴M到NF的距离为√3+4√3−2√3|√(√3)2+12=4√3，故选：D．由题意画出图形，写出直线l的方程，与抛物线方程联立求出M的坐标，进一步求出N 的坐标，写出NF所在直线方程，利用点到直线的距离公式求解．本题考查抛物线的简单性质，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．12.【答案】B【解析】解：令g(x)=0，得f(f(x)−1)=12， 令f(x)−1=t ，则f(t)=12， 作出函数f(x)的大致图象如图示：则f(t)=12有4个实数根t 1，t 2，t 3，t 4，其中t 1∈(−3,−2)，t 2∈(−2,−1)，t 3∈(−1,0)，t 4∈(1,2)，若t ∈(−3,−2)，则f(x)−1=t 有1个实数根， 若t ∈(−2,−1)，则f(x)−1=t 有1个实数根， 若t ∈(−1,0)，则f(x)−1=t 有4个实数根， 若t ∈(1,2)，则f(x)−1=t 有2个实数根， 故f(x)−1=t 共有8个实数根， 即函数g(x)有8个零点， 故选：B ．画出函数图象，结合图象求出函数的零点个数即可．本题考查函数的零点，考查推理能力与计算能力，是一道常规题．13.【答案】225【解析】解：作出不等式组表示的可行域如图，联立{2x −y −2=0x +2y −3=0，解得A(75,45)，作出直线x +y =0，平移至点(75,45)时，z =2x +2y 取得最大值，最大值为225， 故答案为：225．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．14.【答案】−60【解析】解：二项式(ax +√58)8的展开式的第二项的系数为C 81×a 7×√58=√5a 7=√5，∴a =1，则∫3a−3x 3dx =34×14−34×(−3)4=−60． 故答案为：−60．利用二项展开式的第二项系数已知，求出a 的值，根据积分公式计算可得答案． 本题考查了二项展开式的通项公式，考查了积分运算，解答的关键是熟记积分公式．15.【答案】√7【解析】解：由题意，{tanA =sinAcosA=−√7sin 2A +cos 2A =1，解得sinA =√144，cosA =−√24，因为cosC =34，故sinC =√1−cos 2C =√74，由正弦定理a sinA =csinC ，可得√144=√74，又a =4+2√2−c ， 解得a =4，c =2√2， 由余弦定理可知cosC =a 2+b 2−c 22ab=16+b 2−88b =34，解得b =2(b =4舍去)，所以△ABC 的面积S =12a ⋅b ⋅sinC =12×4×2×√74=√7．故答案为：√7．由题意利用同角三角函数基本关系式可求得sin A ，cos A ，sin C 的值，由正弦定理结合a =4+2√2−c ，解得a ，c 的值，由余弦定理可解得b 的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用与正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题．16.【答案】41√41π6 817π【解析】解：①构造长方体EBFD −AGCH ，则三棱锥A −BCD 的6条棱就是长方体的6条面的对角线，设长方体的共顶点的3条棱长分别为x ，y ，z ． 设三棱锥A −BCD 的外接球的半径为R ，则2R 为长方体的对角线的长度．不妨设x 2+y 2=32，x 2+z 2=y 2+z 2=25， 则4R 2=x 2+y 2+z 2=41，解得R =√412．∴三棱锥A −BCD 的外接球的体积V =4π3(√412)3=41√41π6． ②设三棱锥A −BCD 的内切球的半径为r ，则4×12×4√2×√52−(2√2)2×r =13×3×4×4，解得r =√34，∴内切球的表面积=4π×(2√34)2=8π17．故答案为：41√41π6，817π. 构造长方体EBFD −AGCH ，则三棱锥A −BCD 的6条棱就是长方体的6条面的对角线，设长方体的共顶点的3条棱长分别为x ，y ，z.设三棱锥A −BCD 的外接球的半径为R ，可得2R 为长方体的对角线的长度，进而得出三棱锥A −BCD 的外接球的体积．设三棱锥A −BCD 的内切球的半径为r ，利用等体积方法即可得出内切球的半径，进而得出结论．本题考查了长方体的性质、三棱锥的外接球与内切球，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)a 1=1，a n+1−a n =2⋅3n−1，可得a n =a 1+(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+⋯+(a n −a n−1)=1+2+6+⋯+2⋅3n−2=1+2(1−3n−1)1−3=3n−1，上式对n =1也成立， 所以a n =3n−1，n ∈N ∗；(2)b n =(2n +1)a n =(2n +1)⋅3n−1，S n =3⋅30+5⋅31+7⋅32+⋯+(2n −1)⋅3n−2+(2n +1)⋅3n−1， 3S n =3⋅3+5⋅32+7⋅33+⋯+(2n −1)⋅3n−1+(2n +1)⋅3n ，两式相减可得−2S n=3+2(31+32+⋯+3n−2+3n−1)−(2n+1)⋅3n=3+2⋅3(1−3n−1)1−3−(2n+1)⋅3n，则S n=n⋅3n．【解析】(1)由数列的恒等式：a n=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+⋯+(a n−a n−1)，结合等比数列的求和公式，计算可得所求通项公式；(2)求得b n=(2n+1)a n=(2n+1)⋅3n−1，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列恒等式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由题意可得：20+a+8+12+15=65，200.8+ab+80.8+120.6+150.6=100，解得a=10，b=0.5．(2)在区间[28,38)，[38,48)内的居民分别为100.5=20人，80.8=10人．在这100人中，按分层抽样的方法从年龄在区间[28,38)，[38,48)内的居民(包括持反对意见者)中随机抽取6人进一步征询意见，则在区间[28,38)，[38,48)内抽取的人数分别为4人，2人．再从这6人中随机抽取3人参加市里的座谈，记被抽取参加座谈的3人中年龄在[28,38)的人数为X，则X的取值可能为1，2，3．P(X=1)=C41C22C63=15，P(X=2)=C42C21C63=35，P(X=3)=C43C63=15，∴X的分布列为：数学期望E(X)=1×15+2×35+3×15=2..【解析】(1)由题意可得：20+a+8+12+15=65，200.8+ab+80.8+120.6+150.6=100，解得a，b．(2)在区间[28,38)，[38,48)内的居民分别为100.5=20人，80.8=10人．利用分层抽样的方法可得：在区间[28,38)，[38,48)内抽取的人数分别为4人，2人．再从这6人中随机抽取3人参加市里的座谈，记被抽取参加座谈的3人中年龄在[28,38)的人数为X，则X的取值可能为1，2，3.利用超几何分布列即可得出X 的分布列及其数学期望E(X)． 本题考查了频率分布直方图、分层抽样、超几何分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】证明：(1)取AB 中点为E ，连结DE ，∵AB =2CD ，∴CD =BE ，∵AB//CD ，∴四边形BCDE 是平行四边形， 又CD =BC ，∠ABC =90°，∴BCDE 是正方形， 设CD =1，则BC =DE =BE =AE =1，AB =2，BD =AD =√2，∴BD 2+AD 2=AB 2，即BD ⊥AD ，又平面ADM ⊥平面ABCD ，平面ADM ∩平面ABCD =AD ， ∴BD ⊥平面ADM ，又AM ⊂平面ADM ，∴AM ⊥BD ， ∵M 是半圆弧AD 上异于A ，D 的点， ∴AM ⊥DM ，又DM ∩BD =D ， ∴AM ⊥平面BDM ．解：(2)取AD 的中点为O ，连结OM ，OE ， 则OE//BD ，∴OE ⊥AD ，当M 为AD 的中点时，MA =MD ，则OM ⊥AD ， ∵平面ADM ∩平面ABCD =AD ，∴OM ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以OE ，OD ，OM 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 由(1)知，B(√2,√22,0)，C(√22,√2,0)，D(0,√22,0)，M(0,0，√22)，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22,√2,−√22)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√22,0)，MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,−√22)， 设m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)是平面MBC 的一个法向量， 则{m⃗⃗⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +2y −z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x −y =0，取x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,1，3)， 设n⃗ =(x,y ，z)是平面MCD 的一个法向量， 则{n ⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +2y −z =0n ⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y −z =0，取y =1，得n⃗ =(−1,1，1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=3√11⋅√3=√3311， 由图知二面角B −MC −D 是钝角，∴二面角B −MC −D 的余弦值为−√3311．【解析】(1)取AB 中点为E ，连结DE ，推导出四边形BCDE 是平行四边形，进一步推导出BCDE 是正方形，推导出BD ⊥AD ，BD ⊥平面ADM ，AM ⊥BD ，AM ⊥DM ，由此能证明AM ⊥平面BDM ．(2)取AD 的中点为O ，连结OM ，OE ，以O 为坐标原点，分别以OE ，OD ，OM 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B −MC −D 的余弦值． 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)当B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2B 1⃗⃗⃗⃗ D 时，可得D 为PQ 的中点， 则直线l ⊥B 1B 2， 由y =b2可得x 2a2+b 24b 2=1，解得x =±√32a ，则|PQ|=√3a ，由四边形B 1PB 2Q 的面积为6√2，可得12×√3a ⋅2b =6√2， 则ab =2√6，又e =c a =√1−b 2a 2=√33，解得a =√6.，b =2， 所以椭圆的方程为x 26+y 24=1；(2)由题意可得直线l 的斜率存在，设为k ，其方程设为y =kx +1， 与椭圆方程2x 2+3y 2=12联立，可得(2+3k 2)x 2+6kx −9=0， 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−6k2+3k 2，x 1x 2=−92+3k 2， 两式相除可得k =3(x 1+x 2)2x 1x 2，由B 1(0,2)，B 2(0,−2)，可得直线B 1P 的方程为y =y 1−2x 1x +2，即为y =kx 1−1x 1x +2，①B 2Q 的方程为y =y 2+2x 2x −2，即为y =kx 2+3x 2x −2，②联立①②，可得x =4x 1x23x 1+x 2，y =4kx 1x 2+6x 1−2x 23x 1+x 2=6x 1+6x 2+6x 1−2x 23x 1+x 2=4，所以点N 在定直线y =4上．【解析】(1)由题意可得D 为PQ 的中点，则直线l ⊥B 1B 2，求得|PQ|，再由四边形的面积公式，可得a ，b 的方程，结合离心率公式和a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b 的值，可得椭圆方程；(2)设直线l方程为y=kx+1，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，联立直线l与椭圆的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，且有3x1+3x2=2kx1x2，求出直线B1P，B2Q的方程，求得交点N的坐标，化简整理，可得N在定直线上．本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．21.【答案】(1)解：f(x)=lnx−ax的定义域是(0,+∞)，f′(x)=1x −a=1−axx，由于a>0，x>0，令f′(x)>0，解得0<x<1a，∴f(x)在(0,1a )上单调递增，在(1a,+∞)上单调递减．∴f(x)≤f(1a)=−lna−1，欲使函数f(x)无零点，则只要−lna−1<0，即lna>−1，∴a>1e．故实数a的取值范围是(1e,+∞)．(2)证明：因为f(x)有两个相异的零点，又由于x>0，故不妨令x1>x2>0，且有lnx1=ax1，lnx2=ax2，∴lnx1+lnx2=a(x1+x2)，lnx1−lnx2=a(x1−x2)，要证x1⋅x2>e2⇔ln(x1⋅x2)>2⇔lnx1+lnx2>2⇔a>2x1+x2⇔lnx1−lnx2x1−x2>2 x1+x2⇔lnx1−lnx2>2(x1−x2)x1+x2⇔ln x1x2>2(x1x2−1)x1x2+1，令t=x1x2，则t>1，故只要证明当t>1时，lnt>2(t−1)t+1恒成立，令g(t)=lnt−2(t−1)t+1，t>1，则g′(t)=1t −4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0，故g(t)在(1,+∞)上单调递增，∴g(t)>g(1)=0∴t>1时，g(t)>0恒成立，即lnt−2(t−1)t+1>0恒成立，即lnt>2(t−1)t+1恒成立，从而证明x1x2>e2．故x1x2>e2．【解析】(1)利用导数研究函数f(x)在定义域上的单调性、最值，再结合其图象即可得出a的限制条件；(2)不妨令x1>x2>0，用分析法对x1x2>e2进行等价转化，最后可构造函数即可证明结论成立．本题考查了函数的零点、应用导数研究函数的单调性、最值，对于恒成立问题往往转化为函数最值解决，属于难题．22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =√6sinαy =√6cosα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+y 2=6．直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=2.整理得12ρcosθ−√32ρsinθ−2=0，转换为直角坐标方程为x −√3y −4=0．(2)直线l 与x 轴的交点为P ，所以P(4,0)， 所以{x =4+cosθt y =sinθt(t 为参数)，把直线的参数方程代入圆的方程得到：(4+tcosθ)2+(tsinθ)2=6， 整理得t 2+8cosθt +10=0， 所以t 1+t 2=−8cosθ，所以|PA|+|PB|=|8cosθ|=4√3， 解得cosθ=√32或cosθ=−√32，所以θ=π6或5π6．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解(1)不等式f(x)≤1⇔|1−x|−|x +3|≤1⇔{x ≤−31−x +x +3≤1或{−3<x <11−x −x −3≤1或{x ≥1x −1−x −3≤1， 解得x ≥−32，故原不等式的解集为{x|x ≥−32}；(2)∵f(x)={4,x ≤−3−2x −2,−3<x <1−4,x ≥1，∴f(x)max =4，∴m =4，∴p +2q =4，p >0，q >0，∴p +2+2q =6，∴2p+2+1q=(2p+2+1q)⋅(p+2)+2q6=16(2+2+4qp+2+p+2q)≥16(4+2√4qp+2⋅p+2q)=16(4+4)=43，∴2p+2+1q的最小值为43，当且仅当p=1.q=32时取等．【解析】【试题解析】本题考查了绝对值不等式的解法及基本不等式求最值，属中档题．(1)分3段去绝对值符号解不等式，再把每段的结果取并集即得解集；(2)先根据分段函数的单调性求出最大值可得m=4，再通过变形后使用基本不等式可得最小值．。

一、单选题二、多选题1. 已知一圆锥的侧面展开图是一个中心角为直角的扇形，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为（ ）A．B．C．D．2.下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（ ）A．B．C．D．3.已知，，，则（ ）A．B ．C．D．4. 设曲线上的点到直线的距离的最大值为a ，最小值为b，则的值为（ ）A．B．C．D ．25. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）A．B．C．D．6. 若集合，，则（ ）A．B．C．D．7. 现有橡皮泥制作的表面积为的球，若将其重新制作成体积不变，高为1的圆锥，则圆锥的母线长为（ ）A．B ．2C．D ．18. 已知函数为上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．9. 已知某地区中小学生人数如图①所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层抽样的方法抽取了的学生进行视力调查，调查数据如图②所示，下列说法正确的有（）A．该地区的中小学生中，高中生占比为B ．抽取调查的高中生人数为人C．该地区近视的中小学生中，高中生占比超过D．从该地区的中小学生中任取名学生，记近视人数为，则的数学期望约为10.在平面直角坐标系中，已知圆，点，，点，为圆上的两个动点，则下列说法正确的是（ ）A．圆关于直线对称的圆的方程为B．分别过，两点所作的圆的切线长相等C ．若点满足，则弦的中点的轨迹方程为D．若四边形为平行四边形，则四边形的面积最小值为2吉林省延边州2024届高三下学期教学质量检测一模数学试题(1)吉林省延边州2024届高三下学期教学质量检测一模数学试题(1)三、填空题四、解答题11.已知函数（其中，，）的部分图像，则下列结论正确的是（）A．函数的图像关于直线对称B．函数的图像关于点对称C．将函数图像上所有的点向右平移个单位，得到函数，则为奇函数D ．函数在区间上单调递增12.如图，在直三棱柱中，，，､分别为，的中点，过点､､作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是（）A．三棱柱外接球的表面积为B．C ．若交于，则D ．将三棱柱分成体积较大部分和体积较小部分的体积比为13. 已知，且，则_________.14.如图，在直角梯形中，∥，，，，是的中点，则______．15.函数在上有2个零点，则的范围是_________.16. 近期，孩子刷短视频上瘾成为了家长们头疼的新问题．某市多所中学针对此展开的一项调查发现，近九成学生有使用短视频平台的习惯，近一半家长表示孩子或多或少存在沉迷短视频的现象，超半数家长认为短视频成瘾对青少年成长存在严重影响．某校为调查学生成绩下降与“短视频成瘾”之间是否有关随机调查了200名学生的开学考试成绩，其中“短视频成瘾”的学生中成绩未下降的有35名学生，（将总排名下降视为成绩下降，将刷短视频一天超过两小时规定为“短视频成瘾”(1)若样本中“短视频成瘾”且成绩未下降的女生有15名，并在被认为“短视频成瘾”且成绩未下降的对象中按性别采用分层抽样抽取7人，再从中随机抽取2人，求抽到的两人均为女生的概率．(2)填写下面的列联表，试根据小概率值的独立性检验，能否认为成绩下降与“短视频成瘾”有关？“短视频成瘾”没有“短视频成瘾”合计学习成绩下降100学习成绩未下降合计96参考公式与数据：．0. 150.100.050.0250.010.0012.0722.7063.8415.0246.63510.82817. 《营造法式》是中国北宋时期官方颁布的一部建筑设计与施工的书籍，标志着我国古代建筑技术和工艺发展到了较高水平.中国近代建筑之父梁思成用现代语言和制图方法对该书进行了注释，著有《营造法式注释》.为了让建筑类学生了解古建筑设计与构造的原理，某建筑大学为大三和大四的学生开设了一门选修课程《营造法式及其注释》.为检测学生学习效果，要求所有选修该门课程的学生完成“应用营造法式独立制作一件古建筑模型”的作业.已知选修该门课程的大三与大四学生的人数之比为，现用分层抽样的方法从所有作业中随机抽取份（每位学生均上交一份作业），并评出成绩，得到如下频数分布表.成绩（单位：分）频数（不分年级）频数（大三年级）（1）求，的值；若以频率作为概率，从选修该门课程的大四学生中随机选取名，试估计该学生的作业成绩在的概率；（2）估计这份作业中大三学生作业的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.18.设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．19. 已知函数（a为实数）．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数在（0，1）内存在唯一极值点，求实数a的取值范围．20. 人工智能（英语：Artificialintelligence ，缩写为）亦称智械、机器智能，指由人制造出来的可以表现出智能的机器．通常人工智能是指通过普通计算机程序来呈现人类智能的技术．人工智能的核心问题包括建构能够跟人类似甚至超卓的推理、知识、规划、学习、交流、感知、移物、使用工具和操控机械的能力等．当前有大量的工具应用了人工智能，其中包括搜索和数学优化、逻辑推演．而基于仿生学、认知心理学，以及基于概率论和经济学的算法等等也在逐步探索当中．思维来源于大脑，而思维控制行为，行为需要意志去实现，而思维又是对所有数据采集的整理，相当于数据库．某中学计划在高一年级开设人工智能课程．为了解学生对人工智能是否感兴趣，随机从该校高一年级学生中抽取了400人进行调查，整理得到如下列联表：感兴趣不感兴趣合计男生18040220女生12060180合计300100400(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为对人工智能是否感兴趣与性别有关联？(2)从对人工智能感兴趣的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行采访，记随机变量表示抽到的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.841 6.6357.87910.82821. 如图，一块正中间镂空的横杆放置在平面直角坐标系的轴上（横杆上镂空的凹槽与轴重合，凹槽很窄），横杆的中点与坐标原点重合.短杆的一端用铰链固定在原点处，另一短杆与短杆在处用铰链连接.当短杆沿处的栓子在横杆上镂空的凹槽内沿轴左右移动时，处装有的笔芯在平面直角坐标系上画出点运动的轨迹（连接杆可以绕固定点旋转一周，被横杆遮挡的部分忽略不计）.已知，.（1）求曲线的方程.（2）过点作直线与曲线交于，两点，试问在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.。

延边州2021 年高三教学质量检测理科综合能力测试本试卷共16 页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．做图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

可能用到的相对原子质量：H 1 C一、选择题：本题共13 小题，每小题6分，共78 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列关于组成细胞的糖类、脂质的叙述，正确的是A．胆固醇和磷脂是所有生物膜的重要组成成分B．葡萄糖、核糖、脱氧核糖是动植物细胞共有的单糖C．多糖和脂质都是生物大分子，都是由许多单体连接而成的D．脂肪含有大量的能量，是主要的能源物质2．下列关于生物膜结构和功能的叙述，正确的是A．肌细胞的细胞膜上分布有乙酰胆碱通道蛋白B．细胞间的识别是通过细胞膜上的磷脂分子相互融合实现的C．真核细胞中的囊泡膜可以来自于细胞膜、内质网膜、高尔基体膜等D．神经元动作电位的形成主要与细胞膜上的K＋通道蛋白有关3．下列关于生物研究方法的叙述，正确的是A．利用差速离心法进行细胞中各种细胞器的分离实验和叶绿体中色素的分离实验B．利用饲喂法探究甲状腺激素和生长激素的生理功能C．利用同位素标记法进行肺炎双球菌转化实验及DNA 分子复制方式的探究实验D．利用模型建构法研究DNA 分子的结构及种群数量的变化规律4．根据中国疾病预防控制中心2020 年12 月30 日发表的研究报告，中国大陆首次报告了最初在英国发现的变异新冠病毒感染病例。

了解其变异规律，对于疫情防控具有重要的意义。

吉林省延边朝鲜族自治州（新版）2024高考数学部编版质量检测(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表甲的成绩乙的成绩丙的成绩环数78910环数78910环数78910频数5555频数6446频数4664、、分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）A．B．C．D．第(2)题如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（）A．B．C．D．第(3)题阅读如图所示的程序框图，若编入的，则该算法的功能是A ．计算数列的前10项和B．计算数列的前9项和C ．计算数列的前10项和D．计算数列的前9项和第(4)题为了降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光，给光源加上一个不透光材料做的灯罩，可以起到十分显著的效果.某一灯罩的防止眩光范围，可用遮光角这一水平夹角来衡量.遮光角是指灯罩边沿和发光体边沿的连线与水平线所成的夹角，图中灯罩的遮光角用表示.若图中，，且，则（）A．44B．66C．88D．110第(5)题已知等差数列的前项和为，，，则（）A．7B．8C．10D．16第(6)题在中，角的对边分别是，，，则“”是“是锐角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(7)题下列说法中正确的是（）A．“”是“”成立的充分不必要条件B．命题，，则，C．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r越接近于1D．已知样本点组成一个样本，得到回归直线方程，且，剔除两个样本点和得到新的回归直线的斜率为3，则新的回归方程为第(8)题如图，某多面体的体积是，其三视图如图所示，则正视图中的高（）A．1B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱展开，得到的平面图如图所示.其中，，，M是BB1上的点，则（）A．AM与A1C1是异面直线B．C．平面AB 1C将三棱柱截成两个四面体D．的最小值是第(2)题《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，且AA1═AB═2．下列说法正确的是（）A．四棱锥为“阳马”、四面体为“鳖臑”．B．若平面与平面的交线为，且与的中点分别为M、N，则直线、、相交于一点．C．四棱锥体积的最大值为．D．若是线段上一动点，则与所成角的最大值为．第(3)题已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，，那么函数在定义域内的零点个数可能是（）A．B．C．6D．8三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若,则的最大值是__________.第(2)题已知A是抛物线：的准线上的点，B是x轴上一点，O为原点，直线AB与双曲线：两渐近线分别交于不同两点M，N.若双曲线的离心率为2，，则的取值范围为___________.第(3)题已知，，且，则的最小值为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．(1)若在处取得极值，求k的值；(2)若，当时，判断函数的零点个数．第(2)题某市为了更好地了解全体中小学生感染某种病毒后的情况，以便及时补充医疗资源，从全市中小学生中随机抽取了100名该病毒抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染某种病毒后的疼痛指数为X，并以此为样本得到了如下图所示的表格：疼痛指数X人数10819名称无症状感染者轻症感染者重症感染者(1)统计学中常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的似然比．现从样本中随机抽取1名学生，记事件A为“该名学生为有症状感染者（轻症感染者和重症感染者统称为有状感染者）”，事件B为“该名学生为重症感染者”，求事件A发生的条件下事件B发生的似然比；(2)若该市所有该病毒抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数X近似服从正态分布，且．若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机地抽取3名，设这3名学生中轻症感染者人数为Y，求Y的概率分布列及数学期望．第(3)题已知双曲线：（，）的渐近线方程为，焦距为10，，为其左右顶点．(1)求的方程；(2)设点是直线：上的任意一点，直线、分别交双曲线于点、，，垂足为，求证：存在定点，使得是定值．第(4)题的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为的中点，且．(1)证明：；(2)若，求的面积．第(5)题如图1，已知正三角形边长为6，其中，，现沿着翻折，将点翻折到点处，使得平面平面，为中点，如图2．(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求平面与平面夹角的余弦值．。

吉林省延边朝鲜族自治州2021届新高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】试题分析：抛物线24x y =焦点在y 轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-，因为点A 的纵坐标为4，所以点A 到抛物线准线的距离为415+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算. 2．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月份C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元【答案】D【解析】由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1，故A 项正确；结余最高为7月份，为802060-=，故B 项正确；1至2月份的收入的变化率为4至5月份的收入的变化率相同，故C 项正确；前6个月的平均收入为1(406030305060)456+++++=万元，故D 项错误． 综上，故选D ． 3．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = )A ．85B ．65C ．45D ．25【答案】B【解析】【分析】 由题意知，3~(5,)3X B m +，由3533EX m =⨯=+，知3~(5,)5X B ，由此能求出()D X ． 【详解】 由题意知，3~(5,)3X B m +， 3533EX m ∴=⨯=+，解得2m =， 3~(5,)5X B ∴， 336()5(1)555D X ∴=⨯⨯-=． 故选：B ．【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用． 4．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】【分析】如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面，计算4AH OH =，由勾股定理解得R =，此外接球，三棱锥O EFG -，得到答案. 【详解】 如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面.正三棱锥A BCD -中，过A 作底面的垂线AH ，垂足为H ，与平面EFG 交点记为K ，连接OD 、HD .依题意4A BCD O BCD V V --=，所以4AH OH =，设球的半径为R ，在Rt OHD V 中，OD R =，34333HD BC ==，133R OH OA ==， 由勾股定理：222433R R ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得6R =，此外接球的体积为2463π， 由于平面//EFG 平面BCD ，所以AH ⊥平面EFG ，球心O 到平面EFG 的距离为KO ，则126233R KO OA KA OA AH R R =-=-=-==， 所以三棱锥O EFG -体积为211362434⨯⨯⨯⨯=， 所以此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积比值为243π.故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 5．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221nn N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( )A ．215B ．15C ．415D ．13【答案】B【解析】【分析】基本事件总数15n =，能表示为两个不同费马素数的和只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个，根据古典概型求出概率．【详解】在不超过30的正偶数中随机选取一数，基本事件总数15n =能表示为两个不同费马素数的和的只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个 则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是31155P == 本题正确选项：B【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题．6．集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =I （ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}0,1,2 【答案】D【解析】【分析】利用交集的定义直接计算即可.【详解】 {}|2A x x =≤，故{}0,1,2A B =I ，故选：D.【点睛】本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.7．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种 【答案】C【解析】【分析】先将甲、乙两人看作一个整体，当作一个元素，再将这四个元素分成3个部分，每一个部分至少一个，再将这3部分分配到3个不同的路口，根据分步计数原理可得选项.【详解】把甲、乙两名交警看作一个整体，5个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3部分，每部分至少有1个人，共有24C 种方法，再把这3部分分到3个不同的路口，有33A 种方法，由分步计数原理，共有234336C A ⋅=种方案。