数学：《直线与平面垂直的判定定理》课件(人教a版必修2)

3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
4．直线与平面所成的角. 范围[0： ,90]
四.知识小结：
（1）
直接法
判定定理 如果一条直
线垂直于一个 平面内的两条 相交直线，那 么此直线垂直 于这个平面。
直线与平面 垂直的判定
定义法
间接法
如果两条 平行直线中的 一条垂直于一 个平面，那么 另一条也垂直 于同一个平面。
练习：
如图，在三棱锥V-ABC,VA=VC,AB=BC求证:
VB⊥AC.
V
.D
A
提示：找AC中点D,连接VD,BD B
人教A版高中数学必修二 2.3.1直线与平面垂直的判定 课件(共35张PPT)
C
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2.过ΔABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足 为O,连接PA,PB,PC. 1).若PA = PB = PC,∠C = 900,则O是AB边的_中_点. 2).若PA = PB = PC,则O是ΔABC的__外___心. 3).若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则O是ΔABC 的___垂__心.
O
B
解 ： （ 1）
C
AB ,AC , 且 AB AC A PA AC ,PA AB \ PA 又 BC
(2)QC为圆O上一点，AB为直径
\BC AC
由1得BC PA,又QPA AC A
\BC面PAC
\ PA BC
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2－1.如图 5，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， AB＝BC＝2， AA1＝1，则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为( )

解：作CC1⊥平面α于点C1，连接AC1、BC1、DC1，则
∠CAC1＝30°，∠CBC1＝45°，∠CDC1为CD与α所成的 角．
设 CC1＝ a，则 AC＝ 2a， BC＝ 2a. 因此，在 Rt△ ABC 中， AB＝ 6a， AC· BC 2 所以 CD＝ ＝ a. AB 3 CC1 3 在 Rt△ CC1 D 中，sin∠ CDC1＝ ＝ ，∴∠ CDC1 ＝ 60° . CD 2 即 CD 与平面 α 所成的角为 60° .
线和两相交直线所在的平面．
互动探究
1．在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD与平 面SAC的位置关系为________．
解析：∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点，∴BD⊥AC.
又由例题知SD⊥平面ABC，∴SD⊥BD. 于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，
故BD⊥平面SAC.
答案：垂直
和平面所成角问题的关键．要找射影就要寻找过斜线上
一点与平面垂直的垂线．没有垂线的，还要在斜线上取
点作平面的垂线，垂足和斜足连线(有时也可以是两垂足) 就是斜线在平面内的射影，但要注意斜线上点的选取以 及垂足的位置要与问题中已知量有关，才便于计算．
跟踪训练
3．如图，Rt△ABC的斜边AB在
平面α内，AC和BC与α所成的角分别是30°，45°，CD是 斜边AB上的高，求CD与平面α所成的角．
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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
2． 3
直线、平面垂直的判定及其性质
2．3.1 直线与平面垂直的判定
学习导航
学习目标
重点难点 重点：对直线与平面垂直的判定定理的理解及应用．
难点：对直线与平面垂直的判定及线面角的求法．

3．[变条件]本例中的条件“AE⊥PB 于点 E， AF⊥PC 于点 F”，改为“E，F 分别是 AB， PC 的中点，PA＝AD”，其他条件不变，求证： EF⊥平面 PCD.
证明：取 PD 的中点 G，连接 AG，FG. 因为 G，F 分别是 PD，PC 的中点， 所以 GF═∥12CD，又 AE═ ∥12CD，所以 GF═ ∥AE， 所以四边形 AEFG 是平行四边形，所以 AG∥EF. 因为 PA＝AD，G 是 PD 的中点， 所以 AG⊥PD，所以 EF⊥PD， 易知 CD⊥平面 PAD，AG⊂平面 PAD， 所以 CD⊥AG，所以 EF⊥CD. 因为 PD∩CD＝D，所以 EF⊥平面 PCD.
8．6 空间直线、平面的垂直 第1课时直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定
第八章 立体几何初步
考点
学习目标
核心素养
会用两条异面直线所成角的
直观想象、逻辑
异面直线所成的 定义，找出或作出异面直线
推理、
角
所成的角，会在三角形中求简
数学运算
单的异面直线所成的角
第八章 立体几何初步
考点
学习目标
核心素养
所以∠GFE(或其补角)就是异面直线 EF 与 AB 所成的角，EG ＝GF. 因为 AB⊥CD，所以 EG⊥GF. 所以∠EGF＝90°. 所以△EFG 为等腰直角三角形． 所以∠GFE＝45°， 即 EF 与 AB 所成的角为 45°.
直线与平面垂直的定义
(1)直线 l⊥平面 α，直线 m⊂α，则 l 与 m 不可能( )
解析：当 l 与 α 内的一条直线垂直时，不能保证 l 与平面 α 垂 直，所以①不正确；当 l 与 α 不垂直时，l 可能与 α 内的无数条 平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义， 若 l⊥α，则 l 与 α 内的所有直线都垂直，所以④正确． 答案：③④

[提示] 定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的， 但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行 直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．
4．直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线__平__行___
符号语言
ab⊥⊥αα⇒___a_∥__b__
图形语言 作用
语言 直线与此平面垂直
符号 语言
l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α， a∩b＝P ⇒l⊥α
图形 语言
3.直线和平面所成的角 有关概念
一条直线 l 与一个平面 α 相交 ，但不与这 斜线
个平面 α 垂直 ，图中直线 PA 斜足 斜线和平面的 交点 ，图中点 A
过斜线上斜足以外的一点 P 向平面 α 引 射影 _垂__线__PO，过垂足O 和斜足 A 的直线 AO
(2)因为 AB＝BC，D 为 AC 的中点，
所以 BD⊥AC．由(1)知 SD⊥BD． 又因为 SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面 SAC，所以 BD⊥平面 SAC．
证线面垂直的方法 1线线垂直证明线面垂直： ①定义法不常用，但由线面垂直可得出线线垂直； ②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线有时作 辅助线；结合平面图形的性质如勾股定理逆定理、等腰三角形底边 中线等及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来 论证线线垂直.
问题：(1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？ (2)上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？
1．直线与平面垂直的定义
如果直线 l 与平面 α 内的 任意一条 直线都垂直，我们就说 定义
直线 l 与平面 α 互相垂直
记法
l⊥α
有关 直线 l 叫做平面 α 的 垂线 ，平面 α 叫做直线 l 的 垂面 ，它