数轴定义

【知识衔接】【新课导学】知识点一 数轴的概念及画法【知识梳理】 数轴的概念(1)在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；(0是正数和负数的分界点；原点是数轴的“基准点”.) (2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向；(3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，…. 数轴定义的三层含义第一层含义是说数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；第二层含义是说数轴有三要素(原点、正方向、单位长度)，三者缺一不可；第三层含义是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的.【例题精讲】典例1以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．变式1．如图是一些同学在作业中所画的数轴，其中，画图正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．知识点二 数轴上点表示的数【知识梳理】（1）正数用数轴原点右边的数表示，负数用数轴原点左边的数表示，0用原点表示。

数轴第二讲专题02ZHUAN TI ER小学阶段：用直线上的点表示小数、分数和整数 初中阶段：用数轴上的点表示正数、和负数；0的左边表示负数，0的右边表示正数（2）任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，数轴上的点也可以表示无理数。

【例题精讲】典例2下列说法正确的是（ ）A ．在数轴上表示﹣5的点与表示+3的点的距离为2B ．数轴上右边的点表示正数，左边的点表示负数C ．距离原点越远的点表示的数就越大D ．任何一个有理数都可以用数轴上的点表示出来变式2．下列语句：①数轴上的点仅能表示整数：②数轴是一条直线：③数轴上的一个点只能表示一个数：④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点：⑤数轴上的点所表示的数都是有理数．正确的说法有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个知识点三 利用数轴比较有理数的大小【知识梳理】数轴上的点表示的数，右边的数总是大于左边的数 【例题精讲】典例3在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来． −12，0，﹣2.5，﹣3，112．变式3．在数轴上表示下列各数，并用“＜”号把它们连接起来． 0，﹣4.2，312，﹣2，+7，113．知识点四 借助数轴确定位置【例题精讲】典例4 某中学位于东西方向的人民路上，这天学校的王老师出校门去家访，她先向东走100米到聪聪家，再向西走150米到青青家，再向西走200米到刚刚家．（1）如果把这条人民路看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点．请你在这条数轴上标出他们三家与学校的大概位置（一格表示50米）． （2）聪聪家与刚刚家相距多远？（3）聪聪家向西210米是体育场，体育场所在的点表示的数是多少？变式4．如图，数轴上点M，P，N分别表示数m，m+n，n，那么原点的位置是（）A．在线段MP上B．在线段PN上C．在点M的左侧D．在点N的右侧变式5．小明的家（记为A）与他上学的学校（记为B），书店（记为C）依次座落在一条东西走向的大街上，小明家位于学校西面150米处，书店位于学校东面60米处，小明从学校沿这条向东走了30米，接着又向西走了80米到达D处，以学校为原点，试用数轴表示上述A、B、C、D的位置．【课后练习】一、精心选一选（每题6分，共36分）1．下列所画数轴正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个的点是（）2．如图，在数轴上表示−14A．点A B．点B C．点C D．点D3．如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数为﹣2，那么点B表示的数是（）A．﹣1 B．0 C．3 D．44．将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“0cm”和“15cm”分别对应数轴上的﹣3和x，则x表示的数为（）A．15 B．12 C．7.5 D．以上都不对5．数轴上一点A，一只蚂蚁从A出发爬了4个单位长度到了原点，则点A所表示的数是（）A．4 B．﹣4 C．±8 D．±46．若将四个数−√3、√7、√11、2√3表示在数轴上，其中可能被如图所示的墨迹覆盖的数是（）A．−√3B．√7C．√11D．2√3二、细心填一填（，每题6分，共30分）7．数轴上的A 点与表示﹣2的点距离3个单位长度，则A 点表示的数为 ． 8．在数轴上到原点距离等于2.4的点表示的数是 ．9．小聪在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示﹣2的点与表示5的点重合，若数轴上A ，B 两点之间的距离为10，且A ，B 两点经上述折叠后重合，则B 点表示的数为 ． 10．（1）画出数轴，并表示下列有理数：﹣2，13，1.5；（2）在（1）的条件下，点O 表示0，点A 表示﹣2，点B 表示13，点C 表示1.5，点D 表示数a ，﹣1＜a ＜0，下列结论：①AO ＞DO ，②BO ＞DO ，③CO ＞DO ，其中一定正确的是 （只需填写结论序号）． 11．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则a b ．（填“＞”、“＜”或“＝”）三、耐心做一做（共34分）12．（10分）画一条数轴，然后在数轴上画出表示下列各数相反数的点：2，﹣312，0，14，﹣1，412，﹣512，并用“＜”把这些相反数连接起来．13．（10分）快递小哥骑车从快递公司出发，先向西骑行2km 到达A 小区，继续向西骑行3km ，到达B 小区，然后向东骑行9km 到达C 小区，最后回到快递公司．（1）以快递公司为原点，向东方向为正方向，用1cm 表示1km ，画出数轴，并在该数轴上表示A 、B 、C 三个小区的位置；（2）C 小区离A 小区有多远？ （3）快递小哥一共骑行了多少千米？14．（14分）如图，在一条直线上，从左到右依次有点A 、B 、C ，其中AB ＝4cm ，BC ＝2cm ．以这条直线为基础建立数轴、设点A 、B 、C 所表示数的和是p ． （1）如果规定向右为正方向；①若以BC 的中点为原点O ，以1cm 为单位长度建立数轴，则p ＝ ；②若单位长度不变，改变原点O 的位置，使原点O 在点C 的右边，且CO ＝30cm ，求p 的值；并说明原点每向右移动1cm ，p 值将如何变化？③若单位长度不变，使p ＝64，则应将①中的原点O 沿数轴向 方向移动 cm ； ④若以①中的原点为原点，单位长度为ncm 建立数轴，则p ＝ ． （2）如果以1cm 为单位长度，点A 表示的数是﹣1，则点C 表示的数是 .。

知识点解读：数轴知识点一：数轴（基础）知识详析：1.数轴的定义：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的特殊的直线.理解数轴应把握以下三点：（1）数轴是一条特殊的直线，但直线不是数轴；（2）数轴有三个要素：①有原点（表示数0的点）；②正方向（向右的方向）；③单位长度，缺少三个要素中的任何一个都不是数轴；（3）数轴上的原点的位置、单位长度都是根据实际问题需要规定的，在同一条数轴上的单位长度必须一致.2.数轴的画法：第一步：画直线、定原点：通常原点选在直线中间，若问题中负数的个数较多时，原点选的靠右些；正数的个数较多时，原点选的靠左些.第二步：定方向：通常取原点向右的方向为正方向，用箭头表示出来.第三步：定单位长度：数轴上单位长度的选取要根据实际情况，灵活处理，如要在数轴上表示-0.1，-0.2等小数，则单位长度可选长一些，可用1cm代表一个单位长度；要在数轴上表示-100，-300等数时,则单位长度可取短一些，如用1cm长度表示100.第四步：标数：在数轴上从原点向右依次标出1，2，3，…等各点；从原点向左依次标出-1，-2，-3，…等各点.例1判断下列图形是不是数轴，并指出你判断的理由.解析：图①没有方向；图②没有原点；图③单位长度不统一；图④标数不按顺序，所以以上图形都不是数轴.3.数轴与有理数间的关系：（1）会准确地由数轴上的有理数点把所表示的有理数写出来.①②③④（2）会准确地把所有的有理数在数轴上表示出来，表示时要用实心圆点. 要特别注意的是，所有的有理数都可以用数轴上点来表示；反过来，却不成立，这一点在学习了实数后就会明白.知识点二：利用数轴解决问题（重点） 知识详析： 在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大；正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数.例1 写出数轴上符合下列条件的点所表示的数.(1)与原点的距离为3个单位长度的点所表示的数，(2)若点A 所表示的数是1，与点A 的距离是是3个单位长度的点所表示的数.解析：根据题意建立如图1的数轴.(1)从数轴上很容易观察到与原点3个单位长度的点所表示的数有两个，分别为3；-3.(2)与点A 距离为3个单位的点有两个，这两个点所表示的数分别是-2和4. 例2 有理数a 、b 、c 、d 、e 在数轴上的对应点的位置如图2所示：试用“＜”把它们连接起来.解析：比较数轴上两个数的大小，依据是右边的数总比左边的数大，所以观察数轴得到：a ＜c ＜b ＜d ＜e.例3 有一座三层楼房不幸起火，一位消防队员搭梯子爬往三楼去抢救物品，当他爬到梯子正中一级时，二楼窗户喷出火来，他就往下退了三级，等到火过去了，他又爬上7级，这时屋顶有两块砖掉下来，他又后退两级，幸好没打着他，他又爬上8级，这时他距离梯子最高层还有一级，问这个梯子共有几级？解析：根据题意画出数轴如图3，设梯子中间一级为原点，爬上为正，后退为负，易知梯子共有23级.图1图2 图3 0 2 10 4 最高中间 -3。

和数轴亲密接触数轴是“数”与“形”的第一次结合，它使抽象的“数”直观化，使数与直线上的点之间建立了对应关系，表明了数与形的内在联系，是理解有理数概念与运算的重要工具，并由此形成了数形结合的基础．同学们在初学时应注意以下几点：1.理解数轴的定义数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.数轴的概念蕴含了三层含义：①原点、正方向、单位长度是数轴的三要素．原点的选定，正方向的选取，单位长度大小的确定，都是根据需要规定的．通常取向右为正方向，单位长度大小的确定，可根据各题的实际需要，灵活选取，有时可以每隔两个或多个单位长度取一个点；②正数总在原点的右边，负数总在原点的左边；③一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度．2.画数轴的步骤正确画一条数轴的步骤可概括为：一画、二取、三选、四标（1）画直线：就是先画一条直线，一般画成水平的直线；（2）取原点：通常原点选在直线中间，若问题中负数的个数较多时，原点选靠右些；正数的个数较多时，原点选的靠左些．（3）选正方向：通常取原点向右的方向为正方向．并选取适当的长度（如0.5cm）为单位长度（若在数轴上表示是0.1和－0.4则可取一个单位长度为0.1；在数轴上表示30与－40，则可规定一个单位长度为10．）（4）标数：在数轴上依次标出1，2，3，4，―1，―2，―3，－4等各点．3.画数轴应避免四种错误请你指出下图中哪些不是数轴?并指出你判断的理由.①②③④分析：在画数轴时，常出现以下几种错误：⑴没有方向，如图①；⑵没有原点，如图②；⑶单位长度不统一，如图③；⑷标数不按顺序，如图④．所以①, ②, ③，④都不是数轴．4.理解数轴与有理数间的关系可以从以下两方面理解：①所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不都表示有理数，如数轴上表示π的点表示的就不是有理数（π是一个无限不循环小数，不能化成分数，所以不是有理数）．②正数可用原点右边的点表示，反过来原点右边的点都表示正数；负数可用原点左边的点表示，反过来原点左边的点都表示负数；零用原点表示，反过来，原点表示零．5．用数轴上的点表示有理数：例1、（2007四川乐山)如图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C．若点C表示的数为1，则点A表示的数为（）Ａ．7Ｂ．3Ｃ．3-Ｄ．2-ＤA2B5C解析：本题可用逆向思维，由图知点B向右移动5个单位到点C，点C对应的数为1，故点B对应的数为－4，A点向左移动2个单位长度到达点B，所以A表示的数为－2．例2、（2006年盐城市）数轴上到原点的距离为2的点所表示的数是．解析：此题可以通过画数轴来求解，如图所示， A B到原点的距离为2的点应该有两个A、B，它们所表－2 O 2示的数分别是－2和2．温馨提示：由“数”想到“形”（数轴），用数轴表示点的运动非常直观，充分体现了数与形的转化，这是以后解答数学问题时常用的数形结合思想．。

数轴相关知识点：1、定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

特别提醒：（1）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。

（2）原点的确定和单位长度的大小，可根据各题的实际需要，灵活选取。

（3）同一数轴上的单位长度必须统一，不能出现同样的长度表示不同的数量。

2、有理数与数轴上的点的关系任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都是有理数。

3、利用数轴比较数的大小在数轴上表示的两个点中，右边的点表示的数大于左边的点表示的数。

练习1、在数轴上，A从表示-10的点出发，速度为每秒2个单位，B从表示7的点出发，速度为每秒1个单位，它们同时出发，相向运动，经过多少秒两点相距5个单位？设经过x秒相距5个单位，则可列方程．2、数轴上到原点的距离为5的点所表示的数是（）A．5 B．|-5| C．|±5| D．+5或-53、如图，数轴上所标出的点中，相邻两点的距离相等，则点A表示的数为（）A．-30 B．-45 C．-60 D．-904、数轴上的点M对应的数是-2，那么将点M向右移动4个单位长度至点B，则点B表示的数是（）A．-6 B．2 C．-6或2 D．都不正确5、如图，数轴上的点P表示的数是-1，将点P向右移动3个单位长度后，再向左移动2个单位长度得到点P′，则点P′表示的数是（）A．3 B．2 C．1 D．06、如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）①写出数轴上点B表示的数______，点P表示的数______（用含t的代数式表示）；②M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；（2）动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点R从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若P、Q、R三动点同时出发，当点P遇到点R时，立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动．那么点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？7、如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数______，点P表示的数______（用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；（4）若点D是数轴上一点，点D表示的数是x，请你探索式子|x+6|+|x-8|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．8、已知，如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是m；若当电子蚂蚁P 从B点出发时，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是n，则m+n= ．9、一点A从数轴上表示+2的点开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位；第二次先向左移动3个单位，再向右移动4个单位；第三次先向左移动5个单位，再向右移动6个单位…（1）写出第一次移动后这个点在数轴上表示的数为______；（2）写出第二次移动结果这个点在数轴上表示的数为______；（3）写出第五次移动后这个点在数轴上表示的数为______；（4）写出第n次移动结果这个点在数轴上表示的数为______；（5）如果第m次移动后这个点在数轴上表示的数为56，求m的值．10、如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）数轴上是否存在点P，使P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（2）当点P以每分钟1个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点B以每分钟20个单位长度的速度向左运动，问它们同时出发，几分钟时间P点到点A、点B的距离相等？（3）若P从B点出发向左运动（只在线段AB上运动），M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你在图2中画出图形，并求出线段MN的长．11、已知数轴上的4个点A、B、C、D对应的数分别为a、b、c、d，且b比d小7，c比a大5，b比c 小3，已知d=5，请画出数轴，并标出点A、B、C、D所在的位置，并求出（a-b ）-（c-d ）的值．12、已知数轴上有A、B、C三点，它们所表示的有理数分别是2，-4，x（1）求线段AB的长；（2）求线段AB的中点D表示的数，并在数轴上表示出来；（3）已知AC=4，求x，并在数轴上表示出来．。

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初中数轴的作用是什么？
答：初中数轴的作用如下：
1、数轴的定义数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线.其中,原点、正方
向和单位长度称为数轴的三要素。

2、数轴的画法画一条水平直线,在这条直线上任取一点作为原点,再确定正方向和单
位长度.数轴的三要素缺一不可,其中正方向只有一个,一般规定向右的方向为正方向,且
数轴无端点.标数字时,通常把数字标在数轴的下方,而表示点的字母写在数轴的上方。

3、数轴的作用
1)利用数轴表示有理数有理数都可以用数轴上的点表示,但并不是任意一点都表示
有理数,到了初二,同学们自然会明白这是为什么。

2)利用数轴可以比较有理数的大小。

数轴上从左往右的点表示的数是从小往大的顺
序,那么利用数轴可以比较数的大小。

在数轴上表示的两个数右边的总比左边的大；正数
都大于零；负数都小于零；正数大于一切负数.另外由于数轴是一条直线,是可以向两端
无限延伸的,根据这一特点,还可知道没有最小的负数,也没有最大的正数。

一、【数轴】数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线.可以用数轴上的点表示数.数轴上点的移动：①若点向右移动a个单位长度，则该点对应的数增加a.②若点向左移动a个单位长度，则该点对应的数减少a;二、【绝对值】绝对值的定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.由绝对值的定义可知：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. a（a＞0） a﹣b（a＞b）例如：|﹣5|＝5，|﹣23|＝23，|a|＝ 0（a＝0），|a﹣b|＝ 0 （a＝b）﹣a（a＜0） b﹣a（a＜b）三、【数轴上表示距离】求数轴上两点之间的距离：如果知道这两点对应的数的大小关系，则可以用“大减小”来表示距离；如果不确定这两点对应的数的大小关系，则可以两数相减再取绝对值来表示距离.例如，数轴上A、B两点分别对应的数a、b：①若已知a＞b，则A、B两点的距离为a﹣b；②若a、b的大小关系不确定，则A、B两点的距离为|a﹣b|（或|b﹣a|），a﹣b （a≥b）即A、B的距离可表示为AB＝|a﹣b|＝b﹣a （a＜b）【巩固练习】1、（1）在数轴上2对应的点到6对应的点的距离是 .（2）在数轴上x对应的点到﹣4对应的点的距离是 .（3）在数轴上x对应的点到y对应的点的距离是 .（4）在数轴上x对应的点到﹣y对应的点的距离是 .2、在数轴上，点A表示﹣3，从点A出发，沿数轴向右移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数为，从点B再向左移动10个单位长度到达点C，则点C表示的数为 .3、把数轴上的P点右移1个单位长度后，再向左移动3个单位长度，这时它到原点的距离是2，则P点表示的数是 .4、数轴上点M表示有理数﹣3，将点M向右平移2个单位长度到达点N，点E到点N的距离为4，则点E表示的有理数为；点F到点N的距离为a，则点F表示的有理数为 .5、若数轴上点A表示的数为a，则（1）在A右边5个单位长度的点表示的数为 .（2）在A左边5个单位长度的点表示的数为 .数轴与动点问题。

数轴1、数轴的概念规定了 、 和 的直线叫做数轴。

2、数轴的定义包含三层含义：（1）数轴是一条直线,可以向两端无线延伸；（2）数轴有三要素—— 、 和 ,三者缺一不可;（3）原点的选定、正方向的选取、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）.3、利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数， 边的数总比 边的数大。

都大于0， 都小于0，正数大于一切负数。

练习题1、下列数轴是否正确，若错误,指出不对的地方.①②③④2、数轴上A 、B 、C 、D 各点表示什么数?-2 -1 0 1 2C AD B-2 -1 0 1 2 33、画数轴，并用数轴上点表示下列各数。

5/2，-4，0，3，—2，—3/24、比较大小-0。

7 —70 —8 —9 —6。

5 3.2-2 50 0 —1 -3/2 —57.1 9.7 5/12 -6/12 —27 —65、一个数从数轴原点开始,向右移一个单位，再向左移动3个单位,这时它表示的数是。

6、在数轴上,一只蚂蚁从原点出发时，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C。

（1）写出A、B、C三点表示的数。

（2）根据点C在数轴上的位置,点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？7、已知数轴上的A 点到原点的距离是2,那么在数轴上到A 点距离是3的点所表示的数是 。

8、数轴上的点A 、B 分别表示数1和2，点C 表示线段AB 两点的中点，则C 点表示的数是 ；若A 、B 分别表示-3和5，则中点C 为 。

9、下列语句：①有最小的正整数；②有最小的整数；③最大的负数为-1；④有最小的非负数；⑤有最大的负整数。

说法正确的有（ ）A 。

1 B.2 C.3 D 。

410、小明在画一条数轴时，有几滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值，写出墨迹盖住的所有整数。

11、下列说法：（1）直线就是数轴;(2）数轴是直线；（3）任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示；（4）数轴上的点只表示有理数.其中正确的个数是（ ） A 。