第四章格林函数法

第四章拉氏方程的格林函数法.docx第四章拉氏方程的格林函数法前面儿章，介绍了儿种求解PDE定解问题的方法：分离变量法、行波法、积分变换法。

?本章介绍令一种求解拉氏方程的格林函数法。

首先来看一下我们要研究的定解问题是怎么捉出的。

§4.1拉氏方程边值问题的提法在第一章中，我们知道，对于无源的稳恒热传导问题满足拉氏方程，它的边值问题一般有三种提法。

研究最多的就是前面两种。

1)第一边值问题边界条件为:心要求的解心C2(Q)AC°(Q),既比在区域Q上连续，在Q上有二阶连续导数,满足拉氏方程且在边界上与/吻合。

Q = Q + 「为边界；称第一-边值问题为狄利克莱(Dirichlet)问题，简称狄氏问题。

通常称拉氏方程的连续解，也就是说，具有二阶连续偏导数并满足拉氏方程的连续函数为调和函数。

2)第二边值问题边界条件为:単=/,on r要求的解ue C2(Q)nC*(Q),既u在区域豆上有一阶连续导数，在Q 上有二阶连续导数，满足拉氏方程且在边界上满足上边界条件。

称第二边值问题为牛曼(Neumarm)问题，简称牛氏问题。

前面两种边值问题都是在Q内求解拉氏方程，故称此类方程为内问题。

另外, 冇这样一类问题，如已知某区域边界上的温度，要求该区域Z外的温度分布情况, 这就归结为在区域Q外求解拉氏问题，称这样的问题为外问题。

注：对于外问题來说，求解通常都是在无界区域上，这时需不需要对解加些限制条件呢？看下面一例了。

Aw = 0, r > 1, r = Vx2 + r2 + z2易知u = Vu = \!r都是上定解问题的解，这就出现了解的不唯一性，为了保证解的唯一性，通常我们要加一些限制条件，三维问题时limw = 0厂T8二维问题通常假定解冇界。

3）狄氏外问题（略）4）牛氏外问题（略）§ 4.2格林公式及其应用一、格林公式的推导为建立拉氏方程解的积分公式,我们先推导格林函数，它由曲面积分的Guass 公式直接导出。

，于是有 除在 M 0 点外处处满足三维Laplace方程 u0 内调和,则 上有一阶连续偏导数,且在 定理:若函数 u 在 调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函 数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
u ( M ) 1[ 1 1 u ( M ) u ( M ) ( ) ] dS 0 4 n r r n MM MM 0 0
3
P Q R { P , Q , R } n dS ( ) dV 由高斯公式 x y z v v v
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4.1.3 调和函数的积分表达式
由Green公式可导出调和函数的积分表示。由于函数：
1 1 2 2 2 r ( x x ) ( y y ) ( z z ) MM 0 0 0 0
为二维Laplace方程的基本解.
其通解为： 为任意常数)。 V ( r ) c ln r c , ( r 0 , c , c 1 2 1 2
4.1.2 格林公式
令P u , Q u ,R u ,则得到格林第一公式： x y z u v u v u v v u vdV ( ) dV u dS x x y y z z n u v u v u v u v udV ( ) dV vdS x x y y z z n 将以上两公式相减，得到格林第二公式： v u ( u v v u ) dV ( u v ) dS n n 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。
1
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4.1.1 拉普拉斯方程的基本解 对拉普拉斯方程 , 其球坐标形式为： u u u u 0 xx yy zz

Laplace方程的连续解，即具有二阶连续偏导数并满足Laplace 方程的连续函数. (1.u ∈ C 2 (Ω) I C 0 (Ω) 2. ∇ 2u = 0)
边值问题的提法： 二. 边值问题的提法：
1）第一边值问题(Dirichlet问题/狄氏问题) ∇ 2u = 0, in Ω uΓ = f 数学解释： 在Ω内寻求一个调和函数u, 它在边界Γ上与已知
连续函数f 吻合，即u Γ = f .
2）第二边值问题( Neumann 问题/牛氏问题 ) ∇ 2 u = 0, in Ω (其中 n是 Γ 的外法向量, f 是 连续函数 ) ∂u = f ∂n Γ
数学解释： Ω内寻求一个调和函数，它在闭区域Ω上有一阶 在 连续偏导数,即u ∈ C 2 (Ω) I C1 (Ω)，且在边界上满足边界条件。 ，且在边界上满足边界条件。
∂u ∫∫ u (M )dS + 4π a ∫∫ ∂n dS Γ Γ 1
∫∫ u (M )dS
Γ
（4）Laplace方程解的唯一性问题 ） 方程解的唯一性问题
定理：狄氏问题在C 2 (Ω) I C 1 (Ω)内解唯一，牛曼问题除相差一个
常数外解也是唯一确定的。
证明：
设u1 , u2为上述两类问题的解，则它们的差v = u1 − u2必是原问题的
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
第一节 第二节 第三节 第四节 拉普拉斯方程边值问题的提法 格林公式 格林函数 两种特殊区域的格林函数及狄氏 问题的解
格 林 函 数 法
格林函数:又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念 格林函数 又称点源影响函数， 又称点源影响函数
格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的 格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的 知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 场,知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场

r M 0 M
M 1
1
4 xx02 y y02 zz02
解：
1
4 xx02 y y02 zz02
u(M 0)G (M n,M 0)f(M )dS G(M z,M0)|z0 f(x,y)dS
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
1
1
G ( M , M 0 ) 4 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 4 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2
调和函数的积分表达式
k
拉 普l1r拉n 斯1
1 方x程2的基y本2 解z
ln 1
2
r
x2 y2
三维 二维
1 1 1 u
u (M 0)4 S(u n(r)r n)d S
调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个
函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
2 牛曼内问题有解的必要条件
V (u 2 v v 2 u )d V S (u n v v u n )d S
一 拉普拉斯方程边值问
题 的 1提 第法一边值问题（狄氏问题）
第四章
拉普 u f
2 第二边值问题（牛曼问题）
拉斯方程的格 u f 林函数法 n
3 内问题与外问题
4 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程 的连续函数。
二 格林公式及其结论
V (u 2 v )d V S u n vd S V u v d V 格V 林(u 公 2 式v 的v 结 2 论u )：d V S (u n v v u n )d S
半空间的格林函数
1 1 1
G(M,M0)4rM
r M 0 M
M 1
M0q d