上海市位育中学2015-2016学年高二3月监控考试数学试题Word版缺答案

2016年上海市位育中学高考数学模拟试卷（文科）（新疆班）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程的解为．2．若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．3．设全集为U实数集R，M={x||x|≥2}，N={x|x2﹣4x+3＜0}，则图中阴影部分所表示的集合是．4．若，则cosθ=．5．把三阶行列式中元素7的代数余子式记为f（x），若关于x的不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，b），则实数a+b=．6．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的取值范围是．7．执行如图所示的程序框图，若输入数据n=5，a1=﹣2，a2=﹣2.6，a3=3.2，a4=2.5，a5=1.4，则输出的结果为．8．为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．9．在平面直角坐标系中A点坐标为（，1），B点是以原点O为圆心的单位圆上的动点，则|+|的最大值是．10．已知函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），若函数的图象经过点（1，2），则函数的图象必过点．11．已知f（x）是R奇函数，对x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若f（1）=2，则f（2015）等于．12．在等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，公比q满足如下条件：△OAB（O为原点）中，，，∠A为锐角，则公比q等于．13．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A（﹣5，0），B（5，0）距离之差为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的为．①x+y=5；②x2+y2=9③+=1④x2=16y．14．设函数f（x）=xα+1（α∈Q）的定义域为[﹣b，﹣a]∪[a，b]，其中0＜a＜b．若函数f （x）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和为．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）15．设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件16．将的图象向右平移个单位，则平移后图象的一个对称中心是（）A． B．C． D．17．定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数），使得f（x）≥g （x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数、现有如下命题：①对给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②g（x）=2x为函数f（x）=2x的一个承托函数；③定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数．下列选项正确的是（）A．①B．②C．①③D．②③18．已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.）19．如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，CE为圆O的直径，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面．（1）求证：CD⊥平面AED；（2）设异面直线CB与DE所成的角为且AE=1，将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sinA的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．21．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上横坐标为3的点，且P到抛物线焦点F的距离等于4．（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线交于A、B两点，l2与抛物线交于C、D两点，M、N分别是线段AB、CD的中点，求△FMN面积的最小值．22．给定数列a1，a2，…，a n．对i=1，2，…，n﹣1，该数列前i项的最大值记为A i，后n ﹣i项a i+1，a i+2，…，a n的最小值记为B i，d i=A i﹣B i．（Ⅰ）设数列{a n}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；（Ⅱ）设a1，a2，…，a n﹣1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0．证明：d1，d2，…，d n﹣1是等比数列；（Ⅲ）设d1，d2，…，d n﹣1是公差大于0的等差数列，且d1＞0．证明：a1，a2，…，a n﹣1是等差数列．23．已知函数y=f（x），若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的局部对称点．（1）若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）若函数f（x）=2x+b在区间[﹣1，2]内有局部对称点，求实数b的取值范围；（3）若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．2016年上海市位育中学高考数学模拟试卷（文科）（新疆班）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程的解为．【考点】函数的零点与方程根的关系；对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】直接利用对数的运算法则求解方程的解即可．【解答】解：方程，化为：，即：x=．∴．故答案为：．【点评】本题考查函数的零点与方程的解的关系，是基础题．2．若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．【考点】二阶行列式与逆矩阵．【专题】矩阵和变换．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．3．设全集为U实数集R，M={x||x|≥2}，N={x|x2﹣4x+3＜0}，则图中阴影部分所表示的集合是{x|1＜x＜2}．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】计算题；数形结合；定义法；集合．【分析】由题意，阴影部分所表示的集合是（C U M）∩N，化简集合M，N，即可得到结论．【解答】解：由题意可得，M={x||x|≥2}={x|x≥2或x≤﹣2}，N={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，图中阴影部分所表示的集合为（C U M）∩N={x}﹣2＜x＜2}∩{x|1＜x＜3}={x|1＜x＜2}，故答案为：{x|1＜x＜2}．【点评】本题主要考查了利用维恩图表示集合的基本关系，及绝对值不等式、二次不等式的求解，属于基础试题4．若，则cosθ=．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题．【分析】对三角函数化简可得==，从而可得，再由二倍角的余弦可得，代入可求【解答】解：∵==∴由二倍角的余弦可得，=故答案为：【点评】本题主要考查了二倍角的正弦及二倍角的余弦公式在三角函数化简中的应用，属于基础试题5．把三阶行列式中元素7的代数余子式记为f（x），若关于x的不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，b），则实数a+b=1．【考点】一元二次不等式的应用．【分析】先表示出函数f（x）的关系式，再由f（x）＞0的解集为（﹣1，b）确定a、b的值．【解答】解：由题意知f（x）==﹣[x（x+a）﹣2]=﹣x2﹣ax+2∵f（x）＞0的解集为（﹣1，b）∴f（﹣1）=0 解得a=﹣1代入函数f（x）中∴f（x）=﹣x2+x+2＞0 故b=2 a+b=1故答案为：1．【点评】本题主要考查行列式的表示和一元二次不等式的解法．6．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的取值范围是[﹣1，2]．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】根据步骤：①画可行域②z为目标函数纵截距③画直线0=y﹣x，平移可得直线过A或B时z有最值即可解决．【解答】解：画可行域如图，画直线0=y﹣x，平移直线0=y﹣x过点A（0，1）时z有最大值1；平移直线0=y﹣x过点B（2，0）时z有最小值﹣2；则z′=y﹣x的取值范围是[﹣2，1]，则z=x﹣y的取值范围是[﹣1，2]，故答案为：[﹣1，2]．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7．执行如图所示的程序框图，若输入数据n=5，a1=﹣2，a2=﹣2.6，a3=3.2，a4=2.5，a5=1.4，则输出的结果为0.5．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】根据输入的n的值和5个数据，判断循环变量和5的大小，当i＞5不成立时进入循环体依次对S替换，i＞5成立时结束算法，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得赋值S=0，i=1，执行S===﹣2，i=1+1=2；判断2＞5，执行S===﹣2.3，i=2+1=3；判断3＞5，执行S===﹣，i=3+1=4；判断4＞5，执行S===0.275，i=4+1=5；判断5＞5，执行S===0.5，i=5+1=6；判断6＞5，算法结束，输出的结果为0.5．故答案为：0.5．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结果，属于基础题．8．为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．【解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，故答案为：．【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题．9．在平面直角坐标系中A点坐标为（，1），B点是以原点O为圆心的单位圆上的动点，则|+|的最大值是3．【考点】向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可知向量||=1的模是不变的，当与同向时，|+|的最大，所以|+|的最大值=．【解答】解：由题意可知向量||=1的模是不变的，当与同向时，|+|的最大，|+|的最大值===2+1=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．10．已知函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），若函数的图象经过点（1，2），则函数的图象必过点．【考点】反函数．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】函数的图象经过点（1，2），可知：函数y=f（x）的图象经过（1，3），因此函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）经过点（3，1），即可得出．【解答】解：∵函数的图象经过点（1，2），∴函数y=f（x）的图象经过（1，3），∴函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）经过点（3，1），∴函数的图象必过点．故答案为：．【点评】本题考查了反函数的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知f（x）是R奇函数，对x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若f（1）=2，则f（2015）等于﹣2．【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】令x=﹣2，可得f（2）=f（﹣2）+f（2），得出f（2）=0，f（x+4）=f（x），利用周期性求解即可．【解答】解：对x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，∴f（2）=f（﹣2）+f（2），∴f（﹣2）=0，f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），∴f（x）的周期为4，∴f（2015）=f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．【点评】考查了抽象函数的周期性及奇偶性的综合．属于基础题型，应熟练掌握．12．在等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，公比q满足如下条件：△OAB（O为原点）中，，，∠A为锐角，则公比q等于﹣2．【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；整体思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，求出q=1或q=﹣2，根据：△OAB（O为原点）中，，，∠A为锐角，确定q的值．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，∴2a7=a8+a9，∴2=q+q2，∴q=1或q=﹣2，∵△OAB（O为原点）中，，，∴=（1，q﹣1），∵∠A为锐角，∴﹣1×1﹣q+1＞0，∴q=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查等差数列的性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，比较基础．13．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A（﹣5，0），B（5，0）距离之差为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的为②．①x+y=5；②x2+y2=9③+=1④x2=16y．【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；新定义；方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先确定M的轨迹，再研究各选项与M的轨迹的交点情况，即可得到结论．【解答】解：∵M到平面内两点A（﹣5，0），B（5，0）距离之差为8，∴M的轨迹是以A（﹣5，0），B（5，0）为焦点的双曲线的右支，方程为=1（x≥4）．①∵直线x+y=5过点（5，0）与（0，5）直线与双曲线=1（x≥4）有交点，满足题意；②∵x2+y2=9的圆心为（0，0），半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；③∵的右顶点为（5，0），与双曲线=1（x≥4）有交点，满足题意；④联立，可得y2﹣9y+9=0，解得，y=3，满足题意．故答案为：②．【点评】本题考查新定义，考查双曲线的定义，考查曲线的位置关系，属于中档题．14．设函数f（x）=xα+1（α∈Q）的定义域为[﹣b，﹣a]∪[a，b]，其中0＜a＜b．若函数f （x）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和为﹣5或9．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】令g（x）=xα，定义域为[﹣b，﹣a]∪[a，b]，g（x）=xα在区间[a，b]上的最大值为5，最小值为2，再分类讨论，即可得到结论．【解答】解：令g（x）=xα，定义域为[﹣b，﹣a]∪[a，b]，则∵函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，∴g（x）=xα在区间[a，b]上的最大值为5，最小值为2，若g（x）=xα是偶函数，则g（x）=xα在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为5，最小值为2，∴函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为6，最小值为3，最大值与最小值的和9；若g（x）=xα是奇函数，则g（x）=xα在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为﹣2，最小值为﹣5，∴函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为﹣1，最小值为﹣4，最大值与最小值的和﹣5；∴f（x）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和为﹣5或9故答案为：﹣5或9．【点评】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查分类讨论的数学思想，正确运用幂函数的性质是关键．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）15．设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑；数系的扩充和复数．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．【解答】解：设z1=1+i，z2=i，满足z1、z2中至少有一个数是虚数，则z1﹣z2=1是实数，则z1﹣z2是虚数不成立，若z1、z2都是实数，则z1﹣z2一定不是虚数，因此当z1﹣z2是虚数时，则z1、z2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，故“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键．16．将的图象向右平移个单位，则平移后图象的一个对称中心是（）A． B．C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得平移后所得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将的图象向右平移个单位，可得函数y=cos[2（x﹣）+]=cos（2x﹣）的图象，令2x﹣=kπ+，求得x=+，故平移后图象的对称中心为（+，0），k∈Z，令k=0，可得平移后图象的一个对称中心是（，0），故选：A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．17．定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数），使得f（x）≥g （x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数、现有如下命题：①对给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②g（x）=2x为函数f（x）=2x的一个承托函数；③定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数．下列选项正确的是（）A．①B．②C．①③D．②③【考点】函数恒成立问题；抽象函数及其应用．【专题】压轴题；阅读型；新定义．【分析】对于①，若取f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜﹣1），都满足，且有无数个，故正确；对于②，即x=时，②错；对于③，如取f（x）=2x+3，即可看出其不符合，故错．抽象的背后总有具体的模型，我们可以通过具体的函数的研究，进行合理地联想．【解答】解：对于①，若f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜﹣1），就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y=tanx，y=lgx就没有承托函数，∴命题①正确、对于②，∵当x=时，g=3，f=2=，∴f（x）＜g（x），∴g（x）=2x不是f（x）=2x的一个承托函数，故错误；对于③如f（x）=2x+3存在一个承托函数y=2x+1，故错误；故选A．【点评】本题是以抽象函数为依托，考查学生的创新能力，属于较难题，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．18．已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解【考点】一次函数的性质与图象．【专题】函数的性质及应用；直线与圆．【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．【解答】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1，①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x=b2﹣b1，即（a1﹣a2）x=b2﹣b1．∴方程组有唯一解．故选：B．【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解额指数的应用．三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.）19．如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，CE为圆O的直径，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面．（1）求证：CD⊥平面AED；（2）设异面直线CB与DE所成的角为且AE=1，将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）通过证明CD⊥ED，CD⊥AE，然后证明CD⊥平面AED．（2）所求问题实际是将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．求解即可．【解答】解：（1）证明：因为CE为圆O的直径，所以，即CD⊥ED…2分又因为AE垂直于圆面，CD⊥AE所在平面，所以CD⊥AE…4分又CD⊥ED，所以CD⊥平面AED…5分（2）由题意知，将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．因为异面直线CB与DE所成角为，且CB∥DA，所以，…7分又因为AE=1，所以，在Rt△AED中，，DA=2…9分在Rt△CDE中，CD=DA=2，，所以…10分所以该几何体的体积…12分．【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的判断，考查逻辑推理能力以及计算能力．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sinA的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．【专题】平面向量及应用．【分析】（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得=cosA=，由同角三角函数的基本关系可得sinA；（2）由正弦定理可得sinB=，结合大边对大角可得B值，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．【解答】解：（1）由题意可得=cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sinB=cos[（A﹣B）+B]=cosA=，∴sinA==；（2）由正弦定理可得，∴sinB===，∵a＞b，∴A＞B，∴B=，由余弦定理可得=，解得c=1，或c=﹣7（舍去），故向量在方向上的投影为cosB=ccosB=1×=．【点评】本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．21．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上横坐标为3的点，且P到抛物线焦点F的距离等于4．（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线交于A、B两点，l2与抛物线交于C、D两点，M、N分别是线段AB、CD的中点，求△FMN面积的最小值．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用抛物线的定义列出方程求解即可．（2）求出抛物线的焦点坐标，设出直线方程，联立方程组，求出M、N的坐标，然后求解三角形的面积，利用基本不等式求解三角形的面积的最小值即可．【解答】解：（1）抛物线y2=2px（p＞0）的准线为，由题意，，p=2．…所以所求抛物线的方程为y2=4x．…（2）F（1，0），由题意，直线l1、l2的斜率都存在且不为0，设直线l1的方向向量为（1，k）（k＞0），则（1，k）也是直线l2的一个法向量，所以直线l1的方程为，即y=k（x﹣1），…直线l2的方程为y=﹣（x﹣1），即x+ky﹣1=0．…设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0…则=1+．=…同理可得，．…所以，|MF|==，|FN|==，∴△FMN面积：•=2（k+）≥4=4．…所以，当且仅当k=，即k=1时，△FMN的面积取最小值4．…【点评】本题考查抛物线方程的求法，抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．22．给定数列a1，a2，…，a n．对i=1，2，…，n﹣1，该数列前i项的最大值记为A i，后n ﹣i项a i+1，a i+2，…，a n的最小值记为B i，d i=A i﹣B i．（Ⅰ）设数列{a n}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；（Ⅱ）设a1，a2，…，a n﹣1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0．证明：d1，d2，…，d n﹣1是等比数列；（Ⅲ）设d1，d2，…，d n﹣1是公差大于0的等差数列，且d1＞0．证明：a1，a2，…，a n﹣1是等差数列．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）当i=1时，A 1=3，B 1=1，从而可求得d 1，同理可求得d 2，d 3的值； （Ⅱ）依题意，可知a n =a 1q n ﹣1（a 1＞0，q ＞1），由d k =a k ﹣a k+1⇒d k ﹣1=a k ﹣1﹣a k （k ≥2），从而可证（k ≥2）为定值．（Ⅲ）依题意，0＜d 1＜d 2＜…＜d n ﹣1，可用反证法证明a 1，a 2，…，a n ﹣1是单调递增数列；再证明a m 为数列{a n }中的最小项，从而可求得是a k =d k +a m ，问题得证．【解答】解：（Ⅰ）当i=1时，A 1=3，B 1=1，故d 1=A 1﹣B 1=2，同理可求d 2=3，d 3=6； （Ⅱ）由a 1，a 2，…，a n ﹣1（n ≥4）是公比q 大于1的等比数列，且a 1＞0，则{a n }的通项为：a n =a 1q n ﹣1，且为单调递增的数列．于是当k=1，2，…n ﹣1时，d k =A k ﹣B k =a k ﹣a k+1，进而当k=2，3，…n ﹣1时，===q 为定值．∴d 1，d 2，…，d n ﹣1是等比数列；（Ⅲ）设d 为d 1，d 2，…，d n ﹣1的公差，对1≤i ≤n ﹣2，因为B i ≤B i+1，d ＞0，所以A i+1=B i+1+d i+1≥B i +d i +d ＞B i +d i =A i ，又因为A i+1=max{A i ，a i+1}，所以a i+1=A i+1＞A i ≥a i ．从而a 1，a 2，…，a n ﹣1为递增数列．因为A i =a i （i=1，2，…n ﹣1），又因为B 1=A 1﹣d 1=a 1﹣d 1＜a 1，所以B 1＜a 1＜a 2＜…＜a n ﹣1，因此a n =B 1．所以B 1=B 2=…=B n ﹣1=a n ．所以a i =A i =B i +d i =a n +d i ，因此对i=1，2，…，n ﹣2都有a i+1﹣a i =d i+1﹣d i =d ，即a 1，a 2，…，a n ﹣1是等差数列．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，考查反证法的应用，属于难题．23．已知函数y=f（x），若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的局部对称点．（1）若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）若函数f（x）=2x+b在区间[﹣1，2]内有局部对称点，求实数b的取值范围；（3）若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．【考点】函数的图象；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据定义构造方程ax2+x﹣a=0，再利用判别式得到方程有解，问题得以解决．（2）根据定义构造方程2x+2﹣x+2b=0在区间[﹣1，2]上有解，再利用换元法，设t=2x，求出b的范围，问题得以解决．（3）根据定义构造方程4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0…（*）在R上有解，再利用换元法，设t=2x+2﹣x，方程变形为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解，再根据判别式求出m的范围即可【解答】解：（1）由f（x）=ax2+x﹣a得f（﹣x）=ax2﹣x﹣a，代入f（﹣x）=﹣f（x）得ax2+x﹣a+ax2﹣x﹣a=0得到关于x的方程ax2﹣a=0（a≠0），其中△=4a2，由于a∈R且a≠0，所以△＞0恒成立，所以函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）f（x）=2x+b在区间[﹣1，2]内有局部对称点，∴方程2x+2﹣x+2b=0在区间[﹣1，2]上有解，于是﹣2b=2x+2﹣x，设t=2x，≤t≤4，∴﹣2b=t+，其中2≤t+≤，所以﹣≤b≤﹣1（3）∵f（﹣x）=4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3，由f（﹣x）=﹣f（x），∴4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m•2x+1+m2﹣3），于是4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0…（*）在R上有解，令t=2x+2﹣x（t≥2），则4x+4﹣x=t2﹣2，∴方程（*）变为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解，需满足条件：即，化简得1﹣≤m≤2【点评】本题依据新定义，考查了方程的解得问题以及参数的取值范围，以及换元的思想，转化思想，属于难题。

2015-2016学年上海市交大附中高二（下）3月月考数学试卷一、填空题1．（3分）设a∈R，且复数+是纯虚数，则a＝．2．（3分）若是纯虚数，则θ的值为．3．（3分）下列关于复数的命题中：①任意两个确定的复数都不能比较大小；②若|z|≤1，则﹣1≤z≤1：③若z12+z22＝0，则z1＝z2＝0；④z+＝0⇔z为纯虚数：⑤z﹣＝0⇔z∈R；其中正确的命题是（仅填写命题序号）．4．（3分）在复数集中因式分解x4﹣6x2+25＝．5．（3分）已知方程x2+x﹣p＝0的两个虚根为α、β，且|α﹣β|＝3，则实数p＝．6．（3分）复数z满足z+∈R，且|z﹣2|＝2，z＝．7．（3分）若z∈C，|z|＝4，则u＝|z2﹣z+4|的最大值是；最小值是．8．（3分）已知关于x的实系数一元二次方程x2+2kx+k2﹣k＝0有一个模为1的虚根，则实数k的取值为．9．（3分）已知|z1|＝，且z1≠z2，求值||＝．10．（3分）已知动点P在复平面上对应的复数为z＝t+3+3i，其中t是使为纯虚数的复数，点P的轨迹方程（以复数形式表示）．11．（3分）斜率为2的直线与圆锥曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若弦长|AB|＝，则|y1﹣y2|＝．12．（3分）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2）．若线段F A的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为．13．（3分）曲线C是平面内到定点A（1，0）的距离与到定直线x＝﹣1之和为3的动点P 的轨迹，则曲线C与y轴的交点的坐标是．14．（3分）抛物线y2＝8x的动弦AB的长为16，弦AB的中点M到y轴的最短距离为．二.选择题15．（3分）设f（n）＝（）n+（）n（n∈N*），如果A⊆{f（n）}，则满足条件的集合A有（）A．8个B．7个C．3个D．无穷多个16．（3分）复数z1、z2分别对应复平面内的点M1、M2，且|z1+z2|＝|z1﹣z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为1﹣3i，则|z1|2+|z2|2等于（）A．10B．40C．100D．20017．（3分）已知z∈C，且|z﹣2﹣2i|＝1，i为虚数单位，则|z+2﹣2i|的最小值是（）A．2B．3C．4D．518．（3分）已知抛物线M：y2＝4x，圆N：（x﹣1）2+y2＝r2（其中r为常数，r＞0）．过点（1，0）的直线l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，且满足|AC|＝|BD|的直线l只有三条的必要条件是（）A．r∈（0，1]B．r∈（1，2]C．D．三.解答题19．（1）设z+∈R，且|z﹣2|＝2，求复数z；（2）已知z＝，求|z|．20．如图，M、N是焦点为F的抛物线y2＝4x上的两个不同的点，且线段MN的中点A的横坐标为3，直线MN与x轴交于B点，求点B的横坐标的取值范围．21．如图所示，已知点S（0，3），过点S作直线SM，SN与圆Q：x2+y2﹣2y＝0和抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）都相切．（1）求抛物线C和两切线的方程；（2）设抛物线的焦点为F，过点P（0，﹣2）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线交于点C（其中点B靠近点C），且|AF|＝5，求△BCF与△ACF的面积之比．22．.已知抛物线y2＝4x（x＞0），是否存在正数m，对于过点（m，0）且与抛物线有两个交点A，B的任一直线都有•＜0？若存在求出m的取值范围，若不存在请说明理由．23．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程．（2）设直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1﹣y2|＝a （a＞0），M是弦AB的中点，过M作平行于x轴的直线交抛物线C于点D，得到△ABD；再分别过弦AD、BD的中点作平行于x轴的直线依次交抛物线C于点E，F，得到△ADE 和△BDF；按此方法继续下去．解决下列问题：①求证：；②计算△ABD的面积S△ABD；③根据△ABD的面积S△ABD的计算结果，写出△ADE，△BDF的面积；请设计一种求抛物线C与线段AB所围成封闭图形面积的方法，并求出此封闭图形的面积．2015-2016学年上海市交大附中高二（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）设a∈R，且复数+是纯虚数，则a＝﹣1．【解答】解：∵a∈R，且复数+是纯虚数，又+＝+＝+，∴+是纯虚数，∴＝0，解得a＝﹣1．故答案为：﹣1．2．（3分）若是纯虚数，则θ的值为．【解答】解：由于是纯虚数∴实部为零，虚部不为零，即解得故答案为3．（3分）下列关于复数的命题中：①任意两个确定的复数都不能比较大小；②若|z|≤1，则﹣1≤z≤1：③若z12+z22＝0，则z1＝z2＝0；④z+＝0⇔z为纯虚数：⑤z﹣＝0⇔z∈R；其中正确的命题是⑤（仅填写命题序号）．【解答】解：①任意两个确定的复数不都可以比较大小，只有两个均为实数，才好比较大小，故①错；②若|z|≤1，当z为实数时，﹣1≤z≤1，z为虚数时，没有﹣1≤z≤1，故②错：③若z12+z22＝0，当z1，z2均为实数，可得z1＝z2＝0，若z1＝1，z2＝i时，也满足z12+z22＝0，故③错；④z+＝0⇔a+bi+a﹣bi＝2a＝0，（a，b∈R）可得z为0或z为纯虚数，故④错：⑤z﹣＝0⇔a+bi＝a﹣bi（a，b∈R）⇔b＝0，⇔z∈R，故⑤正确．故答案为：⑤．4．（3分）在复数集中因式分解x4﹣6x2+25＝（x﹣2﹣i）（x+2+i）（x﹣2+i）（x+2﹣i）．【解答】解：在复数集中因式分解，令x4﹣6x2+25＝0，利用求根公式可得：x2＝＝3±4i．∴x4﹣6x2+25＝（x2﹣3﹣4i）（x2﹣3+4i），∵3+4i＝（2+i）2，3﹣4i＝（2﹣i）2．∴原式＝（x﹣2﹣i）（x+2+i）（x﹣2+i）（x+2﹣i）．故答案为：（x﹣2﹣i）（x+2+i）（x﹣2+i）（x+2﹣i）．5．（3分）已知方程x2+x﹣p＝0的两个虚根为α、β，且|α﹣β|＝3，则实数p＝﹣．【解答】解：∵方程x2+x﹣p＝0有两个虚根，∴△＝1+4p＜0．∴x＝．取α＝，β＝．∵|α﹣β|＝3，∴＝3，∴﹣1﹣4p＝9，解得p＝﹣．故答案为：．6．（3分）复数z满足z+∈R，且|z﹣2|＝2，z＝．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），由z+＝a+bi+＝a+bi+＝∈R，得a2+b2＝1，①由|z﹣2|＝2，得（a﹣2）2+b2＝4，②联立①②，得a＝，b＝．∴z＝．故答案为：．7．（3分）若z∈C，|z|＝4，则u＝|z2﹣z+4|的最大值是24；最小值是．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），由|z|＝4，得a2+b2＝16，∴u2＝|z2﹣z+4|2＝16a2﹣40a+160，由a∈[﹣4，4]，可得u∈[]．∴u＝|z2﹣z+4|的最大值是24；最小值为．故答案为：24；．8．（3分）已知关于x的实系数一元二次方程x2+2kx+k2﹣k＝0有一个模为1的虚根，则实数k的取值为．【解答】解：由题意，，即k2﹣k＝1，解得：k＝或k＝．由△＝4k2﹣4（k2﹣k）＜0，得k＜0，∴k＝．故答案为：．9．（3分）已知|z1|＝，且z1≠z2，求值||＝．【解答】解：∵|z1|＝，且z1≠z2，∴||＝||＝＝．故答案为：．10．（3分）已知动点P在复平面上对应的复数为z＝t+3+3i，其中t是使为纯虚数的复数，点P的轨迹方程|z﹣3﹣3i|＝3（以复数形式表示）．【解答】解：∵z＝t+3+3i，为纯虚数，设t＝x+yi（x，y∈R），则＝＝，∴x2+y2＝9，∴|t|＝3，∴点P的轨迹方程为|z﹣3﹣3i|＝3，故答案为：|z﹣3﹣3i|＝311．（3分）斜率为2的直线与圆锥曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若弦长|AB|＝，则|y1﹣y2|＝4．【解答】解：根据题意，直线与圆锥曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且直线AB的斜率k＝2，即＝2，则有x1﹣x2＝（y1﹣y2）则弦长|AB|＝＝＝|y1﹣y2|＝2，则有|y1﹣y2|＝4；故答案为：412．（3分）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2）．若线段F A的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为．【解答】解：依题意可知F坐标为（，0）∴B的坐标为（，1）代入抛物线方程得＝1，解得p＝，∴抛物线准线方程为x＝﹣所以点B到抛物线准线的距离为+＝，故答案为13．（3分）曲线C是平面内到定点A（1，0）的距离与到定直线x＝﹣1之和为3的动点P 的轨迹，则曲线C与y轴的交点的坐标是（0，±）．【解答】解：设P（x，y），由题意有|x+1|＝3，当x≥﹣1时，有x+1＝3，整理得y2＝2x+3；当x＝0时，y＝±．曲线C 与y轴的交点的坐标是（0，±）故答案为：（0，±）．14．（3分）抛物线y2＝8x的动弦AB的长为16，弦AB的中点M到y轴的最短距离为6．【解答】解：由题意可得抛物线的准线l：x＝﹣2，分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H在直角梯形ABDC中MH＝，由抛物线的定义可知AC＝AF，BD＝BF（F为抛物线的焦点）MH＝≥＝8，即AB的中点M到抛物线的准线的最小距离为8，∴线段AB的中点M到y轴的最短距离为8﹣2＝6．故答案为：6．二.选择题15．（3分）设f（n）＝（）n+（）n（n∈N*），如果A⊆{f（n）}，则满足条件的集合A有（）A．8个B．7个C．3个D．无穷多个【解答】解：（1）＝＝＝i，＝＝﹣i，根据虚数单位i的幂运算性质有：f（n）＝（）n+（）n（n∈N*），＝i n+（﹣i）n，＝∴f（n）有三个不同的值，即f（n）＝﹣2，0，2，A是{f（n）}，它的一个子集．∴A＝{﹣2}，{0}，{2}，{﹣2，0}，{0，2}，{﹣2，2}，2，0，2}，{∅}．则满足条件的集合A有8个故选：A．16．（3分）复数z1、z2分别对应复平面内的点M1、M2，且|z1+z2|＝|z1﹣z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为1﹣3i，则|z1|2+|z2|2等于（）A．10B．40C．100D．200【解答】解：以OM1，OM2为邻边的平行四边形OM1CM2为矩形，∴＝（+），||＝＝．∴|z1|2+|z2|2＝（2×）2＝40．故选：B．17．（3分）已知z∈C，且|z﹣2﹣2i|＝1，i为虚数单位，则|z+2﹣2i|的最小值是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），满足|z﹣2﹣2i|＝1的点均在以C1（2，2）为圆心，以1为半径的圆上，所以|z+2﹣2i|的最小值是C1，C2连线的长为4与1的差，即为3，故选：B．18．（3分）已知抛物线M：y2＝4x，圆N：（x﹣1）2+y2＝r2（其中r为常数，r＞0）．过点（1，0）的直线l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，且满足|AC|＝|BD|的直线l只有三条的必要条件是（）A．r∈（0，1]B．r∈（1，2]C．D．【解答】解：x＝1与抛物线交于（1，土2），与圆交于（1，土r），满足题设．设直线l：x＝my+1，（1）代入y2＝4x，得y2﹣4my﹣4＝0，△＝16（m2+1），把（1）代入（x﹣1）2+y2＝r2得y2＝设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），|AC|＝|BD|即y1﹣y3＝y2﹣y4，即y1﹣y2＝y3﹣y4，即4＝即r＝2（m2+1）＞2，即r＞2时，l仅有三条．考查四个选项，只有D中的区间包含了（2，+∞）即是直线l只有三条的必要条件故选：D．三.解答题19．（1）设z+∈R，且|z﹣2|＝2，求复数z；（2）已知z＝，求|z|．【解答】解：（1）设z＝a+bi（a，b∈R），由z+＝a+bi+＝a+bi+＝∈R，得a2+b2＝4，①由|z﹣2|＝2，得（a﹣2）2+b2＝4，②联立①②，解得a＝1，b＝．∴；（2）由z＝，得|z|＝＝．20．如图，M、N是焦点为F的抛物线y2＝4x上的两个不同的点，且线段MN的中点A的横坐标为3，直线MN与x轴交于B点，求点B的横坐标的取值范围．【解答】解：y2＝4x，若直线MN斜率存在，设A（3，），直线MN的方程为y﹣＝k（x﹣3），y＝0时，x B＝3﹣，∵A（3，），在抛物线内，∈（﹣2，2），∴B的横坐标为x∈（﹣3，3），直线的斜率不存在时，x B＝3，点B横坐标的取值范围是（﹣3，3]．21．如图所示，已知点S（0，3），过点S作直线SM，SN与圆Q：x2+y2﹣2y＝0和抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）都相切．（1）求抛物线C和两切线的方程；（2）设抛物线的焦点为F，过点P（0，﹣2）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线交于点C（其中点B靠近点C），且|AF|＝5，求△BCF与△ACF的面积之比．【解答】解：（1）设切线方程为y＝kx+3，即kx﹣y+3＝0，圆Q：x2+y2﹣2y＝0的圆心为（0，1），半径为1，圆心到直线的距离为d＝＝1，∴k＝，∴两切线的方程y＝x+3，代入x2＝﹣2py，可得x2±2px+6p＝0，△＝12p2﹣24p＝0，∴p＝2，∴抛物线C的方程x2＝﹣4y；…（7分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由|AF|＝5，可得﹣y2+1＝5，解得y2＝﹣4，代入抛物线方程可得x2＝﹣4．∴A（﹣4，﹣4）．∵A，P，M三点共线，∴B（2，﹣1），∴△BCF与△ACF的面积之比＝＝＝．22．.已知抛物线y2＝4x（x＞0），是否存在正数m，对于过点（m，0）且与抛物线有两个交点A，B的任一直线都有•＜0？若存在求出m的取值范围，若不存在请说明理由．【解答】解：设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．设l的方程为x＝ty+m，由得y2﹣4ty﹣4m＝0，△＝16（t2+m）＞0，于是y1+y2＝4t，y1•y2＝﹣4m，①又＝（x1﹣1，y1），＝（x2﹣1，y2），∵•＜0⇔（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜0②又x＝y2，于是不等式②等价于y12•y22+y1y2﹣（y12+y22）+1＜0由①式，不等式③等价于m2﹣6m+1＜4t2④对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2﹣6m+1＜0，解得3﹣2＜m＜3+2由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有有•＜0，且m的取值范围是（3﹣2，3+2）23．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程．（2）设直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1﹣y2|＝a （a＞0），M是弦AB的中点，过M作平行于x轴的直线交抛物线C于点D，得到△ABD；再分别过弦AD、BD的中点作平行于x轴的直线依次交抛物线C于点E，F，得到△ADE 和△BDF；按此方法继续下去．解决下列问题：①求证：；②计算△ABD的面积S△ABD；③根据△ABD的面积S△ABD的计算结果，写出△ADE，△BDF的面积；请设计一种求抛物线C与线段AB所围成封闭图形面积的方法，并求出此封闭图形的面积．【解答】解：（1）由抛物线定义，抛物线C：y2＝2px（p＞0）上点P（4，y0）到焦点的距离等于它到准线的距离，得，∴抛物线C的方程为y2＝4x．（2）由，得ky2﹣4y+4b＝0，（或k2x2+（2kb﹣4）x+b2＝0）当△＝16﹣16kb＞0，即kb＜1且k≠0时，（或）①由|y1﹣y2|＝a，即，得，所以．②由①知，AB中点M的坐标为，点，＝．③由问题②知，△ABD的面积值仅与|y1﹣y2|＝a有关，由于，所以△ADE与△BDF的面积，设．由题设当中构造三角形的方法，可以将抛物线C与线段AB所围成的封闭图形的面积看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{a n}的无穷项和，所以即，因此，所求封闭图形的面积为．。

上海市位育中学第二学期高二期终考试数学卷一、填空题（每题4分，共56分）1、设a <0，则a 的平方根是____________．2、若(x +1)10=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+…+a 10(x -1)10，则系数a 0=____________．3、在复平面内，复数11i +、11i-对应的点分别为A 、B ，若点C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是____________．4、正四面体ABCD 的棱AD 与面ABC 所成角的大小为____________．5、从2、4中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为____________．6、棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点， 则点D 1到直线AE 的距离是____________．7、五个数1,2,5,a ,b 的均值为3，方差为2，则这五个数的中位数是____________．8、湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12cm ，深2 cm 的空穴，则该球的体积是____________cm 3． 9、2100被9除的余数为____________．10、在某次技能大赛中，有6位参赛者的成绩分别是70,76,72,70,72,90，从这6位参赛者中随机地选x 位，其中恰有1位的成绩是72的概率是815，则x 等于____________． 11、P 是半径为1的球面上任意一点，PA 、PB 、PC 是两两互相垂直的三条弦，则PA 2+PB 2+PC 2=____________．12、对任意一个非零复数z ，定义集合{|,*}n z M w w z n ==∈N ．设α是方程10x x+=的一个根，若在M a 中任取两个数，则其和为零的概率P =____________．13、已知球O l 、O 2的半径分别为l 、r ，体积分别为V 1、V 2，表面积分别为S 1、S 2，当r ∈(1,+∞)时，2121V V S S --的取值范围是____________．14、已知关于x 的方程-2x 2+bx +c =0，若b 、c ∈{0,1,2,3,4}，记“该方程有实数根x 1、x 2且满足-1≤x 1≤x 2≤2”为事件A ，则事件A 发生的概率为____________．二、选择题（每题5分，共20分）15、若z ∈C ，下列命题中，正确的命题是( )A ．||111z z <⇔-<<B ．0z z +=⇔z 是纯虚数C ．z 2=|z |2D ．20z ≥⇔z 是实数16．若l 、m 、n 为直线，α、β、γ为平面，则下列命题中为真命题的是( )A ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βB ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βD ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥β17、“n =5”是“n (n ∈N*)的展开式中含有常数项”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件18、01122110C C C C C C C C C C n n n n n n n n n n nn n n n ---++++等于( )A ．1122C +C n n n n -+B ．22(C )n n C ．2C n nD ．212C n n -三、解答题（本大题共五题，满分74分）19、（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）(1) 复数z 的实部为8，|z |=10，求z 的值；(2) i 为虚数单位，1sin 2icos z θθ=+，2cos z θθ=+，若z 1=z 2，求θ 的值．20、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）(1) 两个相交平面M 与N ，它们的交线为l ．在l 上有3点，除这3点外在平面M 、N 上各有5点、4点，则这12点最多能确定多少个平面？(2) 某校以单循环制方法进行篮球比赛，其中有两个班级各比赛了3场后，不再参加比赛，这样一共进行了84场比赛，问：开始有多少班级参加比赛？21、（本题满分14分，第1小题5分，第2小题5分，第3小题4分）某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50,60),[60,70),…,[90,100]后画出如下部分．．频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：(1) 求出物理成绩低于50分的学生人数；(2) 估计这次考试物理学科及格率（60分及以上为及格）(3) 从物理成绩不及格的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率．22、（本题满分16分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是棱AB、BC和DD1所在直线上．．．．．的动点．(1) 求 EB1F的取值范围；(2) 若N为面EB1F内的一点，且∠EBN=45︒，∠FBN=60︒，求∠B1BN的余弦值；(3) 若E、F分别是所在正方体棱的中点，试问在棱DD1上能否找到一点M，使BM⊥平面EFB1？若能，试确定点M的位置；若不能，请说明理由．23、（本题满分18分，第1小题8分，第2小题5分，第3小题5分）(1) 已知二项式(x+2)n展开式中最大的二项式系数为252，求展开式中系数最大的项；(2) 记(x+2)n展开式中最大的二项式系数为a n，求证：数列{a n}单调递增；(k=0,1,2,···,n)的单调性，并加以证明．(3) 给定不小于3的正整数n，试写出数列{C}kn位育中学第二学期高二期终考试数学答案一、填空题1、； 2、1024； 3、12； 4、 5、24； 6； 7、3； 8、40003π； 9、7； 10、2或4；11、4； 12、13；13、1(,)2+∞；14、1625． 二、选择题15、D16、B17、A18、C三、解答题19、（本题12分）解：(1) 设z =8+b i,(b ∈ R )，则由64+b 2=100，得b =±6，∴ z =8±6i ． 6分(2) 由z 1=z 2，得sin 2cos cos θθθθ=⎧⎪⎨⎪⎩，∴1sin 2tan θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2,()6k k πθπ=+∈Z12分20、（本题14分）解：(1) 这12个点中，除l 上的三点共线外，其余无三点共线，最多能确定1112112345454526030402132C C C C C C C +++=+++=个平面．6分(2) 设开始有n 个班参加比赛，1︒ 若这两个班级之间比赛过1场，则22584n C -+=，无解，8分2︒ 若这两个班级之间没有过比赛，则22684n C -+=，解得n =15．答：开始有15个班级参加比赛． 14分21、（本题满分14分）解：(1) 因为各组的频率和等于1，故低于50分的频率为： 11(0.01520.030.0250.005)100.1f =-⨯+++⨯=3分 所以低于50分的人数为600.16⨯=（人）5分(2) 依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组）， 频率和为(0.0150.030.0250.005)100.75+++⨯= 8分所以，抽样学生成绩的合格率是75%于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为75%10分 (3) “成绩低于50分”及“[50,60)”的人数分别是6,9，所以从成绩不及格的学生中选两人， 他们成绩至少有一个不低于50分的概率为：26215617C P C =-=14分22、（本题满分16分） 解：(1) 设,BE x BF y ==，则11B E B F EF ===所以21cos 1EB F ∠=< ，1EB F ∠的取值范围为(0,)2π5分(2) 解：设N 在1BE BF BB 、、三边上的投影分别是111E F G 、、，则由于45,60EBN FBN ∠=︒∠=︒111cos 45,cos 60.22BE BN BN BF BN BN ∴=︒==︒= 2222111,BE BF BG BN ++=112BG BN ∴=，即160B BN ∠=，它的余弦值为1211分(3) 解：设EF 与BD 的交点为G ．连接B 1G ，则由EF ⊥BD 以及EF ⊥B 1B ，知EF ⊥平面BB 1D 1D ，于是面B 1EF ⊥面BB 1D 1D ，在面BB 1D 1D 内过B 作BK ⊥B 1G 于K ，延长后交D 1D 所在的直线于点M ，则BM ⊥平面B 1EF ．在平面BB 1D 1D 内，由△B 1BG ∽△BDM ，知B 1B BG ＝BD DM ，又B 1B ＝a ，BG ＝24a ，BD ＝2a ，∴DM ＝a2． 这说明点M 在正方体的棱D 1D 上，且恰好为D 1D 的中点． 16分23、（本题满分18分）解：(1) ∵ 4599126C C ==，510252C =，561111462C C ==，由第(2)、(3)题的结论可知：n =10，3分设(x +2)10展开式中系数最大的项是101102r rr r T C x -+=⋅(r =0,1,2,…,10)，则由1110101110102222r r r r r r r r C C C C --++⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，（其中r =1,2,…,9），即1110!210!2!(10)!(1)!(11)!10!210!2!(10)!(1)!(9)!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅⋅≥⎪⋅--⋅-⎪⎨⋅⋅⎪≥⎪⋅-+⋅-⎩， 5分得223193r r ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，（r =1,2,…,9），∴ r =7， 7分展开式中系数最大的项是7373810215360T C x x =⋅=．8分(2) 若n 为奇数，则n +1为偶数，1122n n n nna C C-+==，1211n n n a C+++=，∴ 11122211n n n n n nnn a CCCa +-+++==+>10分若n 为偶数，则n +1为奇数，2n n na C =，122111n n n n n a C C++++==，∴ 122211n n n n n nnn a CCC a -++==+>12分 综上可知：数列{a n }单调递增．13分 (3) 数列{C }k n (k =0,1,2,···,n )离首末两端等距离的项相等，且距离越远值越大． 15分证明如下：1!!!C C (12)(1)!(1)!!()!(1)!()!k k n n n n n n k k n k k n k k n k +-=-=--+⋅--⋅-+-当12n k -<时，1C C k k n n +<，当12n k ->时，1C C k k n n +>，其中k =0,1,2,…,n -1． 若n 为奇数，3101222C C C CCn n nnnn n --<<<<<，13122C>C>C C n n n nnnn n ++->>， 若n 为偶数，201222C C C C C n n nnnnn-<<<<<，2122C >C>C C n n n nnnn n+->>， 18分。

位育中学2014学年第二学期高二零次考试数学卷一、填空题（每题3分，共36分）1、若集合{|||<1}M x x =，20.5{|(43)}N x y x x -==-，则M N =____________． 2、若函数()log (a f x x =+为奇函数，则a =____________． 3、已知x ,y 为实数，且x +y =4,则y x 33+的最小值为____________． 4、方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解集为____________． 5、在三角形ABC 中，已知3sin 5B =，5cos 13A =，则cos C =____________． 6、在等比数列{}n a 中，39196a a =，5735a a +=，则公比q =____________． 7、n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若24121n n a n a n -=-，则2n nSS =____________． 8、已知||1a = ，||2b = ，且()(2)a b a b λλ+⊥- ，a 与b的夹角为60︒，则λ=____________．9、已知直线L 过(2,-1)100y ++=的夹角为60︒，则L 的方程为____________． 10、若关于x1mx =+有且仅有一个实数解，则实数m 的取值范围是________． 11、抛物线22(0)x py p =->上各点到直线34120x y +-=的最短距离为1，则p =____________．12、连接双曲线2221x y -=上任意四个不同点组成的四边形可能的情况是____________． 1) 矩形 2) 菱形 3) 平行四边形4) 等腰梯形5) 正方形二、选择题（每题4分，共16分）13、函数22sin cos y x x x =--的最小正周期和最大值分别( )A．max 2,T y π== B．max ,T y π==C ．max ,3T y π==D ．max ,1T y π==14、直线4x +y =4,mx +y =0和2x -3my =4不能构成三角形，则m 的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．515、设F 为抛物线24y x =的焦点，A ,B ,C 为抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则||||||FA FB FC ++=( ) A ．9B ．6C ．4D ．316、100122100333a a a x =+++ ，其中12100,,,a a a 每一个值都是0或2这两个值中的某一个， 则x 一定不属于( ) A ．[0,1)B ．(0,1]C ．12[,)33D ．12(,]33三、解答题（本大题共五题，满分48分）17、（本题9分）已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--(a >0,且a ≠1)．(1) 讨论()f x 的奇偶性与单调性；(2) 求()f x 的反函数；(3) 若1113f -=（），解关于x 的不等式113f x -<（）．18、（本题9分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售辆为1000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价提高的比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ．(1) 写出本年度的年利润y 与投入成本增加比例x 的函数；(2) 为使本年度的年利润y 比上年有所增加，问投入成本增加的比例应该在什么范围内？19、（本题9分）已知向量(1,1)m =，向量m 与向量n 的夹角为135︒，且1-=⋅n m ．(1) 求n ；(2) 若n 与(1,0)q = 的夹角为2π，2(cos ,2cos )2C p A = ，其中∠A ,∠B ,∠C 为三角形三内角，2B π=，求||p n + ．20.（本题9分）已知12(20),(20)F F -，，，点P 满足12||||2PF PF -=，记点P 的轨迹为E ．(1) 求轨迹E 的方程；(2) 若直线L 过2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点．设点M (m ,0)，问是否存在实数m 使得 直线L 绕点2F 无论怎样转动，都有0MP MQ ⋅=成立？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．21.（本题12分）已知数列{}n a 满足条件：121,(0)a a r r ==>，且1{}n n a a +是公比为q (q >0)的等比数列．设212(1,2,)n n n b a a n -=+= ．(1) 求出使不等式*11223()n n n n n n a a a a a a n ++++++>∈N 成立q 的取值范围；(2) 求n b 和1limn nS →∞，（其中n S 为{}n b 的前n 项和）； (3) 设19.221r =-，12q =，求数列212log {}log n nb b +的最大项和最小项的值．位育中学2014学年第二学期高二零次考试数学答案一、填空题1.)1,43()0,1( -2.223.184.5.65166.212±±或 7.4 8.31±- 9.13231--=-=x y y 或 10.),1(}0{)1,(+∞--∞ 11.95612.(1)(2)(3)(4)(5) 二、选择题13.D 14.C 15.B 16.C 三、解答题17、)11(11log )()1(<<--+=x xxx f a,于是)()(x f x f -=-故)(x f 为奇函数 当a>1时，)(x f 单调递增，时，当10<<a )(x f 单调递减。