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一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“数与式”主题中的“分式”.1.课标分析《标准2022》指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,“数与式”是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体.“数与式”是代数的基本语言,现阶段关注用字母表述代数式,以及代数式的运算,字母可以像数一样进行运算和推理,通过字母运算和推理得到的结论具有一般性.“数与式”的教学:教师应该把握“数与式”的整体性,一方面,通过负数、有理数和实数的认识,帮助学生进一步感悟数是对数量的抽象,知道绝对值是对数量大小和线段长度的表述,进而体会实数与数轴上的点一一对应的数形结合的意义,会进行实数的运算;另一方面,通过代数式和代数式运算的教学,让学生进一步理解字母表示数的意义,通过基于符号的运算和推理,建立符号意识,感悟数学结论的一般性,理解运算方法与运算律的关系,提升运算能力.2.本单元教学内容分析人教版教材八年级上册第十五章“分式”,本章包括三个小节:15.1分式;15.2分式的运算;15.3分式方程.“数与式”主题通过从计算物体个数的活动中抽象出整数的概念,从把一个具体物体分为若干份的活动中抽象出分数的概念,这是一种从实物到数的抽象;为更好地反映这个一般规律,在研究整数和分数的过程中,又抽象出整式和分式的概念,这是一种从数到式的抽象.分数与分式是具体与抽象、特殊与一般的关系,即相对于分式而言,分数是具体的、特殊的对象,分式是把具体的分数一般化后的抽象形式.本单元强调的是“从具体到抽象,从特殊到一般”的认识事物的一般规律,处处突出类比在本单元学习中的重要作用,在概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则等方面,分数与分式均相对应,两者具有一致性,也可以说是数式通性.本单元自始至终重视分式与实际的联系,选择一些适合分式内容又接近学生生活的实际问题展开编写.一方面要体现与研究分数类似,研究分式同样也是实际需要;另一方面以分式为工具,分析、解决实际问题,提高学生把实际问题转化为数学问题的能力,让学生认识到代数式(包含分式)、分式方程是解决现实问题的数学模型,体会数学中的建模思想,进一步培养学生应用数学知识解决实际问题的兴趣和意识,这将有助于培养学生的创新精神.三、单元学情分析本单元内容是人教版教材数学八年级上册第十五章分式,它是“数与代数”中重要的一部分,学生在前面已经学习了整数与整式、一元一次方程、二元一次方程组等知识,初步积累了一定的用字母表示数以及四则混合运算的数学学习经验,特别是对一元一次方程的解法及基本思路已经比较熟悉,因此本单元运用类比的数学思想来展开分式教学,大大降低了学生学习的难度,同时这种“从具体到抽象、由特殊到一般”的认识事物的基本方法,会潜移默化地引导学生养成良好的学习习惯.建立分式方程的模型来解决实际问题是本单元的一个重要任务,能否以分式方程为工具,分析和解决问题是对学生应用意识和模型观念的一个重要考量,也是教学的关键.虽然分式整章的学习接近学生的最近发展区,但利用分式方程解决问题的特殊性,对学生来说仍是一个难点,分式方程化整式方程的基本思路是基础,对解出的未知数进行检验确认是必不可少的步骤,所以在此体会解分式方程的基本思路是非常自然、合理的,这对学生认识水平的提高,知识体系的构建是不可缺少的.四、单元学习目标1.以描述实际问题中的数量关系为背景,抽象出分式的概念,在了解分式概念的基础上发展学生的抽象能力.2.能通过类比分数的基本性质,了解分式的基本性质,并利用分式的基本性质进行约分和通分,提高学生的知识类比和迁移能力,发展学生的推理能力.3.通过类比分数的四则运算法则,探究分式的四则运算法则,能进行简单的分式加、减、乘、除运算,逐步提高学生的运算能力.4.结合分式的运算,将指数的范围从正整数扩大到全体整数,了解整数指数幂的运算性质;能用科学记数法表示小于1的正数,发展学生的抽象能力、运算能力和模型观念.5.掌握可化分式方程为一元一次方程的解法,体会解分式方程过程中的化归思想,发展学生的运算能力和推理能力.6.经历利用分式方程解决实际问题的过程,进一步体会方程是刻画实际问题中数量关系的一种重要模型,培养学生的模型观念、应用意识和创新意识.五、单元学习内容及学习方法概览六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。
人教版数学八年级上册教学设计15.1《分式》一. 教材分析人教版数学八年级上册第15.1节《分式》是初中数学的重要内容，主要让学生了解分式的概念、性质和分式的运算。
本节内容为后续的分式方程和不等式的学习打下基础。
教材通过丰富的实例引入分式，让学生在具体的情境中感受分式的意义，进而总结出分式的概念。
本节课的内容包括分式的定义、分式的基本性质、分式的运算以及分式的化简。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数、代数式的相关知识，具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力。
但是，对于分式的理解还需要通过具体的实例来帮助学生建立直观的认识。
学生在学习过程中可能对分式的运算规则和分式的化简部分存在一定的困难，因此需要教师在教学过程中进行详细的讲解和引导。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握分式的概念、性质和分式的运算方法，能够正确进行分式的化简。
2.过程与方法：通过实例引入分式，让学生在具体的情境中感受分式的意义，培养学生的抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生能够自主探究、合作交流。
四. 教学重难点1.重点：分式的概念、性质和分式的运算。
2.难点：分式的化简以及分式运算的灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过具体的实例引入分式，让学生在实际情境中感受分式的意义。
2.启发式教学法：引导学生主动探究分式的性质和运算规律，培养学生的抽象思维能力。
3.小组合作学习：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作精神，提高学生的交流能力。
六. 教学准备1.准备相关的实例和图片，用于引入分式和解释分式的概念。
2.准备分式的运算练习题，用于巩固学生的运算能力。
3.准备分式的化简示例，用于引导学生掌握分式的化简方法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入分式，如“一块土地的长是宽的2倍，若长方形土地的面积为36平方米，求这块土地的宽是多少米？”让学生在具体的情境中感受分式的意义。
第十五章分式15.1 分式15.1.2 分式的基本性质一、教学目标【知识与技能】掌握分式的基本性质,会运用分式的基本性质进行相关的分式变形，并能熟练地进行分式的通分、约分.【过程与方法】经历对分式基本性质及符号法则的探究过程，在探究中获得一些探索定理性质的初步经验，渗透良好的类比联想思维习惯和思想方法.【情感、态度与价值观】通过鼓励学生进行探索和交流,培养学生的创新意识和合作精神.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】理解并掌握分式的基本性质.【教学难点】灵活应用分式的基本性质将分式变形.五、课前准备教师：课件、直尺、蛋糕结构图等。
学生：三角尺、练习本、铅笔、圆珠笔、钢笔。
六、教学过程 （一）导入新课教师问1：什么是分数的约分呢？（出示课件2） 学生回答：约去分子与分母的最大公约数，化为最简分数. 教师问2：什么是分数的通分呢？学生回答：先找分子与分母的最简公分母，再使分子与分母同乘最简公分母，计算即可.教师问3：如果把分数换为分式，又会如何呢？ （二）探索新知1.创设情境，探究分式的基本性质 观察这几个分数：23，46，812，1624，3248. 然后提出问题：教师问4：根据我们对数学的“审美标准”，上面的哪个分数最具“简约之美”？学生回答：23.教师问5：这些分数是否相等？（出示课件4） 学生回答6：相等.教师问6：那这些分数为什么相等，相等的依据是什么？ 其内容是什么？（出示课件5）学生回答：相等的依据是分数的基本性质，其内容是一个分数的分子、分母乘(或除以)同一个不为0的数，分数的值不变．教师问7：你能用字母的形式表示分数的基本性质吗？（出示课件6）学生回答：一般地，对于任意一个分数ab ，有ab=a∙cb∙c,ab=a÷cb÷c(c≠0), 其中a，b，c 是数．教师问8：下面的变形成立吗？1 a ＝22a，22a＝1a.学生回答：根据分数的基本性质可以知道，上面的变形成立。
分式—分式方程1（课堂设计和课后反思）一、学情分析我所任教的班是八年级学生，而且是学习能力比较弱的班。
学生课堂学习的注意力比较容易分散，但他们爱听故事，爱玩游戏，因此我在课堂上安排数学的动画软件视频，和闯关测试，容易引发学生的好奇心，提高他们学习的兴趣。
另外，让学生动手，让学生操作，让学生教学生，让学生掌控课堂，让学生在玩中学，学中玩，学生就能全程投入。
为了更有针对性地帮助学生，我按学生的层次划分小组，也按层次对学生的自学做不同的要求。
二、教材分析本章之前，学生已经分两次学习过整式方程（一元一次方程、二元一次方程），他们对整式方程特别是一元一次方程的解法比较熟悉，与整式方程相比，分式方程的特殊性是其分母中含有未知数，分式方程的解法，与整式方程的解法有两个明显的区别：（1）一般来说，解分式方程时要通过去分母先转化成整式方程，注意这里的去分母是在方程的两边同时乘一个含未知数的式子而不是一个非零常数，因此这样的去分母过程不能保证一个新方程与原方程同解。
（2）通过去分母得出的整式方程的解必须经过检验，当这个解使得分式方程的分母不为零时，它才是分式方程的解。
由于一元一次方程已不是新问题，所以上述两点就成为本章中解分式方程的关键步骤。
教科书注重分析分式方程的特殊性，并根据它认识解分式方程的的基本思路（先化分式方程为整式方程，然后解出未知数，在检验确认），让学生明白这样做的道理，再次体会化归思想在解方程时的指导作用，抓住分式方程的特殊性，就能体会解分式方程的基本思路是非常自然的、合理的，就不会死记硬背解法步骤。
这也就是说，抓住分式方程的特殊性就能突出解分式方程的关键步骤及其算理，在已有的对解方程的认识的基础上再认识分式方程的解法，不断地提高认识问题的水平，这里包括提高对新事物与已熟悉的事物之间的联系的认识。
这种认识水平的提高，是构建知识体系的过程中不可缺少的。
我把本内容分为２课时，这是第一课时，主要介绍通过回忆解一元一次方程的的步骤引入解分式方程的步骤，同时巩固学生如何找最简公分母的方法。
人教版数学八年级上册教学设计15.2.2《分式的加减》一. 教材分析《分式的加减》是人教版数学八年级上册第15章的一部分，这部分内容是学生在学习了分式的概念、分式的乘除的基础上进一步学习的。
分式的加减是分式运算的重要组成部分，也是学生进一步学习代数式运算的基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了分式的概念、分式的乘除，对代数式运算有一定的了解。
但是，学生对分式的加减运算可能存在理解上的困难，特别是对于分母不同的情况。
因此，在教学过程中，需要引导学生理解分式加减的实质，掌握相应的运算技巧。
三. 教学目标1.理解分式加减的运算规则，掌握分式加减的运算方法。
2.能够正确进行分式的加减运算，解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：分式加减的运算规则和运算方法。
2.难点：理解分式加减的实质，解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握分式的加减运算。
六. 教学准备1.教学PPT2.教学案例七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入分式的加减运算，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）呈现分式的加减运算规则，引导学生理解分式加减的实质。
3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师巡回指导，帮助学生掌握分式加减的运算方法。
4.巩固（10分钟）出示一些分式加减的题目，让学生独立完成，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）出示一些综合性的题目，让学生进行解答，提高学生的解题能力。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，巩固知识点。
7.家庭作业（5分钟）布置一些分式加减的练习题，让学生进行巩固。
8.板书（5分钟）教师根据教学内容，进行板书设计，方便学生理解和记忆。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，对于学生的错误要及时进行纠正，引导学生正确理解分式的加减运算。
同时，要注重培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
新人教版八年级数学上册第15章单元教材分析
第十五章分式
本章的内容包括：分式、分式的运算、分式方程。
本章我们将类比分数学习分式，解一些分式方程，并学会解能化为一元一次方程的分式方程及利用分式的知识解决一些实际问题。
【本章重点】
利用分式的基本性质进行约分和通分、分式的混合运算及列分式方程解决实际问题。
【本章难点】
分式的混合运算及列分式方程解决实际问题。
【本章思想方法】
1．掌握类比思想．如：类比分数的概念及性质理解分式的概念及性质，类比分数的运算法则理解分式的运算法则。
2．掌握转化思想．如：把除法转化为乘法，把异分母分式加减法转化为同分母分式加减法，把分式方程转化为整式方程。
3．体会数学建模思想．如：在利用分式方程解决实际
问题时，需根据实际问题建立数学模型，从而列出分式方程求解。
15．1分式2课时
15．2分式的运算5课时
15．3分式方程2课时。
分式说课稿人教版尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的内容是人教版八年级数学上册第十五章《分式》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析（一）教材的地位和作用《分式》这一章是初中数学中的重要内容之一。
分式的概念和运算既是对整式知识的拓展和延伸，也是后续学习函数、方程等知识的基础。
通过对分式的学习，学生能够进一步理解数学中的符号语言和代数运算，提高逻辑推理和数学运算能力。
（二）教材内容本节课主要包括分式的概念、分式有意义和值为零的条件。
教材首先通过实际问题引入分式的概念，让学生感受分式与实际生活的紧密联系，然后通过类比分数，探讨分式有意义和值为零的条件。
二、学情分析（一）知识基础学生在之前已经学习了整式的相关知识，掌握了整式的运算和方程的解法，具备了一定的代数运算能力和逻辑推理能力。
（二）学习能力八年级的学生已经具备了一定的自主学习能力和合作探究能力，但对于抽象概念的理解和应用还需要进一步的引导和训练。
（三）心理特点学生在这个阶段对新鲜事物充满好奇心和求知欲，但在学习过程中可能会出现注意力不集中、容易疲劳等问题，需要教师在教学中创设生动有趣的情境，激发学生的学习兴趣。
三、教学目标（一）知识与技能目标1、理解分式的概念，能区分整式与分式。
2、掌握分式有意义和值为零的条件，并能应用这些条件解决相关问题。
（二）过程与方法目标1、通过实际问题的引入和分析，培养学生观察、分析和解决问题的能力。
2、经历分式概念的形成过程，体会类比、转化等数学思想方法。
（三）情感态度与价值观目标1、让学生感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
2、通过小组合作探究，培养学生的团队合作精神和创新意识。
四、教学重难点（一）教学重点1、分式的概念。
2、分式有意义和值为零的条件。
（二）教学难点1、理解分式的概念，特别是分式中分母不为零的条件。
第十五章分式（一）教材分析本章的主要内容包括：分式的概念，分式的基本性质，分式的约分与通分，分式的加、减、乘、除运算，整数指数幂的概念及运算性质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。
全章共包括三节：15.1 分式15.2 分式的运算15.3 分式方程其中，15.1节引进分式的概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分。
15.2节讨论分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点。
克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。
在这一节中对指数概念的运用从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利。
15.3节讨论分式方程的概念，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。
解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须检验（验根）的环节，这是不同于以前学习的解方程的新问题。
根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的另一个难点，掌握它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。
分式是不同于整式的另一类有理式，是代数式中重要的基本概念；相应地，分式方程是一类有理方程，解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。
然而，分式或分式方程更适合作为某些类型的问题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。
借助对分数的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法，这在本章学习中经常使用。
解分式方程时，化归思想很有用，分式方程一般要先化为整式方程再求解，并且要注意检验是必不可少的步骤。
（二）教学目标本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点：1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。
2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则。
3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则。
4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系。
最新精品部编版人教初中八年级数学上册第十五章分式优秀教学设计（全章完整版含教学反思）前言：该教学设计（教案）由多位一线国家特级教师根据最新课程标准的要求和教学对象的特点结合教材实际精心编辑而成。
实用性强。
高质量的教学设计（教案）是高效课堂的前提和保障。
（最新精品教学设计）第十五章分式15．1分式15．1.1从分数到分式1．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念．2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件．重点理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件．难点能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．一、复习引入1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？2．判断下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？①8m＋n3；②1＋x＋y2；③a2b＋ab23；④a＋b2；⑤2x2＋2x＋1；⑥3a2＋b2；⑦3x2－42x.二、探究新知1．分式的定义(1)学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v千米/时．轮船顺流航行90千米所用的时间为9030＋v 小时，逆流航行60千米所用时间为6030－v小时，所以9030＋v ＝6030－v. (2)学生完成教材第127页“思考”中的题．观察：以上的式子9030＋v ，6030－v ，S a ，V s，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？可以发现，这些式子都像分数一样都是A B(即A÷B)的形式．分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式子中的A ，B 都是整式，并且B 中都含有字母．归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式． 巩固练习：教材第129页练习第2题．2．自学教材第128页思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式A B才有意义． 学生自学例1.例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？(1)23x ；(2)x x －1；(3)15－3b ；(4)x ＋y x －y. 解：(1)要使分式23x有意义，则分母3x ≠0，即x ≠0； (2)要使分式x x －1有意义，则分母x －1≠0，即x ≠1；(3)要使分式15－3b有意义，则分母5－3b ≠0，即b ≠53； (4)要使分式x ＋y x －y有意义，则分母x －y ≠0，即x ≠y. 思考：如果题目为：当x 为何值时，分式无意义．你知道怎么解题吗？巩固练习：教材第129页练习第3题．3．补充例题：当m 为何值时，分式的值为0?(1)m m －1；(2)m －2m ＋3；(3)m 2－1m ＋1. 思考：当分式为0时，分式的分子、分母各满足什么条件？分析：分式的值为0时，必须同时满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零．答案：(1)m ＝0；(2)m ＝2；(3)m ＝1.三、归纳总结1．分式的概念．2．分式的分母不为0时，分式有意义；分式的分母为0时，分式无意义．3．分式的值为零的条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零．四、布置作业教材第133页习题15.1第2，3题．在引入分式这个概念之前先复习分数的概念，通过类比来自主探究分式的概念，分式有意义的条件，分式值为零的条件，从而更好更快地掌握这些知识点，同时也培养学生利用类比转化的数学思想方法解决问题的能力．15．1.2 分式的基本性质(2课时)第1课时 分式的基本性质1．了解分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行分式的变形．2．会用分式的基本性质求分式变形中的符号法则．重点理解并掌握分式的基本性质．难点灵活运用分式的基本性质进行分式变形．一、类比引新1．计算：(1)56×215；(2)45÷815. 思考：在运算过程中运用了什么性质？教师出示问题．学生独立计算后回答：运用了分数的基本性质．2．你能说出分数的基本性质吗？分数的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的数，分数的值不变．3．尝试用字母表示分数的基本性质：小组讨论交流如何用字母表示分数的基本性质，然后写出分数的基本性质的字母表达式． a b ＝a·c b·c ，a b ＝a÷c b÷c.(其中a ，b ，c 是实数，且c ≠0) 二、探究新知1．分式与分数也有类似的性质，你能说出分式的基本性质吗？分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变． 你能用式子表示这个性质吗？A B ＝A·C B·C ，A B ＝A÷C B÷C.(其中A ，B ，C 是整式，且C ≠0) 如x 2x ＝12，b a ＝ab a 2，你还能举几个例子吗？ 回顾分数的基本性质，让学生类比写出分式的基本性质，这是从具体到抽象的过程． 学生尝试着用式子表示分式的性质，加强对学生的抽象表达能力的培养．2．想一想下列等式成立吗？为什么？－a －b ＝a b ；－a b ＝a －b＝－a b . 教师出示问题．学生小组讨论、交流、总结．例1 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“－”号：(1)－2a －3a；(2)－3x 2y ；(3)－－x 2y . 例2 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数：(1)x ＋1－2x －1；(2)2－x －x 2＋3；(3)－x －1x ＋1. 引导学生在完成习题的基础上进行归纳，使学生掌握分式的变号法则．例3 填空：(1)x 3xy ＝（ ）y ，3x 2＋3xy 6x 2＝x ＋y （ ）； (2)1ab ＝（ ）a 2b ，2a －b a 2＝（ ）a 2b.(b ≠0) 解：(1)因为x 3xy的分母xy 除以x 才能化为y ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需除以x ，即。
人教版八年级数学上册15.2.2.2《分式的混合运算》教案一. 教材分析人教版八年级数学上册15.2.2.2《分式的混合运算》一节，主要让学生掌握分式的加减乘除运算规则，以及混合运算的运算顺序。
这一节内容在分式知识体系中占据重要地位，为后续分式方程和不等式的学习打下基础。
教材通过例题和练习，使学生熟练掌握分式混合运算的方法和技巧。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了分式的基本概念和运算规则，对分式有了一定的认识。
但学生在混合运算方面，可能会存在运算顺序混乱、对运算规则理解不深等问题。
因此，在教学过程中，需要引导学生理清运算顺序，加深对运算规则的理解。
三. 教学目标1.让学生掌握分式的加减乘除运算规则。
2.培养学生解决分式混合运算问题的能力。
3.提高学生对数学运算的兴趣和自信心。
四. 教学重难点1.重点：分式的加减乘除运算规则，混合运算的运算顺序。
2.难点：理解并运用运算规则解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究分式混合运算的规则。
2.用实例讲解，让学生在实际问题中体会运算规则的应用。
3.运用小组合作学习，培养学生团队合作精神。
4.及时反馈，激发学生学习兴趣。
六. 教学准备1.准备相关例题和练习题，涵盖分式混合运算的各种情况。
2.制作课件，辅助讲解和展示。
3.准备黑板，用于板书关键步骤和结论。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）以一个实际问题引入：某商店举行打折活动，原价100元的商品，打8折后售价是多少？让学生尝试用分式混合运算解决这个问题。
2. 呈现（10分钟）讲解分式混合运算的规则，通过PPT展示各种类型的题目，让学生观察和分析，引导学生发现运算规律。
3. 操练（10分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导，及时解答学生的疑问。
4. 巩固（10分钟）学生分组讨论，互相检查答案，教师随机抽取学生回答，检验掌握情况。
5. 拓展（10分钟）让学生举例说明分式混合运算在实际生活中的应用，分享给其他同学。
人教版八年级数学上册第15章《分式》教学设计（共12课时）一. 教材分析人教版八年级数学上册第15章《分式》是学生在学习了实数、代数式、方程等知识后，进一步拓展数学知识的一个章节。
分式作为数学中的一个重要概念，不仅在初中数学中占有重要地位，而且在高中乃至大学的数学学习中也会经常用到。
本章主要内容有分式的概念、分式的运算、分式的性质等。
通过本章的学习，使学生能理解分式的概念，掌握分式的运算方法，了解分式的性质，为后续学习函数、不等式等知识打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对实数、代数式、方程等知识有了初步的认识。
但是，学生对分式的理解还比较模糊，分式的运算和性质对于他们来说是一个新的挑战。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出分式的概念，通过对比、归纳等方法，让学生自己发现并总结分式的性质，从而提高他们的学习兴趣和自主学习能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解分式的概念，掌握分式的基本运算方法，了解分式的性质。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流等方法，培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习分式的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：分式的概念、分式的运算、分式的性质。
2.难点：分式的运算规律、分式的性质的推导和应用。
五. 教学方法1.启发式教学：通过提问、引导、讨论等方式，激发学生的思维，培养他们的抽象思维能力。
2.自主学习：鼓励学生自主探究，发现问题、解决问题，提高他们的自主学习能力。
3.合作交流：引导学生进行小组讨论，分享学习心得，互相帮助，共同提高。
六. 教学准备1.教学PPT：制作清晰、简洁的教学PPT，便于学生理解和记忆。
2.教学素材：准备一些与分式相关的实际问题，用于引导学生从实际问题中抽象出分式的概念。
3.练习题：准备一些分式的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出分式的概念。
第十五章分式15.1分式15.1.1从分数到分式◇教学目标◇【知识与技能】1.了解分式的概念,会判断一个代数式是否是分式;2.能用分式表示简单问题中数量之间的关系,能解释简单分式的实际背景或几何意义.【过程与方法】能通过回忆分数的意义,类比地探索分式的意义及分式的值,渗透数学中的类比,分类等数学思想.【情感、态度与价值观】通过探索和合作交流,培养创新意识和合作精神.◇教学重难点◇【教学重点】分式的概念,掌握分式有意义的条件.【教学难点】分式有、无意义的条件.◇教学过程◇一、情境导入京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉,全长1462 km,是我国最繁忙的铁路干线之一.如果货车的速度为a km/h,快速列车的速度是货车的2倍,那么①货车从北京到上海需要多少时间?②快速列车从北京到上海需要多少时间?③已知从北京到上海快速列车比货车少用12小时,你能列出一个方程吗?二、合作探究探究点1分式的概念典例1在式子1a ,2xyπ,3a2b3c4,56＋x,x7＋y8,9x＋10y中,分式的个数有()A.2B.3C.4D.5[解析]1a ,56＋x,9x＋10y这3个式子的分母中含有字母,因此是分式.其他式子分母中均不含有字母,是整式,而不是分式.[答案]B探究点2分式有无意义的条件典例2如果分式12x＋2有意义,那么x的取值范围是()A.x≠0B.x＝－1C.x≠－1D.x≠1[解析]根据分式有意义列不等式求解.由题意得2x＋2≠0,解得x≠－1.[答案]C分式有意义的条件,应从以下两个方面理解:分式无意义⇔分母为零;分式有意义⇔分母不为零.变式训练要使分式3x3x－7有意义,则x的取值范围是()A.x＝73B.x＞73C.x＜73D.x≠73[答案]D探究点3分式的值典例3若分式x2－9x＋3的值为0,则x的值是()A.±3B.－3C.3D.0[解析]分式的值等于零即分子等于零且分母不等于零.依题意,得x2－9＝0且x＋3≠0,解得x＝3. [答案]C若分式的值为零,需同时具备两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.典例4若分式2x＋1x2＋3的值为正,则x的取值范围是()A.x＞12B.x＞－12C.x≠0D.x＞－12且x≠0[解析]分式的值为正则需要分子分母符号相同,而分母大于0,因此只要分子大于0即可.则2x＋1＞0,解得x＞－12.[答案]B【技巧点拨】分式的值为正时,分子分母同号;分式的值为负时,分式的分子分母异号,可列得不等式组,确定字母取值范围. 变式训练 如果分式|x |－1x －1的值为零,那么x 等于( )A.1B.－1C.0D.±1[答案] B 三、板书设计从分数到分式从分数到分式{分式{分式概念分式形式分式有无意义的条件分式的值{分式的值为0分式的值为负数或正数◇教学反思◇本节的内容是分式的概念,分式的概念是学好全章的基础,是全章中的重点内容之一.借助对分数的认识学习分式的内容,是一种类比的认识方法,本章中常常用类比的方法得到分式的性质,在建立了分式概念之后,必须将分数、分式、整式三个概念之间的联系、区别进一步加以辨析.让学生在原有的知识基础上迅速迁移到新知上来,理解分式的概念.15.1.2分式的基本性质第1课时分式的基本性质与约分◇教学目标◇【知识与技能】1.掌握分式的基本性质,会运用分式的基本性质进行相关的分式变形.2.了解分式约分的意义,能熟练的进行分式约分.【过程与方法】1.经历类比分数的基本性质得到分式的基本性质,培养学生类比的推理能力.2.通过回忆分数的约分,类比地探索分式的约分,渗透数学中的类比、分类等数学思想.【情感、态度与价值观】通过鼓励学生进行探索和交流,培养学生的创新意识和合作精神.◇教学重难点◇【教学重点】1.分式的基本性质的理解和掌握.2.约分的依据和作用.【教学难点】1.分式基本性质的简单运用.2.将分式化成一个最简分式.◇教学过程◇一、情境导入一列匀速行驶的火车,如果t h行驶s km,速度是多少?2t h行驶2s km,速度是多少?3t h行驶3s km,速度是多少?nt h行驶ns km,速度是多少?火车的速度可分别表示为st km/h,2s2tkm/h,3s3tkm/h,nsntkm/h,这些速度相等吗?二、合作探究探究点1分式的基本性质典例1根据变化完成式子的变形:3x2－3xyxy－y2＝3x().[解析]分子分母因式分解,得3x2－3xyxy－y2＝3x(x－y)y(x－y),分式有意义,则y≠0且x－y≠0,化简得,原式＝3xy.变式训练如果分式xy2x＋y中的x,y都扩大为原来的4倍,那么下列说法中,正确的是()A.分式的值不变B.分式的值扩大为原来的4倍C.分式的值缩小为原来的14D.分式的值缩小为原来的18[解析]根据分式的基本性质即可求出答案.原式＝16xy8x＋4y ＝4xy2x＋y.[答案]B探究点2分式变形典例2不改变分式的值,把分式0.1x＋0.2y0.3＋y的分子、分母各项系数都化为整数,得.[解析]要想将分子、分母各项系数都化为整数,可将分子、分母同乘以10,即0.1x＋0.2y0.3＋y ＝10(0.1x＋0.2y)10(0.3＋y)＝x＋2y3＋10y.[答案]x＋2y3＋10y变式训练不改变分式的值,将分式的分子、分母的各项系数都化为整数,则a－23b12＋2b＝.[答案]6a－4b3＋12b探究点3最简分式典例3下列分式中:a33x2,x－yx2＋y2,m2＋n2m2－n2,m＋1m2－1,a2－2ab＋b2a2－2ab－b2,其中最简分式有()A.2个B.3个C.4个D.5个[解析]a33x2,x－yx2＋y2,m2＋n2m2－n2,a2－2ab＋b2a2－2ab－b2这四个是最简分式.而m＋1m2－1＝m＋1(m＋1)(m－1)＝1m－1.[答案]C最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式,不能再约分.判断的方法是把分子、分母分解因式,并且观察有无互为相反数的因式,这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分.探究点4约分典例4化简a2－b2a2＋ab的结果为()A.a－b2a B.a－baC.a ＋baD.a －ba ＋b[解析] 找出原式分子分母的公因式,约分即可得到结果.原式＝(a ＋b )(a －b )a (a ＋b )＝a －ba. [答案] B【技巧点拨】约分时,首先分子分母因式分解,通过分解因式,把分子分母分解成乘积的形式,找出分子分母的公因式,约去公因式便得答案,约分的结果是最简分式或整式. 变式训练 约分:①5ab20a 2b ;②x 2－9x 2－6x ＋9.[解析] ①5ab 20a 2b ＝14a. ②x 2－9x 2－6x ＋9＝(x ＋3)(x －3)(x －3)2＝x ＋3x －3.三、板书设计分式的基本性质与约分1.分式的基本性质{分式的基本性质{语言表达表达式分式基本性质的应用2.分式的约分{分式的约分{定义约分依据最简分式◇教学反思◇本节课在分式教学中占有重要的地位,分式的基本性质是约分、通分的依据.要求学生明确约分的步骤.通过类比分数的基本性质得到分式的基本性质,提出问题,通过学生思考问题,鼓励学生在独立思考的基础上,积极地参与到对数学问题的讨论中来,勇于发表自己的观点,善于理解他人的见解;通过独立练习后小组互助纠错,讨论逐步探究、归纳约分的步骤,体现学生是学习的主人,让学生把自己的思维过程充分暴露,共同整理得到提高.第2课时通分◇教学目标◇【知识与技能】了解分式通分的意义,能熟练地进行分式的通分.【过程与方法】经历探索分式的通分的过程,继续理解数学中的类比的数学思想.【情感、态度与价值观】通过鼓励加强学生小组间的探索和交流,培养合作意识.◇教学重难点◇【教学重点】通分的依据和作用.【教学难点】找最简公分母.◇教学过程◇一、情境导入我们学过分数的通分,你还记得吗?计算:12＋13.类似的,你能计算1a ＋1b吗?二、合作探究探究点1最简公分母典例1对分式12a2b 和13ab3进行通分,则它们的最简公分母为.[解析]12a2b 和13ab3的最简公分母为6a2b3.[答案]6a2b3最简公分母的定义:通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母.通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母,确定最简公分母的方法一定要掌握.变式训练 将分式1a 2－9和a9－3a进行通分时,分母a 2－9可因式分解为 ,分母9－3a 可因式分解为 ,因此最简公分母是 .[解析] ∵a 2－9＝(a ＋3)(a －3),9－3a ＝－3(a －3),∴分式1a 2－9和a9－3a的最简公分母为－3(a ＋3)·(a －3).[答案] (a ＋3)(a －3);－3(a －3);－3(a ＋3)(a －3) 探究点2 通分典例2 (1)通分:x ac ,ybc ;(2)通分:2xx 2－9,x2x ＋6.[解析] (1)xac ＝xbabc ,ybc ＝yaabc . (2)2xx 2－9＝4x2(x ＋3)(x －3),x 2x ＋6＝x (x －3)2(x ＋3)(x －3).三、板书设计通 分分式的通分{分式的通分{定义通分依据最简公分母{定义确定方法◇教学反思◇通分是异分母分式加减的基础,通分的依据也是分式的基本性质,设计好练习,引导学生进行比较归纳,这种学生自主探究的学习方式,让学生探究过程中有所体验,有所感悟,体会确定最简公分母的步骤以及通分需注意的问题.15.2分式的运算15.2.1分式的乘除第1课时分式的乘除◇教学目标◇【知识与技能】理解并掌握分式的乘除法则,运用法则进行运算,能解决一些与分式有关的实际问题.【过程与方法】经历从分数的乘除法运算到分式的乘除法运算的过程,培养学生类比的探究能力,加深对从特殊到一般数学的思想认识.【情感、态度与价值观】通过让学生在自主探究,合作交流中渗透类比转化的思想,使学生感受探索的乐趣和成功的体验.◇教学重难点◇【教学重点】掌握分式的乘除运算.【教学难点】分子、分母为多项式的分式乘除法运算.◇教学过程◇一、情境导入观察下列运算:2 3×45＝2×43×5,57×29＝5×27×9,23÷45＝23×54＝2×53×4,57÷29＝57×92＝5×97×2.猜一猜ab ×dc＝?ba÷dc＝?二、合作探究探究点1分式的乘法典例1化简分式5ab3c ·12c25ab2的结果是()A.43B.4cbC.4a3bD.45bac[解析]进行分式乘除法运算时,先约分,再化简即可.5ab3c ·12c25ab2＝4cb.[答案]B变式训练 计算a 2－4a 2＋4a ＋4×(a ＋2)(a ＋3)(a ＋3)(a －2)的结果是()A.－1B.0C.1D.2[解析] 原式＝(a －2)(a ＋2)(a ＋2)2×(a ＋2)(a ＋3)(a ＋3)(a －2)＝1.[答案] C探究点2 分式的除法典例2 化简a 2＋ab a －b ÷aba －b的结果是( )A.a 2B.a 2a －bC.a －b bD.a ＋bb[解析] 先将分子因式分解,再将除法转化为乘法后约分即可. [答案] D探究点3 分式乘除混合运算典例3 计算(x 2y )·(y x )÷(－yx )的结果是( )A.x 2yB.－x 2yC.xy D.－x y[解析]先将除法转化为乘法,再根据分式的乘法法则计算、约分即可.(x 2y )·(y x )÷(－y x )＝(x 2y )·(yx)·(－x y )＝－x 2y. [答案] B【技巧点拨】做分式乘除混合运算时,一般是先统一为乘法运算,所以分式乘除法的运算,归根到底是乘法的运算,运算的最后结果是最简分式或整式. 变式训练 计算:x －y x ＋y ÷(y －x )·1x －y. [解析]x －y x ＋y ÷(y －x )·1x －y ＝x －y x ＋y ×1y －x ×1x －y ＝1(y ＋x )(y －x )＝1y 2－x2. 三、板书设计分式的乘除分式的乘除{分式的乘法法则分式的除法法则分式的乘除混合运算◇教学反思◇在分式的乘除法这一课的教学中,仍然采用类比的方法,让学生回忆以前学过的分数的乘除法的运算方法,提示学生分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似,要求他们用语言描述分式的乘除法法则.学生反应较好,能基本上完整地讲出分式的乘除法法则;要让学生明确分式乘除运算的结果是最简分式或整式,最后的结果是要化简的.第2课时 分式的乘方◇教学目标◇【知识与技能】理解并记住分式乘方的法则,能运用乘方法则熟练地进行分式乘方运算.【过程与方法】经历探索分式乘方的法则,理解分式乘方的原理,掌握乘方的规律,并能运用乘方规律进行分式的乘方运算.【情感、态度与价值观】通过引导学生分析、归纳,培养学生用类比的方法探索新知识的能力.◇教学重难点◇ 【教学重点】分式的乘方运算.【教学难点】分式的乘除、乘方混合运算.◇教学过程◇ 一、情境导入复习乘方的意义:a m ＝a ×a ×a ×a ×…×a (m 为正整数)指出底数a 可以代表一个数,一个整式或代数式,所以也可以是一个分式a b ,当底数为分式,当m为正整数时,(a b )m ,表示分式的乘方,该怎么计算呢? 二、合作探究探究点1 分式的乘方典例1计算(－5x 2y 3x )2的结果是( ) A.10x 4y 6xB.25x 4y 9xC.25x 4y 29x 2D.－5x 4y 23x 2[解析]原式＝(－5x 2y )2(3x )2＝25x 4y 29x 2. [答案] C【技巧点拨】分式的乘方运算,就是分子分母分别乘方,转化为积的乘方进行运算.探究点2 分式乘除、乘方混合运算典例2 计算(a －b b )2·b a 2－b 2的结果是( ) A.1b B.a －b ab ＋b 2 C.a －b a ＋b D.1b (a ＋b ) [解析] (a －b b )2·b a 2－b 2＝(a －b b )2·b (a ＋b )(a －b )＝a －b ab ＋b 2. [答案] B变式训练 计算:(2a 2b )3÷4a 3b. [解析] 原式＝8a 6b 3×14a 3b ＝2a 3b 4. 三、板书设计分式的乘方分式的乘方{分式的乘方分式的乘除、乘方混合运算◇教学反思◇本节的内容是分式的乘方,教学中从乘方的意义入手,学生探究、归纳容易得到乘方的法则,关键是计算过程的应用,体现分组——交流——合作——探究这种新的课程理念,充分发挥学生的主体作用,全面调动学生的学习积极性,增强课堂的教学效果.在备课中认真分析教材的每一个环节,用心体会教材编排的用意,包括课后的每一道练习题及其安排顺序都要仔细推敲,联系我们学生的实际做好适合自己学生的教学设计.15.2.2分式的加减第1课时分式的加减◇教学目标◇【知识与技能】掌握同分母和异分母的分式加减法的运算法则及其应用.【过程与方法】经历类比分数的加减运算,得出分式的加减法的运算法则的过程,培养学生类比的思想及发展有条理的思考及其语言表达能力.【情感、态度与价值观】通过学习认识到数与式的联系,理解事物拓延的内在本质,丰富数学情感.◇教学重难点◇【教学重点】同分母的分式加减法运算,简单的异分母的分式加减法.【教学难点】当分式的分子是多项式时的分式的减法及将计算结果化到最简.◇教学过程◇一、情境导入从甲地到乙地有两条路,每条路都是3 km,其中第一条路是平路,第二条路有1 km的上坡路,2 km的下坡路.小丽在上坡路的骑车速度为v km/h,在平路上的骑车速度为2v km/h,在下坡路的骑车速度为3v km/h,那么(1)当走第一条路时,她从甲地到乙地需多长时间?(2)当走第二条路时,她从甲地到乙地需多长时间?(3)她走哪条路花费的时间少?少用多长时间?二、合作探究探究点1同分母的分式相加减典例1化简x2x－1＋11－x的结果是()A.x＋1B.x－1C.x2－1D.x2＋1x－1[解析]原式＝x2x－1－1x－1＝x2－1x－1＝(x＋1)(x－1)x－1＝x＋1.[答案]A探究点2异分母分式相加减典例2化简:xx－y －yx＋y,结果正确的是()A.1B.x2＋y2x2－y2C.x－yx＋yD.x2＋y2 [解析]原式＝x(x＋y)(x＋y)(x－y)－y(x－y)(x＋y)(x－y)＝x(x＋y)－y(x－y)(x＋y)(x－y)＝x 2＋xy－xy＋y2 x2－y2＝x 2＋y2x2－y2.[答案]B异分母的分式的加减,先确定最简公分母,通分化为同分母的分式相加减,分子是多项式的注意加括号,最后约分化为最简分式或整式.变式训练化简1a－2－2aa2－4的结果为()A.－a－2B.－1a＋2C.1a＋2D.1a－2[答案]B探究点3求未知系数典例3若方程Ax－3＋Bx＋4＝2x＋1(x－3)(x＋4),则A,B的值分别为()A.2,1B.1,2C.1,1D.－1,－1[解析]通分,得Ax＋4A＋Bx－3B(x－3)(x＋4)＝2x＋1(x－3)(x＋4).则(A＋B)x＋(4A－3B)＝2x＋1.由相等项的系数相等,得{A＋B＝2,4A－3B＝1,解得{A＝1,B＝1.[答案]C三、板书设计分式的加减分式的加减{同分母分式加减异分母分式加减应用◇教学反思◇本节的内容是分式的加减,先有两道同分母分数加减法的计算题引入,猜测归纳出分式运算法则及注意事项,然后遵循由浅入深,由简到繁的原则,由同分母分式的加减,到异分母分式加减法的基础.接着讲异分母分式的加减,异分母的分式加减运算与同分母分式加减运算相比要困难一些.给足充分的时间让学生去演算,去暴露问题,分析查找错误所在,为后一步的学习提供了较好的对比分析的材料,让他们留下深刻的印象.第2课时 分式的混合运算◇教学目标◇【知识与技能】明确分式混合运算的顺序.【过程与方法】经历探索分式混合运算步骤的过程,能熟练地进行分式的混合运算.【情感、态度与价值观】结合已有的数学经验解决新问题,获得成就感和克服困难的方法和勇气.◇教学重难点◇ 【教学重点】分式混合运算的顺序.【教学难点】分式的混合运算.◇教学过程◇一、情境导入我们学习了分式的加减乘除、乘方运算,你能解决下面的问题吗?化简:(3a ＋1－a ＋1)÷a 2－4a ＋4a ＋1. 二、合作探究探究点1 分式乘除混合运算典例1 化简:16－a 2a 2＋8a ＋16÷a －42a ＋8·a －2a ＋2.[解析] 原式＝－(a ＋4)(a －4)(a ＋4)2·2(a ＋4)a －4·a －2a ＋2＝－2(a －2)a ＋2.探究点2 分式混合运算典例2 先化简,再求值:(x －2－x 2x ＋2)÷4x 2－4,其中x ＝5.[解析]原式＝x 2－4－x 2x ＋2×(x ＋2)(x －2)4 ＝－4x ＋2×(x ＋2)(x －2)4 ＝－(x －2)＝－x ＋2.当x ＝5时,原式＝－5＋2＝－3.探究点3 化简求值典例3先化简,再求值:(x 2x －2＋42－x )÷x 2＋4x ＋4x .其中x 的值从不等式组{－x ＜12x －1≤3的整数解中选取. [解析] 由不等式组可解得－1＜x ≤2.∵x 是整数,∴x ＝0或1或2.∴原式＝x 2－4x －2÷(x ＋2)2x ＝(x ＋2)·x (x ＋2)2＝x x ＋2, 当x ＝0时,原式＝0.当x ＝2时,原式＝12.当x ＝1时,原式＝13.三、板书设计分式的混合运算分式的混合运算{分式乘除混合运算分式的混合运算应用:化简求值◇教学反思◇本节是一节习题课,内容是分式的混合运算,要把握运算顺序.不少学生在分式运算中出错,就是因为不重视审题,题没看完就动笔计算,或者受题中部分算式的特殊结构的影响而不遵循运算顺序,如化简,就常出现乱约分而不遵循运算顺序的典型错误,要同学通过练习、板演充分暴露问题所在,纠正,最后总结出容易忽视和出错的地方,提醒自己.15.2.3 整数指数幂第1课时 负整数指数幂◇教学目标◇【知识与技能】理解负整数指数幂的意义,熟练运用整数指数幂运算性质进行运算.【过程与方法】通过观察、推理、总结得出负整数指数幂的意义,体验利用负整数指数幂进行乘除法的转化.【情感、态度与价值观】通过独立思考、同伴交流、自主发现问题解决问题,提高学生的学习兴趣和学习主动性.◇教学重难点◇ 【教学重点】理解负整数指数幂的意义,掌握运算性质.【教学难点】理解负整数指数幂的产生过程和意义.◇教学过程◇一、情境导入我们学过了正指数、0指数,有负指数吗?试用不同的方法计算:a 5÷a 8.二、合作探究探究点1 负指数 典例1 计算(12)－1所得结果是( ) A.－2 B.－12 C.12 D.2[解析] 根据负整数指数幂的运算法则计算即可.(12)－1＝112＝2. [答案] D对于负指数的计算,直接利用公式a －p ＝1a p ,化为正指数计算;注意0没有负指数和0指数.探究点2 整数指数幂典例2 计算(－3a －1)－2的结果是( )A.6a 2B.19a 2C.－19a 2 D.9a 2 [解析] 根据积的乘方的性质以及负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数进行计算即可得解.(－3a －1)－2＝(－3)－2(a －1)－2＝19a 2. [答案] B探究点3 负整数指数幂的运算典例3 化简:(m 3n )－2·(2m －2n －3)－2.[解析] (m 3n )－2·(2m －2n －3)－2 ＝m －6n －2×14×m 4n 6＝14m －2n 4＝n 44m 2.变式训练 计算:a －2b 2·(－2a 2b －2)÷(a －4b 2).[解析] a －2b 2·(－2a 2b －2)÷(a －4b 2)＝－2a 0b 0÷(a －4b 2)＝－2a 4b －2＝－2a 4b 2.三、板书设计负整数指数幂整数指数幂{负指数计算公式整数指数{正指数0指数负指数整数指数幂的运算◇教学反思◇本节内容在学过正整数幂和零指数幂的基础上展开学习的,从同底数幂的除法,要求被除式的指数要大于除式的指数.教材抓住这个条件,展开探索,从约分和同底数幂的除法两个角度“殊途同归”说明了定义负整数指数幂的合理性,引出负指数,进而探究幂的运算五条法则同样适用于负指数,使指数得到扩充.第2课时用科学记数法表示绝对值小于1的数◇教学目标◇【知识与技能】能用科学记数法表示绝对值小于1的数.【过程与方法】经历探索用科学记数法表示绝对值小于1的数的过程,理解科学记数法.【情感、态度与价值观】通过学习感受数学与生活的密切联系,开阔学生视野,感受数学的简洁美.◇教学重难点◇【教学重点】能用科学记数法表示绝对值小于1的数.【教学难点】科学记数法的格式以及指数的确定方法.◇教学过程◇一、情境导入江河湖海都是由一滴滴水汇集而成的,每一滴水又含有许许多多的水分子.一个水分子的质量只有0.00000000000000000000003克.这样小的数写起来太麻烦了,有没有其他的记法?二、合作探究探究点用科学记数法表示绝对值小于1的数典例1某种细胞的直径是0.00000095米,将0.00000095用科学记数法表示为()A.9.5×10－7B.9.5×10－8C.0.95×10－7D.95×10－5[解析]0.00000095＝9.5×0.0000001＝9.5×10－7.[答案]A典例2肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007 mm.其中0.0007用科学记数法可表示为()A.0.7×10－3B.7×10－4C.7×10－5D.70×10－6[解析]用科学记数法写成a×10n的形式,主要是确定a×10n中的a和n.因为1≤a＜10,所以从0.0007中确定出a＝7,再确定10的指数.0.0007＝7×10－4.[答案]B把一个数写成a×10n的形式(其中1≤a＜10,n为负整数),这种记数法称为科学记数法,其方法是:(1)确定a,a是只有一位整数的数;(2)确定n,当原数的绝对值＜1时,n为负整数,|n|等于原数的第一个非零数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零).三、板书设计用科学记数法表示绝对值小于1的数科学记数法{定义表示方法◇教学反思◇本节课的内容是用科学记数法表示绝对值小于1的数,内容比较简单,注意师生互动,提高学生的思维效率;针对学生的问题,用相应的练习巩固,关键是通过练习让学生讨论发现指数的确定方法,让学生理解数学在社会实践中的应用.15.3分式方程第1课时分式方程及其解法◇教学目标◇【知识与技能】1.理解分式方程的概念,能将实际问题中的等量关系用分式方程表示,体会分式方程的模型作用;2.知道分式方程的意义,会解可化为一元一次方程的分式方程.3.能熟练解分式方程.【过程与方法】1.经历“实际问题—分式方程模型”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识.2.经历解分式方程的过程,体会解分式方程的转化思想,以及转化时需满足的条件.【情感、态度与价值观】在探索活动和解方程中培养学生乐于探究、合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值.◇教学重难点◇【教学重点】探索如何将分式方程转化为整式方程并掌握解分式方程的一般步骤.【教学难点】寻求实际问题中的等量关系,寻求不同的解决问题的方法.◇教学过程◇一、情境导入甲、乙两人加工同一种服装,乙每天比甲多加工1件,已知乙加工24件服装所用时间与甲加工20件服装所用时间相同.甲每天加工多少件服装?二、合作探究探究点1分式方程的定义典例1下列关于x的方程中,是分式方程的是()A.3x＝12B.x＋25＝3＋x4C.1x＝2 D.3x－2y＝1[解析] 根据分式方程的定义分母中含有未知数的方程,即可判断.A 是整式方程中的一元一次方程,不符合题意;B 是整式方程中的一元一次方程,不符合题意;C 是分式方程,符合题意;D 是整式方程中的二元一次方程,不符合题意.[答案] C探究点2 解分式方程典例2 解方程:1x ＋1＋3x x －1＝3.[解析] 去分母,得(x －1)＋3x (x ＋1)＝3(x ＋1)·(x －1),去括号,得x －1＋3x 2＋3x ＝3x 2－3,合并同类项,得4x ＝－2,解得x ＝－12,经检验,x ＝－12是原分式方程的解.所以原分式方程的解是x ＝－12.解分式方程的步骤:①去分母;②求出整式方程的解;③检验;④得出结论;注意解分式方程必须检验. 探究点3 分式方程的增根典例3 关于x 的分式方程7x x －1＋5＝2m －1x －1有增根,则m 的值为( )A.1B.3C.4D.5[解析] 方程两边都乘(x －1),得7x ＋5(x －1)＝2m －1,∵原方程有增根,∴最简公分母(x －1)＝0,解得x ＝1,当x ＝1时,7＝2m －1,解得m ＝4.[答案] C【技巧点拨】分式方程的增根问题可按如下步骤进行:①让最简公分母为0确定增根;②化分式方程为整式方程;③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.探究点4 解分式方程的步骤 典例4 如图所示,小琳总结了“解可化为一元一次方程的分式方程”的运算流程,那么A 和B 分别代表的是( )A.分式的基本性质,最简公分母＝0B.分式的基本性质,最简公分母≠0C.等式的基本性质2,最简公分母＝0D.等式的基本性质2,最简公分母≠0[解析] 去分母的依据是等式基本性质2,检验时最简公分母等于零,原分式方程无解.[答案] C探究点5 分式方程的解典例5 阅读后解决问题:在“15.3分式方程”一课的学习中,老师提出这样的一个问题:如果关于x 的分式方程a x －1＋31－x ＝1的解为正数,那么a 的取值范围是什么?经过交流后,形成下面两种不同的解析:小明说:解这个关于x 的分式方程,得到方程的解为x ＝a －2.因为解是正数,可得a －2＞0,所以a ＞2. 小强说:本题还要必须a ≠3,所以a 取值范围是a ＞2且a ≠3.(1)小明与小强谁说的对,为什么?(2)关于x 的方程mx －1x －2＋12－x ＝2有整数解,求整数m 的值.[解析] (1)小强的说法对,理由如下:解分式方程,得到方程的解为x ＝a －2,因为解是正数,可得a －2＞0,即a ＞2,同时a －2≠1,即a ≠3,则a 的范围是a ＞2且a ≠3.(2)去分母,得mx －1－1＝2x －4,整理,得(m －2)x ＝－2,当m ≠2时,解得x ＝－2m －2,由方程有整数解,得到m －2＝±1,m －2＝±2,解得m ＝3,4,0.三、板书设计分式方程及其解法分式方程{分式方程定义分式方程的解解分式方程分式方程的解法{ 解分式方程分式方程的增根解分式方程的步骤分式方程的解◇教学反思◇本节课的内容是分式方程的定义和分式方程的解法,难点是分式方程增根产生的原因,教学中鼓励学生进行反思和自主探索并与同学、老师共同合作交流.让学生主动地获得知识,而且在学习过程中产生积极的学习兴趣,理解解分式方程的转化思想,让学生在以后的学习中能运用“转化”的数学思想,解决问题.在教学过程中,教师应精心创设求知情境.充分发挥学生主体作用,调动学生学习的积极性和主动性,积极参与教学活动,成为知识的发现者,使学生自觉地而不是被动地进行学习.。
