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数学和谐美的例子可以从几何学中找到，比如圆形、球体和黄金分割等。
1. 圆形：圆在数学和物理学中都有着重要的地位。
在几何学中，圆是一个完美的图形，它的所有点到中心的距离都是相等的。
这使得圆具有高度的对称性和和谐性。
2. 球体：在几何学中，球体是一个三维的圆形，它的表面上的所有点到中心的距离都相等。
球体的形状在自然界中也很常见，如地球、太阳和许多其他星球都是球形。
3. 黄金分割：黄金分割是一种比例，它被认为是最具有美感的比例。
在艺术和建筑中，黄金分割被广泛使用，以创造和谐的构图和美感。
以上这些例子都表明，数学中存在着一种和谐和美感，这种美感可以通过数学公式和定理来表达和描述。
数学之美——黄金分割前 言数学可以说是各学科的灵魂，数学中蕴涵着文化价值、美学价值、以及经济价值，而这些价值究竟是如何体现的?随着我国教育水平的逐步提高，我们对数学这门科学的学习更加透彻，我们就以数学中的两大宝藏之一“黄金分割”为例，黄金分割是我们最常见的一种和谐比例关系，即是毕达哥拉斯学派提出的“黄金分割”又称“黄金段”或“黄金率”。
在初中教学中对黄金分割的了解还不是很深，只是对黄金分割的定义做了简单的说明和简单的练习。
随着我们数学能力水平的提升，我们了解到了许多重要的与黄金分割相关联的数学知识，本节主要解决杨辉三角形等数学量与黄金分割的关系，以及与黄金分割有关的一些概念，最后，将进一步阐述黄金分割的实际应用，可见黄金分割用途之广泛，影响之深远。
另外，我真诚的希望通过本节学习，能够让学生更多的了解黄金分割的实质和内涵，对以后的学习有进一步的帮助。
一、黄金分割的起源与发展1.1 黄金分割的定义古希腊雅典学派的第三大数学家欧道克萨斯首先提出黄金分割。
所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。
证明方法为：设有一根长为1的线段AB 在靠近B 端的地方取点C ，)(CB AC >使AC AB CB AC ::= 则点C 为AB 的黄金分割点。
设x AC =，则x BC -=1 代入定义式AC AB CB AC ::= 可得x x x :1)1(:=-即 012=-+x x 解该二次方程：2151--=x 2152-=x 其中1x 为负值舍掉。
所以 215-=AC 约为618.0.黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。
0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。
上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。
相似三角形及黄金分割相似三角形是初中数学中常见的一个概念，黄金分割则是数学、艺术以及自然界中随处可见的一个特殊比例。
本文将详细介绍相似三角形的定义和性质，以及黄金分割的由来和应用。
一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
具体来说，如果两个三角形的对应角相等，并且对应边的比例相等，那么这两个三角形就是相似三角形。
相似三角形有以下几个重要性质：1. 对应角相等：相似三角形的对应角相等，即相应顶点处的角度相等。
2. 对应边成比例：相似三角形的对应边的比值相等，即相应边的长度比例相等。
3. 面积成比例：相似三角形的面积与对应边的平方成正比。
二、黄金分割的由来黄金分割是指一种特殊的比例关系，它得名于古希腊的黄金矩形。
黄金矩形的特点是长边与短边之比等于整个矩形与长边之比，即(a+b)/a = a/b，解这个方程可得到黄金分割比例为(1+√5)/2≈1.618。
黄金分割在古代希腊建筑和艺术中被广泛运用，例如帕尔腊提农神庙的柱子高度与直径的比例就是黄金分割比例。
三、黄金分割的应用黄金分割不仅在艺术中起到美学效果，也在数学和自然界中有广泛应用。
1. 黄金矩形：黄金矩形由两个边长比为黄金分割比例的矩形构成，具有美学上的完美比例。
2. 黄金螺旋：黄金螺旋是一种特殊的螺旋线，它的每个旋钮都与前一个正方形的一个顶点相切，并继续扩展下去。
黄金螺旋在自然界中很常见，例如太阳花的花瓣排列、螺旋壳的形状等。
3. 黄金短线：黄金短线是指黄金螺旋中与正方形的边相交的线段，它们的长度比也是黄金分割比例。
4. 黄金长方形：黄金长方形是指长和宽之比为黄金分割比例的长方形。
黄金分割的应用远不止于此，在数学、艺术、建筑以及金融等领域都有重要的作用。
综上所述，相似三角形和黄金分割都是数学中的重要概念。
相似三角形不仅帮助我们研究三角形的性质和应用，而且也是许多数学问题的基础。
而黄金分割则在各个领域中展现出其独特的美学效果和实际应用，为我们赋予了许多经典的作品和理论。
学科教师辅导讲义六．三角形重心的定义：证（解）题规律、辅助线1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。
2．找相似找不到，找中间比。
方法：将等式左右两边的比表示出来。
⑴)(,为中间比nm n m d c n m b a == ⑵'',,n n nm d c n m b a === ⑶),(,''''''nm n m n n m m n m d c n m b a =====或 3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k 。
5．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。
例题分析：例1：如图 4－85． AB ⊥于l. CD ⊥l 于 C,E 为 AD 中点．求证：△EBC 是等腰三角形．例2：如图4－86，CB ⊥AB ，DA ⊥AB ，M 为CD 中点．求证：∠MAB ＝∠MBA ．例3：若25a c eb d f ===，求ac bd --，234234a ce b df +-+-4.已知：如图20□AB C D 中E 为AD 的中点，AF ：AB =1：6，EF 与AC 交于M 。
求：AM ：AC 。
5.已知：E 是正方形ABCD 的AB 边延长线上一点，DE 交CB 于M ，MN ∥AE ，求证：MN =MB6、已知线段AB 长为1cm ，P 是AB 的黄金分割点，则线段PA= ;7、已知：M 是线段AB 的黄金分割点，AM>BM. 求证：AMAB AB AB AM =+。
相似三角形与黄金分割相似三角形以及黄金分割是几何学中非常重要且常见的概念。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形，而黄金分割则是指一条线段被分成两部分，其中较长部分与整体长度的比例等于较短部分与较长部分的比例。
这两个概念在几何学、艺术等领域具有广泛的应用与价值。
本文将分别介绍相似三角形和黄金分割的定义、属性以及常见应用。
一、相似三角形相似三角形的定义是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
在相似三角形中，对应角度相等，对应边长成比例。
简而言之，如果两个三角形的三个角度分别相等，或者两个三角形的相应边长成比例，那么它们就是相似三角形。
相似三角形具有以下属性：1. 角对应相等：在相似三角形中，对应角度是相等的。
例如，若角A对应角A'，角B对应角B'，角C对应角C'，则有∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。
2. 边对应成比例：在相似三角形中，对应边的长度成比例。
假设边AB对应边A'B'，边BC对应边B'C'，边AC对应边A'C'，则有AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'。
3. 周长比例：相似三角形的周长比等于边长比。
设ABC和A'B'C'为相似三角形，其对应边的长度比为k，则有周长(ABC)/周长(A'B'C') = AB+BC+AC / A'B'+B'C'+A'C' = k。
相似三角形在几何学中具有广泛的应用。
例如在地图制作中，为了在有限的空间内表达大范围的地理信息，常常使用相似三角形来进行比例缩放。
此外，在建筑设计中，相似三角形也是设计与施工的基础。
通过利用相似三角形的性质，设计师可以快速计算出建筑物的尺寸，并确保其比例合理。
二、黄金分割黄金分割是一种比例关系，指的是一条线段被分成两部分，其中较长部分与整体长度的比例等于较短部分与较长部分的比例。
数学之美——黄金分割前 言数学可以说是各学科的灵魂，数学中蕴涵着文化价值、美学价值、以及经济价值，而这些价值究竟是如何体现的?随着我国教育水平的逐步提高，我们对数学这门科学的学习更加透彻，我们就以数学中的两大宝藏之一“黄金分割”为例，黄金分割是我们最常见的一种和谐比例关系，即是毕达哥拉斯学派提出的“黄金分割”又称“黄金段”或“黄金率”。
在初中教学中对黄金分割的了解还不是很深，只是对黄金分割的定义做了简单的说明和简单的练习。
随着我们数学能力水平的提升，我们了解到了许多重要的与黄金分割相关联的数学知识，本节主要解决杨辉三角形等数学量与黄金分割的关系，以及与黄金分割有关的一些概念，最后，将进一步阐述黄金分割的实际应用，可见黄金分割用途之广泛，影响之深远。
另外，我真诚的希望通过本节学习，能够让学生更多的了解黄金分割的实质和内涵，对以后的学习有进一步的帮助。
一、黄金分割的起源与发展1.1 黄金分割的定义古希腊雅典学派的第三大数学家欧道克萨斯首先提出黄金分割。
所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。
证明方法为：设有一根长为1的线段AB 在靠近B 端的地方取点C ，)(CB AC >使AC AB CB AC ::= 则点C 为AB 的黄金分割点。
设x AC =，则x BC -=1 代入定义式AC AB CB AC ::= 可得x x x :1)1(:=-即 012=-+x x 解该二次方程：2151--=x 2152-=x 其中1x 为负值舍掉。
所以 215-=AC 约为618.0.黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。
0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。
上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。
有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。
大多数门窗的宽长之比也是0.618；有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137度28'，这恰好是把圆周分成1:0.618的两条半径的夹角。
据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。
建筑师们对数学0.618特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618有关的数据。
人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处。
艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美。
1.2黄金分割的发展史据记载黄金分割是在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最宝贵的算法”。
这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们现在常说的比例方法。
其实有关“黄金分割”，我国也有记载。
虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。
经考证。
欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。
由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
公元前300年前后欧几里得撰写《帕乔利》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。
到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。
黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。
最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。
其实，黄金分割比在未发现之前，在客观世界中就存在的，只是当人们揭示了这一奥秘之后，才对它有了明确的认识。
当人们根据这个法则再来观察自然界时，就惊奇的发现原来在自然界的许多优美的事物中的能看到它，如植物的叶片、花朵，雪花，五角星……许多动物、昆虫的身体结构中，特别是人体中更是有着丰富的黄金比的关系。
当人们认识了这一自然法则之后，就被广泛地应用于人类的生活之中。
此后，在我们的生活环境中，就随处可见了，如建处门窗、橱柜、书桌；我们常接触的书本、报纸、杂志；现代的电影银幕。
电视屏幕，以及许多家用器物都是近似这个数比关系构成的。
在美术史上曾经把它作为经典法则来应用。
有许多美术家运用它创造了不少不朽的著名。
早在公元前六世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯就发现了在这种分割状态下存在的和谐美，后来古希腊美学家柏拉图正式将此称为黄金分割，并一直被认为是最佳比例－－在艺术，建筑，自然界，甚至我们的生活中，这种0.618的美都处处存在。
二、黄金分割在数学中的渗透2.1 黄金分割在数学学文化中的应用随着新课程改革的进行，数学教学不只是简单的知识传授，更加注意对数学思想方法的总结，使之能被学生完全领悟并应用，进而更好的发挥数学的本质。
黄金分割就是数学思想的集中体现，其中特别引人注目的是“数形结合”的思想，因此，黄金分割被称之为神圣的比例，“0.618”同时也被誉为黄金数。
数学有着极其重要的价值，其文化价值的教育目的，就是让学生在学习的同时能够鉴赏和体会数学的美，促进学生形成好的数学观念，增加对数学学习的兴趣。
下面我们就来了解黄金分割的数学价值。
2.2 黄金分割在初中教材中的地位和作用《黄金分割》是北师大版八年级数学下册第四章《相似图形》第二节的内容。
本章是继图形的全等之后集中研究图形形状的内容，它与前后有关几何部分的内容都有着密切的关系，是对图形全等内容的进一步拓广与发展。
整个设计目的是引导学生观察、分析生活现实和数学现实中的相似现象，总结图形相似的有关特征并自觉的应用到现实之中，逐步形成正确的数学观。
同时，通过“图形的相似”进一步丰富学生的数学活动经验，有意识的培养学生积极的情感、态度，认识数学丰富的人文价值，促进学生观察、分析、归纳、概括的一般能力和审美意识的发展。
《黄金分割》这一节内容通过建筑、艺术等方面的实例让学生进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，同时在教学中让学生学会观察、操作、实验、合作与交流以及学会学习就变得更为重要。
下面我就给大家介绍怎么样才能计算出黄金分割比（0.618）它的具体做法是：一、作一线段AB二、过B 作一条直线垂直于AB ，在此直线上取BD ，使2AB BD ，并联结AD 。
三、以D 为圆心，BD 长为半径作弧，交AD 于C 。
四、以A 为圆心，AC 长为半径作弧，交AB 于P ，则点P 是线段的黄金分割点。
以上这种比例性质产生了黄金分割，把它从线段推广到平面图形，可以发现不少图形，因此颇有特点。
黄金分割中特别引人注目的是“数形结合”的思想，它被世人称之为和谐性的最完美的表现，“0.618”被誉为黄金数、神圣的比例、宇宙的美神。
教师在教学中引用学生非常熟悉的五角形和舞台报幕员所站位置的现实情境，将抽象的数字与其所反映的图形有机地结合起来，通过对直观图形的观察与分析，化抽象为直观，化直观为精确，进一步了解“黄金分割”的数学特征。
数学教学中用“数形结合”的思想引导学生思考，在培养形象思维能力的同时，也促进了逻辑思维的发展。
随着新课程的改革，挖掘数学文化在数学教学中的价值将逐步得到确认，这也是义务教育对数学课堂教学的时代要求。
在毕业后，我们将会成为数学教师，所以我们应不断地加强自身的数学文化素养，更加深入地研究数学文化与数学教学，努力在数学学习的过程中真正体会到数学的文化价值。
2.3 黄金分割在教材中的实际应用下面继续了解黄金分割在教材中的实际作用，我们以实际例题来解决有关黄金分割的理论问题。
例1 美是一种感觉，当人体下半身长于高的比值接近618.0时，越给人一种美感。
例如，某女士身高cm 165，下半身长与身高的比值是，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）A . 4cm B . 6cm C . 8cm D .10cm例2 为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高为m 2的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案，小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中。
小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度（精确到m 01.0，参考数据：414.12≈732.13≈，236.25≈）A . 0.62m .B 0.76m C . 1.24m D . 1.62m例3 校团委举办“五•四手抄报比赛”。
手抄报规格统一设计成：长8.0米的黄金矩形（黄金矩形的长与宽的比是1:6.1），则宽为 米。
例4 哥哥身高68.1米，在地面上的影子长是1.2米，同一时间测得弟弟影子长8.1米，则弟弟身高是（ ）A . m 44.1 B .m 52.1 C .m 96.1 D .m 25.2例5 将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，()0,0O ，()0,6A ()3,0C ，动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动。
当其中一点到达终点时，另一点也停止运动。
设点P 的运动时间为t （秒）。
（1）用含t 的代数式表示OP ，OQ ；（2）当1=t 时，如图1，将沿OPQ ∆沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标；（3）连接AC ，将沿PQ 翻折，得到EPQ ∆，问：PQ 与AC 能否平行？PE 与AC 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由。
我们看完以上几道题，就可以知道有关黄金分割的实际例子很多，在我们初中数学教学中有极其广泛的应用。
为我们解决了很多生活中实际的难题和问题。
2.4 与黄金分割有关的黄金图形黄金分割具有很多的优点和广泛的作用，那么黄金分割是如何解决这些问题的，其根本原因是构成黄金分割的重要因素的作用，以下是构成黄金分割的基本元素：（一）黄金分割点：黄金分割点是分一线段为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄金分割的点。
线段上有两个这样的点。
利用线段上的两个黄金分割点，可以作出正五角星，正五边形等。
（二）黄金分割线：由黄金分割点联想到“黄金分割线”，并类似地给出“黄金分割线”的定义：直线L 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S 、2S ，如果，21S S =那么称直线L 为该图形的黄金分割线。
