工程问题
1、基本概念及关系。
工作量：“1”，单人工作效率，
1a （0a >），两人合作完成时间：111()a b
÷+（a 、b 都大于1） 2、常规工程问题
例：一项工程，单独做，甲要10天，乙要15天，丙要12天。
（1）甲乙合作几天完成？（2）甲乙丙三人合作几天完成？ 111()1015÷+ 1111()101512
÷++ （3）甲先做2天，余下的乙、丙合作还要几天完成？
111(12)()101512
-⨯÷+ （4）甲乙合作两天，余下的甲丙合作还要几天？
11111()2()10151012
⎡⎤-+⨯÷+⎢⎥⎣⎦ （5）甲乙丙三人合作几天完成全工程的34
？ 11131()1015124⎡⎤÷++⨯⎢⎥⎣⎦或3111()4101512÷++ 练：一项工作，甲乙合作8天完成，乙丙合作9天完成，丙、甲合做18天完成，那么，丙单独做，多少
天才能完成？
1117()2891848++÷=……三人工效和，71148848-=……丙工效，114848
÷=（天） 答：丙独做48天才能完成。
3、“假设法”解题
例：制作一批零件，师徒2人合作8天完成，若果师傅单独做12天可以完成，现在由徒弟做了若干天后，
再由师傅继续做，全部完成共用了15天。求师徒各工作了多少天？
11181224-=……徒弟工效，假设这15天都是徒弟做，则只能完成1524，还剩（111524
-⨯），这恰好
对应，师徒工效差。111(115)()9241224
-
⨯÷-=（天）……师傅 15－9＝6（天）……徒 答：师傅工作了9天，徒弟工作了6天。
练：一项工程，单独做甲要20天，乙要12天，如果先由甲做若干天，然后乙继续做完，一共用了14天，
那么，甲乙两人各做了多少天？
假设14天都由乙做，则
11141126⨯=，比总工作量1多了116， 所以111()561220
÷-=（天）……甲 14－5＝9（天）……乙 答：甲做了5天，乙做了9天。
4、“代填法”解题
例：某工程先由甲做了63天，再由乙做28天即可完成，如果由甲乙合作，需要48天完成，现在甲做42
天，然后由乙接着做完，那么，乙还需要多少天？
因为甲乙合作48天完成任务，那么，甲单做63天比合作48天多了15天，乙单独做28天比合作
48天少了20天，所以甲15天的工作量等于乙20天的工作量，即：甲乙工作效率（量）的比是4：3，
现在甲先做了42天，比63天少了21天，这21天的工作量如果让乙做则要21×
43＝28天。 4(6342)28563
-⨯+=（天） 答：乙还要56天。
4、特殊工程问题
有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑
运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题
例1：修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。两队合作，每天工作6
小时，几天可以完成？
把前两个条件综合为“甲队40小时完成”，后两个条件综合为“乙队60小时完成”。则
1÷[1
5×8+
1
10×6
]÷6=4（天）
或1÷[（1
5×8+
1
10×6
）×6]=4（天）
答：4天可以完成。
例2：有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？
设搬运一个仓库的货物的工作量为“1”。总整体上看，相当于三人共同完成工作量“2”
①三人同时搬运了
2÷（1
10+
1
12
+
1
15
）=8（小时）
②丙帮甲搬了
（1-1
10×8）÷
1
15
=3（小时）
③丙帮乙搬了
8-3=5（小时）
答：丙帮甲搬了3小时，帮乙搬了5小时。
例3：一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用了14天。这件工作由甲先做了几天？
解法一：根据两人做的工作量的和等于单位“1”列方程解答，很容易理解。
解：设甲做了x天，则乙做了（14-x）天。
1 20x+
1
12
×（14-x）=1
X=5
解法二：假设这14天都由乙来做，那么完成的工作量就是112 ×14，比总工作量多了112 ×14-1=16
，乙每天的能够做量比甲每天的工作两哦了112 -120 =130 ，因此甲做了16 ÷130
=5（天） 例4：甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。中途甲因事停工3天，因此，两人共用了10天才
完成。如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？
解法一：先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率。最后求出甲单独做需要的天数。
① 甲、乙同时做的工作量为18 ×（10-3）＝78
② 乙单独做的工作量为1－78 ＝18
③ 乙的工作效率为18 ÷3=124
④ 甲的工作效率为18 －124 ＝112
⑤ 甲单独做需要的天数为1÷112
＝12（天） 解法二：从题中得知，由于甲停工3天，致使甲、乙两人多做了（10-8=）2天。由此可知，甲3天的工
作量相当于这批零件的2÷8=1/4
3÷[（10-8）÷8]=12（天）或
3×[8÷（10-8）]=12（天）
答：甲单独做需要12天完成。
【水管问题】
从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水
