平方差公式(二)简便运算

初中数学什么是平方差公式
平方差公式是初中数学中一个重要的公式，用于计算两个数的平方差。

它的一般形式可以表示为：
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
其中，a和b是任意实数。

平方差公式的推导可以通过展开左边的乘积来得到。

具体步骤如下：
1. 将(a + b)(a - b)展开：
(a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b)
= a^2 - ab + ab - b^2
= a^2 - b^2
在这个过程中，我们可以看到中间的两项-ab和ab相互抵消，最终得到了平方差公式的形式。

平方差公式的应用非常广泛，可以帮助我们简化复杂的计算，解决各种数学问题。

一些常见的应用包括：
1. 因式分解：
平方差公式可以用于因式分解，特别是当我们需要将一个差的平方进行因式分解时，可以直接应用平方差公式得到因式分解形式。

2. 简化计算：
平方差公式可以帮助我们简化各种数学计算。

例如，当需要计算一个数的平方与另一个数的平方之差时，可以直接应用平方差公式，避免繁琐的计算步骤。

3. 解方程：
平方差公式可以用于解一些特殊的方程。

例如，当我们需要解一个二次方程时，可以通过平方差公式将其转化为两个一次方程，从而求得方程的解。

总之，平方差公式是初中数学中一个重要的工具，可以帮助我们简化计算，解决各种数学问题。

通过掌握平方差公式，我们可以更好地理解和运用数学知识。

公式法之平方差公式平法差公式是指在代数运算中，存在一种形如(a+b)(a-b)的乘法运算规则，可以将两个相邻的平方差式表示为一个乘法式，从而简化计算。

平方差公式的推导可以通过展开乘法(a+b)(a-b)的过程进行，具体推导如下：首先，我们假设a和b是任意实数。

那么(a+b)可以看作是一个单位，(a-b)可以看作是一个差数。

我们将其展开：(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)接下来，我们将展开式中的乘法运算进行分配：=a*a-a*b+b*a-b*b= a^2 - ab + ba - b^2由于ab和ba表示的是相同的乘法运算，所以我们可以将它们合并：= a^2 - ab + ab - b^2=a^2-b^2可以看到，展开式的结果是a^2和b^2的差。

这个差就是平方差公式的核心内容。

因此，平方差公式可以表示为：(a+b)(a-b)=a^2-b^2这个公式在代数运算中非常常用，并且在很多数学问题的解答中都会用到。

通过使用平方差公式，可以将两个相邻的平方差式简化为一个乘法式，从而可以更方便地进行运算。

举例来说，假设我们需要计算(3+2)(3-2)的值。

根据平方差公式，可以得到：(3+2)(3-2)=3^2-2^2=9-4=5因此，(3+2)(3-2)的值等于5平方差公式在解决二次方程、因式分解、简化分数等问题中都有广泛的应用。

通过运用平方差公式，可以将复杂的运算问题转化为简单的代数运算，从而更加容易进行计算和解答。

总结起来，平方差公式是一种代数运算规则，可以将两个相邻的平方差式表示为一个乘法式。

通过使用平方差公式，可以简化计算过程，提高计算效率。

在数学问题的解答中，平方差公式具有广泛的应用价值。

这就是平方差公式的基本原理和推导过程。

平方差公式和完全平方公式因式分解平方差公式和完全平方公式是数学中常用的因式分解方法，它们在解题过程中起到了十分重要的作用。

本文将为大家详细介绍这两个公式，帮助大家理解其原理和应用。

首先，我们来了解一下平方差公式。

平方差公式的表达形式为a² - b² = (a + b)(a - b)。

简言之，它告诉我们两个平方数相减的结果可以因式分解为两个因数的乘积：一个因数是两个平方数的和，另一个因数是两个平方数的差。

这个公式可以极大地简化计算，特别是在解方程或因式分解的题目中，往往能起到事半功倍的效果。

那么，我们来看一个应用平方差公式的例子。

假设我们需要将x² - 4x + 4进行因式分解。

我们可以使用平方差公式进行分解，将x² - 4x + 4看作是(a - b)²的形式，其中a为x，b为2。

根据平方差公式，我们可以得到(x - 2)²，也就是x² - 4x + 4的因式分解形式。

通过应用平方差公式，我们可以将一个多项式快速分解为一对平方数的差的乘积。

接下来，我们将介绍完全平方公式。

完全平方公式的表达形式为a² + 2ab + b² = (a + b)²。

它告诉我们一个二次多项式可以因式分解为两个相同的因数的平方。

与平方差公式类似，完全平方公式也可以在解题过程中提供方便。

我们来看一个应用完全平方公式的例子。

假设我们需要将x² + 6x + 9进行因式分解。

根据完全平方公式，我们可以将x² + 6x + 9看作是(a + b)²的形式，其中a为x，b为3。

带入完全平方公式，我们可以得到(x + 3)²，也就是x² + 6x + 9的因式分解形式。

通过应用完全平方公式，我们可以迅速将二次多项式转化为平方的形式。

在实际应用中，平方差公式和完全平方公式可以帮助我们进行因式分解，并简化问题的求解过程。

数学简便计算方法之平方差公式证明推导及运用详解平方差公式是小学奥数计算中的常用公式。

通常写为：a²-b²=(a+b)x(a-b)它的几何方法推导过程是这样的：如下图所示，四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，边长分别为a和b，求阴影部分面积。

显然，阴影部分面积有2种求法。

第一种方法阴影面积=大正方形面积-小正方形面积即，阴影面积=a²-b²（G老师讲奥数）第二种方法作两条辅助线，延长FG、EG，分别交线段AB、BC与点H、J。

阴影面积=四边形AEGH面积+四边形HBJG面积+四边形GFCJ面积跟G老师一起分别计算下上述三个四边形的边长吧。

分别计算出三个四边形的边长后，我们发现四边形GFCJ=四边形AEGH面积。

接下来，我们将四边形GFCJ旋转后挪到四边形HBJG右侧。

即如下图所示，将③移到④后，纯手绘，就认为和上边的图一样吧此刻，阴影部分的面积=①+②+④组成的大矩形面积。

阴影部分面积=(a-b)x[b+(a-b)+b]=(a-b)x(a+b)。

因为第一种和第二种方法都是计算阴影部分面积，所以它们的结果是相等的。

a²-b²=(a+b)x(a-b)当然，代数方法也可以证明。

令A=(a+b)，(a+b)x(a-b)=Ax(a-b)=Axa-Axb (乘法分配律)=(a+b)xa-(a+b)xb（代入A=a+b）=a²+ab-ab-b²=a²-b²【例题】计算：48x52+37x43分析：48和52刚好都与50相差2，37和43刚好与40相差3。

48x52+37x43=(50-2)x(50+2)+(40-3)x(40+3)=50²-2²+40²-3²=2500-4+1600-9=4087这类题目往往不会明确告知你需要用什么技巧简化计算，关键在于自己要熟练掌握，牢记于心，灵活运用。

平方差公式能量储备●两数和与这两数差的乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.即两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.此公式也简称为平方差公式.●两数和与这两数差的乘法公式(平方差公式)的特点：(1)左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是左边乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)；(3)公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式．●平方差公式的几种变化形式：①符号变化：(－a－b)(a－b)＝－(a＋b)(a－b)＝－(a2－b2)；②位置变化：(a＋b)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2；③系数变化：(2a＋3b)(2a－3b)＝(2a)2－(3b)2＝4a2－9b2；④指数变化：(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4；⑤增项变化：(a＋b＋c)(a＋b－c)＝(a＋b)2－c2；⑥公式连用：(a＋b)(a－b)(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.●平方差公式的几何背景由左到右的拼图可以验证平方差公式．通关宝典★基础方法点方法点1：平方差公式的应用-简便运算对于具有某种特殊关系的两个数的乘法，可运用平方差公式进行简便计算，计算的关键是将原两数的乘积化为两数和与这两数差的积的形式．例：计算：(1)1 002×998；(2)99.3×100.7；解：(1)1 002×998＝(1 000＋2)(1 000－2)＝1 0002－4＝999 996.(2)99.3×100.7＝(100－0.7)(100＋0.7)＝1002－0.72＝9 999.51.方法点2：巧用平方差公式计算.例：计算：3（22＋1）（24＋1）（28＋1）＋1.分析：观察（22＋1）（24＋1）（28＋1）可知，直接计算会比较麻烦，由22＋1，24＋1，28＋1可知若增加因式22－1可使计算简便，且3＝22－1.解：3（22＋1）（24＋1）（28＋1）＋1＝（22－1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）＋1＝（24－1）（24＋1）（28＋1）＋1＝（28－1）（28＋1）＋1＝216－1＋1＝216.★★易混易误点易混易误点: 利用平方差公式计算时，系数没有平方例：计算：（12a+13b）（13b−12a）.解：原式＝（12a+13b）（13b−12a）＝(13b)2−(12a)2＝19b2－14a2.蓄势待发考前攻略速记口诀：平方差公式有两项，符号相反切记牢，两数和乘两数差，等于两数平方差.考查两数和与两数差的乘法公式(平方差公式)的应用，单独命题多见于填空题、选择题，难度偏低，也常与其他知识点综合考查，题型为解答题，难度中等.完胜关卡。

平方差公式所有公式1.a²-b²=(a+b)(a-b)这是最基本的平方差公式，也被称为差平方公式。

它告诉我们，如果要计算一个数的平方与另一个数的平方之差，可以将这两个数的和和差相乘，即可得到平方差的结果。

2. (a + b)² = a² + 2ab + b²这是平方和公式，它告诉我们，如果要计算两个数的和的平方，可以将这两个数的平方和它们的乘积相加。

3. (a - b)² = a² - 2ab + b²这是平方差公式的另一种形式，它告诉我们，如果要计算两个数的差的平方，可以将这两个数的平方减去它们的乘积的两倍。

4. a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)这是立方差公式，它告诉我们，如果要计算一个数的立方与另一个数的立方之差，可以将这两个数的差和它们的平方和乘积相乘。

5. a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)这是立方和公式，它告诉我们，如果要计算两个数的和的立方，可以将这两个数的和和它们的平方差相乘。

6.a⁴-b⁴=(a²-b²)(a²+b²)这是四次方差公式，它告诉我们，如果要计算一个数的四次方与另一个数的四次方之差，可以将这两个数的平方差和它们的平方和相乘。

7.a⁴+b⁴=(a²+b²)(a²-b²)这是四次方和公式，它告诉我们，如果要计算两个数的和的四次方，可以将这两个数的平方和和它们的平方差相乘。

8. a⁵ - b⁵ = (a - b)(a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴)这是五次方差公式，它告诉我们，如果要计算一个数的五次方与另一个数的五次方之差，可以将这两个数的差和它们的四次方和相乘。

两数平方差的公式是什么平方差公式是先平方再减a²-b²=(a+b)(a-b)。

完全平方公式是先加减最后是平方(a±b)²=a²±2ab+b²。

平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这一公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差。

公式中的字母可以表示具体的数(正数和负数)，也可以表示单项式或多项式等代数式。

该公式需要注意：1.公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。

2.右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。

3.公式中的a，b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。

完全平方公式指两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

为了区别，会叫做两数和的完全平方公式，或叫做两数差的完全平方公式。

这个公式的结构特征：1.左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2.左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）。

公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式。

该公式需要注意：1.左边是一个二项式的完全平方。

2.右边是二项平方的和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a 和b可是数，单项式，多项式。

3.不论是(a+b)2还是(a-b)2，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。

4.不要漏下一次项。

5.切勿混淆公式。

6.运算结果中符号不要错误。

7.变式应用难，不易于掌握。

简便方法如何计算两位数的平方计算两位数的平方是数学运算中常见的问题，但对于一些人来说，计算可能会变得复杂和耗时。

然而，存在一些简便方法可以帮助我们更快地计算出两位数的平方。

本文将介绍一些简便方法，使你能够轻松地计算两位数的平方，并减少出错的可能性。

方法一：平方差法平方差法是计算两位数平方的一种简洁方法。

以下是该方法的具体步骤：1. 以个位数来计算。

将两位数的个位数与5的差记为X。

例如，对于数字67，个位数是7，那么X=7-5=2。

2. 将个位数加1，并将结果与5的和记为Y。

以67为例，个位数加1等于8，所以Y=8+5=13。

3. 根据公式X(Y)取平方。

例如，在本例中，X为2，Y为13，那么2(13)等于26。

4. 以10的差对结果进行加减。

在这个例子中，10-2等于8，最终结果为26+8=34。

使用平方差法计算两位数的平方时，需要注意的是，如果个位数小于5，则需要作为负数处理。

例如，对于数字43，个位数为3，那么X=3-5=-2，其余步骤按照上述方法执行即可。

方法二：倍增法倍增法也是一种适用于计算两位数平方的简便方法。

以下是具体步骤：1. 找到目标数的个位和十位数。

例如，对于数字67，个位数是7，十位数是6。

2. 计算个位数的平方。

在本例中，个位数7的平方等于49。

3. 计算十位数的平方并翻倍。

对于数字67，十位数6的平方等于36，再乘以2得到72。

4. 将上述结果相加。

49+72=121，即67的平方。

使用倍增法计算两位数的平方时，需要记住十位数的平方需要乘以2。

通过以上的两种简便方法，我们能够更快地计算出两位数的平方。

这些方法不仅能节省时间，还能减少出错的可能性。

现在，你可以自信地计算任何两位数的平方了！通过上述简便方法，我们可以更快地计算两位数的平方，减少出错的可能性，以及节省时间。

无论是平方差法还是倍增法，都能够帮助我们轻松地计算出结果。

现在，你可以尝试使用这些方法来计算任何两位数的平方了！。

平方差公式和完全平方公式平方差公式是数学中一条重要的公式，也是学习平方差的基础。

它可以帮助我们快速计算两个数的平方差，而不必一个一个去计算。

完全平方公式是数学中求解一元二次方程的方法之一，它可以帮助我们快速找到方程的解。

下面将详细介绍这两个公式。

一、平方差公式设两个数分别为a和b，它们的平方差可以表示为(a+b)(a-b)。

我们可以通过拆分(a+b)(a-b)来计算平方差。

拆分后得到的是一个差式，可以简化计算。

例如，计算25的平方差时，我们可以使用平方差公式：(25+5)(25-5)=30×20=600。

同样地，计算8的平方差时，使用平方差公式：(8+2)(8-2)=10×6=60。

通过平方差公式，我们可以快速准确地计算两个数的平方差。

二、完全平方公式完全平方公式是一种用来求解一元二次方程的方法。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，而x为未知数。

完全平方公式是由求解一元二次方程的根的公式推导而来。

若一元二次方程ax^2 + bx + c = 0有实数根，那么根可以表示为一个平方数。

利用完全平方公式，可以直接找到方程的解。

完全平方公式的表达式为：x = (-b ± √(b^2-4ac)) / (2a)利用完全平方公式，我们可以求解一元二次方程的根。

例如，对于方程x^2-2x-3=0，我们可以直接套用完全平方公式：x=(-(-2)±√((-2)^2-4×1×(-3)))/(2×1)化简得：x=(2±√(4+12))/2即：x=(2±√16)/2化简得：x=(2±4)/2分别计算得到两个根：x1=(2+4)/2=6/2=3x2=(2-4)/2=-2/2=-1通过完全平方公式，我们可以直接得到方程的根。

总结：平方差公式和完全平方公式是数学中重要的计算工具，它们可以帮助我们快速计算平方差和求解一元二次方程。

平方差公式（1） 平方差公式的推导：(a+b)(a-b)=合并同类项）多项式乘法法则）(a (a 2222b b ab ab -=++- (2)平方差公式：22)b )(b a b a a -=-+（即两个数的和与这两个数的平方差的乘积，等于这两个数的平方差其特点：1.左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项（工）完全相同，另一项（b 和-b ）为相反数。

2.右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去符号相反项的平方）3.公式中的a 和b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式。

例1 利用平方差公式计算 （1）(5+6y)(5-6y) (2) (x-2y)(x+2y) (3) (-m+n)(-m-n) 解：（1） (2) (3)例2 利用平方差公式计算 （1）()41)(y -x 41y x +--（2）（ab+8）(ab-8) (3 ) (m+n)(m-n)+23n 解：（1） （2） （3）例3 用平方差公式进行计算（1）103122118297⨯⨯）；（ 解：（1） （2）例4 计算：（1）)32(2)52)(52)(2(;))((a 222--+-+-+x x x x b a b a b a 解：（1） （2）知能点6 平方差公式的几何意义 (1)请表示图(1)中阴影部分的面积．(2)将阴影部分拼成了一个长方形(图2)，这个长方形的长和宽分别是多少?你能表示出它的面积吗?(3)比较前两问的结果，你有什么发现?【知能综合提升】 一．基础部分【题型一】利用平方差公式计算1． 位置变化：（1）()()x x 2525+-+ （2）()()ab x x ab -+符号变化：（3）()()11--+-x x （4）⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-m n n m 321.01.032系数变化：（5）()()n m n m 3232-+ （6）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--b a b a 213213指数变化：（7）()()222233x y y x ++- （8）()()22225252b a b a --+-2．增项变化（1）()()z y x z y x ++-+- （2）()()z y x z y x -+++-（3）()()1212+--+y x y x （4）()()939322+++-x x x x3．增因式变化（1）()()()1112+-+x x x（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2141212x x x【题型二】利用平方差公式判断正误 4．下列计算正确的是（ ） A．()()()()2222425252525y x y x y x y x -=-=-+B ．22291)3()1()31)(31(a a a a +=+-=--+-C ．()()()()222249232332x y x y x y y x -=-=--- D ．()()8242-=-+x x x【题型三】运用平方差公式进行一些数的简便运算例 5．用平方差公式计算．（1）397403⨯ （2）41304329⨯（3）1000110199⨯⨯ （4）2008200620072⨯-【题型四】平方差公式的综合运用 6．计算：（1）))(()2)(2(222x y y x y x y x x +-++-- （2）()()()()111142+-++-x x x x【题型五】利用平方差公式进行化简求值与解方程7．化简求值：())32)(32()23(32a b a b b a a b +---+，其中2,1=-=b a ．8．解方程：()()2313154322365=⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-++x x x x x【题型六】逆用平方差公式9.已知02,622=-+=-y x y x ，求5--y x 的值．。

七年级下册数学平方差公式
平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b²
根据多项式乘法法则，去掉括号即可得到：
（a+b）（a-b）=a²-ab+ba-b²=a²-b²
其中a和b可以是任意实数（正数，负数，零），也可以是整式。

例如下面的式子也都成立
（-2）²-3²=（-2+3）（-2-3）
（2x+3y-4）（2x+3y+4）=（2x+3y）²-4²
下面看一下平方差公式的一些用法和变化：
平方差公式的变形a²=（a+b）（a-b）+b²
例题2：心算997²
虽然可以利用完全平方公式：
997²=（1000-3）²=1000²-2×3×1000+3²
但是运算过程中有减法，所以心算比较费劲。

所以可以利用上面的变形公式转化成加法。

一般的简便运算都需要凑成整十整百等，997+3=100，两数相加就是平方差公式的一部分。

997²=（997+3）×（997-3）+3²=1000×994+9=994009
完全可以心算直接写答案，其中a=997，b=3.
请仔细体会这种运算方法，对平方差公式的理解会提升一个高度。