点、直线、圆与圆的位置关系—知识讲解(基础)分析

《圆》全章复习与巩固—知识讲解（基础）责编：常春芳【学习目标】1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积；【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义 (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.要点诠释：　①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；　②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质 (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等.要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）3．与圆有关的角 (1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有点P 在⊙O 外；　点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点在同一个圆上的方法12n A A A 、、 当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系 设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为. (1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离. (2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切. (3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交.4．切线的判定、性质 (1)切线的判定： ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质： ①圆的切线垂直于过切点的半径. ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心. (3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. (4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示. (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O 表示.要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径). (3) 三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC ；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA 、OB 、OC 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.2．圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算 圆的面积公式：，周长. 圆心角为、半径为R的弧长. 圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积. 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.要点诠释： (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC 外接圆半径的长度为．【解析】由已知得BC∥x轴，则BC中垂线为2412x-+==那么，△ABC外接圆圆心在直线x=1上，设外接圆圆心P(1,a)，则由PA=PB=r得到：PA2=PB2即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2化简得 4+a2-6a+9=9+a2+4a+4解得 a=0即△ABC外接圆圆心为P(1,0)则r PA===【总结升华】 三角形的外心是三边中垂线的交点，由B 、C 的坐标知：圆心P （设△ABC 的外心为P ）必在直线x=1上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到P （1，0）；连接PA 、PB ，由勾股定理即可求得⊙P 的半径长．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB＝60°，求CD 的长．【思路点拨】作OF⊥CD 于F ，构造Rt△OEF，求半径和OF 的长；连接OD ，构造Rt△OFD，求CD 的长．【答案与解析】作OF⊥CD 于F ，连接OD ．∵ AE ＝1，EB ＝5，∴ AB ＝6． ∵ 32ABOA ==，∴ OE ＝OA-AE ＝3-1＝2．在Rt△OEF 中，∵ ∠DEB＝60°，∴ ∠EOF＝30°，∴ 112EF OE ==，∴ OF ==在Rt△DFO 中，OF ，OD ＝OA ＝3，∴ DF ===(cm)．∵ OF⊥CD，∴ DF ＝CF ，∴ CD ＝2DF ＝cm ．【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．举一反三：【变式】如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝ ．NM OCBA【答案】由OM⊥AB，ON⊥AC，得M、N分别为AB、AC的中点（垂径定理），则MN是△ABC的中位线，BC=2MN=6.3．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = ．【答案】65°.【解析】连结OD，则∠DOB = 40°，设圆交y轴负半轴于E，得∠DOE= 130°，∠OCD =65°.【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求.举一反三：【变式】（2015•黑龙江）如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°【答案】C.【解析】作OD⊥AB，如图，∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB=∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．类型三、与圆有关的位置关系4．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．请判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论.【答案与解析】直线CE与⊙O相切理由：连接OE∵OE=OA∴∠OEA=∠OAE∵四边形ABCD是矩形∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB∴∠DCE+∠DEC=90°,∠ACB=∠DAC又∠DCE=∠ACB∴∠DEC+∠DAC=90°∵OE=OA∴∠OEA=∠DAC∴∠DEC+∠OEA=90°∴∠OEC=90°∴OE⊥EC∴直线CE与⊙O相切.【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．举一反三：【变式】如图，P为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P的坐标为(x、y). (1)求与直线相切时点P的坐标. (2)请直接写出与直线相交、相离时x的取值范围.【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为. 当点在直线右侧时，，得， (5，7.5). 当点在直线左侧时，，得， (，). 当与直线相切时，点的坐标为(5，7.5)或(，). (2)当时，与直线相交. 当或时，与直线相离.类型四、圆中有关的计算5．（2015•丽水）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．【答案与解析】（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．（2）解：连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O的半径为4，∴S扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，∴S阴影=4π﹣8．【总结升华】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．类型五、圆与其他知识的综合运用6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图，A AB所在圆的圆心为O．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)．【思路点拨】求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以A AB 为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出A AB 所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求AAB 的长．【答案与解析】连接OB ，过点O 作OE⊥AB，垂足为E ，交A AB 于点F ，如图(2)． 由垂径定理，可知E 是AB 中点，F 是AAB 的中点，∴ 12AE AB ==，EF ＝2． 设半径为R 米，则OE ＝(R-2)m ．在Rt△AOE 中，由勾股定理，得222(2)R R =-+． 解得R ＝4．∴ OE ＝2，12OE AO =，∴ ∠AOE＝60°，∴ ∠AOB＝120°． ∴ AAB 的长为120481803ππ⨯=(m)． ∴ 帆布的面积为8601603ππ⨯=(m 2)．【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．举一反三：【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面. ①请你补全这个输水管道的圆形截面图； ②若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm ，水最深的地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径.【答案】①作法略.如图所示. ②如图所示，过O作OC⊥AB于D，交于C， ∵OC⊥AB， ∴. 由题意可知，CD=4cm. 设半径为x cm，则. 在Rt△BOD中，由勾股定理得： ∴. ∴. 即这个圆形截面的半径为10cm.。

直线与圆相交于一点 直线与圆相切于一点 直线与圆相离于一点 直线与圆相交于两点
判断直线与圆的位置关系，可以通过比较圆心到直线的距离与圆的半径大小来实现。
圆心到直线的距离小于半径，则直线与圆相交；等于半径，则直线与圆相切；大于半径，则 直线与圆相离。
判断圆与圆的位置关系，可以通过比较两圆的圆心距与两圆半径之和或半径之差的大小来实 现。
圆心到直线的距离：利用圆心到直 线的距离判断圆与直线的关系
弦长：通过比较弦长来判断圆与圆 的位置关系
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
圆的半径：比较两圆的半径大小， 判断圆与圆的位置关系
切线：利用切线性质判断圆与直线 的关系
距离公式：利用两点间的距离公式求解直线与圆之间的距离 角度公式：利用三角函数或余弦定理求解直线与圆之间的夹角 代数运算：利用代数方法简化计算过程，提高解题效率
交通路线规划：利用直线与圆的位置关系，确定最佳路线。 股市分析：通过分析股票价格与均线的位置关系，判断股票走势。 地球科学：利用圆与圆的位置关系，研究地球与其他天体的相对位置。 建筑学：在建筑设计时，利用直线与圆、圆与圆的位置关系，实现美观与实用的统一。
直线与圆的位置关系在解析几何中的应用 圆与圆的位置关系在几何证明题中的应用 利用直线与圆、圆与圆的位置关系解决数学竞赛中的难题 在数学竞赛中，直线与圆、圆与圆的位置关系常作为考点和难点
特殊情况处理：针对直线与圆相切、相交等特殊情况，采用相应的方法进行求解
理解数形结合的概念，将数学问题转化为图形问题 掌握常见的数形结合方法，如坐标法、向量法等 学会利用图形直观地分析问题，找到解题思路 练习数形结合的题目，提高解题能力
掌握直线与圆的位置关系的基本题型，包括相切、相交和相离等，并掌握相应的解题方法。 掌握圆与圆的位置关系的基本题型，包括相切、相交和相离等，并掌握相应的解题方法。 熟悉不同题型的特点和解题方法，能够根据题目的具体要求选择合适的解题方法。 掌握解题技巧，如利用几何性质、数形结合等方法，提高解题效率。

直线、圆的位置关系【学习目标】1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系； 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想. 【要点梳理】要点一：直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线l 与圆C 有公共点. 有两组实数解时，直线l 与圆C 相交； 有一组实数解时，直线l 与圆C 相切； 无实数解时，直线l 与圆C 相离. （2）几何法：由圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系判断： 当d r <时，直线l 与圆C 相交； 当d r =时，直线l 与圆C 相切； 当d r >时，直线l 与圆C 相离. 要点诠释：（1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.（2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.（3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 要点二：圆的切线方程的求法 1．点M 在圆上，如图．法一：利用切线的斜率l k 与圆心和该点连线的斜率OM k 的乘积等于1-，即1OM l k k ⋅=-． 法二：圆心O 到直线l 的距离等于半径r ．2．点()00,x y 在圆外，则设切线方程：00()y y k x x -=-，变成一般式：000kx y y kx -+-=，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ．要点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；（2）过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是()()()()200x a x a y b y b r --+--=.要点三：求直线被圆截得的弦长的方法1．应用圆中直角三角形：半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 具有的关系2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这也是求弦长最常用的方法．2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．3．利用弦长公式：设直线:l y kx b =+，与圆的两交点()()1122,,,x y x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：2121||l k x x =+-=()()22121214k x x x x ⎡⎤++-⎣⎦．要点四：圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系：（1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点.2.圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离. （2）几何法： 设1O 的半径为1r ，2O 的半径为2r ，两圆的圆心距为d .当1212r r d r r -<<+时，两圆相交； 当12r r d +=时，两圆外切； 当12r r d +<时，两圆外离； 当12r r d -=时，两圆内切；当12r r d ->时，两圆内含.要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.3.两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4．两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 【典型例题】类型一：直线与圆的位置关系例1.已知直线y=2x+1和圆x 2+y 2=4，试判断直线和圆的位置关系.【思路点拨】解决本题的方法主要有两个，其一是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系；其二是引入一元二次方程，利用方程根来解决. 【答案】相交 【解析】解法一：∵x 2+y 2=4， ∴圆心为（0，0），半径r=2.又∵y=2x+1，∴圆心到直线的距离为25d r ==<=.∴直线与圆相交. 解法二：∵⎩⎨⎧=++=,4,1222y x x y ∴（2x+1）2+x 2=4，即5x 2+4x-3=0. 判别式Δ=42-4×5×（-3）=76＞0. ∴直线与圆相交.【总结升华】判断直线与圆的位置关系可以从代数方法和几何意义两个方面加以考虑.例2．已知直线方程mx―y―m―1=0，圆的方程x 2+y 2―4x―2y+1=0．当m 为何值时，圆与直线 （1）有两个公共点；（2）只有一个公共点； （3）没有公共点．【答案】（1）m ＞0或43m <-（2）m=0或43m =-（3）403m -<< 【解析】解法一：将直线mx―y―m―1=0代入圆的方程化简整理得，（1+m 2）x 2―2（m 2+2m+2）x+m 2+4m+4=0． ∵Δ=4m （3m+4），∴当Δ＞0时，即m ＞0或43m <-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当Δ=0时，即m=0或43m =-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当Δ＜时，即403m -<<时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 解法二：已知圆的方程可化为（x―2）2+（y―1）2=4， 即圆心为C （2，1），半径r=2．圆心C （2，1）到直线mx―y―m―1=0的距离d ==．当d ＜2时，即m ＞0或43m <-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当d=2时，即m=0或43m =-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当d ＞2时，即403m -<<时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 【总结升华】解决此类问题是搞清直线与圆的位置和直线与圆的公共点的个数间的等价关系．在处理直线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直线的距离和半径的大小，而不用联立方程．举一反三：【变式1】求实数m 的范围，使直线30x my -+=与圆22650x y x +-+=分别满足： （1）相交；（2）相切；（3）相离．【答案】（1）m <-m >（2）m =±3）m -<<【解析】圆的方程化为标准为22(3)4x y -+=，故圆心（3，0）到直线30x my -+=的距离d =2r =．（1）若相交，则d r <2<，所以m <-m >．（2）若相切，则d r =2=，所以m =±（3）若相离，则d r >2>，所以m -<<【总结升华】一般来讲，选择此方法要比选择计算判别式的方法在运算上简单． 类型二：切线问题【高清课堂：与圆有关的位置关系370892 典型例题1】 例3．过点(7,1)P 作圆2225x y +=的切线,求切线的方程.【思路点拨】先判断点在圆上或圆外，如果点在圆上则有一条切线．如果点在圆外，则有两条切线．本例中很明显点在圆外．【答案】43250x y --=或34250x y +-= 【解析】因为22715025+=>，所以点在圆外．法一：设过点(7,1)P 与圆相切的直线为:1(7)l y k x -=-,即710kx y k --+=. 因为圆心(0,0)到l 的距离d =,则5d r ==,5=.解得43k =或34-. 从而,切线方程为43250x y --=或34250x y +-=.解法二:设过点(7,1)P 与圆相切的直线为:1(7)l y k x -=-.由221(7),25y k x x y -=-⎧⎨+=⎩可得222(1)2(71)(71)250k x k k x k +--+--=.从而 22224(71)4(1)[(71)25]0k k k k ∆=--+--=.解得43k =或34-. 从而,切线方程为43250x y --=或34250x y +-=.【总结升华】求圆的切线方程一般有三种方法：（1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程； （2）待定系数法； （3）定义法．一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况． 举一反三：【变式1】（2016 天津河西区模拟）已知圆C 经过点A （2，0）、(1,B ，且圆心C 在直线y =x 上． （1）求圆C 的方程；（2）过点(1,3的直线l 截圆所得弦长为l 的方程．【答案】（1）x 2+y 2=4；（2）x =1或y x =+【解析】（1）AB 的中点坐标3(,2，AB AB 垂直平分线为60y +=，与x ―y =0的交点为（0，0），圆心坐标（0，0），半径为2，所以圆C的方程为x2+y2=4；（2）直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，又直线l过(1,3，∴直线l的方程为(1)y k x-=-，即y kx k=，则圆心（0，0）到直线的距离||kd-=，又圆的半径r=2，截得的弦长为则有22||4k-+=，解得：k=，则直线l的方程为33y x=-+．当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．直线l的方程：x=1或y x=．【总结升华】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形来解决问题．类型三：弦长问题例4．直线l经过点P（5，5）并且与圆C：x2+y2=25相交截得的弦长为l的方程．【答案】x―2y+5=0或2x―y―5=0【解析】法一：根据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y―5=k（x―5）圆心（0，0）到直线的距离d=，在由弦长的一半、半径和距离d构成的直角三角形中，=，解得12k=或k=2故直线l的方程为x―2y+5=0或2x―y―5=0．法二：根据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y―5=k（x―5）与圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）,联立方程225(5)25y k xx y-=-⎧⎨+=⎩，消去y，得（k2+1）x2+10k（1―k）x+25k（k―2）=0，∴Δ=[10k（1―k）]2―4（k2+1）·25k（k―2）＞0，解得k＞0．又12210(1)1k k x x k -+=-+，12225(2)1k k x x k -=+． 由斜率公式，得y 1―y 2=k （x 1―x 2），∴221212||()()AB x x y y =-+-212(1)()k x x =+- 221212(1)[()4k x x x x =++-222222100(1)25(2)(1)445(1)1k k k k k k k ⎡⎤--=+-⋅=⎢⎥++⎣⎦． 两边平方，整理得2k 2―5k+2=0， 解得12k =或k=2，符合题意． 故直线l 的方程为x―2y+5=0或2x―y―5=0．【总结升华】 设直线l 的方程为ax+by+c=0，圆O 的方程为（x―x 0）2+（y―y 0）2=r 2，求弦长的方法有以下两种：（1）几何法：由圆的性质知，过圆心O 作l 的垂线，垂足C 为线段AB 的中点．如图所示，在Rt △OCB 中，|BC|2=r 2―d 2．则弦长|AB|=2|BC|，即22||2AB r d =-．（2）代数法：解方程组222000()()ax by c x x y y r ++=⎧⎨-+-=⎩， 消元后可得关于x 1+x 2，x 1·x 2或y 1+y 2，y 1·y 2的关系式，则221212||(1)[()4AB k x x x x =++- 21212211[()4](0)y y y y k k ⎛⎫=++-≠ ⎪⎝⎭举一反三：【变式1】求经过点P （6，―4），且被定圆x 2+y 2=20截得弦长为62的直线的方程． 【答案】x+y―2=0或7x+17y+26=0【解析】如图所示，||62AB =，||25OA =，作OC ⊥AB 于C ．在Rt △OAC 中，2||20(32)2OC =-=．设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y+4=k （x―6），即kx―y―6k―4=0．又圆到直线的距离为2，∴221k =+，即17k 2+24k+7=0，∴k 1=―1，2717k =-． ∴所求直线方程为x+y―2=0或7x+17y+26=0． 类型四：圆与圆的位置关系例5．已知圆C 1：x 2+y 2―2mx+4y+m 2―5=0，圆C 2：x 2+y 2+2x―2my+m 2―3=0，问：m 为何值时，（1）圆C 1和圆C 2相外切？（2）圆C 1与圆C 2内含？【思路点拨】利用几何法或代数法都可以判断． 【答案】（1）m=―5或m=2；（2）―2＜m ＜―1． 【解析】对于圆C 1，圆C 2的方程，配方得 C 1：（x―m ）2+（y+2）2=9，C 2：（x+1）2+（y―m ）2=4．（1）如果圆C 1与圆C 232=+，即 （m+1）2+（m+2）2=25，m 2+3m―10=0， 解得m=―5或m=2．（2）如果圆C 1与圆C 232<-，即（m+1）2+（m+2）2＜1，m 2+3m+2＜0，解得―2＜m ＜―1． 故（1）当m=―5或m=2时，圆C 1与圆C 2相外切；（2）当―2＜m ＜―1时，圆C 1与圆C 2内含． 【总结升华】利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d 和两圆的半径R 和r ，再根据d 与R+r 、d 与R―r 的大小关系来判定即可．举一反三：【变式1】当a 为何值时，圆C 1：x 2+y 2―2ax+4y+（a 2―5）=0和圆C 2：x 2+y 2+2x―2ay+（a 2―3）=0相交．【答案】当―5＜a ＜―2或―1＜a ＜2时，圆C 1与圆C 2相交【变式2】已知圆1C ：22(1)(3)9x y ++-=，圆2C ：2242110x y x y +-+-=，求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长．【思路点拨】对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，再由点到直线的距离公式求出一个圆的圆心到该弦的距离，用弦心距、弦的一半，半径建立的直角三角形求出弦的一半，即得其长．【答案】公共弦所在直线方程为3x ―4y +6=0，弦长为245【解析】两圆的方程作差得6x ―8y +12=0，即3x ―4y +6=0， ∵圆1C ：22(1)(3)9x y ++-=，故其圆心为（―1，3），r =3 圆到弦所在直线的距离为|3126|955d --+==125= 故弦长为245综上，公共弦所在直线方程为3x ―4y +6=0，弦长为245． 类型五：最值问题例6．已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2―4x+1=0，求：（1）yx的最大值；（2）y―x 的最小值． 【思路点拨】将x 2+y 2―4x+1=0、yx、y―x 赋予几何意义，利用数形结合来解决．【答案】（1（2）2【解析】将实数x 、y 看作点P （x ，y ）的坐标，满足x 2+y 2―4x+1=0的点P （x ，y ）组成的图形是以M （2，0）为圆心，半径为3的圆，如图所示．（1）设00y y k x x -==-，即yx是圆上的点P 与原点O 连线的斜率．由图知，直线y=kx 和圆M 在第一象限相切时，k 取最大值． 此时有OP ⊥PM ，||3PM =，|OM|=2，∴∠POM=60° 此时tan 603k =︒=，∴yx的最大值为3． （2）设y―x=b ，则y=x+b ，b 是直线y=x+b 在y 轴上截距．由图知，当直线y=x+b 和圆M 在第四象限相切时，b （b ＜0）取最小值，此时有32=，解得62b =--， ∴y―x 的最小值是62--．【总结升华】利用数形结合解决最值问题时，首先从代数演算入手，将代数表达式赋予几何意义，看成某几何量的大小，根据图形的几何性质，观察出最值出现的时机和位置，从而解决求代数表达式的最值问题．这是用几何方法解决代数问题的常用方法，即数形结合．常见的数形结合点是直线方程、圆的方程、过两点的斜率公式、平面内两点间距离公式、直线在y 轴上的截距等．举一反三：【变式1】已知点P （x ，y ）在圆22(2)3x y ++=上，求yx的最小值． 【答案】3- 【解析】设yk x=，则k 的几何意义为圆上的点与原点的斜率， 则由图象可知当直线y =kx 与圆在第二象限相切时，直线斜率最小，此时k ＜0， 则圆心（－2，0）到直线的距离231d k==+，即23k =，解得3k =-， 故yx的最小值为3-． 【高清课堂：与圆有关的位置关系370892 例4】【变式2】已知实数x ，y 满足222-230x y x y ++=，求（1）x 2+y 2的最大值；（2）x+y 的最小值．【答案】（1）16 （2）3221--【解析】22222-230(1)(-3)4x y x y x y ++=++=可以化为于是（x ，y ）可以看作是以(-1,3)为圆心，2为半径的圆上的点． 如图（1）x2+y2可看作是圆上的点到原点的距离的平方，22x y2r=4，所以x2+y2的最大值为16．（2）解法同例6（2）．。

点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习1.点和圆的位置关系2.（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：3.①点P在圆外⇔d＞r4.②点P在圆上⇔d=r5.①点P在圆内⇔d＜r6.（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．7.（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）（3）概念说明：（4）①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．（5）②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．（6）③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法(了解)（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）（2）反证法的一般步骤是：（3）①假设命题的结论不成立；（4）②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（5）③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6.切线的性质（1）切线的性质（2）①圆的切线垂直于经过切点的半径．（3）②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．（4）③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（5）（2）切线的性质可总结如下：（6）如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（7）（3）切线性质的运用（8）由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定8.（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．9.（2）在应用判定定理时注意：10.①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．11.②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．12.③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.切线长定理（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）（4）切线长定理包含着一些隐含结论：（5）①垂直关系三处；（6）②全等关系三对；（7）③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．10.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．11.圆与圆的五种位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．12.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．13.相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：（2）相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．（3）注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（4）（2）两圆的公切线性质：（5）两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．（6）两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=34，D是线段BC的中点.（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP 是半圆O 的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例 2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；•当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15B. 30C. 45D. 60O O2O14. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（ ） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移 个单位长.6. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（ ）A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 长63，以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）．9.如图，B 是线段AC 上的一点，且AB ：AC=2：5，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm ．则大圆的半径是______cm ．12.如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF=2，则HE 的长为_________．13. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，若直径AC=12cm ，∠P=60°．求弦AB 的长． 【中考连接】 一、选择题 1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.3 2.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点．PC ＝5，则⊙O 的半径为 （ ）A. 335 B. 635 C. 10 D. 54. AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC ＝26，PA ＝4，则⊙O 的半径等于（ ）A. 1B. 2C. 23D. 265.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外O D C B ABPA OC 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第8题图 第9题图 第11题图 第10题图 第12题图切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中，你认为正确的有（ ）①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题 6. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝__________度．7. 如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，，，的度数比为3∶2∶4，MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则∠BCM 的度数为________．8．如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．9．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB = ．10．如图6，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．11.如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．12.如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm.13.如图，⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x =图象上，则阴影部分面积等于 ．14. Rt △ABC 中，9068C AC BC ∠===°，，．则△ABC的内切圆半径r =______．15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．16.已知：⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB 、BC 、CA 分别为 ．17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．三、解答题18. 如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由． 第3题图 第6题图 第7题图 第8题图 第10题图 第11题图 第12题图 第13题图19.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=． （1）求∠AOC 的度数；（2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长；（3）如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动，当MAO CAO S S =△△时，求动点M 所经过的弧长．第18题图。