Matlab实验指导书(实验六)
- 格式：pdf
- 大小：324.40 KB
- 文档页数：5
MATLAB实验指导书编著：李新平二零零八年三月十四日实验六、数据插值和数据拟合6.1 实验目的1）掌握用 MA TLAB 计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点 的数目，对三种插值结果进行初步分析。
2）掌握用 MA TLAB 进行多项式最小二乘拟合，会选择合适的函数及转化为线性函数。
3）通过实例学习用数据插值和数据拟合解决实际问题。
6.2 分段线性插值设给定一元未知函数 ) (x f y = 的 1 + n 个结点的数据 b x x a n = < < = L 0 对应的函数 值 n y y , , 0 L ，根据这些结点数据求其余 ) ( i j x j ¹ 点的函数值 j y ，可将相邻两个节点之间用 直线连接起来，如此形成的一条折线(见右图)构成的分段线性函数 ) (x I n 来近似表示未知函 数 ) (x f ，从而解决该插值问题的方法就称为分段线性插值。
可用如下公式表示：)( ) ( ) ( 0x f x l y x I nj j j n » = å = 其余, 0 , , ) ( 1111 1 1+ + + - - - £ £ - - £ £ - - ï ï îï ï íì= j j j j j jj j j j j x x x x x x x x x x x x x x x l 可用 MA TLAB 命令 y=interp1(x0,y0,x)来实现， 其中参数 x0 为给定结点数据的横坐标向 量，参数 y0 为 x0 对应的函数值，参数 x 为要未知结点的横坐标向量，函数返回值 y 为参数 x 根据分段线性插值得到的函数值。
【例】插值求在[0,15]区间内步长为 0.1 的机床加工数据：>>x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15]; y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];>>x=0:0.1:15; % 插值点>>y=inpert1(x0, y0, x) % 插值求得函数值6.3 拉格朗日插值设未知函数 ) (x g y = 是n 次多项式，给定该n 次多项式 1 + n 个结点的数据 ),, {( i i y x ， } , , 0 n i L = 根据这些结点数据求其余 ) ( i j x j ¹ 点的函数值 j y ，可考虑如下构造：) ( ) () ( 0 x g x l y x L ni i i n » = å = )( ) )( ( ) ( )( ) )( ( ) ( ) (1 1 0 1 1 0 n i i i i i i n i i i x x x x x x x x x x x x x x x x x l - - - - - - - - = + - + - L L L L 来近似表示n 次多项式 ) (x g ，从而解决该插值问题的方法就称为拉格朗日插值。
用 MATLAB 进行拉格朗日插值，要编写拉格朗日插值函数 m 文件，如 lagr1.m ，其函 数调用形式为 y=lagr1(x0,y0,x)，其参数形式和函数返回值与分段线性插值相同。
【例】插值求在[0,15]区间内步长为 0.1 的机床加工数据：>>x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15]; y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];>>x=0:0.1:15; % 插值点>>y=lagr1(x0, y0, x) % 插值求得函数值6.4 三次样条插值设给定一元未知函数 ) (x h y = 的 1 + n 个结点的数据 } , , 0 ), , {( n i y x i i L = ，根据这些结 点数据求其余 ) ( i j x j ¹ 点的函数值 j y ，可考虑做如下近似构造 ) ( ) ( x h x S » ：(1) 在每个小区间 ] , [ 1 i i x x - 上都是 3 次多项式, 即 i i i i i d x c x b x a x s + + + = 23) ( ; (2) i i y x S = ) ( , n i , ,0L = ; (3) ) (x S 在 n x x x £ £ 0 上的二阶导数连续, 即 ) ( ) ( 1 i i i i x s x s + = , ) ( ' ) ( ' 1 i i i i x s x s + = ,)( " ) ( " 1 i i i i x s x s + = ; 在 MA TLAB 中可以采用函数 y=interp1(x0,y0,x,’spline’)或 y=spline(x0,y0,x)来实现， 参数 形式和函数返回值跟分段线性插值和拉格朗日插值相同。
【例】插值求在[0,15]区间内步长为 0.1 的机床加工数据：>>x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15]; y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6]; >>x=0:0.1:15; % 插值点>>y=interp1(x0, y0, x,’spline’) % 或 y=spline(x0, y0, x)6.5 多项式最小二乘数拟合为了估计指定函数(如 x a a y 1 0 + = , 22 1 0 x a x a a y + + = , xa a y 1 0 += , xa e a y 1 0 = 等) 函数的参数， 从而确定该函数， 即作参数估计求得该函数， 可用先将以上函数转化了以 1 0 ,a a 为自变量的线性函数，再将给定的 1 + n 个结点数据 } , , 0 ),, {( n i y x i i L = 代入线性函数，求解非齐次线性方程组 Y XA = ，使距离 i d 的平方和最小的解 Ta a A ) , ( 1 0 = 即为所求参数。
该 方法就称为线性最小二乘拟合。
在 MA TLAB 中可用函数 aa=ployfit(x,y,n)来求得参数a ， 从而实现线性最小二乘拟合(当 然也可以实现多项式函数拟合)，其中参数 x 为给定结点数据的横坐标向量，y 为对应的纵 坐标向量，n 为多项式的次数(如线性拟合则 n 为 1，二次多项式拟合为 2 等)，函数返回值 aa 为拟合的多项式系数。
在求得多项式系数后，为了求得多项式的值，可用 MA TLAB 函数 y=polyval(aa,x)求得 系数为 aa 的多项式在指定点 x 的函数值 y 。
【例】用多项式最小二乘拟合求电阻R 与温度t 之间的关系 b at R + = ： >>t=[20.5 32.5 51 73 95.7]; r=[765 826 873 942 1032]; >>aa=polyfit(t,r ,1); % 插值点>>a=aa(1) % 插值求得一次项系数 a=3.3940 >>b=aa(2) % 插值求得常数项系数 b=702.4918 >>y=polyval(aa,t) >>plot(t,r ,’k+’, t,y,’r’)【上机练习】1．编制计算拉格朗日插值的函数 m 文件 lagr1.m 。
2．选择一些函数，在 n 个节点上(n 不要太大，如 5~11)用拉格朗日、分段线性、三次样条 三种插值方法，计算 m 个插值点的函数值(m 要适中，如 50~100)。
通过数值和图形输出， 将三种插值结果与精确值进行比较。
适当增加 n ，再作比较，由此作初步分析。
下列函 数供选择参考：(1) 1 1 , 1 2£ £ - - = x x y ;(2) 22 , 2£ £ - = - x ey x 3．用 x y = 在 x =0, 1, 4, 9, 16 产生 5个节点函数值 5 2 1 , , , y y y L 。
用不同的节点构造插值 公式来计算 5 = x 处的插值（如用 5 2 4 1 5 1 ~ ; ~ ; ~ y y y y y y 等），与精确值比较并分析。
4．下表给出的 x , y 数据位于机翼断面的轮廓线上，y 1 和 y 2 分别对应轮廓的上下线。
假设 需要得到x 坐标每改变 0.1时的 y 坐标。
试完成加工所需数据，并画出曲线。
x 0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 y 1 0 1.8 2.2 2.7 3.0 3.1 2.9 2.5 2.0 1.6 y 21.21.72.02.12.01.81.21.01.65．对以下数据分别作二次和三次多项式拟合，求得多项式系数，并画出图形。
x 2 4 5 6 7 8 10 12 14 16 y6.48.49.289.59.79.8610.210.410.510.66．根据以下数据，确定1790~1900 年美国人口的指数增长模型 rte x t x 0) ( = 中的人口年增长 率r 和初始人口数 0 x 。
t 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 x3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.0附 lagr1.m 文件内容如下, 请仔细读懂各语句含义。
