圆锥曲线有关焦点弦的几个公式定理及应用(老师)

Ｄ
有Ｉ １ — ｎ － 十 — ｍ Ｉ １ ： 。 ｌ 。 １ ， 其 中 为 离 心 率 ．
分析 ： 由于椭 圆是轴对称 图形 ， 故只需证 明其过 右焦 点 的情况． 我们 先证 明倾斜 角 为锐 角的情况．
已知椭 圆 ＋ ： １ （ 。 ＞ ６ ＞ ０ ） 的右焦 点 为Ｆ ， 过腿 倾
过Ｂ 作Ｂ Ｂ 。 垂 直准线于日 。 ， 过Ｂ 作Ｂ Ａ ＿ Ｌ Ａ Ａ １ 于Ａ
由圆锥 曲线统一性定义知
ＢＦ ＝ ＢＢ１ ＝ｎ， ＡＦ＝ ＡＡ １ ＝ ｍ，
Ａ Ｉ Ｏ 榀
图２
＝ ｅ ．—
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，
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彭 Ａ ２ ＝ — ｎ － — ｍ．
Ｉ ｌ
则 有 Ｉ １ — ｒ ｎ ｔ － 十 — ｍ Ｉ １ ： ｃ ｏ ｓ ｌ ， 其 中 为 离 心 率 ．
分析 ： 由于双曲线是轴对称 图形 ， 故 只需证 明其过右 焦点 的情 况． 我们先证 明倾斜角ｏ ／ 为锐角的情况．
已知 双 曲线 一 ： １ （ ｎ ＞ ０ ， ６ ＞ ０ ） 的右焦 点 为Ｆ ， 过Ｆ
Ｉ Ｉ
证： Ｉ — ｎ － — ｍ Ｉ ： ｌ 。 Ｉ ， 其中 为 离 心 率 ．
Ｉ ｎ＋， 孔 Ｉ
证明： 如 图２ ， 作Ａ Ａ 垂直右准线于Ａ ，
证明 ： 如图１ ， 作Ａ Ａ。 垂 直右 准线 于Ａ ， 过Ｂ 作Ｂ Ｂ 垂直右准线 于Ｂ ， 过 作Ｂ Ａ ＿ Ｉ ＿ Ａ Ａ 于Ａ 》

圆锥曲线有关焦点弦（焦点半径）的五个统一性质的统一证明中图分类号：g632 文献标识码： c 文章编号：1672-1578（2013）03-0109-02下面分别从四个方面，给出了圆锥曲线有关焦点弦（焦点半径）的4个统一性质，都是采用对圆锥曲线进行分类讨论，用方程的思想，通过比较复杂的运算得到了证明。

本文将用圆锥曲线焦半径的倾角表达式，（本质上圆锥曲线的极坐标方程的直角坐标化）统一证明上述性质1、性质2、性质3和性质4本文给出的性质5，并用这样的思想方法证明巧妙地解答圆锥曲线中的热点问题。

1 圆锥曲线的统一性质1.1圆锥曲线的统一性质1ab是通过圆锥曲线的一个焦点f的一条弦（不与焦点所在的直线重合），a、b在焦点相应的准线l上的射影分别为a1b1，设a1f、b1f的中点分别为m、n，则直线am与bm的交点一定在准线上。

（如图1）1.2给出圆锥曲线的统一性质2过圆锥曲线的一个焦点f的任意一条弦（不与焦点所在的直线重合）ab，和此焦点对应的顶点的c的连线交f对应的准线l于两点m、n，则以mn为直径的圆必过焦点f。

（如图2）如圆锥曲线是有心的圆锥曲线，那么和另外一个焦点对应的顶点c的的连线交f对应的准线l于m、n两点，则以为mn直径的圆必过焦点f。

（如图3）1.3圆锥曲线的统一性质3若圆锥曲线的准线与对称轴的交点为a，过点a作圆锥曲线的一条割线交圆锥曲线于b、c两点，过焦点f作与割线的倾斜角互补的直线交圆锥曲线于m、n两点，则有：1.4圆锥曲线的统一性质4直线l是圆锥曲线？祝的焦点f所对应的准线，过l上一点p作曲线？祝的两条切线pa、pb。

a，b为切点，过pf中点d且平行于直线l的直线l′交直线pa，pb于点m，n。

（如图4）则有：（ⅰ）fm∥pb； fn∥pa；（ⅱ）记△afm，△pmn，△bfn的面积分别为s△afm，s△pmn，s△bgn现给出有心二次曲线的统一性质5：（2012江苏高考19题的推广）过有心二次曲线的两焦点f1，f2作两条射线（同向）交二次曲线于a，b两点，直线f1b和f2a相交于点p，则pf1+pf2为定值。

圆锥曲线焦点弦的一个性质及其应用举例22性质 ⑴过 椭圆 x2 + y2 =1（a >b >0）焦点 F 的直 线交椭圆 于 A 、B 两点 ，设 abAF p, BF =q 。

若 A 、B 两点在双曲线的同一支上（此时称 AB 为双曲线的同支焦点弦）AF p, BF =q ， 11 则 + = pq 2a b 2 2 = e 2d 0 ,其中d = b c 2是焦准距，cce= 是离心率。

a⑵过双曲线 22x 2 y 2 122 ab(a > 0,b > 0) 焦点 F 的直线交双曲线于 A 、 B 两点，设1 12 b 2则 + = ，其中 d 0 = 是焦准距； p q ed 0 c若 A 、B 两点分别位于双曲线的左支和右支上 时称 AB 为双曲线的异支焦点弦），则1 - 1pqe 2d 0 ,其中d 0 b 2c 是焦准距， ce= 是离心率。

a（抛物线的类似性质，本文从略） 证明：（只证性质⑴ , 性质⑵的证明从略） 由对称性，不妨取 F 为右焦点。

设右准线 l 与 x 轴交于点 D ，过 A 作 AG ⊥l 于 G ，过 B 作 BH ⊥l 于点 H ，则 AG ∥FD ∥ BH ；且由椭圆的第二定义知， |AG|= AF p，|BH|= BF q。

e e e e令|FE|= m ,|ED|= n ，故由 mq,n = pmnpq p = p+q,q =。

∴e(p q)e e因此， b2 m +n = ? c 2pq b2e(p q) 。

c2∴p q 2c2。

又 ec，从而1 1 p q 2a2= 2 ,其中d0= b就是焦准距。

证毕。

pqeb 2a p q pqb 2ed 0 c[ 说明 ] ①在上述证明过程中出现的“ m = n ”， “即 |FE|=|ED| ”，亦即 E 为线段 FD 的中点（如图 1） 这是椭圆焦点弦的另一条性质。

双曲线与抛物线也则 m +n =|FD|=FEBF，AGBA，BH GB =AB可得：②如图 1，若设∠ AFD =θ，并分别过 A 、F 作 FD 和 BH 的垂线，则可证： p= ba+ ccos θ2ab2； 从 而 得 焦 点 弦 长 公 式 ： |AB| = p + q= 2 2 2 q =1 - e cos θa -c cos θ22d0e2,其中d 0 就是焦准距 b。

圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标参数方程）圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。

由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。

本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F ，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，记圆锥曲线的离心率为e ，通径长为H ，则（1）当焦点在x 轴上时，弦AB 的长|cos 1|||22αe HAB -=； （2）当焦点在y 轴上时，弦AB 的长|sin 1|||22αe HAB -=.推论：（1）焦点在x 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α22cos 1||e HAB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1cos ||22-=αe HAB ；当圆锥曲线是抛物线时，α2sin ||HAB =. （2）焦点在y 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α22sin 1||e HAB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1sin ||22-=αe HAB ；当圆锥曲线是抛物线时，α2cos ||HAB =.典题妙解下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1（06湖南文第21题）已知椭圆134221=+y x C ：，抛物线px m y 22=-）（（p ＞0），且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点.（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p ，m 的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上； （Ⅱ）若34=p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程.2FOABxy例2（07全国Ⅰ文第22题）已知椭圆12322=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于B 、D 两点，过2F 的直线交椭圆于A 、C 两点，且BD AC ⊥，垂足为P.（1）设P 点的坐标为），（00y x ，证明：232020yx +＜1. （2）求四边形ABCD 的面积的最小值.2FABCD Oxy 1F P例3（08全国Ⅰ理第21题文第22题）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 上，两条渐近线分别为1l 、2l ，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交1l 、2l 于A 、B 两点. 已知||OA 、||AB 、||OB 成等差数列，且BF 与FA 同向.（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.A ByO F x1l2lN M金指点睛1. 已知斜率为1的直线l 过椭圆1422=+x y 的上焦点F 交椭圆于A 、B 两点，则||AB =_________.2. 过双曲线1322=-y x 的左焦点F 作倾斜角为6π的直线l 交双曲线于A 、B 两点，则||AB =_________.3. 已知椭圆02222=-+y x ，过左焦点F 作直线l 交A 、B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 的最大面积.B O xy AF4. 已知抛物线px y 42=（p ＞0），弦AB 过焦点F ，设m AB =||，△AOB 的面积为S ，求证：mS 2为定值.yO F x AB5.（05全国Ⅱ文第22题）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆1222=+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点. 已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0=⋅MF PF .求四边形PQMN 的面积的最大值和最小值.O xNPy MQF6. (07重庆文第22题)如图，倾斜角为α的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点.（Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（Ⅱ）若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明α2cos ||||FP FP -为定值，并求此定值.yO F xA BDEC lαm P7. 点M 与点)2,0(F 的距离比它到直线03:=+y l 的距离小1.（1）求点M 的轨迹方程；（2）经过点F 且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A 、B ；C 、D. 求四边形ACBD 的最小面积.FO xA BD C y8. 已知双曲线的左右焦点1F 、2F 与椭圆1522=+y x 的焦点相同，且以抛物线x y 22-=的准线为其中一条准线. （1）求双曲线的方程；（2）若经过焦点2F 且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A 、B ；C 、D. 求四边形ACBD的面积的最小值.y2FAO x1l2l B CD参考答案：证明：设双曲线方程为12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），通径a b H 22=，离心率a ce =，弦AB 所在的直线l 的方程为）（c x k y +=（其中αtan =k ，α为直线l 的倾斜角），其参数方程为为参数）（，t t y t c x ⎩⎨⎧=+-=.sin cos αα. 代入双曲线方程并整理得：0cos 2cos sin 4222222=-⋅+⋅-b t c b t b a ααα）（. 由t 的几何意义可得：|cos 1|2|cos 1|2|cos sin |2cos sin 4cos sin cos 24||||22222222222222222222222122121αααααααααe a b e a b b a ab b a b b a c b t t t t t t AB -=-=-=-----=-+=-=）（）（.|cos 1|22αe H-=例1.解：（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，点A 、B 关于x 轴对称，0=∴m ，直线AB 的方程为1=x . 从而点A 的坐标为），（231或），（231-. 点A 在抛物线2C 上，.249p =∴即.89=p此时抛物线2C 的焦点坐标为），（0169，该焦点不在直线AB 上. （Ⅱ）设直线AB 的倾斜角为α，由（Ⅰ）知2πα≠.则直线AB 的方程为）（1tan -⋅=x y α.抛物线2C 的对称轴m y =平行于x 轴，焦点在AB 上，通径382==p H ，离心率1=e ，于是有又 AB 过椭圆1C 的右焦点，通径322==a b H ，离心率21=e . ∴.cos 412|cos 1|||222αα-=-=e H AB∴）（α2cos 138-.cos 4122α-= 解之得：6tan 71cos 2±==αα，.抛物线2C 的焦点），（m F 32在直线）（1tan -⋅=x y α上， ∴αtan 31-=m ，从而36±=m . 当36=m 时，直线AB 的方程为066=-+y x ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为066=--y x 例2.（1）证明：在12322=+y x 中，123===c b a ，，. ，︒=∠9021PF F O 是1F 2F 的中点，.1||21||21===∴c F F OP 得.12020=+y x ∴点P 在圆122=+y x 上.显然，圆122=+y x 在椭圆12322=+y x 的内部. 故232020yx +＜1.（2）解：如图，设直线BD 的倾斜角为α，由BD AC ⊥可知，直线AC 的倾斜角απ+2..cos 138sin ||22）（αα-==H AB 2FOABxy通径33422==a b H ，离心率33=e . 又 BD 、AC 分别过椭圆的左、右焦点1F 、2F ，于是.sin 3342cos 1||cos 334cos 1||222222ααπαα-=+-=-=-=）（，e H AC e H BD ∴四边形ABCD 的面积.2sin 2496sin 334cos 33421||||21222ααα+=-⋅-⋅=⋅=AC BD S [)]10[2sin 02，，，∈∴∈απα . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴42596，S .故四边形ABCD 面积的最小值为2596. 例3，解：（Ⅰ）设双曲线的方程为12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）.||OA 、||AB 、||OB 成等差数列，设m AB =||，公差为d ，则d m OA -=||，d m OB +=||，∴222)()(d m m d m +=+-. 即2222222d dm m m d dm m ++=++-. ∴4m d =. 从而43||m OA =，45||mOB =. 又设直线1l 的倾斜角为α，则α2=∠AOB . 1l 的方程为x aby =. ∴.tan ab=α 而.34||||tan 2tan ==∠=OA AB AOB α 2FABCD Oxy 1F P∴34)(12tan 1tan 222=-⨯=-ab a bαα. 解之得：.21=a b∴.25)(12=+=a b e （Ⅱ）设过焦点F 的直线AB 的倾斜角为θ, 则απθ+=2.∴αθsin cos -=. 而.51)21(1)21(tan 1tan sin 22222=+=+=ααα∴51cos 2=θ.通径b abb a b H =⨯==222. 又设直线AB 与双曲线的交点为M 、N. 于是有：4cos 1||22=-=θe HMN .即451)25(12=⨯-b .解得3=b ，从而6=a .∴所求的椭圆方程为193622=-y x .1. 解：3,1,2===c b a ，离心率23==a c e ，通径122==ab H ，直线l 的倾斜角4πα=.∴58)22()23(11sin 1||2222=⋅-=-=αe HAB . 2. 解：2,3,1===c b a ，离心率2==ace ，通径622==a b H ，直线的倾斜角6πα=. A ByO F x1l2lN M∴3|)23(21|6|cos 1|||2222=⋅-=-=αe HAB .3. 解：1222=+y x ，1,1,2===c b a ，左焦点)0,1(-F ，离心率22==a c e ，通径222==ab H .当直线l 的斜率不存在时，x l ⊥轴，这时22||2===ab H AB ，高1||==c OF ，△AOB 的面积221221=⨯⨯=S . 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的倾斜角为α，则其方程为)1(tan +⋅=x y α，即tan tan =+-⋅ααy x ，原点O 到直线AB 的距离ααααααs i n|s e c ||t a n|1t a n |t a n 0ta n 0|2==++-⨯=d . αααα222222sin 122cos 222cos )22(12cos 1||+=-=⋅-=-=e HAB . ∴△AOB 的面积αα2sin 1sin 2||21+=⨯⨯=d AB S . 0＜α＜π，∴αsin ＞0. 从而ααsin 2sin 12≥+. ∴22sin 2sin 2=≤ααS .当且仅当1sin =α，即2πα=时，“=”号成立. 故△AOB 的最大面积为22. 4. 解：焦点为)0,(p F ，通径p H 4=.当直线AB 的斜率不存在时，x AB ⊥轴，这时p m AB 4||==，高p OF =||，△AOBBO xy AF的面积22||||21p OF AB S =⨯⨯=. ∴3442444p pp m p m S ===，是定值.当直线AB 的斜率存在时，设直线的倾斜角为α，则其方程为)(tan p x y -⋅=α，即tan tan =+-⋅ααp y x ，原点O 到直线AB 的距离αααααs i n |s e c ||t a n|1t a n |t a n |2p p p d ==+=. αα22sin 4sin ||pH AB ==. ∴△AOB 的面积αsin 2||212p d AB S =⨯⨯=.∴32242424sin sin 41sin 4p pp m p m S =⨯=⨯=ααα. ∴不论直线AB 在什么位置，均有32p m S =（3p 为定值）.5. 解：在椭圆1222=+y x 中，.112===c b a ，， 由已知条件，MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点），（10F ，且PQ MN ⊥. 如图，设直线PQ 的倾斜角为α，则直线MN 的倾斜角απ+2.通径222==ab H ，离心率22=e .于是有.sin 222sin 1||cos 222)2(sin 1||222222ααααπ-=-=-=+-=e H PQ e HMN ，∴四边形PQMN 的面积O xNPy MQFyO F x AB.2sin 816sin 222cos 22221||||21222ααα+=-⋅-⋅=⋅=PQ MN S [)]10[2sin 02，，，∈∴∈απα . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴2916，S .故四边形PQMN 面积的最小值和最大值分别为916和2. 6.（Ⅰ）解：4,82==p p ，∴抛物线的焦点F 的坐标为)2,0(， 准线l 的方程为2-=x .（Ⅱ）证明：作l AC ⊥于C ，AC FD ⊥于D. 通径82==p H . 则ααααcos ||||,cos ||||,sin 8sin ||22AF AD FP EF H AB ====.∴4cos ||||||||+=+==αAF p AD AC AF .∴αcos 14||-=AF .∴αααα22sin cos 4sin 4cos 14||21||||||||=--=-=-=AB AF AE AF EF ， 从而αα2sin 4cos ||||==EF FP . ∴8sin 2sin 4)2cos 1(||2cos ||||22=⋅=-=-ααααFP FP FP . 故α2cos ||||FP FP -为定值，此定值为8.7. 解：（1）根据题意，点M 与点)2,0(F 的距离与它到直线2:-=y l 的距离相等，∴点M 的轨迹是抛物线，点)2,0(F 是它的焦点，直线2:-=y l 是它的准线.从而22=p，∴4=p . ∴所求的点M 的轨迹方程是y x 82=.（2） 两条互相垂直的直线与抛物线均有两个交点， ∴它们的斜率都存在. 如图，设直线AB 的倾斜角为α， 则直线CD 的倾斜角为α+︒90.y O F xA BDEClαm P BDy抛物线的通径82==p H ，于是有：αααα2222sin 8)90(cos ||,cos 8cos ||=+︒===H CD H AB .∴四边形ACBD 的面积.2sin 128sin 8cos 821||||21222ααα=⋅⋅=⋅=CD AB S 当且仅当α2sin 2取得最大值1时，128min =S ，这时︒=︒=45,902αα.∴四边形ACBD 的最小面积为128.8. 解：（1）在椭圆1522=+y x 中，2,1,522=-===b a c b a ，∴其焦点为)0,2(1-F 、)0,2(2F .在抛物线x y 22-=中，1=p ，∴其准线方程为212==p x . 在双曲线中，21,22==c a c ，∴3,122=-==a c b a . ∴所求的双曲线的方程为1322=-y x .（2） 两条互相垂直的直线与双曲线均有两个交点，∴它们的斜率都存在. 如图，设直线AB 的倾斜角为α，则直线CD 的倾斜角为α+︒90.双曲线的通径622==a b H ，离心率2==a ce . 于是有： αααα222222sin 416)90(cos 1||,cos 416cos 1||-=+︒-=-=-=e H CD e H AB .∴四边形ACBD 的面积.2sin 4318sin 416cos 41621||||21222ααα+-=-⋅-⋅=⋅=CD AB S =18 y2FAO x1l2l B CD当且仅当α2sin 2取得最大值1时，18min =S ，这时︒=︒=45,902αα.∴四边形ACBD 的最小面积为18.。

ＭＮ Ｉ ＝ ２ ｐ
一
１ ＋ｋ 一ｅ Ｉ
ｌ ｓ ｅ ｃ ０一ｅ ｃ ｏ ｓ ０ｉ ｏ
） 。 （ ９ ） （ １ ０）
（ 一 ）＝ Ｏ ，
（ １ １ ）
证明 以 所在直线为 轴 ， Ｆ为坐标原点建立直角坐标系 ，因为焦点到相应准线的距离为Ｐ ，故得 ，（ ０ ，０ ） ， Ｅ（ ， ０ ） 所 以经过 的准线方程为 ｘ ＝ － ｐ ，直线 Ｅ ＭＮ的方程为 ｙ ＝ ｋ（ 同定理 １ 的证明方法得 （ １ 一 ） 一 ２ ｅ ２ ｐ ｘ — Ｐ ＝ ０ 。
在（ ５ ） 中 令ｙ ＝ ０ ， 注意到． ） ｃ ＜０ 解得 （ 一 ・ ＋ ） ＝ ＝ ＞ ＝ Ｙ一
，
， ｏ ） ， 则得直线 Ｂ Ａ的方程为
将（ 、 ６ ） 代入（ ５ １ ＋ｋ ２ ＿ｅ ２ ） 。 一２ ｅ ｐ ｋ ｙ＝０ ， （ ７ ）
（ ６ ）
收稿 日期 ：２ ０ １ ３ —１ ２—１ ３
为 解决 圆锥 曲线一些特 殊 弦长 问题提供 了理论依 据 。
关键词 ：圆锥曲线弦；计算方法；应用 中图分 类号 ：０１ ２ ３ ． ３ 文献标 识码 ： Ａ
文章 编号 ：１ ６ ７ ４ — ９ ２ ０ ０（ ２ ０ １ ４） ０ ３ — ０ ０ ５ ８ — ０ ４
１ 焦点弦长统 一公式
第２ ７卷 第 ３ 期 ２ ０ １ ４年 ６月
文 山学 院学报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＷＥ ＮＳ ＨＡＮ ＵＮＩ ＶＥＲＳ Ｉ Ｔ Ｙ
Ｖ０ １ ． ２ ７ Ｎｏ ． ３
Ｊ ｕ ｎ ． ２ ０ １ ４
圆锥 曲线几种弦长的统 一公式
玉 邴 图
（ 广南县第一 中学，云南 广南 ６ ６ ３ ３ ０ ０ ） 摘要：圆锥 曲线弦是各类考试的重点和热点，常考常新，角度常变 ， 久经不衰，且运算量大，技能性高。 文章运用韦达定理和弦长公式推导 了圆锥 曲线焦 点弦、 顶点弦和准点弦长度的统一计算公 式和几个重要推论 ，

圆锥曲线焦点弦与准线的相关性今天，我们要讨论的是圆锥曲线焦点弦与准线的相关性。

圆锥曲线是一种常见的曲线，它以极坐标形式进行参数化。

它有两个焦点F1和F2，以及椭圆弦段AB。

圆锥曲线的参数化公式为：r（θ）= c+ae^(bθ)这里，c,a,b是圆锥曲线的常量参数，可以用来描述特定的类型的圆锥曲线。

焦点弦AB是圆锥曲线的重要部分。

两个参数的变化会导致其形状的变化。

另一个重要的概念是准线，它是圆锥曲线以一定比例放大或缩小的过程中所构成的直线。

那么，圆锥曲线焦点弦与准线是如何相关的呢？首先，圆锥曲线的焦点弦AB与准线在相同的位置上。

它们之间的联系是由“焦点弦”准则定义的。

根据这一准则，以此圆锥曲线的两个焦点为端点的准线的斜率应该等于焦点弦AB的斜率。

其次，准线的方向也和圆锥曲线的焦点弦AB有关。

当焦点弦AB 在椭圆轴上时，准线的方向应该与椭圆轴方向相同。

当焦点弦AB不在椭圆轴上时，准线的方向应该与焦点弦AB的方向相同。

此外，准线还与圆锥曲线的半径有关。

根据焦点弦定理，准线与两个焦点之间的距离应该等于椭圆轴上半径之差。

这个距离可以通过观察焦点弦AB的斜率和长度来计算出来。

最后，圆锥曲线的焦点弦AB的位置也和准线的位置有关。

例如，若所求准线的斜率为k，则焦点弦AB的位置是椭圆轴上等于k/b的位置，其中b为参数化公式中的常量参数。

综上所述，圆锥曲线的焦点弦AB与准线之间存在着一种复杂的相互关系。

参数化的变化会影响圆锥曲线焦点弦AB的形状，从而影响准线的形状。

此外，准线的方向和位置也都和圆锥曲线焦点弦AB 有关。

因此，理解圆锥曲线焦点弦AB与准线的相关性非常重要，不仅可以用来推导圆锥曲线特定参数的变化，而且可以用来计算准线的位置和方向。

㊀㊀㊀圆锥曲线焦半径公式的进一步推导及应用◉浙江省诸暨市草塔中学㊀金铁强椭圆㊁双曲线的焦点弦或焦半径的问题是解析几何中的常规考点,很多老师在讲解的时候喜欢用 设而不求 来解决问题．但用此法来处理焦点弦问题也有其弊端,一是步骤过多,二是有些问题不能直接用此法求解,必须再要用到 设而求之 才能解决．对于现在的多变题型,已经达不到通解通法的要求,因此有必要对圆锥曲线焦半径公式进行进一步的挖掘和整理,才能适应当前高考题型的发展趋势,让学生能够更直观地解题．图１１焦点在x 轴上的椭圆焦半径公式的推导及应用㊀㊀如图１,设椭圆E 为x ２a２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０),F １,F ２为椭圆E 的焦点,P Q 为椭圆E 过点F １的焦点弦．当P Q 垂直于x 轴时,弦P Q 为过F １的所有弦中最短的一条,即通径,满足|P Q |＝２b２a;当P Q 垂直于y 轴时,弦P Q 为过F １的所有弦中最长的一条,即长轴,满足|P Q |＝２a ．除了这两条特殊的焦点弦,我们任意作一条焦点弦,连接P F ２,构成焦点三角形P F １F ２,令øP F １F ２为α,为焦点弦P Q 的倾斜角．设|P F １|＝x ,则|P F ２|＝２a －x ．在әP F １F ２中由余弦定理得c o s α＝x ２＋(２c )２－(２a －x )２４x c．整理得到x ＝a ２－c ２a －c c o s α＝b２a －c c o s α,即|P F １|＝b ２a －c c o s α．当α＝π２,０时,就是最短弦与最长弦．同样地,在图１中,若我们连结Q F ２,构成焦点三角形Q F １F ２,可得|Q F １|＝b２a －c c o s (π－α),即|Q F １|＝b２a ＋c c o s α,得到焦点弦|P Q |＝b ２a －c c o s α＋b ２a ＋c c o s α＝２a b２a ２－c ２ c o s ２α．这个公式把焦点弦分成上下两部分,每部分的焦半径都有自己的表达式,这样对于条件运用可以更直接明了．例１㊀设F １,F ２分别为椭圆x ２３＋y ２＝１的左右焦点,点A ,B 在椭圆上,若F １A ң＝５F ２B ң,则点A 的坐标是．图２解析１:(常规解法)如图２,已知椭圆x ２３＋y ２＝１,则焦点F １(－２,０),F ２(２,０)．因为F １A ң＝５F ２B ң,则F １A ң与F ２B ң共线,即F １A 与F ２B 平行．延长A F １与椭圆交于点C ,由椭圆与两个焦点都关于(０,０)对称,可知C F １ң＝F ２B ң,则F １A ң＝５C F １ң．那么问题就转化到焦点弦A C 了．可验证当点A 在x 轴上时,不满足条件,故设A (x １,y １),C (x ２,y ２),直线A C 为x ＝m y －２,求出A (x １,y １)的坐标．到这里,我们发现,该题目其实不能用 设而不求 ,因为最后问的是x １及y １的值,最后反而是 设而求之 ．联立x ＝m y －２与x ２３＋y ２＝１,消去x ,得到方程(３＋m ２)y ２－２２m y －１＝０．则y １＋y ２＝２２m m ２＋３,y １y ２＝－１m ２＋３．又y １＝－５y ２,解得y ２１＝１．则A (０,１)或A (０,－１)．解析１虽步骤不多,但运算复杂．如果我们用焦半径公式,整个问题就豁然开朗．解析２:(焦半径公式法)首先,利用椭圆与平行线的点对称问题同上解,问题转化到焦点弦A C 中来．设A C 的倾斜角为α,由F １A ң＝５C F １ң,可直接利用公式得到方程b ２a －c c o s α＝５b２a ＋c c o s α,则６c c o s α＝４a ,即c o s α＝２a ３c ＝２３３２＝６３．所以直线A C 的斜率k ＝２２,直线A C 方程为y ＝２２x ＋１,联立椭圆方程x２３＋y ２＝１,易得x ＝０,y ＝１．即A (０,１)．再利用对称性可得A (０,－１)(此时倾斜角α为３５２０２２年９月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀钝角,斜率k＝－１２)．运算可简便很多．综上可知:A(０,１)或A(０,１)．分析公式的本源可得出很简单的结论,焦点弦的弦长及被焦点分开的两段焦半径的比例值其实与椭圆的形状(即a,c的值),与焦点弦所在直线的方向(即斜率k或倾斜角α)存在关系,即a,c,α三个量决定了焦点弦的一切,那我们不妨直接利用这样的代数关系来解决问题,解题就方便多了．２焦点在x轴上的双曲线焦半径公式的应用同样地,该公式也适用于双曲线．例２㊀已知双曲线方程:x２３－y２＝１,左焦点为F,过F作两条相互垂直的直线与双曲线相交于A,B,C,D四点,求四边形A B C D面积的最小值．解析:由条件知,若焦点弦为一条交于双支,一条交于单支,则不能构成四边形,则两条焦点弦都交于左支或都交于双支．(１)若两条焦点弦都交于双支,令一条焦点弦的倾斜角为α,另一条焦点弦的倾斜角为π２＋α,则满足不等式t a nα＜３３,且０＞t a nπ２＋αæèçöø÷＞－３３,不存在这样的α．(２)若两条焦点弦都交于左支,令一条焦点弦的倾斜角为α,另一条焦点弦的倾斜角为π２＋α,则满足不等式t a nα＞３３,且t a nπ２＋αæèçöø÷＜－３３,则αɪπ６,π３æèçöø÷．S A B C D＝|A C| |B D|２＝１２２a b２(a２－c２ c o s２α)２a b２a２－c２ c o s２α＋π２æèçöø÷éëêêùûúú＝３３－４c o s２α２３３－４s i n２α＝６９－４＋１６c o s２α s i n２α＝６５＋４s i n２２αȡ２３．当s i n２２α＝１,即α＝π４时,等号成立,此时四边形A B C D面积的最小值为２３．利用公式直接代入,解题过程简洁明了,优点显而易见．３焦点在y轴上的圆锥曲线焦半径公式如图３,设椭圆T:y２a２＋x２b２＝１(a＞b＞０),F１,F２为椭圆T的焦点,上准线为y＝a２c,P Q为椭圆T的焦图３点弦,P Q的倾斜角为α,P H与上准线垂直于H,N为上准线与y轴的交点．由|P F１||P H|＝ca,|PH|＝a２c＋(|P F１|s i nα－c),可以得a|P F１|＝c a２c－c＋|P F１|s i nαæèçöø÷,即|P F１|＝b２a－c s i nα．同理,|Q F１|＝b２a＋c s i nα,且|P Q|＝２a b２a２－c２s i n２α．焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式只需把焦点在x轴上的焦半径公式中的c o sα换成s i nα,其他不变．因此,简单总结如下:(１)焦点在x轴上的椭圆或双曲线(双曲线要求焦点弦P Q与双曲线同一支交于两点,即焦点弦的斜率满足k＞ba或k＜－ba时),其焦点弦为P Q,焦点弦的倾斜角为α．P Q被焦点分成P F１与P F２两段,其中较长的一条为|P F１|＝b２a－c c o sα,较短的一条为|Q F１|＝b２a＋c c o sα;当曲线为双曲线时,若其焦点弦P Q与双曲线两支分别相交一点,即焦点弦的斜率满足－b a＜k＜b a时,此时较长的一条|P F１|＝b２c c o sα－a,较短的一条|Q F１|＝b２c c o sα＋a(绝对值取决于倾斜角为锐角还是钝角)．(２)焦点在y轴上的椭圆或双曲线,把上述公式中的c o sα换成s i nα即可．唯一有变化的是当焦点弦P Q与双曲线同一支交于两点,焦点弦的斜率满足－b a＜k＜b a;当双曲线的焦点弦P Q与双曲线两支分别相交一点,焦点弦的斜率满足k＞ba,或k＜－b a．即α的取值范围要求发生变化,而公式的结构不变,只需把公式中的c o sα换成s i nα,而且,由于αɪ[０,π),s i nαȡ０恒成立,有绝对值的部分可以去掉．参考文献:[１]人民教育出版社,课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心．普通高中课程标准实验教科书 数学 选修２Ｇ１(A版)[M]．２版．北京:人民教育出版社,２００７．[２]丁益民．数学公式的 二次处理 对学生思维的培养．数学通讯,２０１０(２２):１Ｇ２．F４５复习备考解法探究㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年９月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

圆锥曲线的极坐标方程知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep-=.其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 1+cos epe ρθ=则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。

）若M 、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ.3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1pp p MN =--+-=例1过双曲线22x y -145=的右焦点，引倾斜角为3π的直线，交双曲线与A 、B 两点，求AB ｜｜解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系 即得 所以 又由得 注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对 v 加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。

有关圆锥曲线的四组结论及其应用
1、圆锥曲线结论：一条圆锥曲线都可以表示为与轴成一定余角的
正弦曲线，它的焦点和轴向量成正比。

2、平面上的圆锥曲线有两个焦点。

在平面内，它的曲线的几何形状是
自相似的。

3、空间上的圆锥曲线也有两个焦点，它的曲线的几何形状不是自相似的，它的曲线会发生波动。

4、应用：圆锥曲线用于许多工程领域，如机械设计、结构设计和航空
航天等，也常用于几何学和动力学中。

例如，它用于圆锥组件的设计，如螺旋桨叶片、火花塞等，以及高速旋转盘、高精度机械装置、海上
风机等。

圆锥曲线也可以用于工作介质管道结构件的设计，如水管、
燃气管、液压系统等。

圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。

圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。

焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。

本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。

定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。

（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。

证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。

由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。

（1）当焦点内分弦时。

如图1，，所以。

图1（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。

如图2，，所以。

图2评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。

例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。

若，则的离心率为（）解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。

例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。

过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。

例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。

例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。

例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。

用圆锥曲线焦点弦结论巧算高考题重庆巴蜀科学城中学校（401331）李兰［摘要］圆锥曲线焦点弦结论具有统一形式，利用焦点弦结论可以快速解决高考题，为考生打开解题思路，提高学生的解题能力。

［关键词］圆锥曲线；焦点弦；高考题［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2023）17-0024-03一、公式及其证明圆锥曲线中的焦点弦就是过焦点的弦长，弦长公式AB=1+k2||x1-x2，圆锥曲线有统一方程，思考由抛物线的焦点弦与弦长倾斜角度、离心率（抛物线的离心率为1）有关的弦长公式，类比推导圆锥曲线的另一个统一公式：焦半径=半通径1±e⋅cosθ=b2a1±e⋅cosθ（半通径就是垂直于焦点所在轴的焦半径，抛物线为y2=2px(p>0)中的p）。

证明如下：①椭圆x2a2+y2b2=1中，直线l过右焦点F与椭圆交于A、B两点，其中A（x1，y1），B（x2，y2），l的倾斜角为θ（锐角），则焦半径AF=b2a1+e·cosθ，BF=b2a1-e·cosθ。

（如图1）x=a2cθ图1由A、B两点分别向右准线作垂线，垂足为M、N，由A点向x轴作垂线，垂足为D，由圆锥曲线统一定义，椭圆上点到焦点的距离比到准线的距离等于离心率得||AF||AM=ca，所以||AF=||AM e=e·()a2c-x1=a-ex1，||FD=||AF cosθ。

所以c+||AF cosθ=x1，即c+||AF cosθ=a-||AFe，即||AF（1+e cosθ）=a-c2a=b2a。

所以AF=b2a1+e·cosθ，同理BF=b2a1-e·cosθ。

②双曲线x2a2-y2b2=1中，直线l过焦点F与同一支交于A、B两点，结论同上，证明略。

③抛物线y2=2px（p>0），直线l过右焦点F与抛物线交于A、B两点，则AF=p1-cosθ，BF=p1+cosθ，长短视角度而定。

专题1 焦长与焦比体系】过椭圆的一个焦点的弦与另一个焦点围成的三角形的周长是 ．【例2】 过椭圆的一个焦点F 作弦AB ，若，，则 的数值为（ ） A ． B ．C ．D ．与、斜率有关【例3】设直线与椭圆相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点F .（1）证明：；（2）若F 是椭圆的一个焦点，且，求椭圆的方程．【例4】设椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点，离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）若椭圆左焦点为，右焦点，过且斜率为1的直线交椭圆于，求的面积.秒杀秘籍：椭圆焦长以及焦比问题体:过椭圆的左焦点F 1的弦与右焦点F 2围成的三角形的周长是4a ；焦长公式：A 是椭圆上一点，、是左、右焦点，为，过，c 是椭圆半焦距，则（1）；（2）；（3）．体面积：，． 证明：（1）如图所示，，故； （2）设由余弦定理得 ；整理得 ；整理得则过焦点的弦长.（焦长公式）焦比定理：过椭圆的左焦点F 1的弦，，令，即，代入弦长公式可得．yO F 2AB xF 1【例5】已知椭圆C：的左右顶点为A，B，点P为椭圆C上不同于A，B，的一点，且直线P A，PB的斜率之积为；（1）求椭圆的离心率；（2）设为椭圆C的左焦点，直线l过点F与椭圆C交与不同的两点M，N，且求直线l的斜率．【例6】（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若，轴，则椭圆E的方程为．【例7】（2011•浙江）设F1，F2分别为椭圆的焦点，点A，B在椭圆上，若,则点A的坐标是．【例8】（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，．（1）若，的周长为16，求；（2）若，求椭圆E的离心率．_________.【例10】过双曲线的左焦点F 1作倾斜角为的直线交双曲线于A 、B 两点，则=________.【例11】已知双曲线的左、右焦点分别为，．过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若，若是以为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ． B ．C ．D ．注意：关于这类型焦比双曲线求离心率的题目很多，通常需要利用双曲线的几何性质把拥有焦比的较长的那段用关于的式子表示出来，再利用（交一支）或者（交两支）得出离心率.证明：1． ；同理. 2．．3．设O 到AB 的距离为,则 ，故． 4．，． 5．；；；．关于抛物线的焦长公式及定理（A 为直线与抛物线右交点，B 为左交点，为AB 倾斜角） 1．；2． 3．；4．设，则； 5．设AB 交准线于点P ，．【例12】已知抛物线C ：的焦点为F ，直线与C 交于A ，B （A 在x 轴上方）两点，若，则m 的值为（ ） A ．B ．C ．D ．【例13】已知抛物线的方程为，过其焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且，O 为坐标原点，则的面积和的面积之比为（ ） A ． B ． C ． D ．【例14】过抛物线的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若，且则此抛物线的方程为（ ）若交于两支时，，代入弦长公式可得．秒杀秘籍：抛物线焦长公式及性质 1．．2．．3．．4．设,则．5．设AB 交准线于点P ，则；．秒杀秘籍：过焦点的弦与其中垂线的性质 1.设椭圆焦点弦的中垂线与长轴的交点为，则与之比是离心率的一半（如图）。

高中数学圆锥曲线弦长公式
摘要：
1.圆锥曲线的定义和重要性
2.圆锥曲线弦长公式的推导和应用
3.圆锥曲线弦长公式的简化方法
4.圆锥曲线弦长公式在实际问题中的应用
正文：
一、圆锥曲线的定义和重要性
圆锥曲线是一种重要的几何图形，它包括椭圆、双曲线、抛物线和它们的简化形式：圆和直线。

圆锥曲线可以通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到。

在数学和几何学中，圆锥曲线有着广泛的应用，它们是许多重要理论和问题的基础。

二、圆锥曲线弦长公式的推导和应用
圆锥曲线弦长公式是指直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式。

求解圆锥曲线弦长公式的通用方法是将直线方程代入曲线方程，化为关于x（或关于y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。

这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的。

三、圆锥曲线弦长公式的简化方法
然而，对于过焦点的圆锥曲线弦长求解，利用上述方法相比较而言有点繁琐。

这时，可以利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式，以简化运算过程。

例如，椭圆弦长公式为d(1k)x1-x2，双曲线弦长公式为
d(1k2)/a2，抛物线弦长公式为d(1k2)/a。

四、圆锥曲线弦长公式在实际问题中的应用
掌握圆锥曲线弦长公式，可以帮助我们更好地解决实际问题。

例如，在研究某个卫星绕地球的运动轨迹时，我们可以通过圆锥曲线弦长公式来计算卫星与地球之间的距离，从而更准确地预测卫星的运行轨迹。

此外，在光学、力学、天文学等领域，圆锥曲线弦长公式也有着广泛的应用。

（一）圆锥曲线公式大全1、椭圆的定义、椭圆的方程、椭圆的性质F1(c, 0 ), F2( c, 0 )F1(0,c, ), F2( 0, c )(a, 0 ), ( 0, b )(0, a ), ( b, 0 )2、判断椭圆是 x 型还是y 型只要看2x 对应的分母大还是2y 对应的分母大，若2x 对应的分母大则x 型，若2y 对应的分母大则y 型.3、求椭圆方程一般先判定椭圆是x 型还是y 型，若为x 型则可设为12222=+b y a x ，若为y型则可设为12222=+bx a y ，若不知什么型且椭圆过两点，则设为稀里糊涂型：221mx ny +=4、双曲线的定义、双曲线的方程、椭圆的性质双曲线定义若M 为双曲线上任意一点，则有12MF MF 2a -=(2a<2c)若12MF MF 2a -==2c,则点M 的轨迹为两条射线 若12MF MF 2a -=>2c, 则点M 无轨迹焦点位置x 轴y 轴图形方程 12222=-by a x 12222=-bx a y 焦点坐标 F1(c, 0 ), F2( c, 0 )F1(0,c, ), F2( 0, c )焦距 |F1F2| = 2c顶点坐标 (a, 0 )(0, a )a, b, c 的关系式椭圆形状长的像a,所以a 是老大，a2 = b2 + c2； 双曲线形状长的像c,所以c 是老大，c2 = a2 + b2 实轴、虚轴 实轴长=2a, 虚轴长=2b ，实半轴长=a, 虚半轴长=b 无论双曲线是x 型还是y 型，双曲线的焦点总是落在实轴上对称轴 关于x 轴、y 轴和原点对称离心率 ace =( e>1) 范围 ,a x a y R ≤≤-∈或x a y a ≤≤-或y ,x R ∈渐近线b y x a=±a y x b=±2、判断双曲线是 x 型还是y 型只要看2x 前的符号是正还是2y 前的符号是正，若2x 前的符号为正则x 型，若2y 前的符号为正则y 型，同样的，哪个分母前的符号为正，则哪个分母就为2a3、求双曲线方程一般先判定双曲线是x 型还是y 型，若为x 型则可设为12222=-by a x ，若为y 型则可设为12222=-b x a y ，若不知什么型且双曲线过两点，则设为稀里糊涂型：221(0)mx ny mn -=<6、若已知双曲线一点坐标和渐近线方程y mx =，则可设双曲线方程为222(0)y m x λλ-=≠，而后把点坐标代入求解7、椭圆、双曲线、抛物线与直线:l y kx b =+的弦长公式：AB ==8、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题出现弦的中点往往考虑用点差法 9、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题的解题步骤：（1）假化成整(把分式型的椭圆方程化为整式型的椭圆方程)，联立消y 或x (2)求出判别式，并设点使用伟大定理 （3）使用弦长公式1、抛物线的定义：平面内有一定点F 及一定直线l(F 不在l 上)P 点是该平面内一动点，当且仅当点P 到F 的距离与点P 到直线l 距离相等时，那么P 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的一条抛物线.————见距离想定义！！！2、（1）抛物线方程左边一定是x 或y 的平方（系数为1），右边一定是关于x 和y 的一次项，如果抛物线方程不，立即化为方程！（2）抛物线的一次项为x 即为x 型，一次项为y 即为y 型!(3)抛物线的焦点坐标为一次项系数的四分之一，准线与焦点坐标互为相反数！一次项为x ，则准线为”x=多少”，一次项为y ，则准线为”y=多少”!(4)抛物线的开口看一次项的符号，一次项为正，则开口朝着正半轴，一次项为负，则开口朝着负半轴！（5）抛物线的题目强烈建议画图，有图有真相，无图无真相！3、求抛物线方程，如果只知x 型，则设它为2y ax =(0)a ≠,a>o,开口朝右；a<0,开口朝左； 如果只知y 型，则设它为2(0)x ay a =≠,a>o,开口朝上；a<0,开口朝下。

当前位置：首页>>高中数学>>学生中心>>解题指导圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用湖北省阳新县高级中学邹生书如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。

圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。

焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。

本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。

定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。

（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。

证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。

由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。

（1）当焦点内分弦时。

如图1，，所以。

图1（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。

如图2，，所以。

图2评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。

例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。

若，则的离心率为（）解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。

例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。

过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。

例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。

例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。

a2 b2
( ) a(a2＋b2)
且以AB为直径的圆过双曲线的右顶点，则直线L过定点
，0
a2－b2
⑮ 中点弦结论：
x2 y2 已知双曲线 － =1（a＞0，b＞0），直线L：y=kx+m与双曲线交于A、B两点，
a2 b2
且AB中点为M（x0，y0），则有k=
b2 a2
x0 ·
y0
三、 抛物线 1、方程的公式、结论 ⑯ 切线方程、切点弦所在方程：
( ) a(a2-b2)
且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线L过定点
，0
a2+b2
⑨ 中点弦结论：
x2 y2 已知椭圆 + =1（a＞b＞0），直线L：y=kx+m与椭圆交于A、B两点，
a2 b2
且AB中点为M（x0，y0），则有k=－
b2 a2
x0 ·
y0
二、 双曲线
1、方程、离心率的公式、结论
【高考数学】 圆锥曲线20个速算公式
【考纲解读】
15.圆锥曲线与方程（理） （1）圆锥曲线 ①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中 的作用。 ②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。 ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质。 ④了解圆锥曲线的简单应用。 ⑤理解数形结合的思想。 （2）曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。
过抛物线y2=2px（p＞0）上一点P(x0，y0)的切线方程为：y0y=p(x+x0)
过抛物线y2=2px（p＞0）外一点P(x0，y0)往抛物线作两条切线 分别切抛物线于A、B，则AB所在直线的方程为：y0y=p(x+x0)

常用的八种方法（二）4、弦长公式法弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中，得到型如ax bx c 20++=的方程，方程的两根设为x A ，x B ，判别式为△，则||||AB k x x A B =+-=12·||12a k △·+，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。

若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则 弦长221221)()(y y x x AB -+-= 221221)]([)(b kx b kx x x +-++-=2121x x k -+=2122124)(1x x x x k-++= 同理：|AB|=122121224)(||11y y y y y y k-+-+特殊的，在如果直线AB 经过抛物线的焦点，则|AB|=?一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中，得到型如ax bx c 20++=的方程，方程的两根设为x A ，x B ，判别式为△，则||||AB k x x A B =+-=12·||12a k △·+，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。

例 求直线x y -+=10被椭圆x y 22416+=所截得的线段AB 的长。

② 结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。

例题：已知直线1+=x y 与双曲线14:22=-y x C 交于A 、B 两点，求AB 的弦长 解：设),(),,2211y x B y x A （由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=14122y x x y 得224(1)40x x -+-=得23250x x --=则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+35322121x x x x 得，2383209424)(1212212=+=-++=x x x x k AB 练习1：已知椭圆方程为1222=+y x 与直线方程21:+=x y l 相交于A 、B 两点，求AB 的弦长 练习2：设抛物线x y 42=截直线m x y +=2所得的弦长AB 长为53，求m 的值分析：联立直线与抛物线的方程，化简，根据根与系数的关系，求弦长 解：设 ),(),,2211y x B y x A （联立方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=122122y x x y 得03462=-+x x则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+21322121x x x x3112)21(4)32(24)(12212212=-⨯--=-++=∴x x x x k AB 解: 设),(),,2211y x B y x A （联立方程:⎩⎨⎧+==m x y xy 242得0)44(422=+-+m x m x则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+4122121m x x m x x 53)1(54)(122212212=--=-++=m m x x x x kAB4-=∴m例题2：已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称相异的两点A 、B ，求弦长AB分析：A 、B 两点关于直线0=+y x 对称，则直线AB 的斜率与已知直线斜率的积为1-且AB 的中点在已知直线上解：B A 、 关于0:=+y x l 对称 1-=⋅∴AB l k k 1-=l k 1=∴AB k设直线AB 的方程为b x y += ，),(),,2211y x B y x A （联立方程⎩⎨⎧+-=+=32x y b x y 化简得032=-++b x x 121-=+∴x x AB ∴中点)21,21(b M +--在直线0=+y x 上 1=∴b 022=-+∴x x则 ⎩⎨⎧-=-=+212121x x x x238)1(24)(12212212=+-=-++=∴x x x x k AB小结：在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解过程中一般采取步骤为：设点→联立方程→消元→韦达定理→弦长公式作业：（1） 过抛物线24y x =的焦点，作倾斜角为α的直线交抛物线于A ，B 两点，且316=AB ，求α的值 （2） 已知椭圆方程1222=+y x 及点)2,0(-B ，过左焦点1F 与B 的直线交椭圆于C 、D 两点，2F 为椭圆的右焦点，求2CDF ∆的面积。