专题：函数定义域的求法及常见题型 (定稿)

求函数定义域和值域专题1 知识点拨一、函数的定义域及求法1、分式的分母≠0；偶次方根的被开方数≥0；2、对数函数的真数＞0；对数函数的底数＞0且≠1；3、正切函数：x ≠kπ+ π/2 ,k∈Z；4、一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R；5、复合函数定义域的求法：取交集及分类讨论；6、抽象函数定义域的求法；二、含分式的函数在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。

例1：求函数f(x)=211xx-+的定义域．三、含偶次根式的函数注意（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的术语和符号，注意区间的开闭情况.例2 ：求函数y ＝3-ax （a 为不等于0的常数）的定义域.四、复合型函数注意 函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集，通过列不等式组来实现.例3：求函数y ＝23-x ＋30323-+x x ）（的定义域．练习1、求下列函数的定义域。

⑴y=xx -||1 ⑵y=3102++x x （3）y=||11x - （4）y=2121---x x （5）2143)(2-+--=x x x x f五、抽象函数1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

函数专题：函数定义域的3种常见考法一、具体函数定义域求法 1、分式的分母不能为零.2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,)n x n k k N *=∈其中中0,x ≥奇次方根的被开方数取全体实数，即(21,)n xn k k N *=+∈其中中，x R ∈.3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。

【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。

二、抽象函数及定义域求法（1）已知)(x f 的定义域为A ，求))((x g f 的定义域，其实质是)(x g 的取值范围为A ，求x 的取值范围;（2）已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中的x 的取值范围为B ，求)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域.（3）已知))((x g f 的定义域，求))((x h f 的定义域，要先按（2）求出)(x f 的定义域.三、根据函数的定义域求参数范围解题思路方法题型一 具体函数的定义域求解【例1】函数2x y -=中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x > B ．2x ≥ C ．2x ≥且0x ≠ D ．0x ≠ 【答案】B【解析】由题意知，200-≥⎧⎨≠⎩x x ，解得2≥x ，即函数2-=x y x的定义域为[2,)+∞.故选：B【变式1-1】函数()()032f x x x =--的定义域是（ ） A ．[)2,+∞ B ．()2,+∞ C ．()()2,33,+∞ D ．[)3,+∞【答案】C【解析】由2030->⎧⎨-≠⎩x x ，解得2>x 且3≠x ．∴函数0()(3)2=--f x x x 的定义域为(2,3)(3,)⋃+∞．故选：C ．【变式1-2】函数f (x 21x-31x +的定义域是（ ）A ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,13⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由函数f (x )有意义，得10310⎧->⎪⎨+>⎪⎩，，x x 解得113-<<x ，即函数f (x )的定义域是 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C【变式1-3】求下列函数的定义域（1）3+=x y ； （2）245=---y x x ； （3）22-=-a x y x x（0a >）. 【答案】（1）[3,1)(1,)-⋃+∞；（2）[]2,3)(3,5⋃；（3）[,0)-a【解析】（1）因为31+=-x y x ，所以3010+≥⎧⎨-≠⎩x x ，解得31-≤<x 或1>x所以函数3+=x y 的定义域为[3,1)(1,)-⋃+∞； （2）因为245=---y x x，所以24050245⎧-≥⎪-≥⎨-≠-x x x x ，解得：23≤<x 或35<≤x 所以函数245=---y x x的定义域为[]2,3)(3,5⋃；（3）因为22-=-a x y x x()0>a 所以2200⎧-≥⎪⎨-≠⎪⎩a x x x ，解得：0-≤<a x所以函数22-=-a x y x x()0>a 的定义域为[,0)-a ；题型二 抽象函数的定义域求解【例2】已知函数()f x 的定义域为[]22-,，则函数()2()31=-g x f x x 域为（ ）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,1- C ．2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．22,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由题意223210-≤≤⎧⎨-≥⎩x x ，解得2233-≤≤x ．故选：D ．【变式2-1】已知()21-f x 的定义域为3,3⎡-⎣，则()f x 的定义域为（ ）A ．[]22-,B ．[]0,2C ．[]1,2-D ．3,3⎡-⎣【答案】C【解析】因为2(1)-f x 的定义域为[3,3]-，所以33≤≤x 所以2112-≤-≤x ，所以()f x 的定义域为[1,2]-．故选：C【变式2-2】已知函数()1f x -的定义域为[]2,1-，则函数()21f x +的定义域为（ ） A ．12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．[]3,0-C ．3,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]2,1-【答案】A【解析】因为函数()1f x -的定义域为[]2,1-，即21x -≤≤，所以310x -≤-≤， 令3210x -≤+≤，解得122x -≤≤-，所以函数()21f x +的定义域为12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；故选：A【变式2-3】已知函数()22f x -的定义域为{}|1x x <，则函数()211f x x --的定义域为（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1)-∞-C ．()(),11,0-∞--D ．()(),11,1-∞-- 【答案】D【解析】因为函数()22f x -的定义域为{}|1x x <，故220x -<，所以()f x 的定义域为(),0-∞，故函数()211f x x --中的x 需满足：21010x x -<⎧⎨-≠⎩， 故1,1x x <≠-，故函数()211f x x --的定义域为()(),11,1-∞--，故选：D.【变式2-4】若函数()11f x x x =-+()1f x -的定义域为（ ） A ．()1,1- B ．[]2,0- C ．[]1,1- D ．[]0,2 【答案】D【解析】要使原函数有意义，则1010x x -≥⎧⎨+≥⎩，解得11x -≤≤．由111x -≤-≤，得02x ≤≤．∴函数(1)f x -的定义域为[0,2]．故选：D ．题型三 已知定义域求参数范围【例3】已知函数()223f x x mx =-+，若()f x 的定义域为R ，则m 的取值范围是________．【答案】26,26⎡-⎣【解析】由已知得2230x mx -+≥对R x ∈恒成立，即2240m ∆=-≤，∴626m -≤故答案为：26,26⎡⎤-⎣⎦.【变式3-1】若函数2()1f x ax ax =++R ，则a 的范围是（ ） A ．[0,4] B ．[0,4) C ．(0,4] D ．(0,4) 【答案】A【解析】依题意，R x ∀∈，210ax ax ++≥成立，当0a =时，10≥成立，即0a =，当0a ≠时，2Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得04a <≤，因此得04a ≤≤， 所以a 的范围是[0,4].故选：A【变式3-2】已知函数()f x a x -(,1]-∞，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{1} B ．(,1]-∞ C ．[1,)+∞ D ．(,1)(1,)-∞⋃+∞ 【答案】A【解析】由0a x -≥可得x a ≤，即()f x 的定义域为(,]a -∞，所以1a =，则实数a 的取值集合为{}1.故选：A.【变式3-3】已知函数257()21x f x ax ax +=++的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0，1)B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ C ．[)0,1 D ．(][)-01∞⋃+∞，， 【答案】C 【解析】函数257()21x f x ax ax +=++的定义域是R ，即2210ax ax ++≠恒成立； 当0a =时，10≠，满足题意；当0a ≠时，2440a a ∆=-<，解得01a <<； 综上知，实数a 的取值范围是[0，1)．故选：C ．【变式3-4】若函数2()24f x mx mx =++R ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,4B ．[)0,4C ．[]0,4D ．(]0,4 【答案】B【解析】函数的定义域为R ，即不等式的解集224mx mx ++>0的解集为R当0m =时，得到40>，显然不等式的解集为R ；当0m <时，二次函数224y mx mx =++开口向下，函数值y 不恒大于0，故不等式的解集不可能为R ；当0m >时，二次函数224y mx mx =++开口向上，由不等式的解集为R ，得到二次函数与x 轴没有交点，24160m m ∆=-<， 解得04m <<；综上所述，实数m 的取值范围[)0,4.故选：B。

函数的定义域（1）函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合（2）求函数定义域的注意事项☉分式分母不为零； ☉偶次根式的被开方数大于等于零；☉零次幂的底数不为零； ☉实际问题对自变量的限制若函数由几个式子构成，求其定义域时要满足每个式子都要有意义（取“交集”）。

（3）抽象复合函数定义域的求法☉已知y=f （x ）的定义域是A ，求y=f （g （x ））的定义域，可通过解关于g （x ）∈A 的不等式，求出x 的范围☉已知y=f （g （x ））的定义域是A ，求y=f （x ）的定义域，可由x ∈A ，求g （x ）的取值范围（即y=g （x ）的值域）。

例1．函数()1f x x =- 的定义域为 ( ) A. (－∞，4) B. [4，＋∞) C. (－∞，4] D. (－∞，1)∪(1,4] 【答案】D 【解析】要使解析式有意义需满足：40{10x x -≥-≠，即x 4≤且1x ≠所以函数()f x =的定义域为(－∞，1)∪(1,4] 故选：D例2．函数y =( )A. {|11}x x x ≥≤-或B. {|11}x x -≤≤C. {1}D. {-1,1}【答案】D 【解析】函数y 可知: 2210{ 10x x -≥-≥,解得： 1x =±.函数y =的定义域为{-1,1}.故选D.例3．已知函数()21y f x =-的定义域为()2,2-，函数()f x 定义域为__________.【答案】[]1,3-【解析】由函数()21y f x =-的的定义域为(−2,2)，得： 2113x -≤-≤，故函数f (x )的定义域是[]1,3-.例4．若函数()y f x =的定义域为[]0,2,则函数()()21f xg x x =-的定义域是（ ）A. [)0,1B. []0,1C. [)(]0,11,4⋃ D. ()0,1 【答案】A函数()y f x =的定义域是[]0,2， 022{10x x ≤≤∴-≠，解不等式组：01x ≤<，故选A.例5．已知函数()1y f x =+的定义域是[]2,3-，则()2y f x =的定义域是（ ） A. []1,4- B. []0,16 C. []2,2- D. []1,4【答案】C 【解析】解：由条件知： ()1f x +的定义域是[]2,3-，则1x 14-≤+≤，所以214x -≤≤，得[]x 2,2∈-例6．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ）A ．[]052， B. []-14， C. []-55， D. []-37，【答案】A 【解析】523,114,1214,02x x x x -≤≤-≤+≤-≤-≤≤≤例7．函数y =的定义域为___________．【答案】[]3,4-【解析】要使函数有意义，则2120x x +-≥，即2120x x --≤，即34x -≤≤，故函数的定义域为[]3,4-，故答案为[]3,4-.函数值域定义：对于函数y=f （x ），x ∈A 的值相对应的y 值叫函数值，函数值得集合{f （x ）|x ∈A }叫做函数的值域。

函数定义域的经典题型及解析函数定义域是指函数的自变量（输入）的取值范围，也就是函数能够接受的有效输入。

经典的函数定义域题型包括以下几种：1. 有理函数的定义域：有理函数是指多项式函数与有理函数的组合，例如 f(x) = (x+1)/(x-2)。

在求有理函数的定义域时，需要注意分母不能为零，因此需要排除使分母为零的值。

在这个例子中，x-2不能为零，所以x ≠ 2，因此定义域为除去x=2的所有实数。

2. 幂函数的定义域：幂函数是指形如 f(x) = x^a 的函数，其中 a 是实数。

对于幂函数，定义域是所有实数，除非底数为负数且指数为分数，此时需要满足底数大于零。

例如f(x) = √x，定义域要求x ≥ 0。

3. 指数函数的定义域：指数函数是指形如 f(x) = a^x 的函数，其中 a 是正实数且不等于 1。

对于指数函数，定义域是所有实数。

4. 对数函数的定义域：对数函数是指形如 f(x) = logₐ(x) 的函数，其中 a 是正实数且不等于 1。

对于对数函数，定义域要求 x 大于零。

5. 三角函数的定义域：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

对于三角函数，定义域是所有实数。

6. 根式函数的定义域：根式函数是指形如f(x) = √(x-a) 的函数，其中 a 是实数。

对于根式函数，要求被开方的表达式大于等于零，即 x-a ≥ 0。

因此定义域为x ≥ a。

以上是几种经典的函数定义域题型及其解析。

在求解函数定义域时，需要根据函数的性质和定义的限制条件，仔细分析自变量的取值范围，确保函数有意义且不会出现无定义的情况。

函数的定义域和常见求解方法函数的定义域（domain）是指函数能够接受的实际输入值的集合。

换句话说，定义域是使函数有意义的所有可能的输入值的集合。

在数学中，函数一般表示为f(x)，其中x是函数的自变量，而f(x)则是自变量x所对应的函数值。

常见的函数定义域包括实数域（-∞,+∞），有理数集，整数集，自然数集，以及其他特定的定义域，如正数集，三角函数等。

在确定函数的定义域时，我们需要注意以下几点：1.分式函数的定义域：分式函数的定义域由分母不等于零的值所构成。

我们需要找出使分母不等于零的x的值，将这些值作为定义域的一部分。

2.平方根函数的定义域：平方根函数的定义域要求被开方数非负，即要求根号内的数大于等于零。

3.对数函数的定义域：对数函数的定义域要求底数大于零，并且对数函数的参数值必须大于零。

常见的函数求解方法包括图像法、方程法、函数变量代换法、函数性质法等。

1.图像法：图像法是通过绘制函数的图像来找出函数的解。

我们将函数的图像与坐标系结合起来，寻找函数与x轴的交点，即函数的解。

2.方程法：方程法是通过将函数等式转化为方程的形式，然后通过解方程来找出函数的解。

在方程法中，我们可以使用各种方法来解方程，如因式分解法、配方法、根号消去法等。

3.函数变量代换法：函数变量代换法是通过引入新的变量来转化函数，从而简化函数的形式。

通过选择适当的变量代换，我们可以将原函数转化为更简单的函数，进而求解出函数的解。

4.函数性质法：函数性质法是通过利用函数的性质来求解函数的解。

例如，通过函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等性质，我们可以得到函数的一些特殊解。

在实际问题中，常常需要综合运用以上多种方法来求解函数的解。

根据具体的函数形式和问题的要求，选择最合适的方法进行求解。

同时，在进行函数求解时，我们也需要注意函数定义域的范围，以保证求解出的函数解在定义域内有效。

函数的定义域和常见求解方法一、函数的定义域在一般的函数定义中，常见的定义域包括实数、有理数和整数等。

例如，函数$f(x)=\sqrt{x}$的定义域为非负实数集合即$[0,+\infty)$，因为负数的平方根是没有意义的。

又如，函数$g(x)=\dfrac{1}{x}$的定义域为除0以外的所有实数，即$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，因为0不能作为除数。

当给定一个复合函数时，可以通过多个函数的定义域的交集得到整个函数的定义域。

例如，对于函数$h(x)=\sqrt{\log(x)}$，先看到内层函数$\log(x)$的定义域是正实数，而外层函数$\sqrt{x}$的定义域是非负实数。

所以整个函数$h(x)$的定义域即正实数集合$[0,+\infty)$。

二、常见的求解方法1.方程求解法方程求解法是指通过解方程的方式求解函数的取值范围。

常见的方程求解法包括代数法和计算法。

代数法是通过对方程进行变形或利用数学性质来求解，而计算法是通过运算符和数值的计算来求解。

举例来说，对于函数$f(x)=\dfrac{1}{(x-3)^2}$，要求函数的定义域，需要解方程$(x-3)^2\neq 0$。

通过解这个方程，可以得到$x \neq 3$，即函数的定义域为整个实数集合除去32.不等式求解法不等式求解法是通过对不等式进行变形或运算，得出函数的定义域。

常见的不等式求解法包括分段法和绝对值法。

对于分段函数，可以对每一段函数的定义域进行求解，然后将这些定义域的并集作为整个函数的定义域。

对于函数$f(x) = \sqrt{a-x}$，当$a>x$时，根式内部大于等于0，所以函数的定义域为$(-\infty, a]$。

3.图像法图像法是通过观察函数的图像来确定函数的定义域。

对于一元函数，可以通过绘制函数的图像来判断函数在何种区间内有定义。

例如，为了求解函数$f(x) = \sqrt{x^2-4}$的定义域，可以考虑到根式内部的取值不能小于0。

专题一：函数定义域的求法及常见题型一、函数定义域求法（一）常规函数函数解析式确定且已知，求函数定义域。

其解法是根据解析式有意义所需条件，列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组），即得函数定义域。

例1.求函数的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足由①解得或。

③由②解得或④③和④求交集得且或x>5。

故所求函数的定义域为（－∞，-11）U(-11,-3] U(5,+∞)。

注意点：分母、偶次方根被开方数，多条件求交集，定义域写法，仅可写成区间或集合形式，不能写成不等式。

例2.求函数的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足由①解得③由②解得④由③和④求公共部分，得故函数的定义域为(-4,-π] U(0,π]。

提示点：③和④怎样求公共部分？（二）抽象函数1.有关概念定义域：函数y=f(x)的自变量x的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向x轴投影的区间；凡是函数的定义域，永远是指自变量x的取值范围；对应法则：通过“工厂”或“模具”观点进行类比，以此深入理解函数()y f x=的对应法则“f”。

把函数()y f x=的对应法则“f”看作“工厂”或“模具”，把自变量“x”的取值看作“原料”，把相应函数值“y”看作“成品”。

该观点注重“原料”以怎样的形式组装成“成品”，而不管“原料”是否为“初级产品”，从而避免了当所给函数的“原料”不是某个单一字母的情形时，找不到或不好找函数的对应法则。

如（1）已知函数f(x)的定义域是[0,4]，求函数f(2x+1)的定义域；（2）已知函数f(2x+1)的定义域是[0,4]，求函数f(x)的定义域。

可以把f(x)看成工厂的生产加工，f是加工工序，x是原料。

（1）中f(x)的原料就是初级产品，所以原料或初级产品满足的条件就是[0,4]；在f(2x+1)中，初级产品是2x+1，它必须满足[0,4]，由此求出f(2x+1)的原料x满足的条件（即自变量）。

因为(2）中f(2x+1)的定义域是[0,4]，即原料x满足[0,4]，变成初步产品2x+1,那么初步产品的限制条件就成了[1,9], 所以f(x)的原材料就是 [1,9]，这样好不好理解？值域：函数y=f(x)的因变量y的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向y轴投影的区间；显函数：俗称常见函数，函数解析式是明确的，例如：y=f(x)=2x2+3x-5；隐函数：俗称抽象函数，函数解析式是不明确的，就用y=f(x)表示，具体f(x)是什么内容是隐藏的；复合函数：如果说y=f(x)是一个简单的抽象函数，那么把自变量x用一个函数g(x)来代替，就称y=f(g(x))为复合的抽象函数，习惯上称y=f(t)是外函数，t=g(x)为内函数。

求函数的定义域
1．常见函数的定义域和值域：
2．函数的定义域的求法
函数的定义域就是使得整个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合． （1）求定义域注意事项：★
①分式分母不为0； ②偶次根式的被开方数大于等于0；
③零次幂底数不为0； ④对数的真数大于0； ⑤tan x 中，{|,}2
x x k k π
π≠+
∈Z ； ⑥实际问题对自变量的限制；
⑦若函数由几个式子构成，定义域要满足各式都有意义（取交集）．
（2）抽象函数的定义域：
①定义域是x的取值范围★
②括号内范围等同★
练习题：
答案解析：
当0a ≠时，则2
40a a a >⎧⎨∆=-≤⎩
，得04a <≤成立 综上04a ≤≤． 答案：C
5
解析：由已知得1210x -<+<，解得1
12x -<<-
故函数(21)f x +的定义域为1
(1,)2
--．
答案：B
6
解析：21log 2x ≤≤，24x ∴≤≤
故()g x 满足2
224
24
x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解得22x ≤≤．
答案：A
7
解析：由240x -≥得22x -≤≤，故(2)f x -括号内范围为[0,4] 则在()f x 中，04x ≤≤，得016x ≤≤． 答案：B
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函数定义域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量 x 的范围。

〔1〕分母不为零〔2〕偶次根式的被开方数非负。

〔3〕对数中的真数局部大于0。

〔4〕指数、对数的底数大于0，且不等于 1〔5〕y=tanx 中 x≠kπ+π/2； y=cotx 中 x≠kπ等等。

( 6 ) x0中 x0二、抽象函数的定义域1. f ( x)的定义域，求复合函数 f [ g x ] 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，那么内层函数的值域必定包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：假设 f (x) 的定义域为 x a, b ，求出 f [ g( x)] 中 a g( x) b 的解 x 的范围，即为的定义域。

2.复合函数 f [ g x ] 的定义域，求 f ( x) 的定义域f x 的定义域，再由 f x 的定义域求得 f [h x ] 的定义域。

4. f (x) 的定义域，求四那么运算型函数的定义域假设函数是由一些根本函数经过四那么运算结合而成的，其定义域为各根本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

一、求函数的定义域1、求以下函数的定义域：⑴ y x22x 15⑵ y 1 (x1)2x 3 3x1⑶ y1(2x 1)0 4 x211x13、假设函数 f (x 1) 的定义域为[2， 3] ，那么函数f (2 x 1) 的定义域是1；函数 f (2)x的定义域为。

4、知函数f ( x)的定义域为[ 1, 1]，且函数F ( x) f ( x m) f (x m) 的定义域存在，求实数m的取值范围。

方法是：假设a xb 确定g(x)3.复合函数义域f [ g x ] 的定义域为 x a, b ，那么由的范围即为 f ( x) 的定义域。

f [ g( x)] 的定义域，求 f [ h( x)] 的定2、设函数f ( x)的定义域为[ 0，1]，那么函数f (x2)的定义域为 _ __；函数 f ( x2) 的定义域为________；5、假设函数 f ( x)=x4的定义域为 R ,那么mx24mx3实数 m 的取值范围是〔〕A、(－∞ ,+∞ )B、(0,3]C、(3,+∞)结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以获取此类解法为：可先由 f [ g x ] 定义域求得f [ g( x)]D 、[0, 344 )46、假设函数f (x)mx2mx 1 的定义域为 R ，那么实数 m 的取值范围是〔〕13.假设 f(x)的定义域为35，，求(A) 0 m 4(B)0m 4 (C) m 4(D)( x) f ( x) f (2 x 5) 的定义域．0 m 410. 函数的定义域为，那么的定义域为 ________。

高中函数定义域题型及解题方法高中数学中，函数是一个重要的概念，而定义域则是函数的重要属性之一。

在高考数学中，定义域的求解也是一个重要的题型。

本文将介绍高中函数定义域的题型及解题方法。

一、定义域的概念定义域是指函数的取值范围，即函数的自变量可能取值的集合。

例如，函数 f(x) = x^2 + 1 的定义域是 R，因为 x 的取值可以任意取实数，且 x 的取值不影响函数的值。

二、常见定义域的题型1. 直接求解定义域有些函数的定义域是可以直接求解的，例如函数 f(x) = x^2 + 1 的定义域是 R，因为 x 的取值可以任意取实数，且 x 的取值不影响函数的值。

2. 求解函数的定义域在求解函数的定义域时，我们需要根据函数的符号和函数的表达式来确定自变量的取值范围。

例如，函数 g(x) = x^2 - 2x + 1 的定义域是 x 不等于 1。

3. 求解函数的值域有些函数的定义域和值域是一致的，例如函数 f(x) = x^2 + 1 的值域是 R。

而有些函数的定义域和值域是不同的，例如函数 g(x) = x^2 - 2x + 1 的定义域是 x 不等于 1，但函数的值域是 [-1,1]。

4. 求函数的定义域或值域在求解函数的定义域或值域时，我们需要根据函数的符号、表达式和定义域来确定自变量的取值范围。

例如，函数 h(x) = x^2 + 1 的定义域是 x 不等于 0，但函数的值域是 [1,+∞),因为 x 的取值可以任意增大。

三、解题方法1. 观察函数的符号和表达式，确定自变量的取值范围。

2. 根据函数的定义域和值域，结合函数的符号和表达式，求解定义域或值域。

3. 熟练掌握常见的函数定义域的求解方法，例如求解函数的定义域需要根据函数的符号和表达式来确定自变量的取值范围。

4. 学会分析函数的性质，例如奇偶性、单调性等，从而帮助求解定义域。

高中数学中，函数是一个重要的概念，而定义域则是函数的重要属性之一。

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。

则称f:为A 到B 的一个函数。

2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。

由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。

3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。

（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。

4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。

（1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。

（2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。

二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。

（1）常见要是满足有意义的情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。

③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1.（2()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。

2.求函数的定义域和值域题型一：求函数的定义域方法：1.定义域是表示x的范围2.分式中的分母不为零；3.偶次方根下的数（或式）大于或等于零；4.指数式的底数大于零且不等于一；5.对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

6.正切函数tan...(,,)2y x x R x k kππ=∈≠+∈Z且7.余切函数coty x=(),,x R x k kπ∈≠∈Z且例1.已知f(x+1)的定义域为[-1,1]，求f（2x-1）的定义域。

例2.已知函数()f x的定义域为（1，3），则函数()(1)(2)F x f x f x=-+-的定义域。

例3.求下列函数的定义域：（1）14)(2--=xxf（2）2143)(2-+--=xxxxf（3）x11111++（4）xxxxf-+=)1()(（5）373132+++-=xxy例4、函数226y kx kx k =-++的定义域为R ，求k 的取值范围。

变式训练：1、若函数a ax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围2、若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域3、已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2)的定义域。

4、已知f(2x －1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域5、20111(1)()4;(2)()(1);(3)();3123x f x x f x x f x x x x -=++=++=+-+-6、函数2()68f x mx mx m =-++的定义域为R ，求m 的取值范围。

题型二：求函数的值域方法一：直接观察法例1.求函数1,[1,2]y x x =∈的值域变式训练：1.求函数y=3+√(2－3x)的值域方法二：配方法例1：2()46f x x x =-+在[1,5]上的值域.变式训练：1、求函数[]5,0,522∈+-=x x x y 的值域方法三：反函数法（原函数的值域是它的反函数的定义域） 例1、求函数3456x y x +=+值域。

专题一：函数定义域求法求定义域的几种情况：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是对数函数，真数应大于零。

⑤因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。

⑥若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑦若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题类型一：实际（给定）函数定义域的求法1．（2009江西卷文）函数234x x y x--+=的定义域为 （ ）A ．[4,1]-B ．[4,0)-C ．(0,1]D ．[4,0)(0,1]-解析：由20340x x x ≠⎧⎨--+≥⎩得40x -≤<或01x <≤,故选D.2.函数1()12f x x x=++-的定义域为（ ）A 、[1,2)(2,)-⋃+∞B 、(1,)-+∞C 、[1,2)-D 、[1,)-+∞3.求下列函数的定义域。

①y=22+∙-x x .②y=()xx x -+12.③y=x x -+-11类型二：抽象函数定义域的类型及求法抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法．一、已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域其解法是：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．【例题】已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围． 解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤．故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．【练习1】设函数()f x 的定义域为[0,1]，则（1）函数2()f x 的定义域为________。

热点2-1 函数定义域、解析式与值域8大题型函数的定义域、解析式与值域问题是高考数学的必考内容。

函数问题定义域优先，在解答函数问题时切记要先考虑定义域；函数解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题；基本不等式及“耐克函数”、“瘦腰函数”模型；数列的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；向量与复数的几何意义的最值；解析几何的函数性研究问题等；都需要转化为求最值问题。

在复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，要多加训练综合性题目。

一、求函数的定义域的依据函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零.2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,)n x n k k N *=∈其中中0,x ≥奇次方根的被开方数取全体实数，即(21,)n xn k k N *=+∈其中中，x R ∈.3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。

【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。

二、抽象函数及定义域求法1、已知)(x f 的定义域为A ，求))((x g f 的定义域，其实质是)(x g 的取值范围为A ，求x 的取值范围;2、已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中的x 的取值范围为B ，求)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域.3、已知))((x g f 的定义域，求))((x h f 的定义域，要先按（2）求出)(x f 的定义域.三、函数解析式的四种求法1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

求函数定义域的常用方法题型一 由解析式确定函数的定义域当函数是由解析式给出时，则其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合。

也就是：（1）分式的分母不能为0；（2）偶次方根的被开放数不小于0；（3）对数函数的真数必须大于0；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于0且不等于1；（5）三角函数中的正切函数xy tan =（R x ∈且2ππ+≠k x ，Z k ∈），余切函数x y cot =（R x ∈且πk x ≠，Z k ∈）等.例1、求函数x x y cos lg 252--=的定义域。

解：由⎩⎨⎧>≥-0cos 0252x x 得⎪⎩⎪⎨⎧∈+<<-≤≤-)(222255Z k k x k x ππππ 借助于数轴，得函数的定义域为]5,23()2,2()23,5[ππππ⋃-⋃--. 题型二 由实际问题确定函数的定义域当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于0，人必须为自然数等）。

例2、某商场经营一批进价是30元/台的商品。

在市场试销中发现，此商品销售单价x 元与日销售量y 台之间有如下关系：（1）在直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对（x ，y ）的对应点；（2）确定x 与y 的一个函数关系式)(x f y =。

解：（1）略（2）由（1）可以发现，这些点大致在同一直线上，设它们共线于b kx y +=，把 （50，12）、（45，27）代入其中，可求得a ＝－3,b ＝162，即1623+-=x y ，通过检验，知（40，42）、（35，57）两点也满足此关系；由0≥y 知540≤≤x 。

所以，所求函数关系式为1623+-=x y （540≤≤x ）.题型三 复合函数的定义域1、复合函数：如果函数)(t f y =的定义域为A ，函数)(x g t =的定义域为D ，值域为C ，则当C ⊆A 时，称)]([x g f y =为f 与g 在D 上的复合函数，其中t 叫中间变量，)(x g t =叫内函数，)(x f y =叫外函数。

函数定义域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。

（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x ≠kπ等等。

( 6 )0x中x0≠二、抽象函数的定义域1.已知)(x f的定义域，求复合函数()][xgf的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f的定义域为()b ax,∈，求出)]([xgf中bxga<<)(的解x的范围，即为)]([xgf的定义域。

2.已知复合函数()][xgf的定义域，求)(x f的定义域方法是：若()][xgf的定义域为()b ax,∈，则由bxa<<确定)(x g的范围即为)(xf的定义域。

3.已知复合函数[()]f g x的定义域，求[()]f h x的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][xgf定义域求得()x f的定义域，再由()x f的定义域求得()][xhf的定义域。

4.已知()f x的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴33yx=+-⑵y=⑶01(21)111y xx=+-+-2、设函数f x()的定义域为[]01，，则函数f x()2的定义域为___；函数f x()-2的定义域为________；3、若函数(1)f x+的定义域为[]-23，，则函数(21)f x-的定义域是；函数1(2)fx+的定义域为。

4、知函数f x()的定义域为[1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m=+--的定义域存在，求实数m的取值范围。