第01招函数的定义域常见求法

求函数的定义域与值域的常用方法在数学中，函数的定义域和值域是非常重要的概念。

定义域是指函数可以接受的输入值的集合，而值域则是函数能够取得的输出值的集合。

正确确定函数的定义域和值域是解决函数相关问题的关键，下面我们将详细介绍求函数定义域和值域的常用方法。

一、函数的定义域的常用方法：1. 显式定义法：对于一些常见的函数，我们可以直接根据其表达式来确定其定义域。

例如，对于一元多项式函数f(x)=ax^n+bx^m+...+c，其定义域可以是实数集或者区间。

2.隐式定义法：对于一些函数可能没有明确的表达式，或者函数的定义域和表达式没有直接的关系，我们可以根据函数的特性和性质来确定其定义域。

例如，对于分式函数f(x)=1/(x-1)，我们可以得知分母不能为0，所以其定义域是实数集减去1的那部分实数。

3.已知条件法：有时候我们可以根据函数在一些点的取值情况来确定其定义域。

例如，对于一个连续函数f(x)，如果我们知道在一些区间上f(x)恒大于0，那么可以确定该区间为函数的定义域。

4.集合运算法：当函数的定义域可以表示为多个区间或集合的并、交、差等运算时，我们可以利用这些运算来求解函数的定义域。

例如，对于函数f(x)=√(x+1)-√(x-1)，我们可以先求出√(x+1)和√(x-1)的定义域，然后求出它们的交集。

二、函数的值域的常用方法：1.考察函数表达式法：对于一些常见的函数，我们可以观察其表达式，根据其中的字母、常数等特性来确定其值域的范围。

例如，对于平方函数f(x)=x^2，我们可以观察到平方函数的输出恒为非负数，所以其值域是[0,+∞)。

2.定义域与函数性质法：当我们已经确定了函数的定义域后，可以根据函数的性质来确定其值域。

例如，对于连续函数f(x)在一些区间上单调增加或者单调减少，我们可以确定函数在该区间上取值范围。

3.极限与极大极小值法：利用函数的极限性质、导数等衍生性质来确定函数的值域。

例如，对于函数f(x)=x^3-3x+2，我们可以求出其导数为f'(x)=3x^2-3，然后根据导数的符号确定函数的单调性和极值点，从而确定其值域。

重庆专注教育考试服务中心1定义域及值域三：知识呈现1．求函数定义域的基本方法函数定义域的求法： 1、分母不等于02、开偶次根，根号内要大于等于03、0次幂的底数不等于0。

（0)(,)]([0≠x f x f ）2．复合函数：如果y 是u 的函数，记为y=f （u ），u 又是x 的函数，记为u=g （x ），且g （x ）值域与f （u ）的定义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数y=f[g(x)]，这时y 叫做x 的复合函数，其中u 叫做中间变量，y= f （u ）叫做外层函数，u= g （x ）叫做内层函数。

注意：（我们要能够把一个复合函数分解）【例】设 f (x )=2x -3，g (x )=x 2+2，则称 f [g (x )] =2(x 2+2)-3=2x 2+1（或g [f (x )] =(2x -3)2+2=4x 2-12x +11）为复合函数。

五：定义域典型例题考点一：常见函数的定义域 例1、求下列函数的定义域：①14)(2--=xx f解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=xx f 的定义域为： [3,3-]练习1、求下列函数的定义域（1）|x |x 1)x (f -= （2）5x 4x)x (f 2+--=（3）10x 6x)x (f 2+-=重庆专注教育考试服务中心2求抽象函数定义域：例2、已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。

解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。

注：已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。

其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。

例3、已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。

常见函数解析式定义域值域的求法总结函数的定义域和值域是函数解析式中的两个重要概念。

定义域指的是函数的自变量可能取值的范围，值域则是函数的因变量可能取值的范围。

在解析式中，定义域和值域可以通过不同的方法进行求解。

下面是常见的函数解析式定义域和值域求解方法总结。

一、定义域的求法：1.开方函数的定义域：对于形如y = √(ax + b)的开方函数，考虑开方中的被除数，即ax + b的取值范围，对ax + b >= 0进行求解，得到定义域。

2.分式函数的定义域：对于形如y=f(x)/g(x)的分式函数，需要满足分母不等于0的条件，因此需要解g(x)≠0，将g(x)=0进行求解，得到定义域。

3.对数函数的定义域：对于形如y = logₐ(x)的对数函数，需要满足x > 0的条件，因此定义域为x > 0。

4.指数函数的定义域：对于形如y=aˣ的指数函数，没有特殊定义域的限制，因此定义域为全体实数。

5.三角函数的定义域：对于常见的正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数，它们的定义域为全体实数。

6.反三角函数的定义域：对于反正弦、反余弦、反正切等反三角函数，它们的定义域要满足对应的正弦、余弦、正切函数取值范围的要求。

7.复合函数的定义域：当函数为两个函数的复合函数时，需要满足两个函数的定义域的交集作为复合函数的定义域。

二、值域的求法：1.函数的图像法：通过绘制函数的图像，观察函数在定义域内的取值范围，得到值域的估计。

2.函数的导数法：对函数求导，并观察导数的符号及极限情况，来推断函数的值域。

例如，当导数恒大于0时，函数为增函数，值域为整个实数轴。

3.函数的区间法：对于已知闭区间上连续的函数，可以通过求出函数的最大值和最小值，及极限情况，来确定值域的范围。

4.反函数的值域：如果函数存在反函数，那么反函数的值域即为原函数的定义域。

5.一次函数的值域：对于一次函数y = kx + b，k为斜率，通过观察斜率的正负和直线与坐标轴的交点可以得到值域的范围。

高中数学函数定义域的求法
求函数定义域的方法有以下几种：
1. 根据函数的解析式确定：
- 如果函数的解析式为有理式，那么函数的定义域就是使得
有理式的分母不为零的实数值。

- 如果函数的解析式为无理式，那么函数的定义域就是使得
无理式的被开方数不小于零的实数值。

- 如果函数的解析式为指数、对数函数，那么函数的定义域
就是使得指数的底不为零或负数，对数的底大于零且不等于1。

2. 根据函数的图象确定：
- 如果函数的图象是一个连续的曲线，那么函数的定义域就
是曲线所覆盖的所有实数值。

- 如果函数的图象是一个离散的点集，那么函数的定义域就
是这些点的横坐标所组成的集合。

3. 根据问题的实际意义确定：
- 如果函数表示一个实际问题，如时间、长度、面积等，那
么函数的定义域就是使得问题有意义的实数值范围。

需要注意的是，在某些情况下，函数的定义域可能是一个给定的特定集合，如正整数集、实数集等，这时需要根据题目要求进行判断和筛选。

同时，也要留意函数的特殊性质，如间断点、极值点等，可能会对函数的定义域有影响。

函数的定义域和常见求解方法函数的定义域（domain）是指函数能够接受的实际输入值的集合。

换句话说，定义域是使函数有意义的所有可能的输入值的集合。

在数学中，函数一般表示为f(x)，其中x是函数的自变量，而f(x)则是自变量x所对应的函数值。

常见的函数定义域包括实数域（-∞,+∞），有理数集，整数集，自然数集，以及其他特定的定义域，如正数集，三角函数等。

在确定函数的定义域时，我们需要注意以下几点：1.分式函数的定义域：分式函数的定义域由分母不等于零的值所构成。

我们需要找出使分母不等于零的x的值，将这些值作为定义域的一部分。

2.平方根函数的定义域：平方根函数的定义域要求被开方数非负，即要求根号内的数大于等于零。

3.对数函数的定义域：对数函数的定义域要求底数大于零，并且对数函数的参数值必须大于零。

常见的函数求解方法包括图像法、方程法、函数变量代换法、函数性质法等。

1.图像法：图像法是通过绘制函数的图像来找出函数的解。

我们将函数的图像与坐标系结合起来，寻找函数与x轴的交点，即函数的解。

2.方程法：方程法是通过将函数等式转化为方程的形式，然后通过解方程来找出函数的解。

在方程法中，我们可以使用各种方法来解方程，如因式分解法、配方法、根号消去法等。

3.函数变量代换法：函数变量代换法是通过引入新的变量来转化函数，从而简化函数的形式。

通过选择适当的变量代换，我们可以将原函数转化为更简单的函数，进而求解出函数的解。

4.函数性质法：函数性质法是通过利用函数的性质来求解函数的解。

例如，通过函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等性质，我们可以得到函数的一些特殊解。

在实际问题中，常常需要综合运用以上多种方法来求解函数的解。

根据具体的函数形式和问题的要求，选择最合适的方法进行求解。

同时，在进行函数求解时，我们也需要注意函数定义域的范围，以保证求解出的函数解在定义域内有效。

求定义域的方法
一、代数法求定义域。

对于一些简单的函数，可以通过代数方法来求其定义域。

例如
对于多项式函数，有理函数，指数函数和对数函数等，可以通过对
函数进行分析，找出函数中自变量的取值范围，从而求出定义域。

二、图像法求定义域。

对于一些复杂的函数，可以通过绘制函数的图像来求其定义域。

通过观察函数的图像，可以直观地看出函数的定义域是什么样的。

这种方法对于一些无法通过代数方法求解的函数来说是非常有效的。

三、条件法求定义域。

对于一些复杂的函数，可以通过条件法来求其定义域。

例如对
于含有根号的函数，需要满足根号中的值大于等于0，才能使得函
数有意义。

因此可以通过这种条件来求解函数的定义域。

四、综合法求定义域。

对于一些特殊的函数，可能需要综合运用代数法、图像法和条件法来求解其定义域。

通过综合运用多种方法，可以更准确地求解函数的定义域。

综上所述，求定义域的方法有代数法、图像法、条件法和综合法。

不同的函数可能需要采用不同的方法来求解其定义域，需要根据具体情况来选择合适的方法。

在实际应用中，求定义域是解决函数定义范围的重要问题之一，对于深入理解函数的性质和特点具有重要意义。

希望以上方法能够帮助到大家，更好地理解和掌握函数的定义域求解问题。

函数定义域的几种求法函数定义域指的是函数的自变量可能取的值的集合，也就是函数的有效输入值集合。

求函数定义域的几种方法有：1、根据函数的表达式或方程求解法这是最常见的求解函数定义域的方法，根据函数表达式或者是方程，计算有效解集，从而求出函数定义域。

例如：函数f(x) = x2 +1 = 0, 求它的定义域；由此等式我们可以得到 x2 = -1,则有x=$$\sqrt{-1}$$, 但是$$\sqrt{-1}$$不存在，从而该函数f(x)的定义域就是空集。

2、根据函数的几何图形特征求解法这是一种不常用的求解函数定义域的方法，简而言之就是通过分析函数的几何图形特征，来求出函数定义域。

例如：如果我们想求函数y= 1/x的定义域，则我们可以发现，当x的值小于0时，y的值会变成负数，而当x的值大于0时，y的值会变成正数；所以我们可以得出结论，这个函数的定义域为 x>0。

3、根据定义求解法例如：求函数g(x) = $$\sqrt{x}$$的定义域，由于x的开平方根√x必须大于等于0，所以该函数的定义域就是[0,+∞)。

4、根据解析学原理求解法对于一般函数，我们还可以运用解析学原理求解函数定义域，这个是一种较为复杂但可以非常准确的求解函数定义域的方法。

例如：求函数h(x) = |x| - 1的定义域；首先，我们使用变量y来表示y = |x| ，并且通过解析学原理可以得到y = x, x≥ 0 或者 y = -x, x < 0 。

根据等式 y - 1 =0 我们可以得到|x| - 1 = 0，即x=1或者x= -1。

所以该函数的定义域为( -∞， -1] U [1,∞)。

函数的定义域和常见求解方法一、函数的定义域在一般的函数定义中，常见的定义域包括实数、有理数和整数等。

例如，函数$f(x)=\sqrt{x}$的定义域为非负实数集合即$[0,+\infty)$，因为负数的平方根是没有意义的。

又如，函数$g(x)=\dfrac{1}{x}$的定义域为除0以外的所有实数，即$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，因为0不能作为除数。

当给定一个复合函数时，可以通过多个函数的定义域的交集得到整个函数的定义域。

例如，对于函数$h(x)=\sqrt{\log(x)}$，先看到内层函数$\log(x)$的定义域是正实数，而外层函数$\sqrt{x}$的定义域是非负实数。

所以整个函数$h(x)$的定义域即正实数集合$[0,+\infty)$。

二、常见的求解方法1.方程求解法方程求解法是指通过解方程的方式求解函数的取值范围。

常见的方程求解法包括代数法和计算法。

代数法是通过对方程进行变形或利用数学性质来求解，而计算法是通过运算符和数值的计算来求解。

举例来说，对于函数$f(x)=\dfrac{1}{(x-3)^2}$，要求函数的定义域，需要解方程$(x-3)^2\neq 0$。

通过解这个方程，可以得到$x \neq 3$，即函数的定义域为整个实数集合除去32.不等式求解法不等式求解法是通过对不等式进行变形或运算，得出函数的定义域。

常见的不等式求解法包括分段法和绝对值法。

对于分段函数，可以对每一段函数的定义域进行求解，然后将这些定义域的并集作为整个函数的定义域。

对于函数$f(x) = \sqrt{a-x}$，当$a>x$时，根式内部大于等于0，所以函数的定义域为$(-\infty, a]$。

3.图像法图像法是通过观察函数的图像来确定函数的定义域。

对于一元函数，可以通过绘制函数的图像来判断函数在何种区间内有定义。

例如，为了求解函数$f(x) = \sqrt{x^2-4}$的定义域，可以考虑到根式内部的取值不能小于0。

8种求定义域的方法定义域是指一个函数中所有可能输入的集合。

具体来说，定义域是指函数中的自变量可以取得的所有值。

在数学中，求定义域是解决一个函数的自变量的取值范围的问题。

下面是八种常见的方法来求定义域。

方法1：显式定义对于一些函数，定义域可以通过其显式定义来确定。

例如，对于函数f(x)=1/x，定义域可以通过注意到除数不能为零来确定，即x不能为0。

因此，定义域就是除去0之后的实数集合：R\{0}。

方法2：关系定义有些函数的定义域可以通过直接观察定义函数的关系来确定。

例如，对于函数f(x)=√(2x-1)，注意到根号内的表达式必须大于等于零，即2x-1≥0。

解这个不等式可以得到定义域为x≥1/2方法3：对数函数对于对数函数，定义域必须满足底数必须大于零且不等于1，并且实数必须大于零。

例如，对于函数f(x) = log₂(x + 3)，定义域为x + 3 > 0，即x > -3方法4：分式函数对于分式函数，定义域必须使分母不等于零。

例如，对于函数f(x)=1/(x-2)，定义域为x≠2方法5：根式函数对于根式函数，定义域必须使根号内的表达式大于等于零。

例如，对于函数f(x)=∛(x-4)，根号内的表达式必须大于等于零，即x-4≥0，解不等式可得x≥4、因此，定义域为x≥4方法6：三角函数对于三角函数，定义域是实数的所有值，因为三角函数在整个数轴上都有定义。

例如，对于函数f(x) = sin(x)，定义域为所有实数：(-∞, ∞)。

方法7：反三角函数对于反三角函数，定义域必须使其定义范围内的表达式满足相应的条件。

例如，对于函数f(x) = arcsin(x)，由于反正弦函数的定义域是[-1, 1]，因此定义域必须满足-1 ≤ x ≤ 1方法8：参数化定义对于一些函数，可以通过将函数参数化来求取定义域。

例如，对于函数f(x)=√(x²-1)，我们可以通过取x²-1≥0来求取定义域。

8种求定义域的方法在数学领域中，关于定义域的求解方法有许多种。

下面将介绍其中的八种方法。

方法一：根据函数公式求取定义域。

对于一些简单的函数，可以通过函数的公式直接求取定义域。

例如对于一个分式函数，如f(x)=1/(x-2)，由于分母不能为0，所以定义域为{x，x≠2}。

方法二：分析函数的基本性质。

有些函数拥有特定的性质，根据这些性质可以求得函数的定义域。

例如对于多项式函数，常数函数和指数函数，它们都定义在实数域上，因此定义域为实数集。

方法三：考虑函数中的根。

对于包含根的函数，定义域不能使这些根使得函数的值出现未定义的情况。

例如对于开方函数f(x)=√(x-3)，由于根号下的值不能为负，所以定义域为{x，x≥3}。

方法四：考虑函数的分段定义。

对于分段定义的函数，需要分别考虑每个分段的定义域。

例如对于函数f(x)=，x，分段定义为{x当x>=0时；-x当x<0时}，因此定义域为实数集。

方法五：考虑函数的限制条件。

有时函数在定义域上有一些限制条件。

例如对于对数函数f(x) =ln(x)，由于对数函数只对正数有定义，所以定义域为{x ， x > 0}。

方法六：考虑函数的参数限制。

对于含有参数的函数，需要考虑参数的限制条件。

例如对于双曲正弦函数f(x) = sinh(x)，由于双曲正弦函数对所有实数都有定义，所以定义域为实数集。

方法七：考虑函数的复合性质。

对于复合函数，需要分析组成函数的定义域。

例如对于函数f(g(x))，需要保证g(x)的定义域是f(x)的定义域。

例如对于函数f(g(x)) = 1/x，如果g(x) = sin(x) + 2，由于sin(x)的定义域为实数集，所以g(x)的定义域与f(x)的定义域保持一致。

方法八：考虑函数的图像。

对于一些函数，通过画出函数的图像可以直观地确定定义域。

例如对于一个二次函数f(x)=x^2+1，通过函数的图像我们可以看到函数的定义域为实数集。

求函数的定义域与值域的常用方法函数的定义域和值域是数学中的重要概念，它们描述了函数的输入和输出的范围。

在不同的数学领域和实际应用中，求解函数的定义域和值域有不同的方法和技巧。

函数的定义域是指函数中自变量的取值范围。

换句话说，定义域是使函数有意义的输入值的集合。

下面介绍一些常用方法来求解函数的定义域：1.分式函数：分式函数的定义域通常要求分母不等于零，因此我们需要找到分母为零的点，并将其排除。

求解分母为零的方程，得到函数的定义域。

2.平方根函数：平方根函数的定义域要求根号内的值大于等于零。

因此，需要将根号内的表达式>=0，并求解方程，得到函数的定义域。

3.指数函数和对数函数：指数函数的定义域通常为全体实数，而对数函数的定义域要求基数和真数都大于零。

因此，对于指数函数，不存在特定的求解方法；而对于对数函数，需要使基数和真数大于零，并求解相应的方程。

4.复合函数：复合函数的定义域由内层函数和外层函数的定义域共同确定。

首先求解内层函数的定义域，将其结果作为外层函数的自变量的定义域。

注意需要将两个函数的定义域进行交集运算，得到复合函数的定义域。

5.根式函数：根式函数的定义域需要满足根号内的表达式大于等于零。

求解根号内的方程，得到函数的定义域。

函数的值域是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

下面介绍一些常用方法来求解函数的值域：1.分析法：通过分析函数的特点、性质和图像，推断出函数的值域。

例如，通过观察函数的单调性、奇偶性、对称性、极值等特点，可以确定函数的值域的范围。

2.等式法：通过解方程求函数的值域。

将函数的表达式等于一个未知数，解方程得到未知数的取值范围，即为函数的值域。

3.代数运算法：通过对函数进行代数运算，得到函数的值域。

例如，对于一次函数，通过对其进行线性变换和平移，可以推导出函数的值域的范围。

4.图像法：通过绘制函数的图像，观察函数的上下界，以及是否存在水平渐近线和垂直渐近线，可以推断出函数的值域。

8种求定义域的方法定义域是数学中常用的一个概念，指函数能够接受的输入值的集合。

求函数的定义域，即要找出函数的全部合法输入。

以下是常见的求解函数定义域的8种方法：方法一：检查函数表达式中的分式，确定分母是否为零。

如果分母为零的取值在实数范围内，那么该取值不属于该函数的定义域。

例子1：对于函数f(x) = 1/(x-1)，x-1=0，得到x=1。

所以定义域是R- {1}。

方法二：检查函数表达式中的平方根、立方根等根式，确定根式内的值是否为负数。

如果根式内的值为负数，那么该取值不属于该函数的定义域。

例子2：对于函数g(x) = √(x+2)，根式内的x+2≥0，所以定义域是[-2，+∞)。

方法三：检查函数表达式中的对数。

对于以e为底的指数函数来说，取值只能是正数。

对于以其他底数a（a>0 且a≠1）的对数函数来说，取值只能是大于0且底数a不能等于1的数。

例子3：对于函数h(x) = log3(x)，x>0且x≠1。

所以定义域是(0, +∞)。

方法四：检查函数表达式中的三角函数。

注意到三角函数是周期性的，并且在某些点处不连续。

所以要考虑到函数在一个周期内的定义域，并将所有周期内的定义域取并集。

例子4：对于函数i(x) = sin(x)，它的定义域是R。

方法五：检查函数表达式中的指数。

有些指数函数定义在整个实数集合上，而有些定义域只在实数集合的部分区间上。

例子5：对于函数j(x) = e^x，定义域是R。

方法六：当函数表示为两个函数的复合时，可以分别求出两个函数的定义域，并找出它们的交集作为最后的定义域。

例子6：对于函数k(x) = arcsin(x^2)，x^2≤1，即-1≤x≤1。

所以定义域是[-1, 1]。

方法七：设函数为二次函数，可以通过求解一元二次不等式的解集来确定函数的定义域。

例子7：对于函数l(x) = 2x^2 + 3x - 1，由2x^2 + 3x - 1≥0得到x≥(-3+√17)/4 或x≤(-3-√17)/4。

函数定义域的一般求法
函数定义域是指一种函数在允许运算结果中所有可能取值的集合，简称function domain。

归纳起来，定义域的求法有三种：以定义式求定义域、以图形求定义域、以表示式求定义域。

首先，以定义式求定义域的话，先要确定要求的函数的实在定义式上的取值范围，然后以此计算出它的定义域，这最容易理解。

比如，如果给定函数定义式为f(x)=x-2，这里我们可以看出f(x)只能取大
于-2的值，于是函数定义域就是大于-2的所有实数。

再者，以图形求定义域，即根据函数图像中定义域范围内所有可能取值，就可以得出函数定义域。

比如，如果函数图像中，定义域为x∈[2,7]，那么函数定义域就是[2,7]中所有实数。

最后，以表示式求定义域，即根据表达式中函数的取值条件，就可以求出函数定义域。

比如，如果给定表达式为f(x)=x2+2，可以
看出表达式中函数没有任何取值条件，所以函数定义域就是所有实数。

总之，函数定义域可以通过定义式、图像、表达式等来求得，其中定义式求法最容易理解，而表示式求法最常用。

从定义式或图像得出函数定义域，需要仔细分析函数图像，并认真观察它的定义式，只有把这些要素都理解透彻，才能更好地求出函数定义域。

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高考函数第一讲 定义域的求法一、含分式的函数在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。

例一、求下列函数的定义域： （1）211x f (x );x -=+ （2）1f (x )(x =-二、含偶次根式的函数：注意：（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的术语和符号，注意区间的开闭情况。

例二、求函数y a =为不等于0的常数）的定义域。

三、含对数式的函数：例三、若函数22x x y lg(m )-=+-的定义域是R ，求m 的取值范围。

四、复合型函数：注意：函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本初等函数定义域的交集，通过列不等式组来实现。

例四、求函数03(x )y +=+的定义域。

变式训练：求下列函数的定义域：1()y =23()y x =+ 131()y x=-14122()y x x =---5()f (x )=621()y a r c s i n (x )=-五、抽象函数：（一） 已知f （x ）的定义域，求f[g(x)]的定义域。

其解法是：若f （x ）的定义域为a x b ≤≤，则f[g(x)]中a g(x )b ≤≤，从中解出x 的取值范围即为f[g(x)]的定义域。

例五、设函数f (x )的定义域为[]01.,则（1）函数2f (x )的定义域为_____________; (2)函数2f ()-的定义域为_______________________.练习：1、 已知f (x )的定义域为[]13,，则1f (x )-的定义域是_____________________.2、 已知函数f （x ）的定义域为（0,1），则函数112f (x )-的定义域是______________.3、 设函数y=f （x ）的定义域为A=[)4,+∞，给出下列函数：216244xy f (x ),y f (),y f (y f (),x=-===-其定义域仍为A 的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4、（江西卷3）若函数y f (x )=的定义域是[]02,，则函数21f (x )g(x )x =-的定义域是（ ）A 、[]01,B 、[)01,C 、[)(]0114,,D 、()01, （二）已知f[g(x)]的定义域，求f （x ）的定义域：其解法是：若f[g(x)]的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定g （x ）的范围即为f （x ）的定义域。

函数定义域值域求法(全十一种)高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型常规型是指已知函数的解析式，求函数的定义域和值域。

解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例如，对于函数 $y=\frac{x^2-2x-15}{|x+3|-8}$，要使函数有意义，则必须满足 $x^2-2x-15\geq 0$ 且 $|x+3|\neq 8$。

解得$x\leq -3$ 或 $x\geq 5$，且 $x\neq -11$ 或 $x\neq 5$。

将两个条件求交集得 $x\leq -3$ 且 $x\neq -11$ 或 $x>5$，即函数的定义域为 $\{x|x\leq -3\text{ 且 }x\neq -11\}\cup\{x|x>5\}$。

二、抽象函数型抽象函数型是指没有给出解析式的函数，需要根据已知条件求解。

一般有两种情况：1）已知 $f(x)$ 的定义域，求 $f[g(x)]$ 的定义域。

解法是：已知 $f(x)$ 的定义域为 $[a,b]$，则 $f[g(x)]$ 的定义域为解$a\leq g(x)\leq b$。

例如，已知 $f(x)$ 的定义域为 $[-2,2]$，求 $f(x^2-1)$ 的定义域。

令 $-2\leq x^2-1\leq 2$，得 $-1\leq x^2\leq 3$，即 $-|x|\leq x\leq |x|$。

因此，$-3\leq x\leq 3$，即函数的定义域为$\{x|-3\leq x\leq 3\}$。

2）已知 $f[g(x)]$ 的定义域，求 $f(x)$ 的定义域。

解法是：已知 $f[g(x)]$ 的定义域为 $[a,b]$，则 $f(x)$ 的定义域为$g(x)$ 的值域。

例如，已知 $f(2x+1)$ 的定义域为 $[1,2]$，求 $f(x)$ 的定义域。

因为 $1\leq x\leq 2$，所以 $2\leq 2x\leq 4$，$3\leq2x+1\leq 5$。

函数的定义域、值域的求法第一讲：函数的定义域（一）基础知识回顾：1．自变量的取值范围叫做函数的定义域；函数值的集合叫做函数的值域.2．求定义域的主要依据是：整式函数实全体；分式分母 不为0_；偶次根式被开方数为 大于等于0；对数的真数 大于0；实际问题具体分析，要符合_题意. 3.复合函数的定义域：已知f(x)的定义域是]b ,a [x ∈，求f[g(x)]的定义域，就是求满足不等式a<g （x ）<b 的 x 的集合。

（二）例题分析： 1．求下列函数的定义域（1）)1(log log 225.0+=xy （2）y=log a [log a (log a x)]（3）x x y sin lg 162+-=2．设f(x)是定义在[－3，2]上的函数，求下列函数的定义域（1）)2(-=x f y（2）)0)((≠=a axf y（3）y=f(2x)+f(x+m) (m>0)3．若函数3412++-=ax axax y 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.4．已知扇形的周长为10，求此扇形的半径r 与面积S 之间的函数关系式及其定义域. 【备用题】 5函数315coslog+=x y π的定义域是（ ）A ．（－3，+∞）B ．),2[+∞-C ．（－3，－2）D ．]2,(--∞ 6若函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数)(log 21x f 的定义域是（ ）A ．]2,21[B ．]2,0(C ．),2[+∞D ．]21,0(7函数1122---=x x y 的定义域是___________，函数y=(1+x)的定义域是____________.8函数y=log 2x －1(32－4x)的定义域是____________.9若函数y=f(x)的定义域是[0，2]，则函数y=f(x+1)+f(x －1)的定义域为____________. 10函数11)(+-=xx ee xf 的反函数f －1(x)的定义域是_____________.【拓展练习】 11函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<-=)41()10(2)0()(2x x x x x x f 的定义域为____________.12函数|)|lg(42x x xy+-=的定义域为__________________,2|1|42-+-=x xy的定义域为____________.13已知函数f(x)的定义域为[a,b]，其中0<－a<b ，则F(x)=f(x)－f(－x)的定义域为___________，若y=log 2(x 2－2)的值域为[1，log 214]，则其定义域为_____________. 14已知f(x)的定义域为[0，1]，则]2[lg2x xf +的定义域为______________.15若x 为三角形内角，x 取何值时，xxtan 12sin-无意义___________________.16若函数aax axy12+-=的定义域为R ，则实数a 的取值范围为______________.17求函数y=log a (a x－1) (a>0,a ≠1)的定义域.18求函数)4lg(3sin 1x x xy-+-+=的定义域.19在△ABC 中，BC=2，AB+AC=3.中线AD 的长为y ，若以AB关系，指出其定义域.20在边长为4的正方形ABCD 的边上有一动点P ，从点B 开始，沿折线BCD 向点A 运动，设 点P 移动的中程为x ，△ABP 的面积为y ，求函数y=f(x)及其定义域.21求函数2))(1(lg+--=x a x x y 的定义域.第二讲 函数的值域的求法1.求函数值域主要的方法与技巧: (1)分析观察法；（2）配方法；（3）数形结合法；（4）最大（最小）值法；（5）利用函数的单调性；（6）换元法 （7）反函数法注：由于值域取决于定义域和对应法则，所以不论采取什么方法求值域，都要考虑定义域。

高一数学求函数得定义域与值域得常用法一：求函数解析式１、换元法:题目给出了与所求函数有关得复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。

例1、 已知，试求。

解:设,则,代入条件式可得：，t ≠1。

故得:。

说明:要注意转换后变量围得变化,必须确保等价变形.2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关得复合函数得条件式，可以据此构造出另一个程，联立求解。

例2、 （１）已知，试求; (2)已知,试求; 解：（1)由条件式,以代ｘ,则得，与条件式联立,消去，则得：。

(2)由条件式，以—x 代ｘ则得:,与条件式联立，消去,则得：.说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数得定义域由解析式确定，不需要另外给出。

例4、 求下列函数得解析式:（1)已知就是二次函数，且，求； （2）已知,求，,； (3)已知，求； (4）已知，求. 【题意分析】（1)由已知就是二次函数，所以可设,设法求出即可。

（2)若能将适当变形，用得式子表示就容易解决了。

(３）设为一个整体，不妨设为,然后用表示，代入原表达式求解。

(4),同时使得有意义,用代替建立关于,得两个程就行了。

【解题过程】⑴设,由得， 由，得恒等式，得。

故所求函数得解析式为。

（２）1)1(112)(2)1(22-+=-++=+=+x x x x x x f ， 又。

（3)设，则1)1()1(111111)1()(22222+-=-+-+=++=++=+=t t t t x xx x x x x f t f 所以。

（４）因为 ① 用代替得 ② 解①②式得。

【题后思考】求函数解析式常见得题型有：(1）解析式类型已知得，如本例⑴，一般用待定系数法。

对于二次函数问题要注意一般式，顶点式与标根式得选择；(２）已知求得问题,法一就是配凑法，法二就是换元法，如本例（2)（3); (３)函数程问题，需建立关于得程组,如本例（4）。

若函数程中同时出现，，则一般将式中得用代替,构造另一程。

函数定义域的求法函数定义域是描述函数图像值与变量取值范围之间关系的术语，它定义了函数的变量可取的值集合。

在数学中，函数定义域是一个非常重要的概念，它的定义能帮助我们更好地理解和解决函数的问题。

本文将讨论函数定义域的求法以及定义域的特殊情况。

一、定义域的求法1、定义域的求法主要有三种：(1)式定义域。

即函数的变量可取的值集合是函数定义中定义明确的，在这种情况下，定义域就是函数定义中列出的取值范围。

例如：函数 f(x)=2x+3定义域为全体实数。

(2)式定义域。

此时函数的变量可取的值集合不能从函数定义中直接获取，它是由函数的不等式约束所决定的，即需要将函数的不等式解出取值范围，这就是函数的定义域。

例如：函数 f(x)=2x-3>0定义域为x>3/2。

(3)合定义域。

当函数中既有显式定义域又有隐式定义域时，这种定义域叫做混合定义域。

例如：函数 f(x)=2x-3，其定义域为x>3/2 且 x∈R，即混合定义域。

2、定义域特殊情况特殊情况一：当函数定义域为全体实数时，即f(x):R→R，其定义域为R。

特殊情况二：当函数定义域为实数正部分时，即f(x):R+→R+，其定义域为R+。

特殊情况三：当函数定义域为实数负部分时，即f(x):R-→R-，其定义域为R-。

二、定义域的示例下面给出三个定义域的示例：例1：f(x)=x+1，其定义域为R；例2：f(x)=2x+2，其定义域为R；例3：f(x)=√(x-1)，其定义域为x≥1。

三、结论从上面的内容可以看出，定义域是描述函数图像值与变量取值范围之间关系的术语，它定义了函数的变量可取的值集合。

定义域的求法主要有显式定义域、隐式定义域和混合定义域，它们对理解和解决函数的问题有重要意义。