2018版高中数学人教A版 必修4部分 第1章 1-2 1-2-2 同
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1.2.2 同角三角函数的基本关系
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.(重点)
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.(难点)
[基础·初探]
教材整理 同角三角函数的基本关系
阅读教材P18“探究”至P19例6以上内容，完成下列问题.
1.平方关系：sin2 α＋cos2 α＝1.
商数关系：sin αcos α＝tan αα≠kπ＋π2，k∈Z.
2.语言叙述：同一个角α 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立.( )
(2)对任意角α，sin α2cos α2＝tan α2都成立.( )
(3)因为sin2 94π＋cos2 π4＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角.( )
(4)对任意角α，sin α＝cos α·tan α都成立.( )
【解析】 由同角三角函数的基本关系知(1)√，(3)×，由正切函数的定义域知α不能取任意角，所以(2)×，(4)×.
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×
[小组合作型]
应用同角三角函数关系求值
(1)若sin α＝－45，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值；
(2)若cos α＝817，求tan α的值；
(3)若tan α＝－158，求sin α的值.
【精彩点拨】 对(1)中明确α是第三象限角，所以只有一种结果.对(2)，(3)中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论、分类求解，一般有两种结果.
【自主解答】 (1)∵sin α＝－45，α是第三象限角，
∴cos α＝－1－sin2α＝－35，
tan α＝sin αcos α＝－45×－53＝43.
(2)∵cos α＝817>0，∴α是第一、四象限角.
当α是第一象限角时，
sin α＝1－cos2α＝1－8172＝1517，
∴tan α＝sin αcos α＝158；
当α是第四象限角时，
sin α＝－1－cos2α＝－1－8172＝－1517，
∴tan α＝－158.
(3)∵tan α＝－158<0，∴α是第二、四象限角.
由 tan α＝sin αcos α＝－158，sin2α＋cos2α＝1，可得sin2α＝15172.
当α是第二象限角时，sin α＝1517；
当α是第四象限角时，sin α＝－1517.
利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：
(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系.
(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果.
[再练一题]
1.已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值. 【导学号：00680009】
【解】 ∵sin α＋3cos α＝0，
∴sin α＝－3cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，
即10cos2α＝1，
∴cos α＝±1010.
又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限.
当角α的终边在第二象限时，cos α＝－1010，sin α＝31010；
当角α的终边在第四象限时，cos α＝1010，sin α＝－31010.
利用sin α±cos α，sin α·cos α之间的关系求值
已知0
【精彩点拨】 sin α＋cos α＝15→sin αcos α＝－1225→sin α－cos α＝75→
sin α＝45，cos α＝－35→tan α＝－43
【自主解答】 由sin α＋cos α＝15，①
得sin αcos α＝－1225<0.
又∵00，cos α<0，则sin α－cos α>0，
∴sin α－cos α＝sin α－cos α2
＝1－2sin αcos
α
＝1－2×－1225＝75，②
由①②解得sin α＝45，cos α＝－35，
∴tan α＝sin αcos α＝－43.
1.sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
2.求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号.
[再练一题]
2.若θ是△ABC的一个内角，且sin θcos θ＝－18，则sin θ－cos θ的值为( ) 【导学号：70512006】
A.－32 B.32
C.－52 D.52
【解析】 由题意知θ∈π2，π，所以sin θ－cos θ>0，
sin θ－cos θ＝sin θ－cos θ2＝1－2sin θcos θ＝52，故选 D.
【答案】 D
利用tan
α求值
设tan α＝2，求1＋2sin α·cos αsin2α－cos2α的值.
【精彩点拨】 把分子、分母化成正、余弦齐次分式后，分子、分母同除以cos2α，化tan α求解.
【自主解答】 1＋2sin α·cos αsin2α－cos2α
＝sin2α＋cos2α＋2sin α·cos αsin2α－cos2α，
将上式分子、分母同除以cos2α，得
原式＝tan2α＋1＋2tan αtan2α－1＝93＝3.
这是一道在已知tan α＝m的条件下，求关于sin α，cos α的齐次式的值的题目，解决这类问题需注意以下两点：1一定是关于sin α，cos α的齐次式或能化为齐次式的三角函数
式；2因为cos α≠0，所以可除以cos α，这样可将被求式化为关于tan α的表示式，然后代入tan α＝m的值，从而完成被求式的求值.
[再练一题]
3.已知tan α＝3，则2sin2 α＋4sin αcos α－9cos2 α的值为( )
A.3 B.2110
C.13 D.130
【解析】 2sin2 α＋4sin αcos α－9cos2 α
＝2sin2 α＋4sin αcos α－9cos2 αsin2 α＋cos2 α
＝2tan2α ＋4tan α－9tan2 α＋1，
由于tan α＝3，原式＝2×32＋4×3－932＋1
＝2110.
【答案】 B
[探究共研型]
三角恒等式的证明
探究1 证明三角恒等式常用哪些方法？
【提示】 (1)从右证到左.
(2)从左证到右.
(3)证明左右归一.
(4)变更命题法.如：欲证明MN＝PQ，则可证MQ＝NP，或证QN＝PM等.
探究2 在证明1＋sin α＋cos α＋2sin αcos α1＋sin α＋cos α＝sin α＋cos α时如何巧用“1”的代换.
【提示】 在求证1＋sin α＋cos α＋2sin αcos α1＋sin α＋cos α＝sin α＋cos α时，观察等式左边有2sin
αcos α，它和1相加应该想到“1”的代换，即1＝sin2＋cos2α，所以等式左边
＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＋sin α＋cos α1＋sin α＋cos α
＝sin α＋cos α2＋sin α＋cos α1＋sin α＋cos α
＝sin α＋cos αsin α＋cos α＋1sin α＋cos α＋1
＝sin α＋cos α＝右边.
求证：(1)sin α－cos α＋1sinα＋cos α－1＝1＋sin αcos α；
(2)2(sin6 θ＋cos6 θ)－3(sin4 θ＋cos4 θ)＋1＝0.
【精彩点拨】 解答本例题可以从左边推到右边，也可以作差比较.关键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧.
【自主解答】 (1)证明：左边
＝sin α－cos α＋1sin α＋cos α＋1sin α＋cos α－1sin α＋cos α＋1
＝sin α＋12－cos2 αsin α＋cos α2－1
＝sin2 α＋2sin α＋1－1－sin2 αsin2 α＋cos2 α＋2sin αcos α－1
＝2sin2 α＋2sin α1＋2sin αcos α－1
＝2sin αsin α＋12sin αcos α＝1＋sin α cos α＝右边，
∴原等式成立.
(2)证明：左边＝2[(sin2 θ)3＋(cos2 θ)3]－3(sin4 θ＋cos4 θ)＋1
＝2(sin2 θ＋cos2 θ)(sin4 θ－sin2 θcos2 θ＋cos4 θ)
－3(sin4 θ＋cos4 θ)＋1
＝(2sin4 θ－2sin2 θcos2 θ＋2cos4 θ)－(3sin4 θ＋3cos4 θ)＋1
＝－(sin4 θ＋2sin2 θcos2 θ＋cos4 θ)＋1
＝－(sin2 θ＋cos2 θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边，
∴原等式成立.
1.证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法).
2.技巧感悟：朝目标奔.常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式).
3.解决此类问题要有整体代换思想.
[再练一题]
