浅谈向量法在解题中的应用

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向量在中学数学中的应用

作者：王军林

来源：《考试周刊》2013年第21期

摘 要： 本文基于向量的基本理论与性质，主要介绍了向量在中学数学中的应用，并简单分析了向量学习的误区.

关键词： 向量 数量积 平面几何 立体几何

高中数学中引进向量，给中学数学带来了广阔的天地，无论是在平面几何﹑立体几何﹑解析几何﹑三角函数等方面都有着大大拓宽解题思路的重要作用.向量融“形”“数”于一体，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合.毫不夸张地说，向量的数形迁移思想在中学数学中能得到很好的体现.本文整理了几类向量在中学数学中的应用.

一、预备知识

1.平面向量的数量积

a·b=|a||b|cosθ（a≠0，b≠0，0°≤θ≤180°）

坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a·b=xx+yy.

2.平面向量的基本定理

如果e和e是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、λ，使a=λe+λe.

3.两个向量平行的充要条件

a∥b？圳a=λb

坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a∥b？圳xy-xy=0.

4.两个非零向量垂直的充要条件

a⊥b？圳a·b=0

坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a⊥b？圳xx+yy=0.

二、向量应用的探究 龙源期刊网

1.利用向量解三角问题

例1：已知α，β∈（0，），且cosα+cosβ-cos（α+β）=，求α，β的值.

解：原条件式可化为

sinαsinβ+（1-cosα）cosβ+cosα-=0

法向量的求解与简单应用

（1）平面的法向量：

如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n，如果n，那么向量n叫做平面的法向量．

几点注意：

①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量n是平面的法向量，向量m是与平面平行或在平面内，则有0mn．

•第一步：写出平面内两个不平行的向111222axyzbxyz，，，，，；

•第二步：那么平面法向量nxyz，，，满足1112220000xxyyzznaxxyyzznb．

（2）判定直线、平面间的位置关系

①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a，b的方向向量分别为a ，b．

若a∥b，即ab，则ab∥； 若ab⊥，即0ab，则ab⊥．

②直线与平面的位置关系： 直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，且l⊥．

若a∥n，即an，则l⊥； 若an⊥，即0an，则∥a．

（3）平面与平面的位置关系：平面的法向量为1n ，平面的法向量为2n．

若1n∥2n，即21nn，则∥； 若1n⊥2n，即021nn，则⊥．

利用空间向量证明垂直平行

1.设平面内两个向量的坐标分别为(121)a，，，(112)b，，，则下列向量中是平面的法向量的是( )

典例2 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱的长度都为1,且两两夹角为60°. (1)求线段AC1的长;

(2)求与夹角的余弦值.

2.如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝25，AA1＝7，点E和F分别为BC和A1C的中点．

1 / 8 浅谈交流电的向量表示法

市供电公司、电工进网作业培训班辅导教师胡慈丹

我们都知道，当我们用交流电压表测量两相对地220V 之间的交流电压时，是380 V。测量两点电压，相当于两点对地〔或对公共线〕电压相减，这里为什么“220-220≠0〞而是380呢？这要从交流电的向量谈起。

1． 什么是向量。

向量也称矢量，就是带方向的量，我们平常所用的是算术量或代数量，是不带方向的。

举个例子。某人从家中〔图1中A 点〕向北走3公里到 B点，然后再向西走4公里到C

点，如果问他走了多少路，那么：3+4=7，他走了7公里，

这是算术量，但如果问他从家到停止的地方移动了多少

距离，即位移多少，那么就“3+4≠7〞了。我们用比例

尺量一下AC两点的长度，是5公里。图中带箭头的线段

AB、BC、AC就是向量。

2． 交流电的向量。

众所周知，交流电是随时间按正弦规律变化的，图2〔a〕以交流电压为例，表现了这一特性。图2左边圆形中，纵直径表示电压的比例尺，横直径从圆心O向右是开场轴。带箭头的线段，以Um为半径，以不变的角速度，以逆时针方向旋转，它与横轴的夹角跟着变化，它的垂直高度〔线段在纵轴上的投影，就是正弦〕代表的瞬时值也在变化，每经过一个时间t，就有相应的角度和瞬时值与之对应。如此往复下去，向右展开为一条无限长的曲线，就是正弦曲线。图中“带箭头的线段〞既有长度〔Um〕，又有方向〔角度〕，所以就是向量。2 / 8 交流电的向量是旋转向量，向量每旋转一周360º的时间称为一个周期，用T表示。每秒钟包含的周期数称为频率，用f表示。图中不同箭头表示了一个向量的不同角度。

向量旋转的角度又称为相位。向量在一个时间起点下所处的相位称为初相位。比方图2〔a〕中当开场〔时间在0秒〕时向量处在OA 位置，那么这个向量初相位就是0，对应于右边图2〔a〕的曲线。当开场〔时间在0秒〕时向量处在OB位置，那么这个向量初相位就是ψ，曲线示于图2〔b〕。表达式是：

1 浅谈向量在中学几何中的应用

摘要：向量是新教材中的新增内容，以向量为载体的解中学几何问题是新课程高考中出现的新趋势，本文就有关向量在中学几何中的应用谈谈自己的看法。

关键词：向量；向量的模；向量的加法和减法；向量与解析几何；向量与立体几何

一.平面向量在解析几何中的应用

1.向量坐标与点的坐标

向量坐标与点的坐标是不同的，设1122,,,AxyBxy，则2121,ABxxyy，但当向量是以坐标原点为起点时，向量坐标就是点的坐标，即1,1OAxy.

例1（01天津）设坐标原点为O，抛物线22yx与过焦点的直线交于A、B两点，则OBOA

解：设11,Axy、22,Bxy，则11,OAxy，22,OBxy

22121212124yyOAOBxxyyyy，又抛物线22yx的焦点为1,02F，可设直线AB方程为12xmy代入22yx得2210ymy，

121yy，故13144OAOB。

2.利用向量的数量积求夹角

由cos,ababab可知,向量的数量积在解决与长度、角度有关的问题时非常有效.

例2．（04全国）给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于AB两点，设l的斜率为1，求OA与OB的夹角的大小；

解：抛物线的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为1yx

将1yx，代入方程24yx，并整理得 2610xx

设1122,,,AxyBxy，则有126xx，121xx

112,212121212,213OAOBxyxyxxyyxxxx

22221122121212||||[4()16]41OAOBxyxyxxxxxx

∴314cos,41OAOBOAOBOAOB 2 ∴OAOB与夹角的大小为314arccos41