向量法在中学数学解题中的应用

学科教学　２０１３年９月１８日　高中　数学教学中向量教学酌应用　文／黄春雷　摘要：向量在高中数学教学中的应用不仅有助于提高教师的教学效率和水平，还有助于提高学生的思维能力、分析及解决问题　的能力、探究能力以及创新能力，实现提高学生数学学习的效果和目的。通过分析高中数学中应用向量教学需要注意的问题，提出行之　有效的教学策略。　关键词：高中数学；向量教学；应用策略　一、高中数学中应用向量教学需要注意的问题　１．在高中数学教学中，教师教授学生运用向量解决数学问题　的优点是不需要太复杂的方法就可以使难度较大的几何问题得　到有效的解决，学生只需要对向量相关的代人公式有一个准确的　掌握便能够达到预期的目的。　在将数学问题简单化的问题　，向量具有很大的优势，然而　在这种解题方法的背后也存在很大的弊端。众所周知，数学自身　拥有较强的逻辑性，需要学生充分运用自己的分析能力、探究能　力、思维能力以及创新能力来解决数学问题，从而提高学生的综　合素质和能力，这也是开设数学课程的重要目标之一。学生较强　的思维能力是在对数学问题进行逻辑性分析的基础上逐渐提高　的，然而运用向量的解决方法，学生并不需要利用画图的方法，也　不需要对几何问题进行逻辑性地分析便能够使问题得到有效的　解决，可见，在解决高中数学几何难题时，虽然运用向量方法比较　简单，但是对培养学生各方面的能力有不良的影响，囚此，教师应　在运用向量知识解决数学问题的同时，也需综合运用多种其他的　数学方法进行教学，使学生能够灵活地运用向量知识解决数学问　题，并且取得比较好的教学效果。　２．在高中数学教学中，教师教授向量方法解决复杂的几何数　学问题比其他的解题方法都要简单一些，给学生省去了很多的麻　烦，大大提高了学生解决数学难题的效率。　然而教师在教授向量知识时也需要面对较多的问题，尤其是　让学生对向量的解题原则问题进行充分的理解是相当有难度的。　对于这一问题，教师要想法设法地向学生讲解向量知识，让学生　对向量知识能够认真地学习、理解以及掌握。教师尤其需要从整　体上对向量的概念知识有一个准确地把握，循序渐进地教授学生　向量知识，并且为学生精心准备一些针对性比较强的几何数学题，　让学生在学习向量概念知识后进行练习，以巩固刚刚学习的理论　知识，加深学生对向量知识的印象，从而实现学生理解和运用向　量知识的能力，进而提高学生高中数学知识的学习效果和水平。　二、高中数学教学中向量的应用策略　１．重视向量的运算，使学生充分理解向量运算法则的本质。　在解答数学难题时运用向量方法相对来说比较容易，主要原　因在于其自身拥有简单的运算规律，并且利用向量图形化的特点　使比较抽象的数学知识变得更加具体、易于理解。然而与数学的　运算相比，向量运算具有不同之处，原因在于向量具有特殊的表　示方法。因此，教师在运用向量进行教学时，能够运用对比的方　法，让学生对向量运算的几何意义有一个充分的认识和了解，不　仅让学生正确地认识向量的运算法则，还需要使学生明确向量的　运算对象。通常情况下，学生都是运用死记硬背的方法来记忆向　９６隘圆　量的运算规律和定义，却很少关心和了解向量的运算规律的具体　形成过程。因此，教师在高中数学教学中，要重视让学生反复地验　证向量运算法则的形成过程，让学生对向量将抽象知识转化为具　体知识的过程有一个充分的认识和了解，从而提高学生应用向量　问题解决数学难题的能力。　２．教学中重视向量的应用，培养学生的数学意识。　作为一种有效的思想方法，向量在生活中的应用表现在很多　方面，对社会的发展具有重要的促进作用。因此，教师在高中数学　教学中要有意识地培养学生将向量知识运用于现实生活中，提高　学生理论联系实际的能力。在现实生活中，运用向量知识解决问　题的例子有很多，下面以平面向量的数量积知识为例，说明向量　在实际生活中的具体应用：某大型超市前不久购入了一批货物，　有　千克Ａ品牌货物，有Ｙ千克Ｂ品牌货物，Ａ品牌货物的单价　为ｍ元／千克，Ｂ品牌的单价为ｎ元／千克，假如数量向量用字母。　表示，价格向量用ｂ字母表示，就可以得到ｏ＝（　，Ｙ），６＝（ｍ，　），那　么超市购入货物总共用去的价格总价就是。与ｂ的数量乘积，即　ｍｘ＋ｎｙ。由此可见，运用向量方法解决现实生活中的实际问题是非　常方便的，因此，教师要有意识地培养学生在实际生活中运用向　量的能力，从而提高学生理论联系实际的能力，进而提高学生学　习高中数学知识的水平。　３．重视渗透向量教学思想和方法，提高学生的思维能力。　在数学知识结构中，向量涉及很多的数学思想，比较典型的　便是数形结合的数学思想，其他的数学思想还有对比归纳等。在　高中数学教学中，教师在教授学生运用向量知识解决数学问题　时，应有意识地培养学生学习和总结数学思想和方法的能力，让　学生在反复练习数学试题的过程中形成一种自己的解题思路，从　而提高学生运用向量知识解决数学问题的能力。在认识和理解向　量概念知识时，学生应对数学各部分知识的内在联系有一个准确　的认识和把握，还要将数学知识进行相应的整合，使数学知识能　够相互渗透和协调，最终形成比较完整的知识体系，从而提高学　生对向量知识的掌握能力。　（作者单位江西省南昌市洪都中学）

—匪　

高中数学解题中向量的有效运用　

蔡球　

（宿迁市青华中学高三数学组，江苏宿迁２２３８００）　

摘　要：高中数学向量知识的学习和应用．有助于学生　更好地体会数学与生活及其他学科之间的联系．进而理解数　学的使用价值．本文首先阐述向量的基本知识，然后重点探讨　向量在高中数学解题中的应用．　关键词：高中数学解题向量运用　

长期以来，高中学生面对大量的习题，一些学生在解题时　往往没有头绪，不知从何下手．向量是高中数学教学的一部分，　也是重要内容之一．在高中代数、几何及三角函数中都得到了　广泛应用．尤其随着新课程的不断改革。学生学习时不仅要掌　握一章的相关知识，而且需要建立章节之间的联系。灵活运用　各章知识．为此，必须加强向量在高中数学解题中的有效运　用，提高学生的解题效率，减轻学生的学习压力．　一、向量的认识　向量早在十九世纪就已经成为物理学家、数学家研究和　应用的对象．到了二十世纪．向量被引入数学教学领域．我国于　上个世纪九十年代将向量并入了高中数学教学大纲中，成为　高中数学教学的重要内容．　１．向量是重要的数学应用模型　向量中应用Ｖ代表集合，Ｖ构成了向量的加法运算交换群．　ｖ中．向量的数量积运算能够表达出向量的长度．当Ｖ中的向　量长度有了实际意义后，（Ｖ，Ｒ）对于向量的实数、加法及向量　的乘法运算均构成了线性范畴．它是数学建模中的重要组成　部分，同时也是线性代数、抽象代数、泛函分析的重要研究对　象．因而，应用向量知识，能够很好地理解泛函分析、线性代数　及抽象代数等基本的数学模型．　２．向量是连接几何、代数的纽带　向量是有向线段，因而可以表示物体的位置：而物体的位　置和形状，是几何学的研究对象，因而向量也就可以从几何学　的角度来理解．由于向量有长度，因而可以利用其刻画物体的　面积、体积、长度等基本的几何度量问题；由于向量具有方向　性，因而可以应用向量描述平面、直线等几何对象的位置关　系；代数研究中，有关加、减、乘、除的运算，也同样适用于向量　的代数运算中．因而向量运算可以解决代数问题．　二、向量在高中数学解题中的应用　对于高三学生来说．普遍具有一种思想认识，那就是认为　时间比较紧，希望自己能够把时间都花在解大量的习题上，对　于见过的习题则很少进行思考．这种解题上的误区在于高三　学生认为数学解题能力和解题数量成正比例关系．他们解题　更多的是为了完成任务．缺少解题中的反思过程．所以在高三　数学教学中。要培养学生的独立思考习惯．采取正确的解题技　巧可提高他们的解题能力．使其成为学习的主人．　１．向量在立体几何中的应用　向量在立体几何中应用．与在平面几何中的应用模式一　致，但加入了立体几何中的空间想象．使得学生在传统的几何　问题处理模式中存在一定的差异，因而，采用向量法能够促使　几何问题简化，化繁为简．找到问题答案．　例题：在正方体ＡＢＣＤ—Ａ　Ｂ．Ｃ．Ｄ．中，Ｅ是ＤＤ，的中点．在棱Ｃ．　Ｄ．上是否存在一点Ｆ，使Ｂ．Ｆ∥平面Ａ，ＢＥ，证明你的结论．本题　可以应用向量法求解．如下图１所示：　

学　２０１３年４月１８日　残淡空同匈量在立体几何好题　的应用　文／朱天云　摘要：向量是数学中一种重要的工具，也是中学教材中新增的内容，在高中数学中占有重要的地位．主要针对利用向量来解决立　体几何问题给出一般性方法．　关键词：向量；法向量；立体几何　人教Ａ版高中数学选修２－１第１０３页介绍了法向量的概念，　法向量的引入，为解决立体几何提供了一个强有力的工具．但教材　对于空间夹角和距离问题与法向量的结合介绍得较少，法向量没　有得到很好的运用．笔者在教学过程中发现，在教学中适度地增加　一点这部分知识和方法，十分必要，并且能收到较好的教学效果．　下面举例说明向量在立体几何解题中的一些运用．　一、用法向量求空间夹角　１．直线与平面所成角　例１．如图１，正方形ＡＣＤＥ所在的平面与　平面ＡＢＣ垂直，Ｍ是ＣＥ和ＡＤ的交点，ＡＣ上　ＢＣ，且ＡＣ＝ＢＣ．求直线ＡＢ与平面ＥＢＣ所成的　角的大小．　解析：如图建立空间直角坐标系Ｃ—ｘｙｚ，　假设正方形边长为１，则ＢＣ＝１，由已知得　Ａ（１，０，０），Ｂ（Ｏ，１，０），ｃ（ｏ，０，０），Ｅ（Ｉ，０，１）＇．．．　＝　（一１，１，０），　＝（０，１，０），　＝（１，０，１），设平面ＥＢＣ的法向量为　＝（　，ｙ，　Ｊ，由｛　：　得｛　０，令　＝１得ｙ＝０，ｚ＝１，平面胎ｃ　的法向量为　＝（１，。，一１），ｓｉｎ　＝１　ｃ。ｓ＜ａｆｔ，　＞１＝］　＝　一，．・．直　线ＡＢ与平面ＥＢＣ所成的角的大小为要．　使用向量就不需要作出直线和平面所成角的平面角，直接计　算直线的方向向量和平面的法向量的夹角余弦值的绝对值就是　直线和平面所成角的正弦值．　２．二面角　例２．如例１中　求二面角Ａ—ＢＥ—Ｃ的大小．　解析：由已知得Ａ（１，０，Ｏ），Ｂ（Ｏ，１，０），Ｅ（１，０，１）　．　＝（一１，１，０），　＝（０，０，１），设平面Ａ曰Ｅ的法向量为　＝（　，ｙ，ｚ），由｛　：　，￣一ｌ／　－：ｘＯ＋ｙ＝０，令　＝ｌ得），＝１，　０，平面Ａ朋的法向量为　＝（１，１，０）．　由例１知平面船ｃ的法向量　＇ｏ，－１　’＿ｃ０ｓ＜－ｍ－＋，　－］’．　由图可观察出，二面角Ａ—ＢＥ—Ｃ是锐二面角，故二面角Ａ　Ｅ—Ｃ　的大小为　．　使用向量就不需要再作出二面角的平面角，直接计算两半平　面法向量夹角的余弦值，最后观察图形判断是这个角还是这个角　的补角．　一ｉ、用向量求空间距离　１．异面直线间的距离　例３．如例１中，求异面直线ＡＢ，ＣＥ问的距离．　解析：由已知得Ａ（１，０，０），Ｂ（Ｏ，１，０），ｃ（ｏ，０，０），Ｅ（１，０，１），　．・　：（～１，１，０），ｃ－－ｇ＝（１，０，１），设异面直线ＡＢ，ＣＥ的公垂向量为　：（　，ｙ，ｚ），由｛　：　得｛　０，令　＝１得ｙ：１，　＝一ｌ，异面直　线ＡＢ，ＣＥ的公垂向量为　＝（１，１，一１），在两直线上分别取Ａ，Ｃ两　点组成向量　：（一１，０，０）’．１．ｄ：　：—ｌ＿＿：丁Ｘ／３，所求异　Ｉ　Ｉ　Ｖ３　ｊ　面直线ＡＢ，ＣＥ间的距离为　．　ｊ　使用向量就不需要作出两异面直线的公垂线段，只要计算出　两异面直线的公垂向量，在两异面直线上分别任取一点，用这两　点组成向量，然后利用公式计算即可．　２．点到面的距离　例４．如例１中，求点　到平面ＥＢＤ的距离．　解析：由已知得Ｂ（Ｏ，１，０），Ｄ（Ｏ，０，１），Ｅ（１，０，１），　（　１，０，　．），　．・．　＝（１，一１，１），－ｆｌｙ：（０，一１，１），设平面ＥＢＤ的法向量为　：（　，ｖ，　），由｛　：　得｛　，令ｙ：１　ｘ＝０，ｚ：１，平面朋Ｄ的法向　量为　：（０，１，１），在平面ＥＢＤ中任取一点Ｄ，组成向量　＝　（一｝，０，｝），所以点　到平面脚的距离为止　＝　．　ｌｎ　Ｉ　使用向量就不需要作出垂线段，只要在平面内任取一点和平面　外的点组成向量，再求出平面的法向量，然后利用公式计算即可．　三、用向量求解立体几何中的探究性问题　例５．如图２，四边形ＡＢＣＤ是边长为１　的正方形，ＭＤ上平面ＡＢＣＤ，ＮＢ上平面　ＡＢＣＤ，且ＭＤ＝ＮＢ＝１，Ｅ是ＢＣ的中点，在线　段ＡＮ上是否存在点Ｊｓ，使得ＥＳ　Ｊ－平面　ＡＭＮ？若存在，求线段ＡＳ的长；若不存在，请　说明理由．　解析：如图建立空间直角坐标系Ｄ－ｘｙｚ，　由已知得Ａ（１，０，Ｏ），Ｍ（Ｏ，０，１），Ｎ（１，１，１），　（１，１，Ｏ），则　＝　（一１，０，１），　＝（０，１，１），假设在线段ＡＮ上存在Ｓ点，使得ＥＳ上　平面ＡＭＮ，且Ｊｓ（　，ｙ，　）　．　：（　一１，ｙ，ｚ），・．・　和　共线　．　：　￣Ａ－－Ｙ（Ｄ≤Ａ≤１），即（　一１，ｙ，ｚ）＝Ａ（０，１，１），（　一１，ｙ，ｚ）＝（０，Ａ，Ａ），　．・　＝１，ｙ＝Ａ，ｚ＝Ａ，Ｊｓ（１，Ａ，Ａ），　：（　１，Ａ－１，Ａ），由ＥＳ上平面ＡＭＮ，　得（　：　即｛　，解得Ａ＝　专｛），１　ｌ　：　．在线段ＡＮ上存在点　，使得　上平面ＡＭＮ，此时ＡＳ＝　至　２　’　在假设Ｓ点坐标时有三个未知数，使用　＝Ａ　

浅谈空间向量在立体几何解题中的应用

向量是数学中一种重要的工具，也是中学教材中新增的内容，在高中数学中占有重要的地位.主要针对利用向量来解决立体几何问题给出一般性方法.

标签：向量；法向量；立体几何

人教A版高中数学选修2-1第103页介绍了法向量的概念，法向量的引入，为解决立体几何提供了一个强有力的工具.但教材对于空间夹角和距离问题与法向量的结合介绍得较少，法向量没有得到很好的运用.笔者在教学过程中发现，在教学中适度地增加一点这部分知识和方法，十分必要，并且能收到较好的教学效果.下面举例说明向量在立体几何解题中的一些运用.

一、用法向量求空间夹角

1.直线与平面所成角

例1.如图1，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC.求直线AB与平面EBC所成的角的大小.

使用向量就不需要作出直线和平面所成角的平面角，直接计算直线的方向向量和平面的法向量的夹角余弦值的绝对值就是直线和平面所成角的正弦值.

2.二面角

例2.如例1中，求二面角A-BE-C的大小.

使用向量就不需要再作出二面角的平面角，直接计算两半平面法向量夹角的余弦值，最后观察图形判断是这个角还是这个角的补角.

二、用向量求空间距离

1.异面直线间的距离

使用向量就不需要作出两异面直线的公垂线段，只要计算出两异面直线的公垂向量，在两异面直线上分别任取一点，用这两点组成向量，然后利用公式计算即可.

2.點到面的距离

例4.如例1中，求点M到平面EBD的距离.

使用向量就不需要作出垂线段，只要在平面内任取一点和平面外的点组成向

量，再求出平面的法向量，然后利用公式计算即可.

三、用向量求解立体几何中的探究性问题

从近几年向量在高考命题中的发展趋势看以看出，高考立体几何解答题的标准答案都是采用向量法或传统的综合几何法，比较而言，传统几何法需要添加辅助线、对空间想象能力与逻辑推理能力有较高的要求，这往往是大部分学生的难点.而用向量法解决立体几何就是求直线的方向向量、平面的法向量，按照空间角的计算公式进行计算，也就是把几何问题公式化和代数化了，它可以避免添加辅助线以及对图形的分析、想象，使得立体几何题容易上手.