二次函数y=ax2的图象和性质教案

22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质（教案）

一、教学内容

本节课选自九年级数学教材《二次函数》章节中的22.1.2节，主要围绕二次函数y=ax^2的图象和性质展开教学。教学内容如下：

1. 二次函数y=ax^2的图象特点：了解a的取值对图象开口方向、宽窄的影响；

2. 二次函数y=ax^2的顶点：掌握顶点的坐标公式，理解其几何意义；

3. 二次函数y=ax^2的对称性：探讨图象关于y轴的对称性，以及对称轴的方程；

4. 二次函数y=ax^2的增减性：分析a的取值对函数增减性的影响，掌握函数的单调区间；

5. 二次函数y=ax^2的最值：探讨a的取值对函数最大值（或最小值）的影响，理解最值的计算方法。

二、核心素养目标

本节课的核心素养目标如下：

1. 培养学生的逻辑推理能力，通过分析二次函数y=ax^2的图象和性质，使学生掌握推理方法，形成严密的数学逻辑思维；

2. 培养学生的直观想象能力，通过观察二次函数图象，让学生体会数形结合的数学思想，提高对函数图象的理解和想象能力；

3. 培养学生的数学建模素养，使学生能够运用所学知识解决实际问题，构建二次函数模型，并运用模型分析问题；

4. 培养学生的数学运算能力，让学生熟练掌握二次函数的性质，运用公式进行计算，提高解题效率；

5. 培养学生的数据分析素养，通过研究二次函数的增减性、最值等问题，使学生能够对数据进行分析和判断，为实际问题提供依据。

三、教学难点与重点

1. 教学重点

（1）掌握二次函数y=ax^2的图象特点，包括开口方向、顶点坐标、对称性等；

举例：通过分析a的不同取值（a>0、a<0），让学生理解图象开口向上或向下的规律，以及顶点在坐标系中的位置。

（2）理解二次函数y=ax^2的增减性，并能运用此性质分析实际问题；

举例：让学生通过观察图象，探讨a的取值对函数增减性的影响，并能结合实际问题解释增减性。

（3）掌握二次函数y=ax^2的最值问题，理解最值的计算方法和应用；

初中二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质教案

1．会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．

2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴公式．

3．用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴．

一、情境导入

火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以近似用h＝－5t2＋150t＋10表示．那么经过多长时间，火箭达到它的最高点？

二、合作探究

探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

【类型一】二次函数图象的位置与系数符号互判

如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)

且与y轴交于负半轴． (1)给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0.其中正确的结论的序号是________；

(2)给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1.其中正确的结论的序号是________．

解析：由抛物线开口向上，得a＞0；由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；由抛物线的顶点在第四象限，得－b2a＞0，又a＞0，所以b＜0；由抛物线与x轴交点的横坐标是1，得a＋b＋c＝0.因此，第(1)问中正确的结论是①④.在第(1)问的基础上，由a＞0、b＜0、c＜0，可得abc＞0；由－b2a＜1、a＞0，可得2a＋b＞0；由点(－1，2)在抛物线上，可知a－b＋c＝2，又a＋b＋c＝0，两式相加得2a＋2c＝2，所以a＋c＝1；由a＋c＝1，c＜0，可得a＞1.因此，第(2)问中正确的结论是②③④.

方法总结：观察抛物线的位置确定符号的方法：①根据抛物线的开口方向可以确定a的符号．开口向上，a＞0；开口向下，a＜0.②根据顶点所在象限可以确定b的符号．顶点在第一、四象限，－b2a＞0，由此得a、b异号；顶点在第二、三象限，－b2a＜0，由此得a、b同号．再由①中a的符号，即可确定b的符号．

22．1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质

教学目标

1．会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象，了解抛物线的有关概念．

2．通过观察图象说出二次函数y＝ax2的图象特征和性质，并会简单应用性质解题．

教学重点

二次函数y＝ax2的图象和性质，体会数形的结合与转化．

教学难点

分段讨论二次函数y＝ax2随x的增大如何变化．

教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： )

教学过程设计

一、创设情景 明确目标

1．对于函数的图象和性质的研究我们并不陌生，你认为可以从哪些方面研究函数的图象和性质？

2．我们是如何研究一次函数的图象和性质？类比一次函数的图象和性质的研究方法，二次函数的图象是什么形状？它又具有哪些性质呢？

二、自主学习 指向目标

自学教材第29至30页，完成下列填空：

1．画函数图象的一般步骤：(1)列表(取几组x，y的对应值)；(2)__描点__(表中x，y的数值在坐标平面中对应于点(x，y))；(3)__连线__(用平滑曲线)．

2．二次函数的图象都是__抛物线__，一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象叫做__抛物线y＝ax2＋bx＋c__．

3．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条__抛物线__，它的对称轴是__y轴__，顶点是原点．当a＞0时，其开口向__上__，顶点是它的最__低__(填“高”或“低”)点，当a＜0时，其开口向__下__，顶点是它的最__高__(填“高”或“低”)点．

4．对于抛物线y＝ax2(a≠0)，|a|越大，开口越__小__，|a|越小，开口越__大__．

三、合作探究 达成目标

探究点一 画二次函数y＝ax2的图象

活动一：画二次函数y＝x2的图象

思考：如何画y＝x2的图象？分哪 几个步骤？引导学生逐步完成y＝x2的图象？观察图象思考：二次函数y＝x2的图象是何形状？整个图象是轴对称图形吗？追问：对称轴是什么？图象的最低点是哪个点？

淄博高新区实验中学 初四数学导学案

1 22.1.3二次函数y＝ax2＋k的图象与性质

一、学习目标：

1．会画二次函数y＝ax2＋k的图象；

2．掌握二次函数y＝ax2＋k的性质，并会应用；

3．知道二次函数y＝ax2与y＝的ax2＋k的联系．

二、探索新知：

在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2＋1，y＝x2－1的图象．

解：先列表

x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …

y＝x2＋1 … …

y＝x2－1 … …

描点，并画图

观察图象得：

1．

开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 最值

y＝x2

y＝x2－1

y＝x2＋1

2．可以发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．

3．抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________．

淄博高新区实验中学 初四数学导学案

2 三、理一理知识点

1．

y＝ax2 y＝ax2＋k

开口方向

顶点

对称轴

有最高（低）点

最值 a＞0时，当x＝______时，y有最____值为________；

a＜0时，当x＝______时，y有最____值为________．

增减性

2．抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；

抛物线y＝2x2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．

因此，把抛物线y＝ax2向上平移k（k＞0）个单位，就得到抛物线_______________；