22.1.2 二次函数的图象和性质(1)教案

1.2 二次函数y=ax2的图象和性质一等奖创新教案22.1 二次函数的图象和性质22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质一、教学目标【知识与技能】1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念；2.掌握二次函数y=ax2的性质，能确定二次函数y=ax2的表达式.【过程与方法】通过画出简单的二次函数探索出二次函数y=ax2的性质及图象特征.【情感态度与价值观】使学生经历探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】1.二次函数y=ax2的图象的画法及性质；2.能确定二次函数y=ax2的解析式.【教学难点】1.用描点法画二次函数y=ax2的图象，探索其性质；2.能依据二次函数y=ax2的有关性质解决问题.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等.六、教学过程（一）导入新课1.你们喜欢打篮球吗？（出示课件2）2.你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？学生自主思考.（二）探索新知探究一：二次函数y=ax2的图象的画法出示课件4：画出二次函数y=x2的图象.学生分组画y=x2的图象，教师巡视，对于不正确的给予指导.⑴列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …y=x2 ……⑵描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）（出示课件5）⑶连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图象．当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：（出示课件6）教师归纳：二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.出示课件7：画出二次函数y=-x2的图象.学生分组画y=-x2的图象，教师巡视，对于不正确的给予指导.⑴列表：x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …y=-x2 ……⑵描点：⑶连线：探究二：二次函数y=ax2的图象性质出示课件8：教师问：根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.学生交流后，师生共同总结如下：1.y＝x2的图象是一条抛物线;2.图象开口向上;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0 ，0 ）;5.图象有最低点．出示课件9：教师问：说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.学生交流后，师生共同总结如下：1.y＝-x2的图象是一条抛物线;2.图象开口向下;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最高点．教师归纳：（出示课件10）二次函数y=ax2的图象性质：1.顶点都在原点（0,0）;2.图像关于y轴对称;3.当a>0时，开口向上；当a0时，a越大，开口越小.出示课件18：在同一直角坐标系中，画出函数的图象．将全班同学进行适当分组，分别完成两个图象的画图，并结合图象给予恰当的描述.解：分别填表，再画出它们的图象，如图：x ·－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···x ·－2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···出示课件19：师生共同探究：二次函数的图象开口大小与a的大小有什么关系？教师归纳：当a－1.因此m=1.此时,二次函数为y=2x2.出示课件23：已知是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k= .学生独立思考后，自主解答如下：解：是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0. 因此，，解得k=2.探究四：二次函数y =ax2的实际应用出示课件24：师生共同认知：二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.出示课件25：例已知正方形的周长为Ccm，面积为Scm2，（1）求S与C之间的二次函数关系式；（2）画出它的图象；（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；（4）根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2.学生独立思考后，师生共同解答.（出示课件26）解：（1）∵正方形的周长为Ccm，∴正方形的边长为cm，∴S与C之间的关系式为S=；作图如图：（3）当S=1cm2时，C2=16，即C=4cm；（4）若S≥4cm2，即≥4，解得C≥8，或c≤-8(舍去），因此C ≥8cm.出示课件27：已知二次函数y＝2x2.(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2；(填“>”“＝”或“15.开口方向对称轴顶点坐标向上y轴（0,0）向下y轴（0,0）向上y轴（0,0）向下y轴（0,0）6.解：在二次函数y=x2中，a=1＞0因此当x=0时，y有最小值.∵当x≥m时，y最小值=0，∴m≤0．7.解：由题意得解得因此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.两交点与原点所围成的三角形面积S△ABO＝S△ACO＋S△BOC.在△BOC中，OC边上的高就是B点的横坐标值的绝对值1；在△ACO中，OC边上的高就是A点的横坐标值的绝对值4.因此S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝×4×1+×4×4＝10.（四）课堂小结1.画二次函数y=ax2的图象时，有哪些地方是你需关注的？2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax2的性质的？3.本节课你还存在哪些疑问？.（五）课前预习预习下节课（22.1.3第1课时）的相关内容.七、课后作业1.教材41页习题22.1第3,4题2.配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本课时的设计比较注重让学生动手操作，让学生通过画二次函数的图象初步掌握其性质，画图的过程中需注意引导学生与其他函数的图象与性质进行对比.本课的目的是要让学生通过动手操作，经历探索归纳的思维过程，逐步获得图象传达的信息，熟悉图象语言，进而形成函数思想.1 / 15。

人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第22.1.2节《二次函数y=ax^2的图象和性质》是九年级数学的重要内容，主要让学生了解二次函数的图象特征和性质。

通过本节课的学习，学生能理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征，了解二次函数的增减性和对称性，从而为后续的函数学习打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念，具备了一定的函数知识。

但对于二次函数的图象和性质，可能还存在一定的困惑。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际问题进行讲解，引导学生理解和掌握二次函数的图象和性质。

三. 教学目标1.让学生理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征。

2.让学生了解二次函数的增减性和对称性，能运用二次函数的性质解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次函数的一般形式和图象特征。

2.二次函数的增减性和对称性。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的图象和性质。

2.利用多媒体辅助教学，直观展示二次函数的图象，帮助学生理解。

3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.二次函数图象和性质的相关教学素材。

3.学生分组合作学习的材料。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一次函数和正比例函数的图象和性质，为新课的学习做好铺垫。

同时，教师可以利用多媒体展示二次函数的图象，让学生初步感受二次函数的特点。

呈现（10分钟）教师给出二次函数的一般形式y=ax^2，让学生观察并分析二次函数的图象特征。

学生通过观察多媒体展示的二次函数图象，总结出二次函数的开口方向、顶点坐标等特征。

操练（10分钟）教师给出几个二次函数的实例，让学生分析其图象特征。

学生通过小组合作学习，探讨并分析二次函数的增减性和对称性。

22.1.2 二次函数y=ax²的图象与性质说课稿一、教学目标1.知识与能力：•了解二次函数y=ax²的基本函数图象特点；•掌握二次函数图象的平移、伸缩和翻转变换；•理解二次函数和一次函数的区别。

2.过程与方法：•激发学生对二次函数的兴趣；•引导学生通过观察、探究并总结出二次函数y=ax²的图象特点；•通过实例分析，引导学生掌握二次函数图象的平移、伸缩和翻转变换。

3.情感态度与价值观：•培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力；•引导学生在学习数学的过程中培养耐心和毅力。

二、教学重点和难点1.教学重点：•二次函数y=ax²的基本图象特点；•二次函数图象的平移、伸缩和翻转变换。

2.教学难点：•引导学生通过观察、探究并总结出二次函数y=ax²的图象特点。

三、教学准备1.教学工具：•PowerPoint；•讲师笔记。

2.教学材料：•教材《人教版数学九年级上册》；•预习资料。

四、教学过程第一步：导入新知1.通过展示数学九年级上册预习资料中的图像，激发学生对二次函数的兴趣，并引出本节课的主题。

2.引导学生回顾一次函数y=ax+b的定义和性质，并引出二次函数y=ax²的定义。

第二步：展示二次函数y=x²的图象特点1.在白板上画出二次函数y=x²的图象。

2.通过观察图象，引导学生总结出二次函数y=x²的特点：•对称轴为y轴；•顶点坐标为(0, 0)；•图象开口向上。

3.引导学生思考：如果改变a的值，对图象会有什么影响？设置不同的a值进行观察和比较。

第三步：引入二次函数y=ax²的图象变换1.通过展示不同a值的二次函数y=ax²的图象，引导学生观察并比较，总结出不同a值对图象的影响：•a>1时，图象变瘦长；•0<a<1时，图象变胖矮；•a<0时，图象分别在x轴的上方和下方对称。

22.1.2 二次函数y ＝a x 2的图象和性质1.二次函数y ＝ax 2的图象（1）画二次函数y ＝x 2的图象. 列表：在图22－1－10的平面直角坐标系里画出二次函数y ＝x 的图象.在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连接各点，便得到了二次函数的图象，我们把这样的图象叫做 ，抛物线有一条对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的 .（2）在上面的平面直角坐标系里画出二次函数y ＝－x 2的图象. 2.二次函数y ＝ax 2图象的性质二次函数y ＝x 2图象的特点：（1）抛物线的开口向 （填“下”或“上”）；（2）图象是中心对称图形还是轴对称图形？ ；对称轴是 。

（3）当x ＜0时，曲线自左向右 （填“下降”或“上升”），即y 值随x 值的增大而 （填“增大”或“减小”）； （4）当x ＞0时，曲线自左向右 （填“下降”或“上升”），即y 值随x 值的增大 而 （填“增大”或“减小”）； （5）图象在x 轴的 （填“上方”或“下方”）； （6）顶点是抛物线上位置最 （填“高”或“低”）的点，y 有最 （填“大”或“小”）值，顶点坐标是 。

思考：类似地，你能得出二次函数y ＝－x 2图象的特点吗？► ；探究问题一画二次函数y＝ax2的图象例1在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数y＝x2，y＝12x2，y＝2x2的图象，并比较三个图象的相同点与不同点.相同点：①顶点相同，其坐标都为（0，0）.②对称轴相同，都为y轴③开口方向相同，它们的开口方向都向上.不同点：开口大小不同.(1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线(2)抛物线y=ax2的对称轴是y 轴.顶点时原点.a>0时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点.a<0时，抛物线开口向下，顶点时抛物形的最高点. (3)|a|越大，抛物线y==ax2的开口越小课堂小结1.本节所学知识：①二次函数y=ax2的图象的画法 .②二次函数y=ax2的图象特征及其性质.一般地， 抛物线 y = ax 2 的对称轴是 y 轴， 顶点是原点． 当 a ＞0 时， 抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当 a ＜0 时， 抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点． 对于抛物线 y = ax 2 ，｜a ｜越大，抛物线的开口越小．如果 a ＞0，当 x ＜0 时，y 随 x 的增大而减小，当 x ＞0 时，y 随 x 的增大而增大；如果 a ＜0，当 x ＜0 时，y 随 x 的增大而增大，当 x ＞0 时，y 随 x 的增大而减小．一、选择题1.关于二次函数y ＝x 2的图象，下列说法错误的是（ ）A.它的形状是一条抛物线B.它的开口向上，且关于y 轴对称C.它的顶点是抛物线的最高点D.它的顶点在原点处，坐标为（0，0） 2.[毕节中考] 抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝12x 2的共同性质是（ ）A .开口向上B .对称轴是y 轴C .都有最高点D .y 随x 的增大而增大3.如图22－1－14所示，根据图象提供的信息，下列结论正确的是（ ）A .a 1>a 2>a 3>a 4B .a 1<a 2<a 3<a 4C .a 4>a 1>a 2>a 3D .a 2>a 3>a 1>a 44.[宁夏中考] 已知a ≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象有可能是（ ）二、填空题5.抛物线y ＝10x 2的开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ；抛物线y ＝－25x 2的开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 Ｗ.6.已知抛物线y ＝－2x 2经过点（1，y 1）和（2，y 2），则y 1与y 2的大小关系是 Ｗ.7.如图22－1－16所示，图中抛物线是某个二次函数的图象，则此二次函数的解析式为 ，根据图象知，当x ＝ 时，y 的值最大.22.1.3 二次函数y ＝ax 2＋k 的图像和性质二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数y ＝x 2，y ＝x 2＋1，y ＝x 2－1，的图象，并 比较三个图象的相同点与不同点.归纳：（1）抛物线y ＝x 2＋1：开口向 ，对称轴是 轴，顶点为 . （2）抛物线y ＝x 2－1：开口向 ，对称轴是 轴，顶点为 . 2.抛物线y ＝x 2＋1，y ＝x 2－1与抛物线y ＝x 2的关系：抛物线y ＝x 2抛物线y ＝x 2＋1；抛物线y ＝x 2 抛物线y ＝x 2－1.y ＝ax 2 y ＝ax 2＋k （k ＞0）. y ＝ax 2 y ＝ax 2－k （k ＞0）. 口诀：上加下减.例1 抛物线y ＝ax 2＋k 与y ＝－5x 2的形状、开口方向都相同，且其顶点坐标是（0，3），则其解析式为 ，它是由抛物线y ＝－5x 2向 平移 个单位长度得到的.例2如图22－1－23所示，隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为8 m ，宽AB 为2 m .以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6 m .（1）求抛物线的解析式；（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2 m ，宽2.4 m ，这辆货运卡车能否通过该隧道？ 通过计算说明理由.一、选择题1.下列函数中，图象形状、开口方向相同的是（ ）①y ＝－x 2；②y ＝－2x 2；③y ＝12x 2－1；④y ＝x 2＋2；⑤y ＝－2x 2＋3.A.①④B.②⑤C.②③⑤D.①②⑤2.抛物线y ＝2x 2－5的顶点坐标为（ ）A.（2，5）B.（－2，5）C.（0，－5）D.（0，5）3.[上海中考] 如果将抛物线y ＝x 2＋2向下平移1个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是（ ） A .y ＝（x －1）2＋2 B .y ＝（x ＋1）2＋2 C .y ＝x 2＋1 D .y ＝x 2＋34.当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2＋a 的图象经过的象限是（ ）A .第三、四象限B .第一、二象限C .第二、三、四象限D .第一、二、三象限5.对于二次函数y ＝－13x 2＋2，当x 为x 1和x 2时，对应的函数值分别为y 1和y 2.若x 1>x 2>0，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A .y 1>y 2B .y 1<y 2C .y 1＝y 2D .无法比较7.抛物线y ＝x 2－4与x 轴交于B ，C 两点，顶点为A ，则△ABC 的面积是（ ） A .16 B .8 C .4 D .2二、填空题8.（1）抛物线y ＝－12x 2－1的开口方向是 ，顶点坐标是（ ， ），对称轴是 ，当x>0时，函数值y 随x 的增大而 ；当x<0时，函数值y 随x 的增大而 ；抛物线y ＝－12x 2－1可由抛物线y ＝－12x 2向 平移 个单位长度得到；9.若抛物线y ＝ax 2－1经过点（4，31），则a ＝ ，在这个函数图象上该点关于对称轴对称的点为 .10. 将二次函数y ＝2x 2－1的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式为.三、解答题11.若抛物线y＝ax2＋k经过点A（－3，2），B（0，－1），求该抛物线的解析式.12.二次函数y＝－12x2＋k的图象经过点D⎝⎛⎭⎫－3，92，与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧.（1）求k的值；（2）求A，B两点的坐标.13.已知抛物线y＝12x2，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.若△ABC是直角三角形，则原抛物线应向下平移几个单位长度？14.某水渠的横截面呈抛物线，水面的宽度为AB（单位：米），现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图22－1－27所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O.已知AB＝8米，抛物线的解析式为y＝ax2－4.（1）求a的值；（2）点C（－1，m）是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求△BCD的面积.22.1.3 .1 二次函数y＝a(x-h)2的图象和性质问题：在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y ＝－12x 2 、 y ＝－12()x ＋12和y ＝－12()x －12的图象。

人教版数学九年级上册《22.1.2二次函数y=ax2 的图象和性质》说课稿1一. 教材分析人教版数学九年级上册《22.1.2二次函数y=ax^2 的图象和性质》这一节，是在学生已经掌握了函数的概念、一次函数的图象和性质的基础上，进一步引导学生学习二次函数的图象和性质。

通过这一节的学习，使学生能够掌握二次函数的一般形式，了解二次函数的图象特征，以及掌握二次函数的性质。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数的图象和性质有了初步的了解。

但是，二次函数相对于一次函数来说，图象和性质更加复杂，需要学生有一定的抽象思维能力。

此外，学生可能对二次函数的图象和性质在实际问题中的应用还不够清晰，需要教师在教学中进行引导和启发。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次函数的一般形式，了解二次函数的图象特征，掌握二次函数的性质。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探究二次函数的图象和性质。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。

四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的一般形式，二次函数的图象特征，二次函数的性质。

2.教学难点：二次函数的图象和性质在实际问题中的应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等，引导学生主动探究，提高学生的参与度和积极性。

2.教学手段：利用多媒体课件，展示二次函数的图象和性质，使抽象的知识更加直观形象。

同时，利用练习题和案例，帮助学生巩固所学知识。

六. 说教学过程1.导入：通过复习一次函数的图象和性质，引出二次函数的一般形式，激发学生的学习兴趣。

2.探究二次函数的图象特征：让学生观察二次函数的图象，引导学生发现二次函数的顶点、开口方向等特征。

3.探究二次函数的性质：通过小组讨论，让学生归纳出二次函数的增减性、对称性等性质。

二次函数y=ax2的图像和性质教案篇一：22.1.2二次函数y=ax2图像与性质教案2123篇二：《二次函数y=ax 的图象和性质》参考教案22.1.2二次函数y?ax2的图象和性质教学目标1．知识与技能能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解其性质2．过程与方法经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法.3．情感、态度与价值观在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感．教学重点难点1．重点函数y=ax2的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数y=ax2的图象与性质．2．难点用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象，掌握其性质特征．教与学互动设计（一）创设情境导入新课导语一回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？导语二展示（用课件或幻灯片）具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？导语三用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？（二）合作交流解读探究1．函数y=ax2的图象画法及相关名称【探究l】画y=x2的图象学生动手实践、尝试画y=x2的图象教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y=x2的图象，如图22-1-1.【共同探究】次函数图像有何特征？特征如下：①形状是开口向上的抛物线②图象关于y轴对称③由最低点，没有最高点.结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向.图22-1-1图22-1-22．函数y=ax2的图象特征及其性质【探究2】在同一坐标系中，画出y=12x，y=2x2的图象.2学生自己完成此题.教师做个别指导，在学生（大部分）完成后，教师可示范性地画出两函数的图象.如图22-1-2比较图中三个抛物线的异同.相同点：①顶点相同，其坐标都为（0，0）.②对称轴相同，都为y 轴③开口方向相同，它们的开口方向都向上.不同点：开口大小不同.【练一练】画函数y=-x2，y=-施过程）比较函数y=-x2，y=-12x，y=-2x2的图象.找出它们的异同点.212x，y=-2x2的图象.（分析：仿照探究1的实2相同点：①形状都是抛物线.②顶点相同，其坐标都为（0，0）.③对称轴相同，都为y轴④开口方向相同，它们的开口方向都向下.不同点：开口大小不同.【归纳】y=ax2的图象特征：(1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线(2)抛物线y=ax2的对称轴是y轴.顶点时原点.a>0时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点.a(3)|a|越大，抛物线y==ax2的开口越小（三）应用迁移巩固提高类型之一如何画好二次函数的图象【点拨】画二次函数图象一般是按以下三个步骤进行.①列表、取值；②描点；③连线但初学者对三个步骤，易犯下列错误，注意避免. 【易错点1】表格中，取值过多或过少.画函数y=ax2图象,取对应值时，一般5组或7组有代表性的对应值即可.．．．【易错点2】连线不是光滑曲线，有的用折线，有的画的过渡不自然，不象抛物线.例1下图是甲、乙、丙三人画得二次函数y=2x2的图象.请你帮助修改.解：图甲中有两个错误的地方.①连线不能用直尺作线段，图象中相邻两点时用光滑曲线连接.②抛物线开口应向上无限延伸，不能到两端点为止.修改见图甲中虚线.图乙中有一个错误，其中有一个点（1，-2）的位置画错.（或表格中对应值算错）修改见图乙中虚线.图丙种错误是x的值都是非负数，没有负数，导致出现其图象只是抛物线的一半，没有对称性.修改见图丙中虚线.【点评】此三类错误是初学者应注意的三个方面，以后的练习中，应提醒大家注意.类型之二函数y=ax2的图象特征的应用例2（1）填空：函数y?()2的图象是，顶点坐标是，对称轴是，开口方向是. 1（2）函数y=x2，y=x2，y=-2x2图象如图所示，请指出三条抛物线的名称.2解：（1）y?()2可化为y=2x2.它的图象是抛物线，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，开口方向向上.【点评】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误.(2)根据抛物线y=ax2中，a的值的作用来判断，最上面的抛物线为y=x2，中间的为y=12x，x轴下方的为y=-2x22【点评】抛物线y=ax2中a>0时，开口向上.a（四）总结反思拓展升华【总结】1.本节所学知识：①二次函数y=ax2的图象的画法.②二次函数y=ax2的图象特征及其性质.2.本节所用的方法：实践比较法【反思】函数y=ax2与y=-ax2的图象之间有何关系？（它们关于x 轴对称）【拓展】已知函数y=ax2经过(1,2).（1）求a的值.（2）当x(2)根据函数y=2x2知x【点评】①通常用待定系数法函数y=ax2中只有一个待定系数a,故知道其图象上一点坐标或x，y的一组对应值就可求出解析式.②结合图象知：x（五）当堂检测反馈1.抛物线y=4x2中的开口方向是向上，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴.抛物线y=-对称轴是y轴.2.二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a=2.【分析】a与-2互为相反数13.在同一坐标系中：①y=x2，②y=-x2，③y=2x2这三个函数图象开口最大212x的开口方向是向下，顶点坐标是（0，0），4的是①y?12x2，开口向下的是②y=-x21解：∵||2∵函数y=-x2中，二次项系数为-114.二次函数y=2x2，y=-2x2，y=x22点（0，0）；②对称轴相同，都是y轴.5．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过(-3,2).求此抛物线的解析式，并指出x>0时，y随x的变化情况.解：设此抛物线的解析式为y=ax2,∵此抛物线过点（-3，2），∴2=a·(-3)2,。

人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质（1）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第22.1节《二次函数的图象和性质（1）》是本册教材的重要内容，主要介绍二次函数的一般形式、图象特点以及一些基本性质。

通过本节内容的学习，学生可以掌握二次函数的基本知识，为后续学习二次函数的应用打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数的性质，具备一定的函数知识基础。

但二次函数相对复杂，学生对其理解和掌握可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过观察、思考、探索等方式，自主发现和总结二次函数的性质。

三. 教学目标1.理解二次函数的一般形式和图象特点。

2.掌握二次函数的顶点坐标、开口方向和判别式的概念。

3.能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。

四. 教学重难点1.二次函数的一般形式和图象特点。

2.二次函数的顶点坐标、开口方向和判别式的理解与应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、探索等方式自主学习。

2.利用多媒体课件辅助教学，直观展示二次函数的图象和性质。

3.注重数学语言的训练，引导学生规范表达。

六. 教学准备1.多媒体课件。

2.相关练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学模型来描述这些问题。

例如，抛物线运动、物体抛掷等。

从而引出二次函数的概念。

2.呈现（10分钟）利用多媒体课件，呈现二次函数的一般形式和图象特点。

引导学生观察并总结二次函数的性质。

3.操练（10分钟）让学生通过计算器或者绘图软件，自己动手绘制一些二次函数的图象，并观察其性质。

同时，教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生运用所学的二次函数知识解决问题。

教师及时批改并给予反馈，帮助学生巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）引导学生思考二次函数在实际生活中的应用，例如抛物线射门、跳水运动等。

22.1.2 二次函数2ax y =的图象和性质一、教学目标 （一）学习目标1．会用描点法画出形如y=ax 2的二次函数图象，了解抛物线的有关概念； 2．通过观察图象，能说出二次函数y=ax 2的图象特征和性质；3．在类比探究二次函数 y=ax 2的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想． （二）学习重点会画二次函数y=ax²的图象，理解其图象特征和性质． （三）学习难点用描点法画二次函数y=ax 2的图象以及探索二次函数性质，体会数与形的相互联系． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）二次函数y=ax 2 ，当a>0时，图象特征和性质是： ①图象是一条抛物线，开口向上；②原点（0,0）是图象的顶点，也是最低点，当x=0时，函数y 有最小值0；③图象是轴对称图形，对称轴是y 轴（直线x=0）；在对称轴的左侧（即x<0时），抛物线从左到右下降，y 随x 的增大而减小；在对称轴右侧（即x>0时），抛物线从左到右上升，y 随x 的增大而增大.（2）二次函数y=ax 2 ，当a<0时，图象特征和性质是： ①图象是一条抛物线，开口向下；②原点（0,0）是图象的顶点，也是最高点，当x=0时，函数y 有最大值0；③图象是轴对称图形，对称轴是y 轴（直线x=0）；在对称轴的左侧（即x<0时），抛物线从左到右上升，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧（即x>0时），抛物线从左到右下降，y 随x 的增大而减小. 2．预习自测1.二次函数26x y =的图象开口向________，对称轴是________，顶点坐标________，当x_______时，y 随x 的增大而增大，当x_______时，y 随x 的增大而减小， 当x=______时，y 有最______值,为 ．【知识点】二次函数2ax y =的图象和性质【解题过程】由二次函数2y ax =的图象和性质可得.【思路点拨】牢记二次函数2ax y =的图象和性质是解题的关键 【答案】上，y 轴，（0，0），＞0，<0，0，小，02.函数22x y -=的图象开口方向________，对称轴是_______，顶点坐标__________， 在y 轴的左侧，y 随x 的增大而______，在y 轴的右侧，y 随x 的增大而______． 当x=_______时，函数有最______值,为 ． 【知识点】二次函数2ax y =的图象和性质【解题过程】由二次函数2y ax =的图象和性质可得.【思路点拨】牢记二次函数2ax y =的图象和性质是解题的关键 【答案】下，y 轴，（0，0），增大，减小，0，大，03.函数231x y =与13y x =-2的图象之间的关系是____________．【知识点】二次函数2ax y =的图象和性质与【解题过程】因函数231x y =与231x y -=的二次项系数互为相反数，其图象的形状相同，只是开口方向相反，所有它们的图象关于x 轴对称.【思路点拨】由二次函数2ax y =与2ax y -=的图象关于x 轴对称可得 【答案】关于x 轴对称 4.已知函数72-=m mxy 的图象是抛物线，且开口向下，则m 的值为_______.【知识点】二次函数2ax y =的图象和性质【解题过程】由272m -=得3m =±，又开口向下，故3m =-【思路点拨】牢记二次函数的概念和2ax y =的图象和性质是解题的关键 【答案】3m =- （二）课堂设计 1．知识回顾（1）二次函数的定义：一般地，形如c bx ax y ++=2（a≠0）的函数叫做x 的二次函数. （2）一次函数y=kx+b （k≠0）的图象与性质：图象是一条直线；当k>0时，直线通过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k<0时，直线通过二、四象限，y 随x 的增大而减小．（3）研究函数时，了解函数性质的主要工具是：函数的图象．（4）画函数图象的主要步骤：①列表.②描点.③连线.2．问题探究探究一画出二次函数2y=的图象重点、难点知识★▲ax●活动①合作探究1.实践操作：用描点法画2xy=的图象。

湘教版数学九年级二次函数的图象与性质（1）教学设计课题二次函数的图象与性质(一) 单元第一单元学科数学年级九年级学习目标1.学生会用描点法画出的图象，理解抛物线的有关概念.2.使学生经历、探索二次函数图象性质的过程.3.培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.重点使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数的图象.难点用描点法画出二次函数的图象以及探索二次函数性质教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图复习导入师：同学们，回忆一下1、二次函数的一般形式是怎样的？2、一次函数图象是什么样的？它的图像画法步骤，你还记得吗，请列出来。

3、二次函数图象是什么形状呢？是否可以借鉴一次函数的图像画法呢？学生回顾．通过回顾所学知识为本节课的学习做好铺垫．讲授新课一、探究二次函数y=ax2(a>0）的图象和性质1.探究：画二次函数的图象.（1）列表：在列表时对自变量x取这些值的理由是什么？观察表格中的数据，你有什么发现？（2）描点：描点时应以哪些数值作为点的坐标？在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点．（3）连线：光滑的曲线顺次连接学生填表．在教师的引导启发学生观察表达式的特点．通过学生思考和点A与点A′，点B与点B′，…，它们有什么关系？由此你能作出什么猜想?从图还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？y=x2的图象在y轴右边所有点都具有这样的性质吗？图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”．当x＜0 (在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小．简称为“左降”．当x＞0 (在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大．简称为“右升”．抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外)，顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸展；当x=0时，函数y的值最小，最小值是0．我们已经正确画出了y=x2的图象，因此，现在可以从图象看出的其他一些性质（除了上面已知的关于y轴对称和“右升”外），还有哪些性质？对称轴与图象的交点是___________；图象的开口向_________；图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而_________，简称“左降；当x=_______时，函数值最_____．一般地，当a>0时，y=ax2的图象都具有上述性质．于是我们画y=ax2（a>0）的图象时，可以下观察图像，引导学生自主探究，让学生讨论、交流，达成共识．交流对函数性质的认识，并积累从图象的角度研究函数性质的经验．先画出图象在y 轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y 轴左边的部分．在画右边部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤．例 1 画二次函数212y x =的图象． 二、探究二次函数y =ax 2(a ＜0）的图象和性质探究：我们已经会画212y x =的图象， 能不能从它得出二次函数212y x =-的图象呢？ 分析：把212y x =的图象沿着x 轴翻折并将图象 “复制”出来， 就可以得到212y x =-的图象.画二次函数212y x =-的图象． 在212y x =的图象上任取一点21(,)2P a a ，它关于x 轴的对称点Q 的坐标是21(,)2P a a -．如图所示，从点Q 的坐标看出，点Q 在212y x =-的图象上．由此可知，212y x =-的图象与 212y x =的图象关于x 轴对称．因此只要把212y x = 的图象沿着x 轴翻折并将图象“复制”出来，就可得到212y x =-的图象．如图的绿色曲线．观察图象，归纳与总结：一般地，抛物线y =ax 2的对称轴是_____，顶点是________．当a >0时，抛物线的开口向______，顶点是抛物线的最_____点，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_____，在对称轴的右学生动手画图象．对比画图．归纳二次函数y =ax 2(a ＜0）的图象和性培养学生画图能力．体会二次函数y =ax 2(a ＜0）的图象和性质．掌握y =ax 2(a ＜0）的图象和性质．侧，y 随x 的增大而_____．当a <0时，抛物线的开口向___，顶点是抛物线的最_____点，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而________． 例2 画二次函数214y x =-的图象．观察函数2y x =和212y x =图象的开口大小，你能得出什么结论？观察函数2y x =-和212y x =-图象的开口大小，你又能得出什么结论？三、抛物线的概念在棒球赛场上，棒球在空中沿着一条曲线运动，它与二次函数y =x 2的图象相像吗？以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x 轴的正方向水平向右，y 轴的正方向竖直向上，则可以看出棒球在空中经过的路线是形如y =ax 2（a <0）的图象的一段．由此受到启发，我们把二次函数y =ax 2的图象这样的曲线叫作抛物线，简称为抛物线y =ax 2．一般地，二次函数y =ax 2的图象关于y 轴对称，抛物线与它的对称轴的交点（0，0）叫作抛物线y =ax 2的顶点．质．通过实际问题理解抛物线的概念．帮助学生理解二次函数是具有广泛应用价值的，重要的数学模型．巩固练习 1、直接运用性质填空： (1)图象的对称轴是 ， 顶点是 ,图象的开口向 ； (2)图象的对称轴是 ， 顶点是 ,图象的开口向 . 2、如图所示，已知二次函数y =ax 2的图象经过点A ． （1）求a 的值；（2）试判断点（-4，12）是否在此函数的图象上．3、已知函数221m m y mx --=的图象是开口向下的抛物线．（1）求m 的值；（2）当x =3时，函数值是多少？当y =-6时，求x 的值；（3）试说明当x <3时，函数值的变化情况，并求当x 为何值时，函数有最小值，最小值是多少？ 4、底面是边长为x （cm ）的正方形，高为0.5 cm 的长方体的体积为y （cm 3）．（1）求y 关于x 的函数关系式，并画出函数图象； （2）根据图象求出y =8 cm 3时，底面边长x 的值； （3）根据图象，求出x 为何值时，y ≥4.5 cm 3．学生独立完成并展示．巩固学习，让学生用自己的方法展示出来，并且让学生得到进一步的锻炼．让学生建立自己对本节内容的认知．课堂小结学生自主交流、归纳、总结．培养学生的归纳、总结能力．板书1.2 二次函数的图象与性质（1）1.探究：画二次函数的图象. （1）列表：（2）描点：（3）连线：。