人教版-数学-八年级下册《平行四边形》单元复习教案

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《平行四边形》单元复习教案

1.掌握平行四边形的概念,性质及判定,会判定一个四边形是平行四边形.

2.理解矩形、菱形和正方形的概念及它们与平行四边形之间的联系.

3.掌握矩形、菱形和正方形的性质和判定,并能灵活运用它们解决问题.

1.在反思和交流的过程中,逐渐建立知识体系,让知识更加系统化.

2.通过例题分析,提高学生熟练掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定方法,提高学生的逻辑思维能力.

引导学生独立思考,通过归纳、概括、实践等数学活动,感受获得成功的体验,形成科学的学习习惯.

【重点】 理解平行四边形与特殊平行四边形的区别和联系,梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法.

【难点】 平行四边形与特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用.

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专题一 平行四边形的判定、性质及其应用

【专题分析】

在中考中常围绕平行四边形的概念、判定及性质命题,以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查性质或者判定的情况较少,一般将平行四边形的判定和性质结合起来综合考查,解决这类问题应熟练掌握平行四边形的概念、判定方法和性质以及三角形等有关知识.

(2015·绵阳模拟)已知△ABC中,AB=AC,D为△ABC所在平面内的一点,过D作DE∥AB,DF∥AC,DE,DF分别交直线AC、直线AB于点E,F.

(1)如图(1),当点D在线段BC上时,通过观察,分析线段DE,DF,AB之间的数量关系,并说明理由; 人教版数学八年级下册- 打印版

(2)当点D在直线BC上,其他条件不变时,试猜想线段DE,DF,AB之间的数量关系(请直接写出等式,不需证明);

(3)如图(2),当点D是△ABC内一点时,过D作DE∥AB,DF∥AC,DE分别交直线AC、直线BC于点E,G,DF交直线AB于F.试猜想线段DE,DF,DG与AB之间的数量关系(请直接写出等式,不需证明).

〔解析〕 (1)先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AEDF是平行四边形,则DE=AF.再根据平行线及等腰三角形的性质得出∠FDB=∠B,由等角对等边得到DF=FB,从而可得DE+DF=AF+FB=AB.(2)当点D在直线BC上时,分三种情况:①当点D在CB延长线上时,如图①,先证明四边形AEDF是平行四边形,则DE=AF,再证明∠FDB=∠FBD,由等角对等边得到DF=FB,从而可得AB=AF-BF=DE-DF;②当点D在线段BC上时,同(1)可得,AB=DE+DF;③当点D在BC的延长线上时,如图②,先证明四边形AEDF是平行四边形,则DF=AE,再证明∠CDE=∠DCE,由等角对等边得到CE=DE,从而可得AB=AC=AE-CE=DF-DE.(3)先证明四边形AEDF是平行四边形,则DF=AE,再证明∠EGC=∠C,由等角对等边得到EG=DE+DG=CE,从而可得AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF.

解:(1)DE+DF=AB.

理由如下:∵DE∥AB,DF∥AC,

∴四边形AEDF是平行四边形,

∴DE=AF.

∵DF∥AC,∴∠FDB=∠C, 人教版数学八年级下册- 打印版

∵AB=AC,∴∠C=∠B,

∴∠FDB=∠B,

∴DF=FB,

∴DE+DF=AF+FB=AB.

(2)当点D在直线BC上时,分三种情况:

①当点D在CB延长线上时,如图①,AB=DE-DF;

②当点D在线段BC上时,同(1)可得,AB=DE+DF;

③当点D在BC的延长线上时,如图②,AB=DF-DE.

(3)AB=DE+DG+DF.

本题考查了平行四边形的判定与性质,平行线的性质,等腰三角形中等角对等边,综合性较强,难度适中.(2)中分情况讨论是解题的关键.

【针对训练1】 △ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边三角形ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F.

(1)若点D是BC边的中点(如图①),求证EF=CD.

(2)在(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比.

(3)若点D是BC边上的任意一点(除B,C外,如图②),那么(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

〔解析〕 (1)根据△ABC和△AED是等边三角形,D是BC的中点,ED∥CF,可证明△ABD≌△CAF,进而可证明四边形EDCF是平行四边形.(2)在(1)的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比.(3)根据ED∥FC及题意得出∠ACF=∠BAD,从而可证明△ABD≌△CAF,得出AD=ED=CF,进而可证明四边形EDCF是平行四边形,即可得出EF=DC.

证明:(1)∵△ABC是等边三角形,D是BC的中点,∴AD⊥BC,且∠DAB=∠BAC=30°,

∵△AED是等边三角形,∴AD=AE=ED,∠ADE=60°,∴∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°, 人教版数学八年级下册- 打印版

∵ED∥CF,∴∠FCB=∠EDB=30°,∵∠ACB=60°,∴∠ACF=∠BAD=30°,

又∵∠B=∠FAC=60°,AB=CA,

∴△ABD≌△CAF,∴AD=CF,

∵AD=ED,∴ED=CF,

又∵ED∥CF,

∴四边形EDCF是平行四边形,∴EF=CD.

解:(2)△AEF和△ABC的面积比为1∶4.

(3)成立.证明如下:

∵ED∥FC,∴∠EDB=∠FCB,

∵∠AFC=∠B+∠FCB=60°+∠FCB,∠BDA=∠ADE+∠BDE=60°+∠BDE,∴∠AFC=∠BDA.

又∵∠B=∠FAC=60°,AB=CA,

∴△ABD≌△CAF,∴AD=FC,

∵AD=ED,∴ED=CF,

又∵ED∥CF,

∴四边形EDCF是平行四边形,

∴EF=DC.

专题二 矩形的判定、性质及其应用

【专题分析】

在中考中有的单独考查矩形的性质,有的单独考查矩形的判定,但二者结合起来考查较多,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现.

如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD上的点,且AE=BF=CG=DH.

(1)求证四边形EFGH是矩形; 人教版数学八年级下册- 打印版

(2)若E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,且DG⊥AC,OF=2 cm,求矩形ABCD的面积.

〔解析〕 (1)首先证明四边形EFGH是平行四边形,然后再证明HF=EG.(2)根据题意求出矩形ABCD的宽CD和长BC,然后根据矩形面积公式求解.

证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,

∴OA=OB=OC=OD,

∵AE=BF=CG=DH,

∴AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH,

即OE=OF=OG=OH,∴四边形EFGH是平行四边形,又OF+OH=OE+OG,即FH=EG,

∴四边形EFGH是矩形.

解:(2)∵G是OC的中点,∴GO=GC.

∵DG⊥AC,∴∠DGO=∠DGC=90°.

又∵DG=DG,∴△DGC≌△DGO,

∴CD=OD.

∵F是BO中点,OF=2 cm,∴BO=4 cm.

∵四边形ABCD是矩形,∴DO=BO=4 cm,

∴DC=4 cm,DB=8 cm,

∴CB==4(cm)

∴矩形ABCD的面积=4×4=16(cm2).

本题主要考查矩形的判定,首先要判定四边形是平行四边形,然后证明对角线相等.

【针对训练2】 如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD,CE⊥AD,垂足为E.求证AE=CE.

〔解析〕 作BF⊥CE于F,证明Rt△BCF≌Rt△CDE,可得到BF=CE,只需证明BF=AE,即可说明AE=CE. 人教版数学八年级下册- 打印版

证明:作BF⊥CE于F,∵∠BCF+∠DCE=90°,∠D+∠DCE=90°,∴∠BCF=∠D,又BC=CD,∠BFC=∠CED=90°,∴Rt△BCF≌Rt△CDE,∴BF=CE,又∠BFE=∠AEF=∠A=90°,∴四边形ABFE是矩形,∴BF=AE,∴AE=CE.

在证明两条线段相等时,常利用等腰三角形的性质,或者将要求证的两条线段转化到两个三角形中证明三角形全等.

专题三 菱形的判定、性质及其应用

【专题分析】

考查菱形的判定、性质的题目,一般以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查这个知识点的情况较少,一般与直角三角形的知识综合考查.

如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.

(1)求证∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE;

(2)若AB∥CD,求证四边形ABCD是菱形;

(3)在(2)的条件下,试确定E点的位置,使∠EFD=∠BCD,并说明理由.

〔解析〕 (1)利用已知条件和公共边,证得△ABC≌△ADC,即可证明∠BAC=∠DAC;再证明△ABF≌△ADF,得到∠AFB=∠AFD,再利用对顶角相等,易知结论;(2)由平行线的性质和(1)中结论,易知∠DAC=∠ACD,所以AD=CD,进而证得AB=CB=CD=AD,即可证明结论;(3)当BE⊥CD时,由(2)可知BC=CD,∠BCF=∠DCF,利用△BCF≌△DCF,证得∠CBF=∠CDF,再利用等角的余角相等即可证明∠EFD=∠BCD.

证明:(1)∵AB=AD,CB=CD,AC=AC,

∴△ABC≌△ADC.

∴∠BAC=∠DAC, 人教版数学八年级下册- 打印版

∵ AB=AD,∠BAF=∠DAF,AF=AF,

∴△ABF≌△ADF.∴∠AFB=∠AFD,

又∵∠CFE=∠AFB,∴∠AFD=∠CFE.

(2)∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD.

又∵∠BAC=∠DAC,

∴∠DAC=∠ACD.∴AD=CD.

∵ AB=AD,CB=CD,

∴AB=CB=CD=AD.

∴四边形ABCD是菱形.

解:(3)当BE⊥CD时,∠EFD=∠BCD.

理由如下:∵四边形ABCD为菱形,

∴BC=CD,∠BCF=∠DCF.

又∵CF为公共边,

∴△BCF≌△DCF,∴∠CBF=∠CDF.

∵BE⊥CD,∴∠BEC=∠DEF=90°,

从而可知∠EFD=∠BCD.

(1)证明两条线段相等或两角相等,常用的方法就是先证得三角形全等或从已知图形的性质出发,利用已知的特殊四边形或全等形,推出结论.(2)对于条件探索性问题,一般我们要从结论入手进行分析,得出符合结论的条件,确定思路,进而进行推理论证.

【针对训练3】 如图所示,DE是▱ABCD中∠ADC的平分线,EF∥AD,交DC于F.

(1)求证四边形AEFD是菱形;

(2)如果∠BAD=60°,AD=5,求菱形AEFD的面积.

〔解析〕 (1)可先证明四边形DAEF是平行四边形,再由角的关系求得∠AED=∠1,根据等角对等边得AD=AE,再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形AEFD是菱