高中数学 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课时练 新人教A版选修22

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（2）

1. 下列结论不正确的是( )

A．若y＝3，则y′＝0

B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3

C．若y＝－x＋x，则y′＝－12x＋1

D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x

【答案】 D

2. 已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为( )

A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)

C．(2,8) D．(－12，－18)

【答案】 B

【解析】 y′＝3x2，∵k＝3，

∴3x2＝3，∴x＝±1，则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．

3．若对任意x∈R，f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)＝( )

A．x4 B．x4－2

C．4x3－5 D．x4＋2

【答案】 B

【解析】 ∵f′(x)＝4x3.∴f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－1∴1＋c＝－1，∴c＝－2，∴f(x)＝x4－2.

4．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )

A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0

C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0

【答案】 A

【解析】 ∵直线l的斜率为4，而y′＝4x3，由y′＝4得x＝1而x＝1时，y＝x4＝1，故直线l的方程为：y－1＝4(x－1)即4x－y－3＝0.

5.已知物体的运动方程是s＝14t4－4t3＋16t2(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )

A．0秒、2秒或4秒 B．0秒、2秒或16秒

C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒

【答案】 D

【解析】 显然瞬时速度v＝s′＝t3－12t2＋32t＝t(t2－12t＋32)，令v＝0可得t＝0,4,8.故选D.

6.若函数f(x)＝exsinx，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为( )

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）

A级：基础巩固练

一、选择题

1．函数y＝(3x－4)2的导数是( )

A．4(3x－2) B．6x

C．6x(3x－4) D．6(3x－4)

答案 D

解析 ∵y′＝[(3x－4)2]′＝2(3x－4)·3＝6(3x－4)．

2．若函数f(x)＝12f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为( )

A．0 B．－1 C．1 D．2

答案 B

解析 ∵f(x)＝12f′(－1)x2－2x＋3，∴f′(x)＝f′(－1)x－2，∴f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，∴f′(－1)＝－1.

3．函数y＝f(2ex)，则导数y′＝( )

A．2f′(2ex) B．2exf′(x)

C．2exf′(ex) D．2exf′(2ex)

答案 D

解析 ∵y＝f(2ex)，∴y′＝(2ex)′·f′(2ex)＝2exf′(2ex)．故选D．

4．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )

A．2e B．e C．2 D．1

答案 C

解析 由题意可得y′＝ex－1＋xex－1，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率等于2，故选C．

5．要得到函数f(x)＝sin2x＋π3的导函数f′(x)的图象，只需将f(x)的图象( )

A．向左平移π2个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)

B．向左平移π2个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)

C．向左平移π4个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)

D．向左平移π4个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)

答案 D 解析 ∵f(x)＝sin2x＋π3，∴f′(x)＝2cos2x＋π3＝2sin2x＋π3＋π2＝2sin2x＋π4＋π3，

- 1 - §1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

教学目标：

1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；

2．掌握导数的四则运算法则；

3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则

教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用

教学过程：

一．创设情景

四种常见函数yc、yx、2yx、1yx的导数公式及应用

二．新课讲授

（一）基本初等函数的导数公式表 函数 导数

yc '0y

yx '1y

2yx '2yx

1yx '21yx

*()()nyfxxnQ '1nynx

函数 导数

yc '0y

*()()nyfxxnQ '1nynx

sinyx 'cosyx

cosyx 'sinyx

()xyfxa 'ln(0)xyaaa - 2 -

（二）导数的运算法则

导数运算法则

1．'''()()()()fxgxfxgx

2．'''()()()()()()fxgxfxgxfxgx

3．'''2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx

（2）推论：''()()cfxcfx

（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

三．典例分析

例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系0()(15%)tptp，其中0p为0t时的物价．假定某种商品的01p，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？

解：根据基本初等函数导数公式表，有'()1.05ln1.05tpt

所以'10(10)1.05ln1.050.08p（元/年）

因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

明目标、知重点

1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．

2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．

导数的运算法则：设两个函数分别为f(x)和g(x)

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)

(3)[fxgx]′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．

[情境导学]

前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连接的两个或两个以上基本初等函数的导数如何求？正是本节要研究的问题．

探究点一 导数的运算法则

思考1 我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？

答 利用导数的运算法则．

思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？

答 (1)要准确判断函数式的结构特点，选择合适的公式和法则；(2)求导前可以先对解析式适当化简变形，以利于求导；(3)在两个函数积与商的导数运算中，不要出现[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及fxgx′＝f′xg′x的错误；(4)注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”；

(5)要注意区分参数与变量，例如[a·g(x)]′＝a·g′(x)，运用公式时要注意a′＝0.

例1 求下列函数的导数：

(1)y＝x3－2x＋3；

(2)y＝(x2＋1)(x－1)；

(3)y＝3x－lg x.

解 (1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2. (2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1

∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.