六年级下册奥数专项训练-综合巩固 全国通用

第一讲 加法原理

在日常生活与实践中,我们经常会遇到分组、计数的问题。解答这一类问题,我们通常运用加法与那里与乘法原理这两个基本的计数原理。熟练掌握这两个原理,不仅可以顺利解答这类问题,而求可以为今后升入中学后学习排列组合等数学知识打下好的基础。

什么叫做加法原理呢？我们先来看这样一个问题：

从南京到上海,可以乘火车,也可以乘汽车、轮船或者飞机。假如一天中南京到上海有4班火车、6班汽车,3班轮船、2班飞机。那么一天中乘做这些交通工具从南京到上海共有多少种不同的走法？

我们把乘坐不同班次的火车、汽车、轮船、飞机称为不同的走法,那么从南京到上海,乘火车有4种走法,乘汽车有6种走法,乘轮船有3种走法,乘坐飞机有2种走法。因为每一种走法都可以从南京到上海,因此,一天中从南京到上海共有4+6+3+2 = 15 (种)不同的走法。

我们说,如果完成某一种工作可以有分类方法,一类方法中又有若干种不同的方法,那么完成这件任务工作的方法的总数就等于各类完成这件工作的总和。即N = m1 + m2 + … +

mn (N代表完成一件工作的方法的总和,m1,m2, … mn 表示每一类完成工作的方法的种数)。这个规律就乘做加法原理。

例1 书架上有10本故事书,3本历史书,12本科普读物。志远任意从书架上取一本书,有多少种不同的取法？

例2一列火车从上上海到南京,中途要经过6个站,这列火车要准备多少中不同的车票？

例3在4 x 4的方格图中（如下图）,共有多少个正方形？

练习与思考

（每题10分,共100分。）

1. 从甲城到乙城,可乘汽车,火车或飞机。已知一天中汽车有2班,火车有4班,甲城到乙城共有（ ）种不同的走法。

2. 一列火车从上海开往杭州,中途要经过4个站,沿途应为这

列火车准备____种不同的车票。

3.下面图形中共有____个正方形。

4. 图中共有_____个角。

5. 书架上共有７种不同的的故事书,中层６本不同的科技书,下层有４钟不同的历史书。如果从书架上任取一本书,有____种不同的取法。

6. 平面上有８个点（其中没有任何三个点在一条直线上）,经过每两个点画一条直线,共可以画_____条直线。

第二讲 乘法原理

上一讲我们学习了用“加法原理”计数,这一讲我们学习“乘法原理”。什么是乘法原理呢？我们来看这样一个问题：

从甲地到乙地有3条不同的道路,从乙地到丙地有4条不同的道路。从甲地经过乙地到丙地,共有多少种走法？

我们这样思考：从甲地到乙地的3条道路中任意选一条都可以从甲地到乙地,再从乙地大丙地的4条道路中任意选一条都可以从乙地到丙地,那么,从甲地到乙地的3条道地第一条到达乙地后,可以走从乙地到丙地的任意一条路,这样就有了4种不同的走法。从甲地

到乙地的第二条、第三条路到达乙地后,仍可以从乙地到丙地的4条路中任选一条到丙地,如图所示：

从图中可以看出,从甲地到丙地共有3 X 4 =12（种）走法。 如果完成一件事情需要几个步,完成第一步有m1 种不同的方法,完成第二步有m2 种不同的方法,…那么,完成这件工作共有N = m1 x m2 x m3 x … x mn 种不同的方法。这就是乘法原理。

例1 书架上有4本故事书,7本科普书,志远从书架上任取一本故事书和一本科普书,共有多少种不同的取法？

例2 用9、8、7、6这四个数可以组成多少个没有重复数字的三位数？

练习与思考

1.从甲地到乙地有两条河,从乙地到丙地有3条路可走,从甲地经乙地到丙地共有

（ ）种走法。

2.书架的上、中、下层各有3本、5本、、4本故事书。若要从每层书架上任取一个本书,共有 种不同的取法。

3.有1,2,3,三数字,一共可以组成 个没有重复数字的三位数。

4.两个班级进行乒乓球比赛,每班选3人,每人都要和对方的每个选手赛一场,一共要

赛 场。

5.从5,7,11,13这四个数中每次取2个数组成分数,一共可以组成 个分数,其中真分数有 个。

6.图中一共有 个不同的长方形。

第三讲 盈亏问题

盈亏问题又叫盈不足问题,是指把一定数量的物品平均分给固定的对象,如果按某种标准分,则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分,又会不足（亏）,求物品的数量和分配对象的数量。例如：

小朋友分苹果,如果每人分2个,就多余16个；如果每人分5个,

就缺少14个。小朋友有多少个？苹果有多少个？

比较两次分的结果,第一次余16个,第二次少14个,两次相差1+

14=30（个）。这是因为第二次比第一次每人多分了5-2=3（个）苹果。相差30个,就说明有30÷3=10（个）小朋友。请小读者自己算出苹果的个数。

例题与方法

例1、将一些糖果分给幼儿园小班的小朋友,如果每人分3 粒,就会余下糖果17粒；如果每人分5粒,就会缺少糖果13粒。问：幼儿园下班有多少个小朋友|这些糖果共有多少粒？

例 2、学生搬一批砖,每人搬4块,其中5人要搬两次；如果么人搬5块,就有两人没有砖可搬。搬砖的学生有多少人？这批砖共有多少块？

例1、 某校在植树活动中,把一批树苗分给各班,如果每班分18棵,就会有余下24棵；如果每班分20棵,正好分完。这个学校有多少个班？这批树苗共有多少棵？

练习与思考

1. 小朋友分糖果若每人分4粒则多9粒；若每人呢分5粒则少6粒。问：有多少小朋友？有多少粒糖果？

2. 小朋友分糖果,每人分10粒正好分完；若每人呢分16粒,则有3个小朋友分不到糖果。问：有多少粒糖果？

3. 在桥上测量桥高。把绳长对折后垂到水面,还余4米；把绳长3折后垂到水面,还余1米。桥高多少米？绳长多少米？

4. 某校安排新生宿舍,如果每间住12人,就会有34人没有宿舍住；如果每间住14人就会有空出4间宿舍。这个学校有多少间？要安排多少个新生？

5. 在依次大扫除中,有一些同学被分配擦玻璃,他们当中如果有2人擦4块,其余的人各擦5块,就会多下12块玻璃没有人擦；如果么人擦6块,刚好擦完。擦玻璃的同学有多少人？玻璃共有多少块？

6. 有一个数,减去3所的差的4倍,等于它的2倍加上36。这个数是多少？

第四讲 流水问题

想一想：从南京长江逆流而上去长江三峡,与从长江三峡顺水而下回南京,哪个花的时间少？哪个花的时间多？为什么？

原因很简单。在长江行船与在一个平静的湖这行船是不一样的,因为长江的水是一直从西向东（也就是从上游向下游）流着的,船的速度会受到江水的影响。而在平静的湖水中行船时,船的速度不会受到水流的影响。考虑船在水流速度的情况下行驶的问题,就是我们这一讲要讲的流水问题。

船在顺水航行时（比方说,从长江三峡顺流而下到南京）,船一方面按照自己本身的速度即船速（船在静水中行驶的速度）行驶,同时整个水面又按照水的流动速度在前进,水推动着船向前,所以,船顺水时的航行速度应该等于船本身的速度与水流速度的和。也就是

顺水速度=船速+水速

比方说,船在静水中行驶10千米,水流速度是每小时5千米,那么,船顺水航行的速度就是每小时10+5=15（千米）。

同学们可以想一想,上面的问题中,如果是问“船逆水航行的速度是多少？”答案又该怎么样呢？船逆水行驶,情况恰好相反。本来船每小时行驶10千米,但由于水每小时又把它往回推了5千米,结果船每小时只向上游行驶了10—5=5（千米）。

也就是船在逆水中的速度等于船速度与水速之差。即

逆水速度=船速—水速

例1、 一艘每小时行驶30千米的客轮,在一河水中顺水航行165千米,水速每小时3千米。问：这艘客轮需要航行多少小时？

例2、 一艘船顺水行320千米需要8小时,水流速度是每小时15千米,这艘船逆水每小时行多少千米？这艘船逆水行这段路程,需要多少小时？

例3、 甲船逆水航行360千米需要18小时,返回原地需要10小时；乙船逆水航行同样的异端水路需要15小时,返回原地需要多少小时？

练习与思考

（每题20分,共100分）

1. 船在静水中的速度是每小时25千米,河水流速位每小时5千米,一只船往返甲、乙两港共花了9小时,两港相距多少千米？

2. 两地距280千米,一艘轮船在期间航行,顺流用去14小时,逆流用去20小时。求这艘轮船在静水中的速度和水流的速度。

3. 一架飞机所带的燃料,最多可以用6小时,飞机去是顺风,每小时可以飞1500千米,飞回时逆风,每小时可以飞1200千米。这架飞机最多飞出多少千米,就需要往回飞？

4. 乙船顺水航行2小时,行了120千米,返回原地用了4小时。甲船顺水航行同一段水路,用了3小时。甲船返回原地比去时多用多少小时？

第五讲 数阵问题

把给定的一些数,按照一定的要求或规律填在规定形状的图形中,这样的图形叫做数阵图。

传说在四千年前,洛河洪水泛滥,大禹去治水。有一天,从河里浮出其不意一只大乌龟,龟驮着一本书,称为“洛书”,书上有一幅奇特的图案（见下左图）。

这幅图用现在的数字表示,即为1到9这九个数字,填在九个格子里,每一纵列、每一横行以及两条对角线上的三个数字之和都是15（见上右图）。多么巧妙、奇特的数字图！我国古代数学家称它为“纵横图”可“九宫图”,国外称它为“魔方”或“幻方”。我们这一讲学习的数阵问题就是由幻方演变而来的填数问题。

数阵问题的题型主要有三种：（1）辐射型；（2）封闭型；（3）综合型。

这一讲我们学习三阶幻方和辐射型数阵图。

例题与方法

例1．将1～9九个数字填在右图正方形的九个方格中,使得每个横行、竖列和对角线上三个数的和都相等。

例2．用7、9、11、13、15、17、19、21、23构制一个三阶幻方。

4 9 2

3 5 7

8 1 6

6