卢湾2011学年第一学期高三年级期末考试数学试卷(答案)

卢湾区2010学年第一学期高三年级期末考试 数学参考答案及评分标准 2011.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，每个空格填对得4分．1．{} 2 2．(0, 1) 3．5, 44ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭4 5．12 6．57．1320 8．5 9．6 10．0.7 11．（理）6（文）2 12．1513．14 14．1()2n a b -+ 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．15．A 16．C 17．D 18．B三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． （1）由2i z +是实数，可设2iz+= a ，R a ∈， 故(2i)2i z a a a =+=+， ………………3分 所以2i z z a -=，又4i z z -=，可得24a =，即2a =，所以42i z =+． ………………6分 （2）由|i |5z m -<，可得|4(2)i |5m +-<，又R m ∈5 ………………9分 即216(2)25m +-<，解得15m -<<， 所以实数m 的取值范围是(1,5) -． ………………12分 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． （1）由(2)q p q -⊥，可得(2)q p -·q =0， ………………2分 即2||2q p -·0q =，又(cos ,sin )p B B =- ，(cos ,sin )q C C = 所以22cos sin 2(cos cos sin sin )0C C B C B C +--=， 即1cos()2B C +=，又0B C π<+<， ………………6分 ∴3B C π+=，故2π()3A B C π=-+=． ………………8分（2）在△ABC 中，由2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，可得22()2(1cos )BC AB AC AB AC A =+-⋅+， ………………10分即22142(1)2AB AC =-⋅⋅-，故4AB AC ⋅=， ………………12分∴11sin 422S AB AC A =⋅=⨯= ………………14分21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． （1）延长RP 交AB 于E ，延长QP 交AD 于F ，由ABCD 是正方形，PRCQ 是矩形，可知,PE AB PF AD ⊥⊥， 由TAP θ∠=，可得6cos EP θ=，6sin FP θ=，∴76sin PR θ=-，76cos PQ θ=-， ………………4分 ∴(76sin )(76cos )S PR PQ θθ=⋅=--4942(sin cos )36sin cos θθθθ=-++故S 关于θ的函数解析式为4942(sin cos )36sin cos =-++S θθθθπ(0)2θ≤≤．……6分（2）由sin cos t θθ+=，可得22(sin cos )t θθ=+ 12sin cos θθ=+，即21sin cos 2t θθ-=， ∴22494218(1)184231S t t t t =-+-=-+． ……………9分又由π02θ≤≤，可得3π444ππθ≤+≤，故πsin cos )[14t θθθ=++∈，∴S 关于t 的表达式为2184231S t t =-+（∈t ）． ……………11分又由271318()62S t =-+，t ∈可知当t =时，S 取最大值，故S的最大值为67-． ………………14分 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．（1）由1,()4a f x =-=，可得224x x --=，设2x t =，则有14t t --=，即2410t t --=，解得2t = ………………2分当2t =时，有22x =+2log (2x =．当2t =时，有22x =故所求x的值为2log (2+． ………………4分 （2）设12,[1,),x x ∈+∞且12x x >，则112212()()(22)(22)x x x x f x f x a a ---=+-+21121222(22)2x x x x x x a +-=-+12121222(2)2x x x x x x a ++-=- ………………7分由12x x >，可得1222x x >，即12220x x ->由12,[1,),x x ∈+∞12x x >，可得122x x +>，故12240x x +>>， 又4a ≤，故122x x a +>，即1220x x a +->TNFE RQθPD CBA所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，故函数()f x 在[1,)+∞上是增函数． ………………10分 （3）由2(2)[()]f x f x >2222222222x x x x a a --⇔+>++222()20x a a a -⇔-+< ………………12分设22x t -=，由[0,1]x ∈，可得1[,1]4t ∈，由存在[0,1]x ∈使得2(2)[()]f x f x >，可得存在1[,1]4t ∈，使得2()20a a t a -+<， ………………14分 令2()()20g t a a t a =-+<，故有211()()2044g a a a =-+<或2(1)()20g a a a =-+<，可得70a -<<．即所求a 的取值范围是(7,0)-． ………………16分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．（1）当a n +b n 2≥0时，b n +1－a n+1= a n +b n 2 -a n = b n -a n2；当a n +b n 2<0, b n +1－a n +1 = b n - a n +b n 2 = b n -a n 2．所以，总有b n +1－a n +1 = 12(b n -a n ),又110,0b a ><，可得110b a ->，所以数列｛b n －a n ｝是等比数列． ………………4分 （2）①由111,2a b =-=，可得111022a b +=>，故有11221[,][,]2a ba b a +=， ∴112122a b b +==，211a a ==-，从而222a b =-， 故当n =1时，222n n a b =-成立． ………………6分 ②假设当n k =时，222n n a b =-成立，即222k k a b =-， 由22230k k k b a b -=>，可得20k b >，2222220222k k k k k a b b b b +-+==-<, 故有2221212[,][,]2k k k k k a b a b b +++=， ∴22221212,22k k k k k k a b ba b b +++==-=, ………………9分222121220224k kk k k bb a b b ++-++==>,故有2121222221[,][,]2k k k k k a ba b a ++++++= ∴212122224k k k k a b b b ++++==, 222212k k k ba a ++==-，故2(1)2(1)2k k ab ++=-∴当1n k =+时，222n n a b =-成立．综合①②可得对一切正整数n ，都有222n n a b =-． ………………12分（3）假设存在11,a b ，使得数列{}n a 为常数数列，由（1）可得b n －a n =11()b a -(12)n -1，又1n a a =，故b n =111()a b a +-(12)n -1， ………………14分由1n n a a +=恒成立，可知a n +b n 2≥0,即111()a b a +-(12)n≥0恒成立，即2n ≤111a b a -对任意的正整数n 恒成立， ………………16分 又111a b a -是正数，故n ≤1121log a ba -对任意的正整数n 恒成立，因为1121log a b a -是常数，故n ≤1121log a ba -不可能对任意正整数n 恒成立．故不存在11,a b ，使得数列{}n a 为常数数列． ………………18分。

第1页共10页 试卷卢湾区2008学年第一学期高三年级期末考试物理试卷（本卷g 取10m/s 2，测试时间为120分钟，满分150分）一. （20分）填空题.本大题共5小题，每小题4分. 1 •图中所示的由基本门电路组成 的电路中，图 _________ 用的是与 门电路,能使小灯泡发光的是图中 的 __________ （请写图下的序号）。

2•如图所示，汽车通过滑轮装置把重物从深井中提升上来，汽车 从滑轮正下方9m 处由静止起动做匀加速直线运动，加速度大小为1.5m/s 2, 4s 末时重物上升的高度为 _________ m ，重物的速度大 小为 ____________ m /s 。

3•—定质量的理想气体状态变化如图所示，其中 AB 段与t 轴平行，已知在状态A 时气体的体积为10L ，那么变到状态B 时气体的体积为 ，变到状态C 时气体的温度为4 •光滑平行的金属导轨长为 2m ,两导轨间距为 0.5m ，轨道 平面与水平面的夹角为 30°导轨上端接一阻值为 0.5 Q 的电阻R ,其余电阻不计。

轨道所在空间有垂直轨道平面向上的匀强磁场， 磁感应强度为1T 。

有一不计电阻的金属棒 ab 的质量为0.5kg ，放在 导轨的最上端，如图所示。

当ab 棒从最上端由静止开始自由下滑，到达底端脱离轨道时，电阻上产生的热量为1J 。

则金属棒在轨道上运动的过程中流过电阻 R 的电量大小为 ________ C ,金属棒速度的最大值为 5•如图所示，ACB 是一光滑的、足够长的、固定在竖直平面内的 CB 边与竖直方向的夹角均为0 =3° P 、Q 两个轻质小环分别套在CA 、CB 上，两根细绳的一端分别系在 P 、Q 环上，另一端和一绳 套系在一起，结点为 0。

将质量为m 的钩码挂在绳套上，OP 、OQ 两根细绳拉直后的长度分别用 1“ I ?表示，受到的拉力分别用 F ! 和F 2表示。

上海市普陀区2011届高三上学期期末质量调研数学试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）1. 设平面向量，，则 .2. 已知函数,,若的反函数的图像经过点，则 .3. 已知集合，，则 .4. 若数列对任意的都有，且，则=________.5. 若直线的一个法向量为，则直线的倾斜角为 .6. 已知，其中是第四象限角，则 .7. 已知一个球的半径为，一个平面截该球所得小圆的半径为，该小圆圆心到球心的距离为，则关于的函数解析式为 .8. 抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆的一个焦点，则此抛物线的焦点到其准线的距离为 .9. 若，则 .10. 某种电子产品的采购商指导价为每台200元，若一次采购数量达到一定量，还可享受折扣. 右图为某位采购商根据折扣情况设计的算法程序框图，则该程序运行时，在输入一个正整数之后，输出的变量表示的实际意义是；若一次采购85台该电子产品，则元.11. 方程为的曲线上任意两点之间距离的最大值为 .12. 高一数学课本中，两角和的正弦公式是在确定了两角差的余弦公式后推导的. 即. （填入推导的步骤）13. 已知数列的前项和（，），则 .14. 在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的四面体的以下判断中，所有正确的结论是（写出所有正确结论的编号）①能构成每个面都是等边三角形的四面体；②能构成每个面都是直角三角形的四面体；③能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体.二、选择题（本大题满分20分）15. “”是“”的（）A. 充分非必要条件；B.必要非充分条件；C. 充要条件；D. 既非充分又非必要条件.16. 如图，直角三角形的直角顶点是空间坐标系的原点，点在轴正半轴上，；点在轴正半轴上，.我们称绕轴逆时针旋转后得到的旋转体为四分之一圆锥体. 以下关于此四分之一圆锥体的三视图的表述错误．．的是（）A. 该四分之一圆锥体主视图和左视图的图形是全等的直角三角形；B. 该四分之一圆锥体俯视图的图形是一个圆心角为的扇形；C. 该四分之一圆锥体主视图、左视图和俯视图的图形都是扇形；D.该四分之一圆锥体主视图的图形面积大于俯视图的图形面积.17. 双曲线上到定点的距离是6的点的个数是（）A. 0个；B. 2个；C. 3个；D. 4个.18. 若对于任意角，都有（），则下列不等式中恒成立的是（）A. ；B. ；C. ；D. .三、解答题（本大题满分74分）19. （本题满分10分）如图，平面，是边长为2的正方形，. 求异面直线与所成角的大小.20. （本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）为了贯彻节能减排的理念，国家制定了家电能耗的节能标准.以某品牌的节能型冰箱为例，该节能型冰箱使用一天（24小时）耗电仅度，比普通冰箱约节省电能，达到国家一级标准.经测算，每消耗100度电相当于向大气层排放千克二氧化碳，而一棵大树在60年的生命周期内共可以吸收1吨二氧化碳.（1）一台节能型冰箱在一个月（按天不间断使用计算）中比普通冰箱相当于少向大气层排放多少千克的二氧化碳（精确到千克）？（2）某小城市数千户居民现使用的都是普通冰箱. 在“家电下乡”补贴政策支持下，若每月月初都有150户居民“以旧换新”换购节能型冰箱，那么至少多少个月后（每月按30天不间断使用计算），该市所有新增的节能型冰箱少排放的二氧化碳的量可超过150棵大树在60年生命周期内共吸收的二氧化碳的量？21. （本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）.已知的三个内角A、B、C的对边分别为、、.（1）若当时，取到最大值，求的值；（2）设的对边长，当取到最大值时，求面积的最大值.22.（本题满分16分，其中第1小题3分，第2小题6分，第3小题7分）设为非零实数，偶函数，.（1）求实数的值；（2）试确定函数的单调区间（不需证明）；（3）若函数在区间上存在零点，试求实数的取值范围.23. （本题满分20分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题10分）已知是直线上的个不同的点（，、均为非零常数），其中数列为等差数列.（1）求证：数列是等差数列；（2）若点是直线上一点，且，求证: ；（3）设，且当时，恒有（和都是不大于的正整数, 且）.试探索：在直线上是否存在这样的点，使得成立？请说明你的理由.高三调研数学试卷参考答案及评分标准一、填空题（每小题4分，满分56分）：1. ；2. 4；3. ；4. （文，理）40；5. ；6. （或）；7. ，；8. 4； 9.理：；文：； 10.表示一次采购共需花费的金额; ；11. ； 12. ；13. 理：；文：2； 14. 理：①②③④；文：①②③.二、选择题（每题4分，满分16分）：题号15 16 17 18答案 B C B D三、解答题：19.（本题满分10分）（理科）解：由结论：“当时，”且根据本题条件，故本题需根据变量和常数1的大小比较进行分类讨论：（1）当时，；（2）当时，；（3）当或时，有.故集合含有以上三个元素，用列举法表示集合....3 ...6 ...9 (10)（文科）解：如图，延长DA至E，CB至F，使得DA=AE，CB=BF. 联结AF，PF，EF，DF. 因为ABCD 是正方形，所以AD//BF，且AD=BF，所以AF//BD.故（或其补角）的大小即为异面直线与所成角的大小.又正方形边长为2，PD=1，故，，.所以，.于是，，所以异面直线与所成角的大小为 (3)...7 ...9 (10)20.（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）解:（1）由于节能型冰箱比普通冰箱约节省电能，故一台节能型冰箱一天（小时）消耗的度电相当于比普通冰箱少消耗的电能，即一台节能型冰箱在一个 (3)月中比普通冰箱要少消耗电：（度）；设一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱要少排放千克的二氧化碳，则（千克）.故一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱少向大气层排放约千克的二氧化碳.（2）设个月后()，这些节能型冰箱少排放的二氧化碳可超过150棵大树在年生命周期内所吸收的二氧化碳的量.依题意，有，因为，故可解得.所以，至少经过10个月后，这些节能型冰箱少排放的二氧化碳可超过150棵大树在年生命周期内共吸收的二氧化碳的量....6...10 (14)21. （本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）解：（1）因为故当时，原式取到最大值，即三角形的内角时，最大值为.（2）由（1）结论可得，此时.又，因此，当且仅当时等号成立.所以.故面积的最大为....2 ...5 ...7 ...9 ...12 (14)22.（本题满分16分，理科：第1小题9分，第2小题7分；文科：第1小题3分，第2小题6分，第3小题7分）（理科）解：（1）设BC的中点为D，连结AD、DM，则有于是，可知即为AM与侧面BCC1所成角.因为，点到平面的距离为，不妨设，.在Rt△ADM 中，.由,,故.而当时，，即，所以，点到平面的距离的取值范围是.（2）解法一：当时，由（1）可知,故可得,.设向量与的夹角为，因为...3 (6)...9 ...11 ...13 (15).所以，故向量与夹角的大小为.解法二：如图，以中点O 为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在直线为轴（其中点为中点），建立空间直角坐标系.由（1）可知，当时，.所以有，，，,，即，.设向量与夹角为，则故向量与夹角的大小为.解法三：如图，过点作//，交于.联结.因为是正三棱柱，故可得.当时，由（1）可知,故可得.在等腰三角形中，不难求得，即异面直线与所成角为，而图中不难发现，与夹角的大小为异面直线与所成角的补 (16) (10) (13) (16) (11) (14)…16角，即与夹角的大小为.（文科）解:（1）为偶函数，对恒成立，即对恒成立，又，于是得对恒成立，.（2）由（1）得可知，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为和，单调递减区间为和.（3）解法一：由偶函数的性质得：函数在区间上也必定有零点，即方程在区间上有实数解，则，设，可知函数在区间上单调递增，...3 ...6 (9)...12 ...14 (16)则，.解法二：若函数在区间上存在零点，则必有即....13 (16)23. （本题满分20分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题10分）解：（1）证：设等差数列的公差为,因为，所以为定值，即数列也成等差数列.（2）证：因为点、和都是直线上一点，故有()于是，令，，则有.（3）（文科）假设存在点满足要求,则有，又当时，恒有，则又有，所以又因为数列成等差数列，于是，...4 (6)...9 ...10 (12) (15) (18)所以，故，同理，且点在直线上（是、的中点），即存在点满足要求. (20)（3）（理科）提出命题：（在本题大前提下）若点满足，则系数数列的和是点在直线上的充要条件.证明：设，由条件，先证充分性：“当时，点在直线上”.因为，故而（），所以当时，即有，即点在直线上.再证必要性：“若点在直线上，则.”因为，故而因为（），所以又因为点在直线上，所以满足，故.补充：由以上证明进一步可知，对于直线上任一点，若满足，则都有.【评分建议】1. 若能提出一个由题中三条线索出发的相关猜想或命题，但没有任何研究过程，则无论对错都给2分；2. 若能提出上述的充要条件命题，且证明过程准确、完备，则最高得10分；（不说明“补充”的内容不扣分）3. 若能提出一个满足充分性或满足必要性的相关命题（或猜想），且证明过程正确，则最高得7分；4. 若能根据三条线索，提出其他条件约束更多的相关命题（或猜想），且有正确的研究过程，则最高得5分.5. 若还有其他答题情况，则根据具体内容酌情给出评分参考.。

上海市延安中学2010年度第一学期期终考试高三年级数学试卷（理科）一、 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若点(,)A x y 是240︒角终边上异于原点的一点, 则yx的值为 ． 2．已知向量()()()2,1,,1,1,2-=-=-=c m b a ，若()a b +∥c ，则_________=m . 3．计算：222)1(2lim++-∞→n CC n n nn = ．4. 62x ⎛- ⎝的展开式中，3x 的系数等于____________. 5．已知等比数列{}n a 各项均为正数，1235a a a =，78915a a a =，则456a a a = ． 6．已知集合{}6|||3,|12A x x B x x ⎧⎫=≤=≥⎨⎬+⎩⎭，则A B = ． 7．函数()lgsin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间是 ． 8．已知函数()y g x =的图像与函数1ln(1)(2)2x y x +-=>的图像关于直线y x =对称，则函数()g x 的解析式为()g x = ．9．已知圆C 过点()1,0，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被圆C所截得的弦长为则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 ．10．将标号为123456、、、、、的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为12、的卡片放入同一信封，则不同的放法共有 种． 11．已知空间中两点()()1,2,3,2,2,6A B -，若存在点P 满足3AB PB =，则点P 的坐标为 ．12．某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一个智能门，首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过．．．的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．那么ξ的数学期望为_____小时. 13．如图，半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，BCD 是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC 、AD 分别与球面交于点M 、N ，那么M 、N 两点间的球面距离是 ． （用R 表示）14．已知()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的函数，且对于任意,a b ∈R ，满足()22f =，()()()f ab af b bf a =+，记()()22,22n n n n nf f a b n==，其中*N n ∈．考察下列结论：①()()01f f =；②()f x 是R 上的偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④数列{}n b 为等差数列.其中正确结论的序号有 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5 分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15．已知函数2sin y x =的定义域为[],a b ，值域为[]2,1-，则b a -的值不可能是 （ ）（A ）65π（B ）π（C ）67π（D ）π216． 曲线2y ax =与直线y kx b =+相交于两点，它们的横坐标为12x x 、，而3x 是直线与x 轴交点的横坐标，那么（ ）（A ）312x x x =+ （B ）31211x x x =+ （C ）132312x x x x x x =+ （D ）122331x x x x x x =+17． 记实数1x ，2x ，…，n x 中的最大数为{}12max ,,n x x x …,，最小数为{}12min ,,n x x x …, 已知ABC 的三边长为,,()a b c a b c ≤≤，定义它的倾斜度为max ,,min ,,a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则“1=”是“ABC 为等边三角形”的（ ）（A ）必要而不充分条件 （B ）充分而不必要条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件18． 过正方体1111ABCD A BC D -的顶点A 作直线l ，使直线l 与1AB AD AA 、、所成的角都相等，这样的直线l 可以作（ ）（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条 三、解答题（共74分）19．（本题满分12分其中第1小题5分，第2小题7分） 如图，面ABCD ⊥面PAD ,△APD 是等腰直角三角形，90APD ∠=︒，四边形ABCD 是直角梯形,其中//BC AD ,90BAD ∠=︒,22AD BC AB ==,的中点是AD O(1)求证：//CD PBO 平面；(2)求直线PB 与直线CD 所成角的大小.20.（本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）设ABC ∆的三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且满足()()()20a c BC BA c CA CB +⋅+⋅=. （1）求角B 的大小；（2）若b =AB CB ⋅的最小值. 21．（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）已知圆M （M 为圆心）的方程为22(2)1x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线PA PB 、，切点为A B 、． （1）若60APB ∠=，试求点P 的坐标；（2）求证：经过A P M 、、三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标. 22．（本题满分16分. 其中第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，满足2n n a S +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）用反证法证明：数列{}n a 中不存在任意三项按原来顺序成等差数列； （3）若从数列{}n a 中依次抽取一个无限多项的等比数列，使它的所有项的和S 满足416113S <<，这样的等比数列有多少个？23．（本题满分18分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知函数4()()f x x a a x=-+∈R . （1）若0a =，求不等式()0f x ≥的解集；（2）当方程()2f x =恰有两个实数根时，求a 的值；（3）若对于一切(0,)x ∈+∞，不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围.OPDCBA上海市延安中学2010年度第一学期期终考试参考答案高三年级数学试卷（理科） 一、填空题：（每题4分，共56分） 1．． 1- 3．324． 240 5．6． (]2,3-7． 52,236k k k Z ππππ⎛⎤++∈ ⎥⎝⎦可全开 8．()21112x g x e x -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ 9．30x y +-= 10． 18 11．()1,2,5- 12．7213．17arccos25R ⋅ 14．① ③ ④ 二、选择题：（每题5分，共20分）三、解答题（共78分） 19．（本题满分12分其中第1小题5分，第2小题7分）（1）因为2AD BC =,且O 是AD 中点，所以OD BC =，又//AD BC ，所以//OD BC ， 所以四边形BCDO 为平行四边形，所以//CD BO ， …………………………………………3分 又CD 不在平面PBO且BO平面PBO ,故//CD 平面PBO , …………………………………………5分（2）//CD BO ，直线PB 与CD 所成角即为PB 与BO 所成角. …………6分 设2AD a =，则由题意知，AB AO a ==，又AB AO ⊥，故BO =APD ∆为等腰直角三角形，且90APD ∠=︒，O 为AD 中点，∴POAD ⊥且12PO AD a == (8)分又平面PAD ⊥平面ABCD ， PO ∴⊥面ABCD∴PO BO ⊥ …………………………………………10分在Rt BPO ∆中，arctan2PBO ∠=PB 与BO 所成角为arctan 2………………12分 注：arctanarcsin arccos233==以上答案均可. 20. （本题满分14分其中第1小题7分，第2小题7分）（1）因为()()(2)0a c BC BA c CA CB +⋅+⋅=，所以(2)cos cos 0a c ac B cab C ++=， 即(2)cos cos 0a c B b C ++=，则(2sin sin )cos sin cos 0A C B B C ++= …………4分 所以2sin cos sin()0A B C B ++=，即1cos 2B =-，所以23B π=…………………7分 （2）因为22222cos3b a c ac π=+-，所以22123a c ac ac =++≥，即4ac ≤ ………11分 所以AB CB ⋅=21cos 232ac ac π=-≥-，即AB CB ⋅的最小值为2- ………14分 21．（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）（1）设(2,)P m m ，由题可知12sin 30MP ==︒，即22(2)(2)4m m +-=，……………3分解得：40,5m m == 故所求点P 的坐标为(0,0)P 或84(,)55P ． ……………6分（2）设(2,)P m m ，MP 的中点(,1)2mQ m +，因为PA 是圆M 的切线所以经过,,A P M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆， 故其方程为：2222()(1)(1)22m mx m y m -+--=+- ……………………………9分 化简得：222(2)0x y y m x y +--+-=，此式是关于m 的恒等式，故2220,20,x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得02x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩ 即()0,2和()1,1. ……………14分22．（本题满分16分. 其中第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分） （1）当1n =时，11122a S a +==，则11a =. (1)分又2n n a S +=，112n n a S ++∴+=，两式相减得112n n a a +=， {}n a ∴是首项为1，公比为12的等比数列，112n n a -∴=- ……………………………………………………4分 （2）反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为111,,()p q r a a a p q r +++<< 则1112222q p r =+， 2221r q r p --∴=+（*） ……………………………………………………7分p q r << *,r q r p N ∴--∈∴（*）式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立∴假设不成立，原命题得证. ……………………………………………………9分（3）设抽取的等比数列首项为12m ，公比为12n，且满足N,0,1m n m n ∈≥≥、， 则12112m n S =-416113S <<，14216112m n ∴>-，整理得：61224m m n --< ① 1n ≥ 122m nm --∴≤ 1612224m m m n --∴≤-< 4m ∴≤ …………………………………11分113S < 11213m ∴< 4m ∴≥4m ∴= …………………………………………………13分将4m =代入①式整理得6423n< 4n ∴≤ ……………15分经验证得1,2n =不满足题意，3,4n =满足题意.综上可得满足题意的等比数列有两个. ……………………………………16分 23．（本题满分18分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） （1）由0a =得4()f x x x=+当0x >时，4()0f x x x =+≥恒成立；∴0x > ………………………………2分当0x <时，4()0f x x x=-+≥，得2x ≥或2x ≤-，又0x <，∴2x ≤-所以不等式()0f x ≥的解集为(,2](0,)-∞-⋃+∞………………………………………4分（2）由()2f x =得42x a x-=- 令124,2y x a y x=-=-由函数图像知两函数图像在y 轴右边只有一个交点时满足题意 ……………………6分42x a x-=-即2(2)40x a x -++=由0∆=得2,6a =- ………………………………10分（3）41(0)x a x x-+≥> 当0a ≤时，41(0)x a x x -+≥>，41(0)x a x x+-≥>，3a ≤所以0a ≤ ………………………………12分 当0a >时4 ()4 0x a x a xf x x a x a x ⎧+-≥⎪⎪=⎨⎪-++<<⎪⎩………………………………13分① 当x a ≥时，4 1x a x +-≥，即41(0)a x x x ≤+-≥>，令4()1g x x x=+- 02a <≤时，(2)3a g ≤=，所以02a <≤ 2a >时，4()1a g a a a≤=+-，所以4a ≤，24a <≤ 所以04a <≤ ……………………………………………………15分 ②当0x a <<时，4 1x a x -++≥，即41(0)a x x x≥-+> 所以41a a a≥-+，4a ≤ …………………………………………17分 综上，a 的取值范围是(,4]-∞ ……………………………………18分。

本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！卢湾2011学年第一学期期末考试九年级数学试卷（时间100分钟，满分150分） 2012.1(本试卷所有答案请书写在答题卷规定位置上)一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．若3cos 2A =，则A ∠的大小是…………………………………（ ） （A ）30︒； （B ）45︒； （C ） 60︒ ； （D ）90︒. 2．若ABC ∆∽DEF ∆，顶点A 、B 、C 分别与D 、E 、F 对应，且:1:4AB DE =，则这两个三角形的面积比为…………………………（ ） （A ）1:2； （B ）1:4； （C ）1:8； （D ）1:16．3．若在同一直角坐标系中，作2y x =，22y x =+，221y x =-+的图像，则它们……………………………………………………………………（ ） （A ）都关于y 轴对称； （B ）开口方向相同；（C ）都经过原点； （D ）互相可以通过平移得到．4．对于函数()21123y x =-+，下列结论正确的是………………（ ） （A ）在直线1x =-的左侧部分函数的图像是上升的； （B ）在直线1x =-的右侧部分函数的图像是上升的；（C ）在直线1x =的左侧部分函数的图像是上升的；（D ）在直线1x =的右侧部分函数的图像是上升的.5．已知矩形的对角线AC 、BD 相交于点O ，若B C a = ，DC b = ，则（ ）（A ）()12BO a b =+uu u rr r； （B ）()12BO a b =-uu u r r r ；（C ）()12BO b a =-+u u u r r r； （D ）()12BO b a =-uu u r r r ．6．如果点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和AC 上，那么不能判定DE ∥BC 的比例式是………………………………………………………………（ ） （A ）EC AE DB AD ::=； （B ）AC CE AB BD ::=； （C ）AB AD BC DE ::=； （D ）AE AD AC AB ::=． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：312342a b b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．8．计算：sin 45cos 45tan 45︒︒+︒= ．9．如果先将抛物线()2234y x =-+向左平移3个单位，再向下平移1个单位，那么所得到的抛物线的表达式为__________．10．如果在某建筑物的A 处测得目标B 的俯角为37︒，那么从目标B 可以测得这个建筑物的A 处的仰角为 ︒．11．抛物线24y x x =+的最低点坐标是 ．12. 若在比例尺为1:1000000的地图上，测得两地的距离为5cm ，则这两地的实际距离是 km . 13．传送带和地面所成斜坡的坡度为1:0.75，它把物体从地面送到离地面高8米的地方，物体在传送带上所经过的路程为 米． 14．如图，已知1tan 2α=，如果()4,F y 是射线OA 上的点，那么F 点的坐标是 ．15．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在BC 边上，且:2:3CE BC =，AC 与DE 相交于点F ，若9AFD S ∆=,则EFC S ∆= .16．如图，已知AD DEAB BC=，请添加一个条件，使 ADE ∆∽ABC ∆，这个条件可以是 ．（写出一个条件即可）17．如图，90ACB ADC ∠=∠=︒，5AB =，4AC =，()AD CD >，若ABC ∆∽ACD ∆，则AD = . 18．如图，在ABC ∆中，MN ∥AC ，直线MN 将ABC ∆分割成面积相等的两部分.将BMN ∆沿直线MN 翻折，点B 恰好落在点E 处，联结AE ，若AE ∥CN ，则:AE NC = .（第17题图）ABCD（第15题图）ABCED F（第16题图） DB CAE（第14题图）OxyαAF ·（第18题图）AB CMNE三、简答题（本大题共4题，每题10分，满分40分）19．如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AOB ∆的面积等于9，AOD ∆的面积等于6，7AB =，求CD 的长.20.已知二次函数c bx ax y ++=2的图像经过点()1,5A ，()1,9B -，()0,8C ，求这个二次函数的解析式，并写出点A 关于这个二次函数图像的对称轴对称的点D 的坐标．21．如图，已知在ABC ∆中，点D 是BC 边上一点，DA AB ⊥，12AC =， 7BD =，9CD =.（1）求证：ACD ∆∽BCA ∆；（2）求tan CAD ∠的值．22．如图，已知点F 在AB 上，且:1:2AF BF =，点D是BC 延长线上一点，:2:1BC CD =，联结FD 与AC 交于点N ，求:FN ND 的值.四、解答题（本大题共2题，每题12分，满分24分）23．一艘轮船自南向北航行，在A 处测得北偏东21.3︒方向有一座小岛C ，继续向北航行60海里到达B 处，测得小岛C 此时在轮船的北偏东63.5°方向上．之后，轮船继续向北航行约多少海里，距离小岛C 最近？（参考数据：925sin21.3︒≈，25tan 21.3︒≈， 9sin63.510︒≈，tan 63.52︒≈）A B CD（第21题图）（第19题图）ABCD OAB CDFN（第22题图） （第23题图）ABC北东24.已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =++>与x 轴相交于()1,0A -，()3,0B 两点，对称轴l 与x 轴相交于点C ，顶点为点D ，且ADC ∠的正切值为12. （1）求顶点D 的坐标； （2）求抛物线的表达式；（3）F 点是抛物线上的一点，且位于第一象限，联结AF ，若FAC ADC ∠=∠，求F 点的坐标.五、（本题满分14分）25．在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，E 是AB 边上一点，EF CE ⊥交AD 于点F ，过点E 作AEH BEC ∠=∠，交射线FD 于点H ，交射线CD 于点N .（1）如图a ，当点H 与点F 重合时，求BE 的长；（2）如图b ，当点H 在线段FD 上时，设BE x =，DN y =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出它的定义域；（3）联结AC ，当FHE ∆与AEC ∆相似时，求线段DN 的长.(备用图)A BCD EF xyO（第24题图）(第25题图b)A BC D E F N H (第25题图a) A B C DE NF （H ）卢湾区2011学年第一学期期末考试九年级数学试卷参考答案及评分说明一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．A ； 2． D ； 3．A ； 4．D ； 5． B ； 6．C ． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．322a b +； 8．32； 9．223y x =+； 10．37；11．()2,4--； 12．50； 13．10； 14．()4,2； 15．4； 16．D B ∠=∠等； 17．165；18．2:1．三、简答题（本大题共4题，每题10分，满分40分） 19． 解：∵AB ∥DC ，∴CD DOAB BO=，………………………………（3分） ∵AOB ∆的面积等于9，AOD ∆的面积等于6，∴23AOD AOB S DO S BO ∆∆==，（3分） ∴23CD DO AB BO ==，………………………………………………………（2分）∵7AB =，∴273CD =，∴143CD =.…………………………………（2分）20. 解：由题意可得，5,9,8.a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩ 解，得1,2,8.a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩……………（6分）所以228y x x =--+，……………………………………………………（1分） 点A 关于这个二次函数图像的对称轴对称的点D 的坐标是()3,5-.…（3分） 21．（1）证明：∵7BD =，9CD =，∴16BC =，…………………（1分）∵12AC =，∴34CD AC =，34AC BC =，∴C D A CA CB C=，…………………（3分） ∵C C ∠=∠，∴A C D ∆∽BCA ∆.………………………………………（2分） （2）∵ACD ∆∽BCA ∆，∴CAD B ∠=∠，34AD CD AB AC ==，………（2分）∵DA AB ⊥，∴3tan 4AD B AB ==，∴3tan 4CAD ∠=.………………（2分）22．解：过点F 作FE ∥BD ，交AC 于点E .…………………………（1分） ∴FE AF BC AB=，……………………………………………………………（2分） ∵:1:2AF BF =，∴13AF AB =，…………………………………………（1分）∴13FE BC =,∴13FE BC =,………………………………………………（2分） 又∵:2:1BC CD =，∴12CD BC =,……………………………………（2分）∵FE ∥BD ，∴123132BCFN FE ND CD BC ===.………………………………（2分） 四、解答题（本大题共2题，每题12分，满分24分）23．解：过点C 作AB 的垂线，垂足为点D ．…………………………（1分） 设BD x =，在Rt BCD ∆中，tan tan63.5CDCBD BD∠=︒=，…………（1分） ∴tan 63.5CD x =⋅︒．……………………………………………………（2分） 在Rt ACD ∆中， tan tan 21.3CDA AD=︒=，……………………………（1分） ∵60AD AB BD x =+=+，……………………………………………（1分） ∴()60tan21.3CD x =+⋅︒．……………………………………………（2分） ∴()tan63.560tan21.3x x ⋅︒=+⋅︒，∵25tan 21.3︒≈，tan 63.52︒≈，（2分）解，得 15x ≈．…………………………………………………………（1分）答：轮船继续向东航行约15海里，距离小岛C 最近. ………………（1分） 24. 解：（1）∵抛物线与x 轴相交于()1,0A -，()3,0B 两点，∴对称轴l ：直线1x =，2AC =；……………………………………（2分） ∵90ACD ∠=︒，1tan 2ADC ∠=， ∴4CD =，∵0a >，∴()1,4D -.……………………………………（2分）（2）设()214y a x =--，………………………………………………（2分） 将1,0x y =-=代入上式，得，1a =，…………………………………（1分） 所以，这条抛物线的表达为223y x x =--. …………………………（1分） （3）过点F 作FH x ⊥轴，垂足为点H .……………………………（1分） 设()2,23F x x x --，∵FAC ADC ∠=∠，∴tan tan FAC ADC ∠=∠，∵1tan 2ADC ∠=，∴1tan 2FH FAC AH ∠==，…………………………（1分）∵223FH x x =--，1AH x =+，∴223112x x x --=+，………………（1分）解，得172x =，21x =-（舍），∴79,24F ⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………（1分） 五、（本题满分14分）25．（1）∵EF EC ⊥，∴90AEF BEC ∠+∠=︒，……………………（1分） ∵AEF BEC ∠=∠，∴45BEC ∠=︒……………………………………（1分） ∵90B ∠=︒，∴BE BC =，∵3BC =，∴3BE =.…………………（1分） （2）过点E 作EG CN ⊥，垂足为点G .………………………………（1分） ∴BE CG =，∵AB ∥CN ，∴AEH N ∠=∠，BEC ECN ∠=∠， ∵AEH BEC ∠=∠，∴N ECN ∠=∠，∴EN EC =，………………（1分） ∴22CN CG BE ==，……………………………………………………（1分） ∵BE x =，DN y =，4CD AB ==，∴()2423y x x =-≤≤.……（2分） （3）∵90BAD ∠=︒，∴90AFE AEF ∠+∠=︒， ∵EF EC ⊥ ，∴90AEF CEB ∠+∠=︒，∴AFE CEB ∠=∠，∴HFE AEC ∠=∠.………………………………（2分） 当FHE ∆与AEC ∆相似时， ⅰ）若FHE EAC ∠=∠，∵BAD B ∠=∠，AEH BEC ∠=∠，∴F H E E C B ∠=∠，∴EAC ECB ∠=∠， ∴tan tan EAC ECB ∠=∠，∴BC BE AB BC =，∴94BE =，∴12DN =…（2分）ⅱ)若FHE ECA ∠=∠，如所示，记EG 与AC 交于点O .∵EN EC =，EG CN ⊥， ∴12∠=∠，∵AH ∥EG ，∴1FHE ∠=∠,∴2FHE ∠=∠， ∴2ECA ∠=∠，∴EO CO =， 设3EO CO k ==，则4,5AE k AO k ==， ∴85AO CO k +==，∴58k =， ∴52AE =，32BE =，∴1DN =………（2分） 综上所述，线段DN 的长为12或1.（以上各题如有其他方法，请参照评分标准酌情给分）F O 21HGNED CBA 图1。

崇明县2012学年第一学期期末考试试卷 高 三 数 学（一模）（考试时间120分钟，满分150分） 考生注意：本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答案必须写在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

一、填空题（每题4分，共56分）1、设复数(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z = . 【答案】3+5i【解析】由(2)117z i i -=+得117(117)(2)1525352(2)(2)5i i i iz i i i i ++++====+--+。

2、已知(0,)απ∈且tan()34πα+=-，则α= .【答案】512π 【解析】由tan()34πα+=-得,43k k Z ππαπ+=-+∈，所以7,12k k Z παπ=-+∈。

因为(0,)απ∈，所以5444πππα<+<，所以当1k =时，751212ππαπ=-+=。

3、过点(1,1)P -，且与直线:10l x y -+=垂直的直线方程是 . 【答案】+=0x y【解析】直线:10l x y -+=的斜率为1，所以过点(1,1)P -，且与直线:10l x y -+=垂直的直线的斜率为1-，所以对应方程为(1)(1)y x --=--，即+=0x y 。

4、若集合131{,11},{2,01}A y y x x B y y x x==-≤≤==-<≤，则AB 等于 .【答案】[]-1,1【解析】13{,11}{11}A y y x x y y ==-≤≤=-≤≤，1{2,01}{1}B y y x y y x==-<≤=≤，所以{11}[1,1]AB y y =-≤≤=-。

5、已知1()y f x -=是函数2()2f x x =+(0)x ≤的反函数，则1(3)f -= . 【答案】1-【解析】由223x +=得21x =，所以1x =-，即1(3)1f -=-。

2020-2021上海卢湾中学高中必修一数学上期末试卷(含答案)一、选择题1．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<2．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =I （ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,23．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞4．函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为()n n A ．B ．C ．D ．5．已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（ ） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =-6．已知0.2633,log 4,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<7．已知0.11.1x =， 1.10.9y =，234log 3z =，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z >> B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x z y >>8．函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A ．(1)f x +B ．(1)f x -C ．()1f x +D ．()1f x -9．若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭10．已知函数f (x )＝12log ,1,24,1,x x x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于( )A ．4B ．－2C ．2D ．111．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。

上海市卢湾区2010届高三上学期期末考试数学试卷 2010.1（本卷完成时间为120分钟，满分为150分 审核：刘瑞兰）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数()sin(f x x =π+1)的最小正周期T =_______． 2．函数()f x =的定义域为 ．3．若12iia ++为实数（i 为虚数单位），则实数a =_________． 4．计算：2(1)(13)lim (2)(1)n n n n n n →∞+-=-++________．5．某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为 160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 ．6．在二项式12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，若第5项是常数项，则n =_______．7．在△ABC 中，E 为AC 上一点，BC a =，BA b =，12AE EC =若用向量a 、b 表示BE ，则BE =_________．8．右图中，程序框图的功能是交换两个变量的值并输出，图中①处 应填入 ．9．若实数a 、b 、c 、d 满足矩阵等式11240202a b c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则行列式a bc d的值为_________．10．若关于x 、y 的二元一次方程组1,2mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，则m =_____．11．已知数列{}n a 共有6项，若其中三项是1，两项是2，一项是3，则满足上述条 件的数列共有 个．12．若集合0,1,2A π⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{|cos ,}B y y x x A ==∈，则AB =_______．13．若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，集合2lim ,1,n n n S M x x q S →∞⎧⎪==≠-⎨⎪⎩q ⎫∈⎬⎭R ，则用列举法表示M = ．14．方程2cos 0x x -=的解可视为函数cos y x =的图像与函数2y x =的图像交点的横坐标．方程210sin 102xx x π-+=实数解的个数为 ．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．15．若复数12ω=+（i 为虚数单位），则1ω-等于（ ）. A . 2ω B . 2ω- C .ω- D .1ω-第8题16．设函数()f x =的反函数为1()f x -，对于[0,1]内的所有x 的值，下列关系式中一定成立的是（ ）．A ．1()()f x f x -=B ．1()()f x f x -≠C ．1()()f x f x -≤D ．1()()f x f x -≥17．对于函数1(1)()2nf n +-=（*n ∈N ），我们可以发现()f n 有许多性质，如：(2)1f k =（*k ∈N ）等，下列关于()f n 的性质中一定成立的是（ ）． A ．(1)()1f n f n +-= B ．()()f n k f n +=（*k ∈N ）； C ．()(1)()f n f n f n αα=++（0α≠） D ．(1)(1)()f n f n ααα+=-+（0α≠）； 18．若a ，b 是实数，则||||||a b b a ->-成立的充要条件是（ ）．A ．1b a < B ．1ab< C ．a b < D ．a b >三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分14分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3B π=，4cos 5A =，b ． 求sin C 的值及△ABC 的面积S ．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知定义在区间[0,2]上的两个函数()f x 和()g x ，其中2()24f x x ax =-+（1a ≥），2()1x g x x =+． （1）求函数()y f x =的最小值()m a ；（2）若对任意1x 、2[0,2]x ∈，21()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围． 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．袋中有大小相同的红球和白球若干个，其中红、白球个数的比为4:3．假设从袋中任取2个球，取到的都是红球的概率为413．（1）试问：袋中的红、白球各有多少个？ （2）（理）现从袋中逐次取球，每次从袋中任取1个球，若取到白球，则停止取球，若取到红球，则继续下一次取球．试求：取球不超过3次便停止的概率．（文）从袋中任取3个球，若取到一个红球，则记2分，若取到一个白球,则记1分．试求：所取出球的总分不超过5分的概率． 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．将奇函数的图像关于原点（即(0,0)）对称这一性质进行拓广，有下面的结论：① 函数()y f x =满足()()2f a x f a x b ++-=的充要条件是()y f x =的图像关于点(,)a b 成中心对称．② 函数()y f x =满足()()()F x f x a f a =+-为奇函数的充要条件是()y f x =的图像关于点(,())a f a 成中心对称（注：若a 不属于x 的定义域时，则()f a 不存在）．利用上述结论完成下列各题：（1）写出函数()tan f x x =的图像的对称中心的坐标，并加以证明．（2）已知m （1m ≠-）为实数，试问函数()1x mf x x +=-的图像是否关于某一点成中心对称？若是，求出对称中心的坐标并说明理由；若不是，请说明理由．（3）若函数()2()|||3|43f x x x t x ⎛⎫=-++-- ⎪⎝⎭的图像关于点22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成中心对称，求t 的值． 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．在等差数列{}n a 中，公差为d ，前n 项和为n S ．在等比数列{}n b 中，公比为q ，前n项和为n S '（*n ∈N ）．（1）在等差数列{}n a 中，已知1030S =，20100S =，求30S ．（2）在等差数列{}n a 中，根据要求完成下列表格，并对①、②式加以证明（其中m 、1m 、2m 、*n ∈N ）．（3做二题或更多题，则只批阅其中分值最高的一题，其余各题的解答，不管正确与否，一律视为无效，不予批阅）：(ⅰ) （解答本题，最多得4分）类比（2）中①式，在等比数列{}n b 中，写出相应的结论．(ⅱ) （解答本题，最多得5分）类比（2）中②式，在等比数列{}n b 中，写出相应的结论．(ⅲ) （解答本题，最多得6分）在等差数列{}n a 中，将（2）中的①推广到一般情况． (ⅳ) （解答本题，最多得6分）在等比数列{}n b 中，将（2）中的①推广到一般情况．卢湾区2009学年第一学期高三年级期末考试 数学参考答案及评分标准 2010.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，每个空格填对得4分． 1．2 2．(1,1)- 3．124．0 5．150 6．8 7．1233a b + 8．x y ← 9．8 10．1- 11．60 12．{0,1} 13．10,,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭14．12二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得4分，否则一律得零分．15．A 16．D 17．C 18．A三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本题满分14分） 因为,,A B C 为△ABC 的内角，且3B π=，4cos 5A =，所以23C A π=-，3sin 5A =，得2sin sin 3C A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． …6分在△ABC 中，由正弦定理，得sin 6sinb A a B ==， …10分故△ABC 的面积116sin 225S ab C ==⨯=． …14分 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．（1）由222()24()4f x x ax x a a =-+=-+-，得2412,()84 2.a a m a a a ⎧-<=⎨-⎩≤≥ …6分（2）1()(1)21g x x x =++-+，当[0,2]x ∈时，1[1,3]x +∈，又()g x 在区间[0,2]上单调递增（证明略），故4()0,3g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． …9分由题设，得2min 1max ()()f x g x >，故212,443a a <⎧⎪⎨->⎪⎩≤或2,484,3a a ⎧⎪⎨->⎪⎩≥ …12分 解得1a ≤为所求的范围． …14分 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．（1）设袋中有红球4k 个，白球3k 个，由题设2427413k k C C =，解得2k =， …4分因此，袋中有红球8个，白球6个． …6分 （2）（理）记A 为“取球不超过3次便停止”；i B （1,2,3i =）为“第i 次取到红球”， 则i B 为“第i 次取到白球”．由题设112123A B B B B B B =++，且1B 、12B B 、123B B B 为互不相容事件，1B 、1B 、2B 、2B 、3B 为互相独立事件， …10分故11212368687611()()()()()()()14141314131213P A P B P B P B P B P B P B =++=+⨯+⨯⨯=．…14分（文）从袋中14个球中取出3个球，其可能出现的取法有314C 种，即所有的基本事 件有314C 个． …8分若把“取出球的总分不超过5分”的事件记作E ，则E 所包含的基本事件有3211266868C C C C C ++个， …12分因此，E 出现的概率321126686831411()13C C C C C P E C ++==． …14分 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．（1）函数()tan f x x =的图像的对称中心的坐标为,02k π⎛⎫⎪⎝⎭（*k ∈N ）． …2分 当2k n =（*n ∈N ）时，tan tan tan tan 022k k x x x x ππ⎛⎫⎛⎫++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 当21k n =+（*n ∈N ）时，tan tan cot cot 022k k x x x x ππ⎛⎫⎛⎫++-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得证． …6分 （2）由1()111x m m f x x x ++==+--，得()f x 的图像的对称中心的坐标为(1,1)．…9分 1111(1)(1)21111x m x m x m x mf x f x x x x x++-+++-++++-=+=+=+----，由结论①得，对实数m (1m ≠-)，函数()1x mf x x +=-的图像关于点(1,1)成中心对称． …12分（3）由结论② 2227()3333F x f x f x x t x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为奇函数，…14分其中()g x x =为奇函数，故27()33h x x t x =+++-为偶函数（证明略）， 于是，由()()h x h x =-可得27273333x t x x t x ⎛⎫+++-=-+++ ⎪⎝⎭， …16分 因此，2733t +=，解得53t =为所求． …18分23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．（1）由1030S =，20100S =，得1104530a d +=，120190100a d +=，解得165a =，25d =， …2分 故30210S =． …4分 （2）①121212m m m m S S S m m d +=++． …6分可知1221m m m a a m d +=+，121111212m m m m m m m S S a a a ++++=++++1211211()()()m m S a m d a m d a m d =+++++++1212m m S S m m d =++． …8分②2(1)2nm m n n S nS m d -=+（或写成22nm m nS nS C m d =+，2n ≥）． …10分 可知1(1)2m m m S ma d -=+，1(1)(1)(1)222nm m nm nm nm m nm nm S nma d nS d d ---=+=-+(11)()22m m nm nm nS d nm m nS d nm m =+--+=+-2(1)2m n n nS m d -=+． …12分（3）(ⅰ)11212m mm m m S S q S +'''=+． …16分 (ⅱ)1,1,1, 1.nmm mnm mq S q S q nS q ⎧-'≠⎪'=-⎨⎪'=⎩ …17分(ⅲ) 12121213123[()(nn m m m m m m n S S S S m m m m m m m m +++=+++++++++21)]n n n m m m m d -+++，（2n ≥）． （或写成111()n i i i nm i j m i i j n S S m m d ==<=+∑∑∑≤≤，（2n ≥））． …18分 (ⅳ)12111212123n nn m m m m m m mm m m m m mS S S q S q S q -+++++++'''''=++++，（2n ≥）． …18分。

卢湾区2010—2011学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（本卷完成时间为120分钟，满分为150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}A =，{1,2}B =，则()U A B =ð ．2．函数1lg(1)y x=-的定义域是 ． 3．方程sin cos x x =在[0,2π)上的解集是 ．4．当πcos12=a 时，行列式211121a a +-的值是 ．5．222135lim(212121n n n n →∞++++++ (2)2121n n -++）的值为 ． 6．已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，()f x =2x ax +()a ∈R ，且(2)6f =，则a = ．7．一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输 出的结果为 .8．若方程1n 2100x x +-=的解为0x ，则大于0x 的最小 整数是 ．9．已知函数()(2)2af x x x x =+>-的图像过点(3,7)A ，则此函数的最小值是 ．10．在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题 中随机地抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格． 若一位考生只会回答5道题中的3道题，则这位考生 能够及格的概率为 ．11．（理）某投篮游戏规定：每轮至多投三次，直到首次命中为止．第一次就投中，得8分；第一次不中且第二次投中，得6分；前两次均不中且第三次投中，得4分；三次均不中，得0分．若某同学每次投中的概率为0.5，则他每轮游戏的得分X 的数学期望为 ．12．一个调查机构就某地居民的月收入调查 了10000人，将所得数据分成如下六组：[1000,1500), [1500,2000), [2000,2500), [2500,3000), [3000,3500), [3500,4000),相应的频率分布直方图如图所示．若按月 收入将这10000人也分成上述六组，并通（第7题图）（第12题图）)过分层抽样抽出100人作进一步调查，则[3000,3500)这一组中应抽出 人．13．若454233241)1()1()1()1(x a x a x a x a x a =+-+-+-+-，则234a a a ++的值为 ．14．设O 是直线AB 外一点，OA a =，OB b =，点123,,,A A A …1,n A -是线段AB 的n (n ≥2)等分点，则1231n OA OA OA OA -++++= ．（用,,a b n 表示） 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．函数tan(31)y x =+的最小正周期是 （ ）A ．π3 B ．2π3 C ．3π2D ．π16．在三棱锥P —ABC 中，所有棱长均相等，若M 为棱ABPA 与CM） ABC D 17．将5,6,7,8四个数填入12349⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭中的空白处以构成三行三列方阵，若要求每一行从左到右、每一列从上到下依次增大，则满足要求的填法种数为 （ ） A ．24 B ．18 C ．12 D ．618．已知()f x 是单调减函数，若将方程()f x x =与1()()f x f x -=的解分别称为函数()f x 的不动点与稳定点．则“x 是()f x 的不动点”是“x 是()f x 的稳定点”的 （ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共2个小题，第1小题6分，第2小题6分．已知z 是复数，2iz+为实数（i 为虚数单位），且4i z z -=． （1）求复数z ；（2）若|i|5z m -<，求实数m 的取值范围．C PM（第16题图）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知A ,B ,C 为△ABC 的三个内角，向量(cos ,sin )p B B =- ，(cos ,sin )q C C = ，且(2)q p q -⊥．（1）求A ∠的大小；（2）若4BC AC AB =+=，求△ABC 的面积．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图所示，ABCD 是一块边长为7米的正方形铁皮，其中ATN 是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC 与CD 上的长方形铁皮PQCR ，其中P 是TN 上一点．设TAP θ∠=，长方形PQCR 的面积为S 平方米．（1）求S 关于θ的函数解析式；（2）设sin cos t θθ+=，求S 关于t 的表达式以及S 的最大值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数()22x x f x a -=+（常数)a ∈R ． （1）若1a =-，且()4f x =，求x 的值；（2）若4a ≤，求证函数()f x 在[1,)+∞上是增函数；（3）若存在[0,1]x ∈，使得2(2)[()]f x f x >成立，求实数a 的取值范围．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．已知负数1a 和正数1b ，且对任意的正整数n ，当2n na b +≥0时, 有[1n a +, 1n b +]= TNRQθPD CBA[n a ,2n n a b +]；当2n n a b +<0时, 有[1n a +, 1n b +]= [2n na b +,n b ]． （1）求证数列{n n b a -}是等比数列；（2）若111,2a b =-=，求证222n n a b =-()n ∈N*；（3）是否存在11,a b ，使得数列{}n a 为常数数列？请说明理由．卢湾区2010学年第一学期高三年级期末考试 数学参考答案及评分标准 2011.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，每个空格填对得4分．1．{} 2 2．(0, 1) 3．5, 44ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭4 5．12 6．57．1320 8．5 9．6 10．0.7 11．（理）6（文）2 12．1513．14 14．1()2n a b -+ 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．15．A 16．C 17．D 18．B三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． （1）由2i z +是实数，可设2iz+= a ，R a ∈， 故(2i)2i z a a a =+=+， ………………3分 所以2i z z a -=，又4i z z -=，可得24a =，即2a =，所以42i z =+． ………………6分 （2）由|i |5z m -<，可得|4(2)i |5m +-<，又R m ∈5 ………………9分 即216(2)25m +-<，解得15m -<<， 所以实数m 的取值范围是(1,5) -． ………………12分 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． （1）由(2)q p q -⊥，可得(2)q p -·q =0， ………………2分 即2||2q p -·0q =，又(cos ,sin )p B B =- ，(cos ,sin )q C C = 所以22cos sin 2(cos cos sin sin )0C C B C B C +--=， 即1cos()2B C +=，又0B C π<+<， ………………6分 ∴3B C π+=，故2π()3A B C π=-+=． ………………8分（2）在△ABC 中，由2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，可得22()2(1cos )BC AB AC AB AC A =+-⋅+， ………………10分即22142(1)2AB AC =-⋅⋅-，故4AB AC ⋅=， ………………12分∴11sin 422S AB AC A =⋅=⨯= ………………14分 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． （1）延长RP 交AB 于E ，延长QP 交AD 于F ，由ABCD 是正方形，PRCQ 是矩形，可知,PE AB PF AD ⊥⊥， 由TAP θ∠=，可得6cos EP θ=，6sin FP θ=，∴76sin PR θ=-，76cos PQ θ=-， ………………4分 ∴(76sin )(76cos )S PR PQ θθ=⋅=--4942(sin cos )36sin cos θθθθ=-++故S 关于θ的函数解析式为4942(sin cos )36sin cos =-++S θθθθπ(0)2θ≤≤．……6分（2）由sin cos t θθ+=，可得22(sin cos )t θθ=+ 12sin cos θθ=+，即21sin cos 2t θθ-=， ∴22494218(1)184231S t t t t =-+-=-+． ……………9分又由π02θ≤≤，可得3π444ππθ≤+≤，故πsin cos )[14t θθθ=++∈，∴S 关于t 的表达式为2184231S t t =-+（∈t ）． ……………11分又由271318()62S t =-+，t ∈可知当t =时，S 取最大值，故S的最大值为67-． ………………14分 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．（1）由1,()4a f x =-=，可得224x x --=，设2x t =，则有14t t --=，即2410t t --=，解得2t = ………………2分当2t =时，有22x =+2log (2x =．当2t =时，有22x =故所求x的值为2log (2． ………………4分 （2）设12,[1,),x x ∈+∞且12x x >，则112212()()(22)(22)x x x x f x f x a a ---=+-+TNFE RQθPD CBA21121222(22)2x x x x x x a +-=-+12121222(2)2x x x x x x a ++-=- ………………7分由12x x >，可得1222x x >，即12220x x ->由12,[1,),x x ∈+∞12x x >，可得122x x +>，故12240x x +>>， 又4a ≤，故122x x a +>，即1220x x a +-> 所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，故函数()f x 在[1,)+∞上是增函数． ………………10分 （3）由2(2)[()]f x f x >2222222222x x x x a a --⇔+>++222()20x a a a -⇔-+< ………………12分设22x t -=，由[0,1]x ∈，可得1[,1]4t ∈，由存在[0,1]x ∈使得2(2)[()]f x f x >，可得存在1[,1]4t ∈，使得2()20a a t a -+<， ………………14分 令2()()20g t a a t a =-+<，故有211()()2044g a a a =-+<或2(1)()20g a a a =-+<，可得70a -<<．即所求a 的取值范围是(7,0)-． ………………16分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．（1）当a n +b n 2≥0时，b n +1－a n+1= a n +b n 2 -a n = b n -a n2；当a n +b n 2<0, b n +1－a n +1 = b n - a n +b n 2 = b n -a n 2．所以，总有b n +1－a n +1 = 12(b n -a n ),又110,0b a ><，可得110b a ->，所以数列｛b n －a n ｝是等比数列． ………………4分 （2）①由111,2a b =-=，可得111022a b +=>，故有11221[,][,]2a ba b a +=， ∴112122a b b +==，211a a ==-，从而222a b =-， 故当n =1时，222n n a b =-成立． ………………6分 ②假设当n k =时，222n n a b =-成立，即222k k a b =-， 由22230k k k b a b -=>，可得20k b >，2222220222k k k k k a b b b b +-+==-<, 故有2221212[,][,]2k k k k k a b a b b +++=， ∴22221212,22k k k k k k a b ba b b +++==-=, ………………9分222121220224k kk k k bb a b b ++-++==>,故有2121222221[,][,]2k k k k k a ba b a ++++++=∴212122224k k k k a b b b ++++==, 222212k k k ba a ++==-，故2(1)2(1)2k k ab ++=- ∴当1n k =+时，222n n a b =-成立．综合①②可得对一切正整数n ，都有222n n a b =-． ………………12分 （3）假设存在11,a b ，使得数列{}n a 为常数数列，由（1）可得b n －a n =11()b a -(12)n -1，又1n a a =，故b n =111()a b a +-(12)n -1， ………………14分 由1n n a a +=恒成立，可知a n +b n2≥0,即111()a b a +-(12)n ≥0恒成立，即2n ≤111a b a -对任意的正整数n 恒成立， ………………16分 又111a b a -是正数，故n ≤1121log a ba -对任意的正整数n 恒成立，因为1121log a b a -是常数，故n ≤1121log a ba -不可能对任意正整数n 恒成立．故不存在11,a b ，使得数列{}n a 为常数数列． ………………18分。

上海市卢湾区20**届高三上学期期末考试数学试卷20**.1（本卷完成时间为120分钟，满分为150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数()sin(f x x =π+1)的最小正周期_______． 2．函数()f x =3．若12iia ++为实数（为虚数单位），则实数_________． 4．计算：2(1)(13)lim(2)(1)n n n n n n →∞+-=-++________． 5．某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为 160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是．6．在二项式12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，若第项是常数项，则_______．7．在△ABC 中，为上一点，BC a =，BA b =，12AE EC =，若用向量、表示，则BE =_________．8．右图中，程序框图的功能是交换两个变量的值并输出，图中①处 应填入．9．若实数、、、满足矩阵等式11240202a b c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则行列式a bc d的值为_________．10．若关于、的二元一次方程组1,2mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，则m =_____．11．已知数列{}n a 共有项，若其中三项是，两项是，一项是，则满足上述条 件的数列共有个．12．若集合0,1,2A π⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{|cos ,}B y y x x A ==∈，则AB =_______．13．若等比数列{}n a 的前项和为，公比为，集合2lim,1,nn nS M x x q S →∞⎧⎪==≠-⎨⎪⎩q ⎫∈⎬⎭R ，则用列举法表示M =．14．方程2cos 0x x -=的解可视为函数cos y x =的图像与函数2y x =的图像交点的横坐标．方程210sin 102xx x π-+=实数解的个数为．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．15．若复数12ω=（为虚数单位），则1ω-等于（）. A .B .C .D.第816．设函数()f x 1()f x -，对于[0,1]内的所有的值，下列关系式中一定成立的是（）．A ．1()()f x f x -=B ．1()()f x f x -≠C ．1()()f x f x -≤D ．1()()f x f x -≥17．对于函数1(1)()2nf n +-=（*n ∈N ），我们可以发现()f n 有许多性质，如：(2)1f k =（*k ∈N ）等，下列关于()f n 的性质中一定成立的是（ ）．A ．(1)()1f n f n +-=B ．()()f n k f n +=（*k ∈N ）；C ．()(1)()f n f n f n αα=++（0α≠）D ．(1)(1)()f n f n ααα+=-+（0α≠）； 18．若，是实数，则||||||a b b a ->-成立的充要条件是（）．A ．1b a <B ．1ab< C ．a b < D ．a b >三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分14分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3B π=，4cos 5A =，b 求sin C 的值及△ABC 的面积．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知定义在区间[0,2]上的两个函数()f x 和()g x ，其中2()24f x x a x =-+（1a ≥），2()1x g x x =+．（1）求函数()y f x =的最小值()m a ；（2）若对任意、2[0,2]x ∈，21()()f x g x >恒成立，求的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．袋中有大小相同的红球和白球若干个，其中红、白球个数的比为4:3．假设从袋中任取个球，取到的都是红球的概率为413．（1）试问：袋中的红、白球各有多少个？（2）（理）现从袋中逐次取球，每次从袋中任取个球，若取到白球，则停止取球，若取到红球，则继续下一次取球．试求：取球不超过次便停止的概率．（文）从袋中任取个球，若取到一个红球，则记分，若取到一个白球,则记分．试求：所取出球的总分不超过分的概率．22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．将奇函数的图像关于原点（即(0,0)）对称这一性质进行拓广，有下面的结论：① 函数()y f x =满足()()2f a x f a x b ++-=的充要条件是()y f x =的图像关于点(,)a b 成中心对称．② 函数()y f x =满足()()()F x f x a f a =+-为奇函数的充要条件是()y f x =的图像关于点(,())a f a 成中心对称（注：若不属于的定义域时，则()f a 不存在）．利用上述结论完成下列各题：（1）写出函数()tan f x x =的图像的对称中心的坐标，并加以证明．（2）已知（1m ≠-）为实数，试问函数()1x mf x x +=-的图像是否关于某一点成中心对称？若是，求出对称中心的坐标并说明理由；若不是，请说明理由．（3）若函数()2()|||3|43f x x x t x ⎛⎫=-++-- ⎪⎝⎭的图像关于点22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成中心对称，求的值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．在等差数列{}n a 中，公差为，前项和为．在等比数列{}n b 中，公比为，前项和为（*n ∈N ）．（1）在等差数列{}n a 中，已知1030S =，20100S =，求．（2）在等差数列{}n a 中，根据要求完成下列表格，并对①、②式加以证明（其中、、、*n ∈N（3选做二题或更多题，则只批阅其中分值最高的一题，其余各题的解答，不管正确与否，一律视为无效，不予批阅）：(ⅰ)（解答本题，最多得4分）类比（2）中①式，在等比数列{}n b 中，写出相应的结论．(ⅱ)（解答本题，最多得5分）类比（2）中②式，在等比数列{}n b 中，写出相应的结论．(ⅲ)（解答本题，最多得6分）在等差数列{}n a 中，将（2）中的①推广到一般情况．(ⅳ)（解答本题，最多得6分）在等比数列{}n b 中，将（2）中的①推广到一般情况．卢湾区20**学年第一学期高三年级期末考试数学参考答案及评分标准20**.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，每个空格填对得4分． 1．2．(1,1)-3．124．5．150 6． 7．1233a b +8．x y ←9．10．11．12．{0,1}13．10,,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭14．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得4分，否则一律得零分．15．A16．D17．C18．A三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本题满分14分）因为,,A B C 为△ABC 的内角，且3B π=，4cos 5A =，所以23C A π=-，3sin 5A =，得2sin sin 3C A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭6分在△ABC 中，由正弦定理，得sin 6sinb A a B ==，…10分故△ABC 的面积116sin 225S ab C ==⨯=．…14分20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．（1）由222()24()4f x x ax x a a =-+=-+-，得2412,()84 2.a a m a a a ⎧-<=⎨-⎩≤≥…6分（2）1()(1)21g x x x =++-+，当[0,2]x ∈时，1[1,3]x +∈，又()g x 在区间[0,2]上单调递增（证明略），故4()0,3g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．…9分由题设，得2min 1max ()()f x g x >，故212,443a a <⎧⎪⎨->⎪⎩≤或2,484,3a a ⎧⎪⎨->⎪⎩≥…12分 解得1a ≤为所求的范围．…14分 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．（1）设袋中有红球个，白球个，由题设2427413k k C C =，解得2k =，…4分因此，袋中有红球个，白球个．…6分（2）（理）记为“取球不超过3次便停止”；（1,2,3i =）为“第次取到红球”， 则为“第次取到白球”．由题设112123A B B B B B B =++，且、12B B 、123B B B 为互不相容事件，、、、、为互相独立事件，…10分故11212368687611()()()()()()()14141314131213P A P B P B P B P B P B P B =++=+⨯+⨯⨯=． …14分（文）从袋中个球中取出个球，其可能出现的取法有种，即所有的基本事 件有个．…8分若把“取出球的总分不超过分”的事件记作，则所包含的基本事件有3211266868C C C C C ++个，…12分因此，出现的概率321126686831411()13C C C C C P E C ++==．…14分 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．（1）函数()tan f x x =的图像的对称中心的坐标为,02k π⎛⎫⎪⎝⎭（*k ∈N ）．…2分 当2k n =（*n ∈N ）时，tan tan tan tan 022k k x x x x ππ⎛⎫⎛⎫++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 当21k n =+（*n ∈N ）时，tan tan cot cot 022k k x x x x ππ⎛⎫⎛⎫++-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得证．…6分 （2）由1()111x m m f x x x ++==+--，得()f x 的图像的对称中心的坐标为(1,1)．…9分 1111(1)(1)21111x m x m x m x mf x f x x x x x++-+++-++++-=+=+=+----，由结论①得，对实数(1m ≠-)，函数()1x mf x x +=-的图像关于点(1,1)成中心对称．…12分（3）由结论②2227()3333F x f x f x x t x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为奇函数，…14分其中()g x x =为奇函数，故27()33h x x t x =+++-为偶函数（证明略）， 于是，由()()h x h x =-可得27273333x t x x t x ⎛⎫+++-=-+++ ⎪⎝⎭， …16分 因此，2733t +=，解得53t =为所求．…18分23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．（1）由1030S =，20100S =，得1104530a d +=，120190100a d +=，解得165a =，25d =， …2分 故30210S =．…4分（2）①121212m m m m S S S m m d +=++．…6分可知1221m m m a a m d +=+，121111212m m m m m m m S S a a a ++++=++++1211211()()()m m S a m d a m d a m d =+++++++1212m m S S m m d =++．…8分②2(1)2nm m n n S nS m d -=+（或写成22nm m nS nS C m d =+，2n ≥）．…10分 可知1(1)2m m m S ma d -=+，1(1)(1)(1)222nm m nm nm nm m nm nm S nma d nS d d ---=+=-+(11)()22m m nm nm nS d nm m nS d nm m =+--+=+-2(1)2m n n nS m d -=+．…12分（3）(ⅰ)11212m mm m m S S q S +'''=+．…16分 (ⅱ)1,1,1, 1.nmm m nm mq S q S q nS q ⎧-'≠⎪'=-⎨⎪'=⎩…17分(ⅲ)12121213123[()(nn m m m m m m n S S S S m m m m m m m m +++=+++++++++21)]n n n m m m m d -+++，（2n ≥）．（或写成111()ni ii nm i j m i i j nS S m m d ==<=+∑∑∑≤≤，（2n ≥））．…18分(ⅳ)12111212123n nn m m m m m m mm m m m m mS S S q S q S q -+++++++'''''=++++，（2n ≥）．…18分。