134课题学习--最短路径问题课件

地的方周，长可最使小所. 用的输气管线最短？
E1
A
B
P E
A
B
C
F
P B1
34、如图，,AO牧B童内在一A点处P放,P牛1、，P家2分在别B是处P，关A于、OBA到、
O河B岸的的对距称离点分,P别1P为2交AOCA和于BMD,点且，AC交=OBBD于,若N点点A.若到 Δ河P岸MCND的的周中长点为的5c距m离，为则5P010P米2的，长则为牧()童从A处把 A牛.3牵cm到B河.4边cm饮C.水5c再mD回.6家cm，最短距离是（） A.750米B.1000米C.1500米D.2000米
P1
A
AP1Q1的周长
河
Q1 Q Q
l
AP1 P1Q1 AQ1
A2 P1 P1Q1 A1Q1
A1
A1 A2
解：最短路径是AP+PQ+AQ.
NOTE:ΔAPQ的周长是A人从A地出发，先到草地边某处牧马，再到河边饮马， 然后回到B处，请画出最短路径.
13.4课题学习 最短路径问题
问题一：牧马人从A处回到B处休息，怎么走可使路径最短？
问题二：牧马人从A处到河边l处饮马，怎么走可使路径最短？
问题三：牧马人从A地出发，先到一条笔直的河边l处饮马，
然后到B地休息.牧马人到河边的什么地方饮马，可 使所走的路径最短？
草地
牧马人
A
营地
B
河D
C
l
13.4课题学习 最短路径问题
关于直线l的对称点B1，连接AB1，与直线l的交
点，即为直线l上到A、B距离之和最短的点.
“牧马饮水问题3”：
如图，牧马人从A地出发，先到草地边某处牧马，再到河边饮马， 然后回到A处，请画出最短路径.

A BC NhomakorabeaDl
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A′
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想： 对于问题2，如何将点
B
B“移”到l 的另一侧B′处，满足
典例精析
练习1.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5，EF垂直平分BC，点P 为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（ ）
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
典例精析 (两线一点型)
例2：如图，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃 草，再到河边b处饮水，最后回到营地.请你设计一条放牧路线，使其所 走总路程最短.
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟
转化思想．（重点）
情景引入
请问牛郎织女在河边哪个地方相会，能让他两人走的总路程 最短？
迢迢牵牛星，皎皎河汉女。 纤纤擢素手，札札弄机杼。 终日不成章，泣涕零如雨； 河汉清且浅，相去复几许！ 盈盈一水间，脉脉不得语。
BC =B′C，BC′=B′C′．
B
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
A
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，
C
C′
l
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．

MN +NB最小.这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的 什么位置时，AM+ NB最小？能否通过图形的变化（轴对称、
平移等），把“图13. 4-7”的情况转化 为“图13.4-3”的情况？
如图13.4-8,将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到 点N,点A 移动到点A'，则AA'=MN，AM+NB=A'N + NB.这样， 问题就转化为： 当点N在直线b的什么位置时，A'N + NB最小？
C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转 化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小. 由这个问题，我们可以联想到下面的问题：
知2－导
如图13.4-3,点A, B分别是直线l异侧的两个点，
如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的 距离的和4-3
利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面 的问题，即:连接AB，与直线l相交于一点，根据 “两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.
的总路程最短．
知2－讲
总 结
解决“两线＋一点”型最短路径问题，要作 两次轴对称，从而构造出最短路径．
知2－练
1
为庆祝教师节，阳光中学八年级(2)班举行了一次文艺晚 会，桌子摆成两条线(如图中的OA，OB，∠AOB＜ 90°)，桌子OA上摆满了苹果，桌子OB上摆满了橘子， 坐在C处的小华想先拿苹果再拿橘子，然后回到座位C 处．请你帮助小华设计一条行走路线，使小华所走路程
知2－练
4
如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，4)，B(4，2)， 在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，
则点P的坐标是(
A．(－2，0) C．(2，0)

模型二：线型，两点在直线同侧 作对称一连接 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
C B′ （1）最短路径的常见模型？
如图所示，正方形ABCD的边长是4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则 这个最小值为（ ）
∴ AC +BC
题。
作对称，一连接
知识拓展 模型三：角型 两条直线找两个点
练习4.如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从 马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马， 然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
A→Pห้องสมุดไป่ตู้→ Q → B
A′ P
Q
B′
两对称，一连接
思维拓展 = AC′+B′C′．
= AC′+B′C′． ∵∠1=∠2 ，∠3=∠4 （2）本节课研究问题的基本过程是什么？
练习5.如图，四边形ABCD中,∠BAD=120°∠B=∠D=90°, 如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这
一天的最短路线。
在BC，CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时， 总结方法：将同侧两点转化为异侧两点，利用“两点之间线段最短”解决路径最短问题。
连接AC′，BC′，B′C′．
B
由轴对称的性质知，
A
BC =B′C，BC′=B′C′．
∟
∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，
C’ C
l
AC′+BC′
= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，

A∙ 请小组讨论证明这个结论吧！
A′
M′ a M
b
N′
N
∙B
13.4 最短路径问题
证明
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，
连接AM′，A′N′，N′B.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′. 即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′， 即AM+NB+MN的值最小.
13.4 最短路径问题
解：∵点B 和 点C 关于直线 AD 对称， ∴BF = CF . 求BF + EF 最小值，只需 CF + EF 最小. 连接EC，线段 CE 的长即为 BF + EF 的最 小值. ∵D、E 是等边△ABC 中 BC、AB 的中点， ∴CE = AD = 5. ∴BF+EF的最小值为5.
路程最短？ C
A
D
A1
A C
C1 D1 E
E1 B B1
C1 B
解：如图，作 AA1⊥CD，且 AA1 = 河宽，作 BB1⊥CE，且 BB1 = 河宽， 连接 A1B1，与内河岸相交于 E1，D1. 过 E1，D1作河岸的垂线段 EE1 、 DD1，即为桥.
13.4 最短路径问题
13.4 最短路径问题
学习目标 1. 利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题. 重点
2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为
数学问题的思想. 难点

证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，
AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
A
·
C′ C
B
·
l
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
能否通过图形的变化（轴对称、平移等），把问 题转化为两点之间，线段最短问题呢？
再设情景 深入探究
作法：将点A沿与河垂直的方向平移EF的距离到A ′ ，那 么为了使AEFB最短，只需A ′ B最短。根据两点之间距离 最短，连接A ′ B，交河岸于点F，在此处造桥EF，所得 路径AEFB就是最短路径。
证明时要利用三角形三边关系来证明。
再设情景 深入探究
情景3：造桥选址问题 如图，A和B两地在一 条河的两岸，现要在河上造一座桥EF。桥造在 何处才能使从A到B的路径AEFB最短？（假定 河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。
1.你能仿照情景2将这个问 题抽象为数学问题吗？ 2.这个问题与前一个问题 有什么不同？ 3.要保证路径AEFB最短， 应怎样选址？
同侧问题
转化异侧问题
如何将点B“移”到l 的另
B
一侧B′处，满足直线l 上
A
的任意一点C都保持CB 与
CB′的长度相等？
C
l
设置情景 合作探究
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称
点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交
于点C．
A

P1
CC O
DD
A PC+CD+DP
思考：你能利用解决牧 马人饮马问题的办法， 解决本题吗？
P
= P1C+CD+DP2 利用轴对称(实现线段转移).
B
两点之间，线段最短．
P2
拓展提升
如图，分别在OA、OB上求作点C、D，使得
PC+CD+DP和最短．
P1
A 作法：
C
（1）过点P分别作关于OA、OB的对称点
依据：
两点之间，线段最短
解决问题二
例:如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．
A
B
A l
C
l
A、B在直线l的同侧
B
A、B在直线l的异侧
思考2：能否通过图形的变换，把左边未知的问题 转化为我们右边研究过的问题呢？
解决问题二
例:如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．
B
A l
C
问题转化为：
八年级—人教版—数学—第十三章
13.4课题学习 最短路径问题（第一课时）
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题．
2.能把实际问题抽象为数学问题，体会图形的变化
在解决最值问题中的作用，感悟转化和类比思想．
学习重点
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段 最短”问题．
情境引入
观察图片，生活中你通常如何选择路径，使所走路 径最短呢？
D
B
P2
思想方法：类比、转化
课堂小结
最短路径问题：
解决方法：利用轴对称实 现线段的转移，化折为直. 理论依据：两点之间，线 段最短. 思想方法：类比、转化.

B A
l
我们是怎样解决问题的？说说思考问题的思路．
反思与总结
新知一 两点一线型
实际问题1 图形表示，数学化 几何问题2
轴对称，转化问题 求两点之间线 段最短问题．
实际意义解释
实际问题1的解
几何问题2的解
轴对称，还原问题
B
B
A
A
DC
l
B′
拓展延伸
新知二 两线一点型
如图，将军从A地出发,先到草地边某处巡逻,再到河边 饮马,然后回到A地,应该怎样走才能使路程最短？
A
拓展延伸
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
如图所示，将A地抽象为一个点，将草地边和河边抽象
为两条直线.
l2
A
l1
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
拓展延伸
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得 △AMN的周长最小.
l2
A l1
拓展延伸
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得
分析问题
新知一 两点一线型 问题2 如图，A，ห้องสมุดไป่ตู้是直线l同侧的两点，在直线l上作一
点C，使AC+BC最小．
A
问题难在哪里？怎么办？
l
C
如点A，B在直线两侧． B
依据：“两点之间，线段最短”
分析问题
问题2 如图，A，B是直线l同侧的两点，在直线l上作一 点C，使AC+BC最小．
能否把点B变到直线l的另一侧？要求？方法？ 对于直线上任一点C有BC=B′C． 作点B关于直线l的对称点B′．
△AMN的周长最小.
作法：过点A分别作关于直线l1，
A2 N

方法点拨：解决“两线两点”型最短路径问题 的方法以两线为对称轴，分别作靠近线的点的 对称点，连接两个对称点，将最短路径转化为 连接两个对称点的线段.
感悟新知
解：如图13 .4 -4，(1)作点A 关于直 线l1 的对称点A′； (2)作点B 关于直线l2 的对称点B′； (3)连接A′B′，分别与直线l1，l2相交 于C，D 两点，连接AC，BD，则沿 路线A → C → D → B 走才能使总路 程最短.
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
感悟新知
知识点 1 最短路径问题
知1－讲
类型
问题
作法
最小值
一 线 两
点 型
两点 在直 线异
侧
在直线l 上找 一点P，使PA
＋PB 最小
连接AB，与直 线l 的交点即为
点P
PA＋PB 的最小值 为AB的
值
感悟新知
类型
问题
作法
知1－讲
最小值
两点
一 线 两
知1－练
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
感悟新知
知1－练
3-1.如图，AB 是∠ MON内部的一条线段，在∠ MON 的两 边OM，ON 上分别取点C，D组成四边形ABDC，如何 取点才能使该四边形的周长最小？
感悟新知
知1－练
(1)如果居民小区A，B 在主干线l 的两侧，如图13.4-1，那么 分支点M 在什么地方时总线路最短？
解：如图13 .4 -1，
连接AB，与l 的 交点即为所求的
分支点M.
感悟新知
知1－练
(2)如果居民小区A，B 在主干线l 的同侧，如图13.4-2，那么 分支点M 在什么地方时总线路最短？

Q
P
M A Ql P
B Ml Q
P
M C
l
M
l
D
2. 如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便 灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地， 问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中 确定该点（保留作图痕迹）.
解：如图，P点即为该点.
探究新知
例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和
方法点拨
此类求线段和的最小值问题，找准对称 点是关键，而后将求线段长的和转化为求某 一线段的长，再根据已知条件求解.
巩固练习
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修
建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，
图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
P
Q
所以桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.
B
方法点拨
解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对 称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题， 从而作出最短路径的选择.
巩固练习
4. 牧马人从A地出发，先 到草地边某一处牧马，再到 河边饮马，然后回到B处， 请画出最短路径.
A´ .
人教版数学八年级上册
13.4 课题学习 最短路径问题
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题. 2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作 用，感悟转化思想．
探究新知
利用对称知识解决最短路径问题
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各
点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.
2.把B平移到岸边. AM+MN+BN长度改变了.